GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden, kan anvendes til positionering og navigation. I praksis fungerer systemet ved, at satellitterne udsender information om deres positioner til et givet tidspunkt, en GPS-modtager kan modtage satellit-signalerne, og ved hjælp af den såkaldte C/A-kode, der er påmoduleret satellitsignalerne, kan GPS-modtageren bestemme transmissionstiden, det vil sige den tid, det har taget en given bit af C/A-koden at komme fra satellitten til modtageren. Transmissionstiden omregnes til en afstand, hvorefter GPS-modtageren kan bestemme sin position udfra afstande til satellitterne, og satellitterne fungerer så som punkter med kendte koordinater. GPS-satellit - den nyeste generation. For at opnå en god positionsbestemmelse er det vigtigt at uret i GPS-modtageren går så præcist som muligt, da selv en lille fejl i uret i GPS-modtageren kan give en stor fejl i positionsbestemmelsen. En fejl på 1 millisekund giver en fejl i afstandsbestemmelsen til satellitterne på ca. 300 Matematik 1 06/07 side 1
km og dermed en tilsvarende fejl i positionen. Derfor skal modtager-urfejlen også altid behandles som en ubekendt, når der skal bestemmes positioner med GPS. Alle de beregninger der foregår i en GPS-modtager udføres i det koordinatsystem, der hedder WGS84 (World Geodetic System fra 1984). Det er et tredimensionalt kartesisk koordinatsystem med origo i jordens tyngdepunkt. X-aksen ligger i Ækvator planet og skærer Ækvator i det punkt, hvor også Greenwich meridianen skærer Ækvator. Z-aksen er sammenfaldende med jordens omdrejningsaksen, og går ud gennem Nordpolen, og Y-aksen er placeret i Ækvatorplanet således, at der dannes et højrehånds koordinatsystem. Når beregningerne er afsluttet, omregnes positionen for GPS-modtageren eventuelt til et andet koordinatsystem, f.eks. til bredde- og længdegrader. 2 Data Følgende informationer er til rådighed: Tabel 1: Satellit positioner og pseudoafstande Satellit X s Y s Z s Pseudoafstand nummer meter meter meter meter 4 4396623.907-15219512.421 21395963.449 22745185 14 12508988.544 10190642.686 21073725.487 20490898 16 15690450.142-6024729.548 20505506.585 20673780 18 25180700.379-7388281.420 4051959.985 23193809 24-8441248.473-20422306.240 15063403.391 26237952 25-2062043.991 17167206.349 20373015.170 22979470 Tabel 2: Foreløbig position for GPS-modtageren X 0 Y 0 Z 0 meter meter meter 3504300 780800 5252100 Tabel 3: Kendt position for GPS-modtageren X Y Z meter meter meter 3504320.6 780753.5 5252128.8 3 Observationsligninger Med hjælp fra Pythagoras kan ligningen (1) opstilles: P s = ρ s + c dt = (X X s ) 2 + (Y Y s ) 2 + (Z Z s ) 2 + c dt (1) Matematik 1 06/07 side 2
Her er P s den målte afstand mellem modtager og en given satellit (P s kaldes en pseudoafstand, da det ikke er den rigtige geometriske afstand), ρ s er den geometriske afstand mellem modtager og satellit, (X,Y,Z) er modtagerens position, (X s,y s,z s ) er satellittens position, dt er modtagerens urfejl, og c er lysets hastighed, der bruges til at omregne tidsfejlen til en metrisk størrelse (c er 299792458 m/s). De ubekendte i denne ligning er modtagerens koordinater X,Y,Z og urfejlen w = c dt. Da der er fire ubekendte, benytter vi observationer (pseudoafstande) til fire satellitter og opstiller fire ligninger med de fire ubekendte. Dette giver et ligningssystem 1 : (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 + (Z Z 1 ) 2 + w = P 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 + (Z Z 2 ) 2 + w = P 2 (2) (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 + (Z Z 3 ) 2 + w = P 3 (X X 4 ) 2 + (Y Y 4 ) 2 + (Z Z 4 ) 2 + w = P 4 Ligningssystemet er ikke lineært, men kan med fordel løses ved hjælp af Taylor-udvikling og løsning af lineære ligninger. Det primære formål i det følgende er at konstruere et lille program (fx i Maple), der kan løse ligningerne og bestemme positionen for en GPS-modtager ud fra en foreløbig position, nogle observationer (pseudoafstande) og tilsvarende kendte positioner for et antal satellitter. 4 Linearisering og løsning af ligningerne Vi skal her introducere en såkaldt iterativ løsningsmetode til at finde positionerne, der bestemmes af (2). 4.1 Trin 1 I første omgang vil vi finde en approksimativ løsning til ligningssystemet ved at foretage en Taylor-udvikling af ligningerne i (2). Som foreløbig position (X 0,Y 0,Z 0 ) anvendes i praksis den position som GPS-modtageren bestemte sidste gang den var tændt. Opgave 1. Opskriv det approksimerendetaylor-polynomium af (højst) første orden i udviklingspunktet (X 0,Y 0,Z 0,0) for ligningerne i (2). Vis, at dette resulterer i et linært ligningssystem på formen: hvor A x = b (3) x = 1 Her og i det følgende benytter vi den variable w = c dt for urfejlen. X Ȳ Z w (4) Matematik 1 06/07 side 3
