Funktion af to eller flere variable I

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktion a to eller lere variable I Dierentiation og Optimering. udgave 005

2 FORORD Dette notat giver en indøring i de grundlæggende begreber or analse a reelle unktioner a to og lere variable. Specielt behandles optimering udørligt. Forudsætninger: Der orudsættes et kendskab til dierentialregning svarende til nedenor anørte note om Matematiske grundbegreber. I asnit.4.3 orudsættes endvidere at man har kendskab til grundlæggende regneregler or matricer svarende til kapitel i nedenor anørte note om matricer. Regnemidler: Der vil i eksemplerne blive vist hvorledes man kan oretage beregningerne med matematiklommeregneren Ti 89. Da man må orudse, at man senere vil skulle kunne anvende et egentligt matematikprogram, så angives også nogle a ordrerne i programmet Maple Enkelte eksempler er hentet ra lærebogen Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Matematik or Ingeniører bind. Andre noter i samme serie er Matematiske grundbegreber Giver en kort gennemgang a deinitioner og regneregler or de mest almindelige reelle unktioner a. variabel, disses dierentiation og integration, Vektorer Indhold: ) Vektorer i plan og rum, ) Rumgeometri (relationer mellem punkt, linie og plan) 3) Kurver i plan givet ved en parameterremstilling Komplekse tal Indhold: ) Rektangulær og polær orm, eksponentialunktion, ) Binom- og andengradsligning 3) Opløsning a polnomier i aktorer og dekomponering Matricer og lineære ligninger Indhold: ) Regneregler or matricer, ) Lineære ligningssstemer, herunder løsning a overbestemt ligningssstem Dierentialligninger Indhold: ). orden (seperable, lineære, numerisk løsning), ). og højere orden med konstante koeicienter, 3) Laplacetransormetion til løsning a dierentialligningssstemer og dierentialligninger med orsinkelse Fourieranalse Indhold: ) Reelle Fourierrækker, ) Fourierrækker på kompleks orm, 3) Fouriertransormation 4) Diskret Fouriertransormation Alle de nævnte notater kan i pd-ormat indes på adressen januar 006 Mogens Oddershede Larsen ii

3 INDHOLD Indhold Grundlæggende begreber. Indledning.... Funktion a variable..... Graisk remstilling..... Partiel dierentiation Grænseværdi, kontinuitet, dierentiabilitet Tangentplan Dierential Kæderegel Gradient og retningsaledede Talorpolnomium Funktion a mere end variable Graisk remstilling Dierential, kæderegel, gradient, Talorpolnomium... 0 Opgaver... 3 Optimering. Indledning Generelle begreber Optimering or unktioner a variable Globale ekstrema i lukket begrænset mængde Lokale ekstrem Lineær programmering Indledning Problemstilling Simplemetoden LP-problem på normalorm Den primale simplemetode Den reviderede simplemetode LP-problemer hvor ørste basisløsning ikke er mulig Anvendelse a LP-program Optimering a ikke lineære unktioner Opgaver Stikord iii

4 Grundlæggende begreber Grundlæggende begreber. Indledning Man siger, at der oreligger en (reel) unktion a n variable,,..., n talsæt (,,..., ) i en deinitionsmængde D er tilordnet netop ét reelt tal (,,..., ) n For kortheds skld vil vi ote skrive ( ) hvor = (,,..., n ) Eksempel.. Funktioner a lere variable ) (, ) = 4 + er en unktion a variable med deinitions, mængden D = {(, ) + } 4 (cirkelskive med radius, se iguren). hvis der til ethvert n ) Trkket P a en bestemt gas ahænger a temperaturen T, rumanget V og mol-antallet n n R T bestemt ved unktionen P = ( V, T, n) =, hvor R er en konstant. V. Funktion a variable... Graisk remstilling. En unktion a variable z = (, ) vil graisk sædvanligvis kunne remstilles i et rumligt koordinatsstem som en lade med bakker og dale. En sådan rumlig tegning kan være vanskelig at orestille sig. Man vil deror ote i stedet tegne niveaukurver, som svarer til højdekurver på et geodætisk kort. Ligesom en dgtig orienterinsløber kan se landskabet or sig ved at betragte højdekurverne på et kort, kan man ved at studere niveaukurverne å et godt indtrk a laden. En niveaukurve er en punktmængde {(, (, ) = k} hvor (, ) har en konstant værdi k. På igur. er der vist niveaukurver or en unktion med et lokalt maksimum samt den samme unktions 3-dimensionale udseende. På igur. er de tilsvarende igurer tegnet or et lokalt minimum, og på igur.3 er der tegnet en unktion med et saddelpunkt (disse begreber deineres mere præcist i et senere kapitel).

5 Funktioner a to eller lere variable Fig... Niveaukurvediagram og tredimensional gra or unktionen (, ) = 00 e ( ) + ( ) + som har med maksimum. Maple: with(plots): > contourplot(00*ep(-sqrt((-)^+*(-3)^+*)),=-6..6,=0..6); > plot3d(00*ep(-sqrt((-)^+*(-3)^+*)),=-6..6,=0..6); Ti 89: Mode: Graph = 3D, Y= (indtast unktion), rude,vælg akser m.m., F, Vælg ZoomStd, Se på iguren, og eventuelt: i Windows ændre ma osv, ved piletaster ændre hvorledes graen ses, trk på X,Y og Z or at se i akseretninger. Niveaukurver : Trk på. Jo større Grid vælges jo mere detaljeret bliver tegningen, og jo længere tid tager det et tegne den Fig... Niveaukurvediagram og tredimensional gra or en unktion g (, ) = ( ) + ( 3) + 0 med minimum. with(plots): > contourplot((-)^+(-3)^-*,=0..0,=0..0,contours=0); > plot3d((-)^+(-3)^-*,=0..0,=0..0);

