MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Optimering a unktioner a lere variable. udgave 04
FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede kan beregne lokale og globale ekstrema or unktioner a lere variable Forudsætninger: Der orudsættes et kendskab til dierentialregning svarende til pensum i matematik på A- niveau (se evt. notatet Kernesto i Matematik op til A - niveau der i pd-ormat kan indes på adressen www.larsen-net.dk under Matematik ) Endvidere et elementært kendskab til matricer. Regnemidler: Der bliver i eksemplerne vist, hvorledes man kan oretage beregningerne med programmerne Ti-nspire og Maple For en mere omattende gennemgang henvises til lærebogen Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Matematik or Ingeniører bind. Enkelte eksempler er også hentet herra. (Bøgerne kan indes på ovennævnte adresse) juni 04 Mogens Oddershede Larsen
Indhold INDHOLD Optimering or unktion a variabel... Optimering or unktion a variable. Indledning... 3. Graisk remstilling... 3.3 Partiel dierentiation... 4.4 Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan... 5.5 Partielle aledede a højere orden... 7.6 Lokalt ekstrenum... 8.7 Talorpolnomium... 0.8 Bestemmelse a arten a et stationært punkt....9 Globalt ekstrema... 5 3 Optimering or unktion a mere end to variable... 7 4 Usikkerhedsberegning... 9 4. Dierential... 9 4. Fejlvurdering... 0 4.. Maksimal ejl... 0 4.. Statistisk usikkerhed... 5 Grundlæggende operationer med TI89... 5 Opgaver... 6 Facitliste... 3 Stikord... 3
Optimering or unktion a variabel Optimering or unktion a variabel Funktioner a variabel = (), deres gra i et retvinklet koordinatsstem, dierentiation, bestemmelse a lokale ekstrema osv. osv. er velkendt. Imidlertid vil vi kort repetere hvorledes man bestemmer ekstrema. Ved et stationært punkt orstås et punkt hvor dierentialkvotienten er 0, dvs. hvor tangenten til graen er vandret. På igur. er skitseret en unktion, hvor man kan se orskellige stationære punkter. Man kan endvidere bestemme om et stationært punkt er lokalt maksimumspunkt eller minimumspunkt ved at lave en ortegnsdiskussion a ( ) (se nederst på igur.) Fig. Fortegnsdiskussion or () Imidlertid kan man som regel også agøre arten a et stationært punkt ved at betragte de aledede a. orden i punktet. Sætning. Lad 0 være et stationært punkt or en unktion (dvs. ( ) ). ( ) 0 er et lokalt minimumspunkt 0 0 ( ) 0 er et lokalt maksimumspunkt 0 0 0 0 ( 0 ) 0 nærmere undersøgelse må oretages Begrundelse: Et polnomium a. grad som har de samme dierentialkvotienter i 0 er ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) (Talorpolnomium)!! Approksimeres unktionen med dette polnomium i et stationært punkt, hvor `( 0 ) = 0 bliver polnomiet til et andengradspolnomium. Hvis ( 0 ) 0 vender parablen grenene opad, så der er et minimum 0. Hvis ( ) vender grenene nedad så der er et maksimum i 0. 0 0
. Optimering or unktion a variabel Eksempel. Find ved hjælp a de anden aledede alle maksimum- og minimumspunkter or unktionen 3 ( ) 6 3 Løsning Håndkrat: ( ) 6 4 ( 6) ( ) 5 0 3 ( ) 3 Da () 3 5 0 har unktionen et lokalt minimum or = 3 Minimumspunkt 3, Da ( ) 5 0 har unktionen et lokalt maksimum or = - Maksimumspunkt, 8 3 TI-Nspire: De anden aledede indes på PC på dokumentværktøjslinien under matematikskabeloner På lommeregner vælges menu, dierential-og integralregning, dierentialkvotient, Maple Man inder de anden aledede under calculus
. Graisk remstilling Funktion a variable. Indledning Vi vil i dette kapitel se på unktioner a variable z = (, ), deres gra i et tredimensionalt koordinatsstem, dierentiation og bestemmelse a lokale ekstrema... Graisk remstilling. En unktion a variable z (, ) vil graisk sædvanligvis kunne remstilles i et rumligt koordinatsstem som en lade med bakker og dale. På igur. er der vist en unktion med et lokalt maksimum tegnet ved hjælp a TI-Nspire. Figur. Gra or unktionen (, ) 00e ( ) ( ) Ti-Nspire:Graer Vis 3D-grategning indtast unktion Se på iguren,trk på højre musetast og ændre indstillinger passende. På igur. er der tegnet en unktion med et saddelpunkt tegnet ved hjælp a Maple (disse begreber deineres mere præcist i et senere kapitel Fig... Gra or unktionen h (, ) ( ) ( 3) 0 Maple: Skriv plot3d((-) -(-3) -@+0,=-5..0,=-5..0), trk på iguren og ændre den. 3