er positioner og urfejl (i meter). Løsningen x til (3) er en passende approksimation til den søgte løsning. Lidt geometri. Opgave 2. Løs ligningen (3) for de givne data for satelitterne 4,14,16,18 (se tabellerne). Hvor god er løsningen? Opgave 3. Vis, at de tre første tal af hver række i matricen A i (3) udgør koordinaterne for en retningsvektor for en af de vektorer, der naturligt indgår i problemet. Undersøg eventuelt under hvilke geometriske betingelser ligning (3) har entydige løsninger. Matricen A kaldes en design matrix, og den beskriver således geometrien i problemet. Opgave 4. Vis, at den fjerde søjle i matricen A i (3) består af lutter 1-taller. Hvad skyldes det? Overvej, om det har nogen betydning for systemet om værdien af urfejlen i udviklingspunktet vælges anderledes. Opgave 5. Gør rede for hvilke afstande og anden information, der indgår i højresiderne b i (3). 4.2 Iterationer Opgave 6. Benyt løsningen fundet i opgave 2 som ny startposition (erstatter udviklingspunktet (X 0,Y 0,Z 0,0)) og find hermed en ny løsning. Er der sket en forbedring? Gentag denne procedure indtil en passende god løsning er fundet. Undersøg hvor mange sådanne iterationer, der skal benyttes. Fastlæg et stopkriterie for iterationerne. Undersøg desuden betydningen af antallet af cifre, der benyttes ved beregningen (benyt Maples Digits). Sammelign proceduren med brug af Maples solve. Hvorfor er Maple ikke en del af et GPS system? Er urfejlen bekymrende i størrelse? Fremgangsmåden, der benyttes ovenfor til løsning af de ikke lineære ligninger i (2), kaldes Gauss-Newtons metode. Matematik 1 06/07 side 4
Opgave 7. Undersøg opførslen af den iterative procedure, hvis der ændres i valget af udviklingspunktet (X 0,Y 0,Z 0,0)) (til jordens tyngdepunkt, eller noget vildere). 5 Løsning med mindste kvadraters metode Man kan benytte afstandsmålinger til flere end 4 satelitter til at reducere fejlen i positionsberegningen. Udjævningen af fejl kan foretages på flere forskellige måder, men en af de mest udbredte metoder er at anvende mindste kvadraters princip. Når der er flere observationer end ubekendte i ligningssystemet (2), kan systemet typisk ikke løses, med mindre der er tale om eksakte data således, at alle afstandsligninger kan opfyldes samtidigt. I mindste kvadraters princip udjævnes fejlene forstået på den måde, at de fejl der altid vil være på målinger foretaget i praksis, fordeles ud over alle observationer, så indflydelsen af fejlene minimeres. Samtidig opnås det, at man kan løse problemet for et vilkårligt antal observationer. Vi tager her udgangspunkt i det lineariserde system A x = b, (5) hvor nu antallet n af rækker i A er større end antallet af variable 2. Vi antager nu, at matricen A har rang 4. I mindste kvadraters metode finder man det sæt af variable (X,Y, Z, w), der opfylder alle ligningerne i (5) bedst muligt, i en passende forstand. Dette betyder her, at man minimerer summen af kvadratet på fejlene (kaldet residualerne) defineret som: R = b A x. (6) Vi ønsker en løsning, hvor summen af de kvadrerede residualer bliver så lille som mulig: min x n i=1 hvor funktionen, som vi skal minimere, kan skrives: φ(x) = n i=1 R 2 i, (7) R 2 i = R T R = ( b A x ) T ( b A x ). (8) Opgave 8. Vis, at gradienten af φ i (8) er givet som: [ ] φ(x 0 ) = 2 x T 0 A T A b T A (9) Gør rede for, at matricen A T A er en symmetrisk (4 4)-matrix med positive egenværdier. Vis, at en løsning til ligningssytemet: A T A x = A T b (10) minimerer φ, og gør rede for at, at ligningssystemet altid har en løsning. 2 Antallet af observationer er altså n (antallet af variable er 4). Matematik 1 06/07 side 5