. Funktion a variable Sædvanligvis er det alt or besværligt at tegne en rumlig lade, som klart viser hvor der er et minimum- eller et maksimum. Uden de ølgende beregninger ved man jo heller ikke hvor et sådant punkt er beligende..3 Partiel dierentiation Hvis man or unktionen z (, ) holder konstant på værdien 0, så vil (, 0 ) være en unktion a én variabel. Er denne unktion dierentiabel, så kan man på sædvanlig måde inde dens alede unktion. Denne kaldes s partielle aledede med hensn til og skrives eller. (, 0 ) (, 0 ) Tilsvarende deineres s partielle aledede med hensn til. Tegnet læses "blødt d" og markerer, at unktionen har lere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til d d ) ikke uden videre kan opattes som en brøk i beregninger. Eksempel.. Partiel dierentiation Lad unktionen være givet ved (, ) 4 a) Find de to partielle aledede og b) Find og. (,) 0 (,) 0 Løsning: a) Idet vi opatter som en unktion a alene, dvs. opatter som en konstant, ås umiddelbart (, ) 0 Tilsvarende ås (, ) b) Ved indsættelse a (,) = (0.) ås og (,) 0 (,) 0 TI-Nspire og Maple Menuerne er de samme som vist i eksempel. Såremt det a sammenhængen klart remgår, hvilket punkt (,) der er tale om, udelades det ote a betegnelserne, således at man kun skriver og Andre skrivemåder. z I stedet or skrives ote eller når z (, ). 4
.4 Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan Undertiden skrives z hvor der orneden er angivet, hvad de andre variable er. Eksempelvis kan energien E a en gas E enten opattes som en unktion a trk og rumang eller som en unktion a trk og temperatur. Deror ville P E E tvetdigt smbol, mens og er entdige. P V P T være et.4. Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan De partielle aledede kan som anskueliggøres i eksempel.4 geometrisk tolkes som hældningskoeicienter til tangenter. Eksempel.. Geometrisk betdning a partielle aledede. På ig..3 er tegnet graen or (, ) or 4 0 og På iguren er k skæringskur- ven mellem planen = og graen or mens k er skæringskurven mellem planen = 0 og graen or. Fig..3. De to partielle dierentialkvotienter i (0,) er hældnings koeicienterne or tangenterne T og T. er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k l or (,) = (0,) (,) 0 er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k or (,) = (0,). (,) 0 Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet (0,). 5
. Funktion a variable Tangentplan Lad unktionen være dierentiabel i et punkt ( 0, 0) og lad z0 ( 0, 0). Lad k være skæringskurven mellem planen 0 og graen or og T være tangenten til k med røringspunkt i (, ). Tilsvarende er og graen or og T er tangen- planen 0 ten til k. k 0 0 er skæringskurven mellem Fig..4. Tangentplan i (, ) Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet ( 0, 0). Ligningen or tangentplan z (, ) (, ) 0 0 0 0 0 ( 0, 0 ) 0 Bevis: Lad or kortheds skld ' ( 0, 0) og ' ( 0, 0) 0 0 Da er hældningskoeicienten or tangenten T til kurven k har en retningsvektor or T koordinaterne a 0 0 0 Tilsvarende er b retningsvektor or T. En normalvektor til tangentplanen er ølgelig ab 0 Planens ligning bliver deror ( 0) ( 0) ( zz0) 0 Eksempel.3. Tangentplan Lad der være givet unktionen (, ). 4 Find ligningen or tangentplanen til unktionen i punktet (0,). Løsning: I eksempel.3 andt man or unktionen (, ) at og 4 (,) 0. Idet ås ligningen: (,) 0 (,) 0 z ( 0) ( ) z 6
.5 Partielle aledede a højere orden.5. Partielle aledede a højere orden. Har partielle aledede a ørste orden i deinitionsmængden D, kan og (, ) (, ) igen opattes som unktioner a to variable i D. Hvis disse ne unktioner selv har partielle aledede, siges at have partielle aledede a anden orden i D. Disse skrives,, og For de to sidste blandede aledede gælder, at de sædvanligvis er ens, dvs. Eksempel.4. Partielle aledede a anden orden I eksempel.3 andt man or unktionen de partielle aledede (, ) 4 og (, ) (, ) a) Find de partielle aledede a anden orden or unktionen. b) Find værdierne a ovennævnte partielle aledede i punktet (,) = (,). Løsning: a) Da de blandede anden alede er ens, er det unødvendigt at beregne den anden kombination b) 3 (, ), (, ), (, ), TI-Nspire+ Maple; som beskrevet i eksempel. Eksempelvis: a) TI-Nspire Maple: b) I Maple vælges smbolikken under Epression og Calculus Dette gælder or alle unktioner som er dannet a de sædvanlige stamunktioner 7
. Funktion a variable Analogt deineres partielle aledede a højere end anden orden, og også or disse kan dierentiationernes rækkeølge normalt vælges vilkårligt,.eks. 3 3 3.6. Stationære punkter Lad P 0 være et indre punkt i deinitionsmængden D or en unktion og M D være en omegn a P 0. Hvis ( P ) ( P) or alle punkter P i M, så kaldes denne værdi or s lokale 0 minimum, og P 0 or et lokalt minimumspunkt. Hvis ( P0 ) ( P) or alle punkter P i M, så kaldes denne værdi or s lokale maksimum, Ved et lokalt ekstremum orstås enten et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Er ( P ) ( P) or alle punkter P i deinitionsmængden D, så kaldes denne værdi or s 0 globale minimum eller mindsteværdi, og er ( P0 ) ( P) or alle punkter P i deinitions- mængden D, så kaldes denne værdi or s globale maksimum eller størsteværdi. Nedenstående igur leder os ind på, at det som et led i ekstremumsbestemmelser kan være nttigt at se på punkter, hvor graen har "vandret tangentplan" - såkaldte stationære (eller kritiske) punkter. Fig.5. Stationære punkter På iguren har g vandret tangentplan i, og 3, globalt maksimum i 3 og globalt minimum i 4 For dierentiable unktioner a variable vil man deror se på de punkter hvor unktionen har vandret tangentplan, dvs. hvor de partielle aledede er 0. 8
Deinition a stationært punkt. Lad være en dierentiabel unktion a variable med deinitionsmængde D. Et indre punkt ( 0, 0) i D kaldes et stationært punkt or, hvis ( 0, 0 ) 0 ( 0, 0 ) 0 Eksempel.5 Stationære punkter. En unktion er givet ved (, ) 4 5 Find de stationære punkter or. Løsning: Håndregning: De stationære punkter or indes a ligningssstemet 0 3 4 44 0 () 8 0 0 ( ) 5 A ligning () ås 0 5 8 4 (3). Indsættelse i ligning() giver: 4 3 3 4 44 0 0 4 0 0 4 0 8 Tilælde : Indsættes i ligning (3), ås =0 Stationært punkt:.6 Stationære punkter 0 (, ) 00, Tilælde : Indsættes = i ligning (3), ås = 5 Stationært punkt: (, ) 5, Tilælde : Indsættes = - i ligning (3), ås = 5 Stationært punkt: (, ) 5, TI-Nspire: Hvis der ikke er en eksakt løsning skal man muligvis i stedet bruge nsolve Maple: (, ) ( 00, ) (, ) ( 5, ) (, ) ( 5, ) 9
. Funktion a variable.7. Talorpolnomium Skal man skae sig et overblik over en unktions "udseende", kan det være nødvendigt at se på kende arten a de stationære punkter, dvs. vide om de er lokale maksima, minima eller såkaldte saddelpunkter. Som or en unktion a variabel kunne vi bestemme arten a det stationære punkt ved at tilnærme unktionen med et andengradspolnomium. Den samme teknik benttes nu ved at tilnærme en unktion i variable med et andengradspolnomium, som har samme partielle aledede a ørste- og anden-orden som unktionen i et punkt (a,b). Talorpolnomium a. orden Deinition Lad en unktion (,) have kontinuerte partielle aledede a vilkårlig orden i et punkt ( 0, 0 ). Idet de partielle aledede i punktet kort skrives (, ), 0 0 ( 0, 0 ), ( 0, 0), ( 0, 0), ( 0, 0) orstås ved et Talorpolnomium a anden orden polnomiet T(,) = ( 0, 0) + ( 0, 0) ( 0) ( 0, 0) ( 0)! ( 0, 0) ( 0) ( 0, 0) ( 0) ( 0) ( 0, 0) ( 0)! Det ses umiddelbart ved dierentiation, at (,) og T(,) har samme partielle aledede a anden orden. Er ( 0, 0 ) et stationært punkt går Talorpolnomiet over i T(,) = (, ) (, )( ) (, )( )( ) (, )( )! Eksempel.6 Talorpolnomium 4 4 I eksempel.5 andt vi, at unktionen (, ) havde de stationære 5 punkter (0,0) og (;5) og (-,5) Idet de anden aledede er 8 ås 4 4, 4,, 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nr Talorpolnomium (0,0) 0 4 0 8 5 T(,)= 4 8 5 (,5) 4 3-8 8 5 T(,) = 8 43( ) 8( )( 5) ( ) 5 3 (-,5) 4 3 8 8 5 T(,) = 8 43( ) 8( )( 5) ( ) 5 0
.8 Bestemmelse a arten a et stationært punkt.8 Bestemmelse a arten a et stationært punkt Hvis man er så heldig, at den blandede anden aledede er 0, kan man umiddelbart bestemme om det stationære punkt er et lokalt maksimum, minimum eller et saddelpunkt. Havde eksempelvis polnomiet været T(,) = 0 + 3@(-) + 5@(+) kan vi ved at sætte = - = + og z =T(,) - 0 omskrive polnomiet til z 3 5 Hera ses, at da de to parabler vender grenene opad, så har unktionen minimum i (,-) Analogt ses, at hvis polnomiet har negative koeicienter har unktionen et maksimum i det stationære punkt. Endelig ses, at hvis det koeicienterne har orskelligt ortegn, så vil den ene parabel vende grenene opad og den anden vende grenene nedad, hvilket medører, at unktionen har et saddelpunkt i det stationære punkt (de 3 igurer illustrerer dette). Problemet er nu, at hvis T(,) indeholder et produktled som i eksempel.4, så kan man ikke umiddelbart angive arten a det stationære punkt. For at kunne inde ud a det, må man skite variable på en sådan måde, at polnomiet omskrives i det ne koordinatsstem til et polnomium uden produktled. Hvis koeicienterne så begge er positive har unktionen et minimum, er koeicienterne negative har polomiet et maksimum, mens orskelligt ortegn giver et saddelpunkt. Følgende sætning inder koeicienterne. Sætning. (undersøgelse a arten a et stationært punkt). Lad (, ) være et stationært punkt or en dierentiabel unktion, og sæt 0 0 A (, og 0, 0) B 0 (, 0) C ( 0, 0) A z B Lad determinantligningen have rødderne og B C z 0 z z Der gælder da ) z og z begge positive: har lokalt minimum i (, ) 0 0 ) z og z begge negative: har lokalt maksimum i (, ) 0 0