Når man har bestemt en løsning x til (10), har vi et bud på positionen, samtidig med, at værdierne af residualerne for denne løsning giver et bud på, hvor store observationsfejlene er. Opgave 9. Modificer de tidligere udførte beregninger, så der kan arbejdes med seks observationer i stedet for de fire, der er benyttet ovenfor. Undersøg om Maples solve kan klare denne situation. Bestem residualerne og vurder hvor godt positionsresultatet passer med den kendte position. Afvej stopkriteriet i forhold til hvor stor præcision man kan forvente på basis af variationenen af måledata. 6 GPS positionering i praksis Denne måde at bestemme GPS-positioner er relativt simpel og er en tilnærmelse af, hvordan det foregår i en GPS-modtager. I praksis ligger der en del ekstra beregninger omkring løsningen af observationsligningerne, bl.a. skal satellitternes koordinater beregnes udfra de Kepler elementer som udsendes fra satellitterne, de såkaldte broadcast ephemerides, urfejl i satellitterne modelleres ved hjælp af en række polynomier, påvirkningen af satellitsignalerne i atmosfæren modelleres også, og der laves løbende filtrering af de modtagne observationer for at minimere indflydelsen fra reflekterede signaler, støj og interferens. Hvis man ønsker GPS-bestemte po- En permanent GPS-station. Matematik 1 06/07 side 6
sitioner med meget høj nøjagtighed skal der anvendes en type GPS-modtagere der observerer fasen på den modtagne bærebølge, og kan modtage data på begge GPS-frekvenser (satellitterne transmitterer både på 1575 MHz og 1227 MHz). Desuden skal positioneringen foregå differentielt, så der skal dels være data fra den modtager, hvor positionen bestemmes, og dels fra en anden GPS-modtager, der er placeret i et punkt hvor positionen på forhånd er kendt. Til differentiel fasepositionering anvendes stadig pseudoafstande, her blot til bestemmelse af en foreløbig position for modtageren. For at opnå en mere præcis position anvendes mere avancerede modeller for korrektion af den atmosfæriske påvirkning af signalerne, og der anvendes forskellige lineære kombinationer af observationerne fra de to modtagere og de to frekvenser. Desuden skal det hele antal bølgelængder fra modtagerne til satelliterne bestemmes (de såkaldte periodekonstanter) hvilket ikke er en triviel opgave, da restfejlene efter modellering af de forskellige fejlkilder ofte er større end bølgelængden på ca. 20 cm. Til løsning af periodekonstanterne anvendes bl.a. statistiske metoder til test af forskellige løsninger, der anvendes afbildninger (transformationer) af observationsligningerne, og der kan anvendes elementer af heltalsprogrammering for at finde frem til de heltallige periodekonstanter. Med disse mere avancerede data, observationsog beregningsmetoder kan der opnås positionsnøjagtigheder på cm-niveau. Hvis data desuden er fra permanent monterede GPS-modtagere, kan der bestemmes positioner med nøjagtigheder på mm-niveau, hvilket blandt andet kan anvendes til geodynamsike formål som for eksempel bestemmelse af tektoniske pladebeægelser eller landhævninger og -sænkninger. oo0oo 7 Flere undersøgelser - en cocktail NB NB NB: Bemærk, at man ikke skal give sig i kast med alle de opgaver, der er formuleret nedenfor. Find ud af, hvad der har Jeres interesse og udform en god løsning om dette emne. Det er også bedre at aflevere en perfekt projektrapport om opgaverne 1-9 end at forsøge at nå en masse krøller. Valget er Jeres 3. A - en variation i afstandsbestemmelsen Opgave 10. Implementér en løsning, hvor der kun arbejdes med fire satellitter ad gangen, og hvor alle kombinationer benyttes til at bestemme en position, og overvej, hvordan man kan benytte de forskellige svar dette giver. Vurdér, hvor god denne løsning er i forhold til de løsninger, der er bestemt tidligere. Man bør også vurdere metodens effektivitet, dvs. om det kan betale sig, hvis man ser på beregningstider. Vink: Til at generere kombinationerne af ligningerne kan man benytte combinat[choose] i Maple, og til at udregne gennemsnit og spredning kan man bruge Maples stat pakke. 3 Og tal med vejlederen! Matematik 1 06/07 side 7
B - lidt statistik baseret på mindste kvadraters metode Denne opgave skal læses i direkte forlængelse af afsnit 5. Spredningerne på koordinaterne til den ønskede position kan bestemmes ud fra en varianskovariansmatrice 4, der kan opstilles på følgende måde: Q = σ 2 [ x 0 (A T A ] 1, (11) hvor σ 2 0 = (R T R)/(n m). (12) Her er n er antallet af observationer og m er antallet af ubekendte, der i denne situation er fire (koordinaterne og urfejlen). Diagonalelementerne i Q x matricen indeholder variansen for de enkelte ubekendte, og leddene udenfor diagonalen er kovarianserne. Spredningen for de ubekendte bestemmes ved at tage kvadratroden af diagonalelementerne i Q x. Opgave 11. Bestem spedningen for elementerne, når der benyttes data fra 6 satellitter og vurder om forskellen