. Funktion a variable 3) z og z har orskelligt ortegn: har saddelpunkt i ( 0, 0) 3) z = 0 eller z = 0: Nærmere undersøgelse må oretages. A B Regneteknisk er det lettere, at inde egenværdierne z og z i matricen H= B C H kaldes Hessian matricen (eller Hess-matricen) Bevis (or kortheds skld er en detaljeret orklaring på visse påstande anbragt sidst i beviset) For nemheds skld antages, at har det stationære punkt (0,0), og at (0,0) = 0, hvorved Talorpolnomiet a anden grad bliver A B C (se evt. orklaring ) hvor B 0 Polnomiet omskrives nu til matriormen (, ) H hvor (se evt. orklaring ) H A B B C Vi ønsker nu at dreje koordinatsstemet til en position, så produktleddet orsvinder. q q Vi år (se evt.orklaring 3), eller kort q q Q T Idet (, ) (transormeret) ås (, ) H Q T H Q Idet Q T T T Q (se evt. orklaring 4) haves T (, ) Q H Q Vi ønsker nu, at vi kan inde Q, så Q T d 0 HQ D hvor D er en diagonalmatri D= 0 d Da Q Q (se evt. orklaring 5) haves Q HQ D HQ QD A B q q A q B q A q B q HQ B C q q Bq Cq Bq Cq q q d q d q d QD q q 0 0 d q d qd Da to matricer kun er ens, hvis de tilsvarende elementer er ens, har vi Aq Bq qd Aq Bq q d Bq Cq q d Bq Cq qd Betragtes ørste søjle i () ås ligningssstemet ( Ad) q Bq 0 Bq ( Cd) q 0 A d B Hvis ligningsstemets determinant 0 har ligningsstemet kun en løsning q 0 q 0 B C d Da vi ønsker, at inde en egentlig løsning, må determinanten være 0 Vi må deror have, at A d B B C d 0 Det andet ligningssstem i () har en determinantligning, der har de samme rødder (se evt. orklaring 6) Determinantligningen har orskellige rødder d og d (se evt. orklaring 7) De to værdier d og d kaldes egenværdier or matricen H. Vi har dermed ået Talorpolnomiet omormet til en lignng uden produktled, og kan så ud ra ortegnet or d bestemme arten a lokalt ekstrema. Sætningen er dermed bevist. () d og
.8 Bestemmelse a arten a et stationært punkt Forklaring Idet de partielle aledede a ørste orden er 0 i det stationære punkt bliver Talorpolnomiet T(,) = ( 0, 0) ( 0, 0) ( 0) ( 0, 0) ( 0) ( 0) ( 0, 0) ( 0)! Indsættes A, B og C samt sættes 0, 0 og z T(, )_ ( 0, 0) går polnomiet over i z ( A B C ) Forklaring. A B, ( A B, BC ) og B C ( A B, BC ) A B B C A B Forklaring 3 Lad basisvektorerne i det drejede koordinatsstem have koordinaterne i og q q i q q Lad punktet P have koordinaterne (,) i det oprindelige koordinatsstem og koordinaterne (, ) i det drejede koordinat- sstem (se iguren). j j Vi har da, at vektoren OP i j i j i 0 q q i eller 0 q q Hea ås q q q q q q Omskrives til matriorm haves q q Forklaring 4 Q T T T q q q q T q q q q Q q q (, ) q q q q q q T T Hera ses, at Q T Q Forklaring 5 QQ T q q q q q q qq q q 0 E hvor E er en enhedsmatri. q q q q qq qq q q 0 T T Analogt ses, at QQ E. Hea ølger, at Q Q. Forklaring 6 Aq Bq q d ( Ad) q Bq 0 A d B q B q C q q d B q ( C d) q 0 B C d q Determinanten bliver den samme. da B( B) BB B Forklaring 7 A d B 0( Ad)( Cd) B 0 d ( AC) d AC B 0 B C d Andengradaligningen har diskriminanten ( AC) 4( AC B ) A C AC4AC4B ( A B) 4B Da B 0, er diskriminanten positiv og ligningen har deror altid orskellige rødder. 3
. Funktion a variable Eksempel.7. Lokale ekstrema I eksempel.5 andt man at de stationære punkter or unktionen givet ved 4 4 (, ) 5 var (, ) ( 00, ) (, ) ( 5, ) (, ) ( 5, ) Agør or hver a ovennævnte stationære punkter, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Løsning: TI-Nspire Lokalt minimum i (0,0) Saddelpunkt i (,5) Saddelpunkt i (-,5) Egenværdier indes ved at vælge Matricer og vektorer, avanceret, egenværdier Maple Minimum i punktet (0,0) Egenværdier indes ved at trkke på matricen og vælge Eigenvalues De to andre punkter bestemmes analogt. 4
.9 Globalt ekstremum.9 Globalt ekstrema Ved optimeringsproblemer er man interesseret i at inde et globalt ekstremum or et konkret problem. Følgende eksempel illustrerer remgangsmåden, som jo er nært beslægtet med de tilsvarende problemer or unktion a. variabel. Eksempel.8. Optimering En retvinklet kasse uden låg skal have et rumang på 3m 3. Kassen skal konstrueres således, at dens overlade bliver mindst (mindst materialeorbrug). Find kassens optimale dimensioner. Løsning: ) Optimeringsproblemet opstilles. Lad længde, bredde og højde a kassen være, og z. Vi har da Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen g(,, z) z z i mængden S givet ved begrænsningen z 3,, 0, 0, z 0. ) Problemet reduceres. Begrænsningsligningen benttes til at reducere antallet a variable. 3 z 3 z. Ved indsættelse a z 3 i g og de øvrige begrænsninger ås 3 3 64 64, 3 0, 0, 0. Problemet kan deror nu reduceres til Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen (, ) 64 i 64 mængden S givet ved begrænsningerne 0, 0 (. kvadrant) 3) De mulige ekstremumspunkter bestemmes. Ti-Nspire Samlet har vi altså undet stationært punkt (4,4). 4) Vurdering a, at det stationære punkt er et globalt minimumspunkt 5
. Funktion a variable Hera ses, at unktionen har et lokalt minimum i punktet (4,4) At det også er et globalt minimumspunkt snes rimeligt, da det er det eneste stationære punkt i deinitionsmængden. Endvidere ses at 0 0 så går (, ) Anvendes Maple til at tegne unktionen ås ølgende tegning: ses, at unktionen har globalt minimum i (4,4). Dimensionerne er = 4 m, = 4 m og z = m Hera 6
3 Funktion a mere end variable 3. Optimering or unktioner a mere end variable De deinitioner og begreber som er gælder or unktioner a variable kan umiddelbart generaliseres til unktioner a 3 og lere variable. Graisk remstilling Graen or en unktion a 3 variable muligt at tegne en niveaulade hvor (,, z) (,, z) kan naturligvis ikke tegnes i et 4-dimensionalt rum. Derimod er det har en konstant værdi k. Eksempelvis er en såkaldt orbital eller bølgeunktion ( z,, ) or et atom anskueliggjort ved en niveaulade or på igur 3.. (Orbitaler spiller en stor rolle or orståelsen a atomers og moleklers egenskaber). Et andet eksempel er nogle kugleormede niveaulader or tngdepotentialet igur 3.. a z omkring jorden vist på Fig. 3.. Niveaulade or en atomorbital ( z,, ) Fig. 3.. Niveaulader or tngdepotentialet omkring jorden For at inde et lokalt ekstremum er beregningerne ganske analogt med de or variable. Deinition a stationært punkt. Lad være en dierentiabel unktion (,,z) a 3 variable med deinitionsmængde D. Et indre punkt (,, z ) i D kaldes et stationært punkt or, hvis 0 0 0 z z ( 0, 0, 0) 0 ( 0, 0, 0) 0 ( 0, 0, z0) 0 z 7
3. Optimering or Funktioner a mere end variable Sætning 3. Lokalt ekstremum or unktion a 3 variable Lad Lad være et stationært punkt or en dierentiabel unktion a 3 variable. a ( 0, 0, z0) a a z a ( ) ( ) ( ) Lad H være matricen H = a a z a ( ) ( ) ( ) z a z a ( ) ( ) ( a ) z Lad H have egenværdierne u, u og u 3. Der gælder da ) u, u og u 3 alle positive: har lokalt minimum i a (,, z ) 0 0 0 ) u, u og u 3 alle negative: har lokalt maksimum i a (,, z ) 0 0 0 3) u, u og u 3 har ikke samme ortegn: har intet lokalt ekstremum i a ( 0, 0, z0) 4) Hvis én eller lere a rødderne u, u og u 3 er 0 og de øvrige har samme ortegn, : Nærmere undersøgelse må oretages. Eksempel 3.. Lokale ekstrema or unktion a 3 variable Lad unktionen være bestemt ved (,, z) e z z 4 3 a) Find de stationære punkter or b) Undersøg arten a de stationære punkter undet i spørgsmål a) Løsning: I det ølgende skrives or kortheds skld e 4 3 e a) z z a b) Stationært punkt (,, z)=(, 3,) Hera ses, at har et lokalt minimum i punktet (,, z)=(, 3,) 8
4 Usikkerhedsberegning 4.. Dierential Dierential or unktion a variabel 4. Dierential Følger vi graen or en dierentiabel unktion ( ) ra et punkt med abscissen 0 til et punkt med abscissen 0 bliver unktionstilvæksten ( 0 ) ( 0 ) jævnør igur igur 4.. Fig. 4.. Tilvækst i tangents retning I stedet or at ølge graen ra 0 til 0 kunne vi som en tilnærmelse ølge tangenten i 0. I så ald bliver - tilvæksten ( 0 ) som kaldes dierentialet d eller d. For den ahængige variabel, gælder d (betragtes den identiske unktion ( ) år vi nemlig d d, dvs. d ) Vi har deror d ( ) d. 0 d Divideres med d, ås den kendte sammenhæng. d Bemærk, at man altid gerne må dividere med d, når blot d 0. Navnet dierentialkvotient betder netop en kvotient mellem dierentialer. Eksempel 4.. Dierential Find dierentialet a unktionen ( ) 5 4 Løsning: Dierentialet d ( ) d 0 3 d Dierential or unktion a variable Lad unktionen være dierentiabel i et punkt ( 0, 0) og lad z0 ( 0, 0). Går vi ra punktet ( 0, 0 ) til punktet ( 0, 0 ) bliver unktionstilvæksten z ( 0, 0 ) ( 0, 0) jævnør igur.9. I stedet or a ølge graen or, kunne vi som en tilnærmelse ølge tangentplanen i (, ) 0 0 9
4. Usikkerhedsberegning Da tangentplanen har ligningen z (, ) (, ) 0 0 0 0 0 bliver z- ( 0, 0 ) 0 tilvæksten z (, ) (, ) 0 0 0 0 ( 0, 0 ) Denne z-tilvækst, som ås ved at ølge tangentplanen, kaldes dierentialet d eller d z. Ligesom or unktioner a variabel gælder, at man kan erstatte med d og med d, hvorved dierentialet kan skrives d d d Ved visse anvendelser kaldes dierentialet or det totale dierential a. Eksempel 4.. Dierential Lad unktionen være givet ved z (, ) 4 ) Beregn z når punktet (,) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) ) Beregn dz når punktet (,) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) Løsning: ) z (. 03,. 0 98) (,). 48463. 5 0. 053 ) dz d d 0 0 0 0 0 hvor d og d = -0.0 0, 0, 003. dz5. 0. 033( 0. 0) 0. 