mellem koordinaterne ligger indenfor spredningen (spredningen angiver at den rigtige position ligger indenfor spredningen med 68% signifikans). C - om vigtigheden af tidsmålingen Opgave 12. Læs artiklen: G.Nord, D.Jabon, and J.Nord, The global positioning system and the implicit function theorem, SIAM Rev., Vol. 40, No.3, pp.692-696,1998, og brug data givet her til en lignende undersøgelse. D - ikke-lineær mindste kvadarters metode Opgave 13. Undersøg, hvordan man kan benytte mindste kvadraters metoden direkte på de ikkelineære ligninger (jævnfør ligningerne i (2)). E - om Gauss-Newton metoden Opgave 14. Undersøg 5 egenskaberne ved Gauss-Newton metoden. Finder man altid en løsning? Hvor hurtigt konvergerer metoden? Er der andre metoder? 4 Jf undervisningen i statistik. Find eventuelt supplerende litteratur. 5 Find eventuelt supplerende litteratur. Matematik 1 06/07 side 8
F - ren geometri Vi skal her se på en nogle beregninger, der forklarer, hvad der geometrisk foregår ved positionsbestemmelse ud fra afstandsmåling. Opgave 15. Vi betragter et ligningssystemet svarende til (2), men nu i planen og uden urfejl; dette svarer til en situation, hvor man undersøger en mulig skæring af 3 cirkler: (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 = P 2 1 cirkel 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 = P 2 2 cirkel 2 (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 = P 2 3 cirkel 3 (13) For at simplificere udregningerne, som nu foretages som ren bogstavregning, lægger vi koordinatsystemet således, at (X 1,Y 1 ) = (0,0), (X 2,Y 2 ) = (a,0) og (X 3,Y 3 ) = (b 1,b 2 ) (overvej, at dette ikke er en restriktion i forhold til den generelle situation). Vi antager, at de tre centre ikke ligger på en ret linie. 1. Betragt ligningerne i (13) parvis; ved at trække ligningerne fra hinanden fås i alle tilfælde nogle lineære ligninger, som fremstiller en ret linie. Herved fås 3 linier, L 1,2, L 1,3 og L 2,3, svarende til cirklerne i, j. Vis, at L i, j forbinder skæringspunkterne mellem cirklerne i og j, hvis disse skærer hinanden i to punkter. Undersøg også, hvad linien fremstiller, hvis cirklerne ikke skærer hinanden. 2. Vis, at de tre linier L 1,2, L 1,3 og L 2,3 skærer hinanden i præcis ét punkt P C. Overvej om P C er et godt valg/gæt som postion for det tilfælde, hvor der ikke findes en løsning til det samlede ligningssystem (13). Sammenlign eventuelt med en mindste kvadraters løsning. 3. Vis, at P C kan findes ved at indføre den variable s = X 2 +Y 2 i ligningsystemet (13) og løse det resulterende lineære ligningssytem i (X,Y,s); P C er givet ved denne løsnings (X,Y )-koordinater. 4. Vis, at i det noget specielle tilfælde (!), hvor P i = 0, i = 1,2,3, da er P C skæringspunktet af højderne i den trekant, der har de tre centre som hjørner. Indfør nu en ekstra variabel, der svarer til urfejlen. Ligningssystemet (13) modficeres således til systemet: (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 + w = P 1 cirkel 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 + w = P 2 cirkel 2 (14) (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 + w = P 3 cirkel 3 Undersøg med Maples solve og egne valg af data, om der altid er løsninger til dette system. Hvis man geometrisk fortolker w som en modifikation af cirkelradierne, kan man Matematik 1 06/07 side 9
skrive (14) som (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 = P 1 w cirkel 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 = P 2 w cirkel 2 (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 = P 3 w cirkel 3 (15) Overvej hvad det betyder geometrisk, at (X,Y ) løser (15) for et valg af w, der betyder at en løsning faktisk eksisterer. 8 Efterskrift Hvis du er interesseret i at læse mere om GPS anbefales bogen GPS skrevet af Keld Dueholm, Mikkel Laurentzius og Anna Jensen, og udgivet af Nyt Teknisk Forlag i 2005. Bogen introducerer de grundlæggende begreber omkring GPS, f.eks. selve systemet, fejlkilderne og en række anvendelsesområder. Du kan også lære mere om GPS ved at følge kurset Satellitpositionering. Mindste kvadraters princip kan du lære mere om i Scientific Computing og den nødvendige statistik kan læres ved at følge det indledende kursus i statistik og det videregående kursus i Multivariat Statistik. Se også Allan Aasbjerg Nielsens undervisningsnoter om udjævning på http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/p.php?2804. Matematik 1 06/07 side 10