050 4. Fejlvurdering. Ved enhver måling kan den siske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behætes altid med en vis usikkerhed. Det kan skldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren a instrumentet osv. Sstematiske ejl er ejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere or temperaturens indldelse på måling a et stos hårhed. Er målingen beriet or sstematiske ejl, er der kun tilbage tilældige ejl. Eksempelvis vil der ote på et instrument være anørt en instrumentusikkerhed, som viser hvor nøjagtigt instrumentet kan måle. En sådan usikkerhed kan eksempelvis indes ved at man oretager en måling lere gange eventuelt a orskellige personer. 4.. Maksimal ejl eller usikkerhed Den maksimale usikkerhed er så deineret som den numerisk største avigelse mellem en målt værdi og gennemsnittet. Er eksempelvis en temperatur angivet som 30.45 0 0.05 menes hermed, at i værst tænkelige tilælde kunne målingen være 30.40 0 eller 30.50 0. Relativ ejl eller relativ usikkerhed Ved den relative ejl (usikkerhed) på en størrelse orstås størrelsen 0
4. Fejlvurdering Eksempel 4.3. Maksimal og relativ ejl Lad = 53 m og = 5 m a) Find den maksimale ejl z på z = - b) Find den relative ejl på z. Løsning: Det ses umiddelbart, at z = 53-5 = 8 og a) z = + =3 m dvs. z = 8 3 m 3 b) rel(z) = 0. 054. 34% 8 Den maksimale ejl (eller usikkerheden) på to størrelser kan jo godt være den samme,.eks. cm, men hvis den ene størrelse er usikkerheden på diameteren a et rør på 0 cm og den anden er højden på et hus, så er det klart, at det er den relative usikkerhed, der siger mest. Ved mere komplicerede udtrk er det ikke som i eksempel 4,3 muligt direkte at beregne den maksimale usikkerhed. Man må så i stedet erstatte bentte dierentialet ved beregningen. Det svarer jo til, at man erstatter unktionen med dens tangentplan. Dette er tilladeligt når blot usikkerhederne og er små. Der gælder ølgende: Maksimal ejlberegning Den maksimale absolutte ejl z or unktionen z (, ) i punktet ( (, ) er z orudsat ejlene og er små (, ) (, ) 0 0 0 0 Koeicienterne og kaldes så s ølsomhed overor ejl på henholdsvis og. 0 0 Formlen kan umiddelbart udvides til at gælde or en unktion a mange variable. Eksempel 4.4 Maksimal usikkerhed En kugleormet tank har radius r. Med en pejlestok måler man væskehøjden h or at kunne beregne væskerumanget V h ( 3rh) 3 a) Angiv et den maksimale ejl på V, når r = 0. m og h = 0. 0.0 m b) Angiv den maksimale relative ejl på V. Løsning (håndregning) 3 V ( h r h ) 3 V V a) ( hrh ) Indsættes r = og h = 0. ås h h ( 0. 0. ) 09. 0. 5969 V V h Indsættes r = og h = 0. ås r r 0. 0034. V 0. 5969 0. 00. 034 0. 0. 009
4. Usikkerhedsberegning 3 b) V =π@ V ( 0. 0. ) 0. 0304 3 Relativ maksimal usikkerhed = 0. 009 0. 30 30% 00304. TI-Nspire 4.. Statistisk usikkerhed I statistikken beregner man midddelværdi og spredning, og spredningen er et udtrk or den statistiske usikkerhed. Der orudsættes, at disse begreber er kendt. For at orklare en ormel or beregning a usikkerhed i sammensatte udtrk a variable, vil vi ørst se på et simpelt tilælde hvor en statistisk variabel Z = a@x+by +c, hvor X og Y er statistiske variable med spredningen ( X ) og ( Y), og a, b og c er konstanter. Hvis de to variable er uahængige gælder det, at ( Z) a ( X) b ( Y) Eksempel 4.5. To variable. Insektpulver sælges i papkartoner. Lad være vægten a pulveret, mens er vægten a papkartonen. I middel ldes der 500 gram insektpulver i hver karton med en usikkerhed på 5 gram. Kartonen vejer i middel 0 gram med en usikkerhed på.0 gram. z = + er da bruttovægten. Det antages, at de variable er uahængige, dvs, der er ingen sammenhæng mellem vægten på pulver og vægten på karton. De er måske lavet på orskellige abrikker. Find middelværdien på bruttovægten E(Z), den statistiske usikkerhed ( Z) og den relative usikkerhed på Z Løsning: X = vægt a pulver E(X) = 500, σ(x) = 5 E(Y) = 0, σ(y) = Vi har nu, at E(Z) = 500 + 0 = 50 Spredningen på z er σ(z) = 5 6 5. 099 ( Z). Relativ usikkerhed:. EZ ( ) 5 099 00 50 %
4. Fejlvurdering Er z en unktion a variable, så kan vi tilnærme unktionen med Talorpolnomium a grad (graen erstattes med sin tangentplan). Vi kan deror beregne usikkerheden a ormlen ( Z) z (, ) ( ) (, ) ( ) X z 0 0 0 0 Y Koeicienterne og kaldes så s ølsomhed overor ejl på henholdsvis og. Eksempel 4.6. Beregning a usikkerhed på udtrk i variable Et clindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3cm med en spredning på 0. cm og h = 0 cm med en spredning på 0. cm ) Find den statistiske usikkerhed på hullets volumen V = r h ) Find den relative ejl på V 3) Har V størst ølsomhed overor r eller overor h? Løsning ) ) Håndregning: V V rh og dermed or r = 3 og h = 0, er r r 0 376. 99 V V r og dermed or r = 3 og h = 0, er h h 9 87. ( V ) 37699, ( 0. ) 87. ( 0. ) 38. ) V = 565.487. Den relative ejl er ( V ) 38. 00674. 67%. V 565. 485 3) V har størst ølsomhed over or ejl på r, da dv dr TI-Nspire: ) dv 376. 99 8. 7 dh ) σ(v) = 38. relativ ejl = =6.7% 3
4. Usikkerhedsberegning Formlen kan naturligvis generaliseres til unktioner a mange variable. Eksempel 4.7 Beregning a usikkerhed på udtrk i 3 variable Måles trkket P, volumenet V og temperaturen T a en ideal gas, optræder der tilældige måleejl, PV som gør værdierne usikre. Beregnes molantallet n nu a ligningen PV nrt n, RT bliver værdien a n deror også usikker. Vi ønsker at kunne beregne usikkerheden på n ud ra usikkerhederne på P, V og T. Gaskonstant R 834. J K mol. P 3400 Pa, V 567. m 3, T 678 K med usikkerheder ( P) 000 Pa, ( V ) 006. m 3 og ( T) 3K. Det kan antages, at måleresultaterne or P, V og T er statistisk uahængige. Find den statistiske usikkerhed ( n) Løsning TI-Nspire σ(n) =.74 mol 4
5. Grundlæggende operationer med TI89. 5 Grundlæggende operationern med TI89 Lad unktionen være givet ved (, ) 4 ) Indlægge unktion: ^A^/4 STO (,) STO står i række or neden, ) Finde partielt aledede: (, ) d(((,),) dierentialet d står over 8-tallet 3) Finde partielt aledede i punkt (,3) d(((,),)*= and =0 : den lodrette streg står til venstre i jerde række or neden og kan læses orudsat at and står i Catalog 4) Finde partielt aledede a anden orden: (, ) : d(d((,)),,) 5) Løse ligningsstem =0 og =0 (, ) (, ) F, solve(d((,),)=0 and d((,),)=0,{,}) 6) Oprette en matri A: Lad matricen have rækker og 3 søjler APPS, Data/Matri Enter New Udld Tpe = Matri, Variable = A, antal rækker= og søjler = 3, ENTER, ENTER. Udld skemaet med matricen A, Home 6) Udregne determinant a matri a: MATH nr 4: MATRIX, ENTER nr det(a) MATH står over 5-tal 5
Funktion a eller lere variable Opgaver Opgave Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ). Der ønskes hovedsageligt betragtet punkter, hvor (, ), og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. a) Tegn i et rumligt koordinatsstem graen or unktionen ved anvendelse a et matematikprogram b) Agør herudra om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave Find de partielle aledede a ørste og anden orden or ølgende unktioner 3 3 ) (, ) 4 ) e (, ) 3) (, ) ln 4 Opgave 3 Find ligningen or tangentplanen or ) (, ) i punktet (,) = (-,3) ) (, ) i punktet (,) = (, -) Opgave 4 Find de stationære punkter or unktionerne 3 3 ) (, ) 97 ) (, ) 33 636 3) (, ) cos( ), 3 ; 4) (, ) 58 Opgave 5 Lad virkningsgraden or en motor være givet tilnærmet ved 3 3 (, ) 30.,hvor og er to variable. ) Find de partielle aledede a. og. orden a. ) Find de partielle aledede a. og. orden a i punktet (-,). 3) Er punktet (-,) et lokalt maksimumspunkt. 6
Opgaver Opgave 6. Find alle lokale maksimums- og minimumspunkter or ølgende unktioner: ) (, ) 4 ) (, ) 4 3) (, ) 3 3 4) (, ) 3 5) (, ) 3 3 6) (, ) 5 4 7) (, ) 8 4 4 4 4 8) (, ) ( ) 9) (, ) 0) (, ) 6 Opgave 7. Vis, at unktionen givet ved (, ) 4 8 har 5 stationære punkter og agør or hvert, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Opgave 8. 4 a) Find samtlige stationære punkter or unktionen (, ) 4 b) Betragt de stationære punkter (, ) or hvilke 0. Agør or hvert a disse punkter, om punktet er et lokalt maksimumspunkt, et lokalt minimumspunkt eller et saddelpunkt. Opgave 9. Find de stationære punkter or unktionen (, ) og agør or 5 hvert, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Opgave 0 En kasseormet tank skal konstrueres, så den år et rumang på 000 m 3. Bund, sider og låg koster henholdsvis 4000 kr./m, 000 kr./m og 000 kr./m. Dimensionér tanken således, at prisen bliver mindst, idet dog ingen a kanterne må overstige 0 m. 7
Funktion a eller lere variable Opgave. z En plan har ligningen, hvor a b c a, b4og c > 5. Planen skærer koordinatakserne i punkterne A, B og C (se iguren). Koordinatsstemets begndelsespunkt kaldes D. Værdierne a a, b og c ønskes bestemt, således at punktet P = (,4,5) ligger på planen gennem A, B og C, og tetraederet ABC s volumen V abc bliver mindst 6 mulig. Det oplses, at der eksisterer værdier a a, b og c med de ønskede egenskaber. Opgave Find de partielle aledede a ørste orden or ølgende unktioner 3 3 ) (,, z) z z ) (,, z) sin( z) Opgave 3 z Find alle lokale ekstremumspunkter or de ølgende unktioner ) ) 3) Opgave 4 Find dierentialet a unktionen ) (, ) 4 4 ) (, ) 4 i punktet (,0) Opgave 5 En bunke har orm som en kegle med højde h og grundladeradius r. Man måler h og r, or at kunne beregne rumanget V r h 3 a) Angiv den maksimale ejl på V, når r = 0 0. m og h = 0 0. m b) Angiv den maksimale relative ejl på V. 8
Opgaver Opgave 6 En olietank er kasseormet med længden L = 3 m, bredden B = m og højden H = m. Tanken er nedgravet vandret, men ejeren år mistanke om, at den hælder en vinkel u. For at inde u, hælder ejeren V = m 3 olie i den tomme tank, og måler oliestandens højde h i den højeste side til 0.0 m.(se iguren) Vinklen u kan indes a ormlen V h u Arctan B L L ) Find vinklen u. ) Det anslås, at V= 00. og h = 0. 0.0. Find den maksimale absolutte ejl på u (alle resultater med 3 betdende cire) 3) Angiv den maksimale relative ejl på u Opgave 7 Man har målt vægten a en karton indeholdende tableter a en vis tpe imod hovedpine til 70 g med usikkerhed på 0.04 g Vægten a kartonen er målt til g med en usikkerhed på 0.0 g Det kan antages, at måleresultaterne or R og H er statistisk uahængige. Beregn den samlede vægt V a tabletterne, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 8 En mængde råmateriale til en produktion ligger i kegleormet bunke. En kegle med radius R og højde H har volumenet V R H. 3 Man har målt R. 0 m, H 0. m, med usikkerheder ( R) 0. m, ( H) 0. m. Det kan antages, at måleresultaterne or R og H er statistisk uahængige. Find volumenet V, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 9 For en rektangulær lade har man målt længden L og bredden B : L. 3 m, B 84. m med usikkerheder ( L) 0. m, ( B) 0. m. Det kan antages, at måleresultaterne or L og B er statistisk uahængige. Find ladens areal A, usikkerheden ( A), samt den relative usikkerhed rel( A). 9
Funktion a eller lere variable Opgave 0 For et bassin a orm som en retvinklet kasse har man målt længden L, bredden B og højden H L 8. 0 m, B. 3 m H 45. m med usikkerheder ( L) 0. m, ( B) 0. m, ( H) 0. m. Det kan antages, at måleresultaterne or L, B og H er statistisk uahængige. Find bassinets volumen V, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave På den viste orsøgsopstilling kan man oretage målinger til bestemmelse a et stos længdeudviddelseskoeicient. l er længden a stangen ved starttemeraturen t. l er længden a stangen ved sluttemeraturen t. Under orsøget er ølgende størrelser bestemt. l : middelværdi 500 mm med spredning 0. mm l : middelværdi 500.48 mm med spredning 0. mm t - t : middelværdi 78 0 med spredning 0. 0 C Længdeudvidelseseskoeicienten k kan bestemmes l l udtrkket k, l( t t) hvor t - t beregnes i radianer. a) Find den statistiske usikkerhed på k b) Find den relative statistiske usikkerhed på k. a 30
Facitliste a) - b) saddelpunkt ) 3 3 3 4,, 6 4,, 6 4 ) 3) Facitliste 3 3 e 3 e 9 3 e 3 e 3 3,,,, e, 4 4 4 4 3 4 4 ( ) ( 3 ) 4,,,,, 4 4 4 3 ) z30 ( ) 6( 3) ) z 4 4( ) 4( ) 4 4 4 4 ) (0, 0) (3, 3) () (5, -8) 3) 0,, 0, 4) (-4, -3) 3 5 ) 3 3, 3 3, 6, 6, 3, ) 0, 0, -6, -3, -6 3) ja 6) lok.min.pkt. (0, 0) 7) lok.min.pkt. (, 0) 8) lok.min.pkt.,,, 6 ) lok.min.pkt. (0, 0) ) lok.min.pkt., 3) ingen 4) ingen 5)lok.min.pkt. (, 0) 3 9) lok.ma.pkt. 0) ingen, 0 7 lok.ma.pkt. (0, 0) lok.min.pkt. (0, ) lok.min.pkt. (0, -) saddelpunkt 0 og, 0, 8 a) (0, 0), (0, ), (0, -), 6,, 6, b) saddelpunkt (0,0) lok. ma. pkt (0,-) 0, 0 9 lok.min.pkt. (0, 0) saddelpunkt 0, saddelpunkt 0 435, 435, z 535, 6,, 5 ) 3 3 3 3 3 z z, z z, z 3z z ) z z cos( z) z z ln, sin( z) z ln, z z cos( z) ln 3 ) lok. ma.pkt. (3,, 3) ) lok. min.pkt. (0.0.0) 3) ingen 3 4 4 ) 6 d 4 d ) lnd lnd 5 ) 5.359 ) 5% 6 ) 508. 0 eller 0.0886 radianer ) 0.63 0 eller 0.0 radianer 3).4% 7 68 0.04 0.06% 8 658.76 57.3 3.46% 9 03.3.6.5% 0 996.3 46.36 4.65% 0.00007 9.36% 0 3
Funktion a eller lere variable STIKORD A aledede, partiel 4, 7 B blandede partielle aledede 7 D dierential 9 dierentiation, partiel 4,7 E egenværdi, 4, 8 ekstremum globalt 8, 5 lokalt 8 F acitliste 3 ejlvurdering 0 unktion a variabel a variable 3 a 3 variable 7 G globalt ekstremum 3, 8, 5 gra or unktion a variable 3 grundlæggende operationer med TI89 5 H Hesse matri L lokalt maksimum/minimum or unktion a variabel a variable 8 a 3 variable 7 M maksimal ejl 0 maksimum/minimum lokalt or unktion a variabel a variable 8 a 3 variable 7 maksimum globalt or unktion a variable 8, 5 Maple inde stationære punkter or unkt. a variabel (solve ligning) variable (solve ligningssstem) 9 partiel dierentiation, 7 bestemme art a stationært punkt variabel variable (egenværdier) tegning a unktion a variable 3, mindsteværdi 8 minimum globalt or unktion a to variable 8, 5 O opgaver 6 optimering or unktion a variabel a variable 8 a 3 variable 7 P partiel dierentialkvotient 4 partiel dierentiation 4 partielle aledede 4, 7 R relativ ejl 0 S saddelpunkt stationære punkter, 9, 7 statistisk usikkerhed størsteværdi 8 T tangentplan 5 Talorpolnomium, 0 TI-Nspire inde stationære punkter or unkt. a variabel (solve ligning) variable (solve ligningssstem) 9 3 variable (solve ligningssstem) 8 partiel dierentiation, 7 bestemme art a stationært punkt variabel variable (egenværdier) 3 variable (egenværdier) 8 tegning a unktion a variable 3, U usikkerhedsberegning 9 3