6 Grundlæggende begreber Fig..3. Niveaukurvediagram og tredimensional gra or en unktion h (, ) = ( ) ( 3) + 0 med saddelpunkt. Maple > contourplot((-)^-(-3)^-*+0,=-..6,=-..6,contours=0); > plot3d((-)^-(-3)^-*+0,=-..6,=-..6); Sædvanligvis er det alt or besværligt selv at tegne en rumlig lade og dens niveaukurver. Kun hvis niveaukurverne er velkendte kurver som linier, cirkler hperbler og parabler kan det være hensigtsmæssigt selv at skitsere laderne. Det ølgende er et eksempel herpå. Eksempel.. Graisk remstilling a enkle unktioner a to variable. Der ønskes en graisk remstilling a unktionen (, ) = + Løsning: Lad z = + Først tegnes nogle niveaukurver. Lad a > 0 være en given konstant. Vi har da: z = a + = a + = a Niveaukurverne er ølgelig cirkler med centrum i (0,0) se ig..4. Hera kan sluttes, at laden må være a orm som en rund skål med minimum 0 i punktet (0.0). For at å et tværsnit a skålen skæres laden med z-planen ved at indsætte = 0 i ligningen z = +. Fig..4. Vi år da: z = z = (se ig..5). Fig..5. 3

7 Funktioner a to eller lere variable Vi kan nu se, at skålen er en kegle med spidsen nedad. (se ig..6). Fig Partiel dierentiation Hvis man or unktionen z = (, ) holder konstant på værdien 0, så vil (, 0 ) være en unktion a én variabel. Er denne unktion dierentiabel, så kan man på sædvanlig måde inde dens alede unktion. Denne kaldes s partielle aledede med hensn til og skrives eller. (, 0 ) (, 0 ) Tilsvarende deineres s partielle aledede med hensn til. d Tegnet læses "blødt d" og markerer, at unktionen har lere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til ) d ikke uden videre kan opattes som en brøk i beregninger. Eksempel.3. Partiel dierentiation Lad unktionen være givet ved (, ) = ) Find de to partielle aledede og ) Find og. (,) 0 (,) 0 Løsning: ) Idet vi opatter som en unktion a alene, dvs. opatter som en konstant, ås umiddelbart (, ) = Tilsvarende ås (, ) = + ) Ved indsættelse a (,) = (0.) ås og ( 0, ) = (,) 0 = 4

8 Grundlæggende begreber Såremt det a sammenhængen klart remgår, hvilket punkt (,) der er tale om, udelades det ote a betegnelserne, således at man kun skriver og Andre skrivemåder. z I stedet or skrives ote eller når z= (, ). z Undertiden skrives hvor der orneden er angivet, hvad de andre variable er. Eksempelvis kan energien E a en gas E enten opattes som en unktion a trk og rumang eller som en unktion a trk og temperatur. Deror ville være et tvetdigt P E E smbol, mens og er entdige. P V P T Geometrisk tolkning a partielle aledede De partielle aledede kan som anskueliggøres i eksempel.4 geometrisk tolkes som hældningskoeicienter til tangenter. Eksempel.4. Geometrisk betdning a partielle aledede. På ig..7 er tegnet graen or (, ) = + + or 4 0 og På iguren er k skæringskurven mellem planen = og graen or mens k er skæringskurven mellem planen = 0 og graen or. Fig..7. De to partielle dierentialkvotienter i (0,) er hældnings koeicienterne or tangenterne T og T. Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet (0,). er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k l or (,) = (0,) (,) 0 er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k or (,) = (0,). (,) 0 5

9 Funktioner a to eller lere variable Dette gælder or alle unktioner som er dannet a de sædvanlige stamunktioner, jævnør evt. sætning. 6 Partielle aledede a højere orden. Har partielle aledede a ørste orden i deinitionsmængden D, kan og (, ) (, ) igen opattes som unktioner a to variable i D. Hvis disse ne unktioner selv har partielle aledede, siges at have partielle aledede a anden orden i D. Disse skrives,, og = = = = For de to sidste blandede aledede gælder, at de sædvanligvis er ens, dvs, = Eksempel.5. Partielle aledede a anden orden I eksempel.3 andt man or unktionen de partielle aledede (, ) = og (, ) = + (, ) = + ) Find de partielle aledede a anden orden or unktionen. ) Find værdierne a ovennævnte partielle aledede i punktet (,) = (0.). Løsning: ) = = + = = = + = = = + = + Da de blandede anden alede er ens, er det unødvendigt at beregne den anden kombination = ) (, ), (, ), (, ), = = = Analogt deineres partielle aledede a højere end anden orden, og også or disse kan dierentiationernes rækkeølge normalt vælges vilkårligt,.eks = = Ved mere komplekse unktioner kan det være arbejdsbesparende at bentte et matematikprogram til beregningerne.

10 Grundlæggende begreber Eksempel.6. Partiel dierentiation ved benttelse a Maple og TI 89 Find og a unktionen (, ) = e + cos + Løsning: Ti89: dierentialet d står over 8-tallet : d(*e^(*)+cos(/(^+)),) Maple: > di(*ep(*)+cos(/(^+)),); sin + Resultat: e + TI89; : d(d(*e^(*)+cos(/(^+)),),) Maple: > di(*ep(*)+cos(/(^+)),,); cos Resultat: ( + ) +..3 Grænseværdi, kontinuitet, dierentiabilitet De ølgende deinitioner på grænseværdi, kontinuitet og dierentiabilitet er generaliseringer a tilsvarende begreber or unktion a variabel. Intuitivt kan man orestille sig kontinuerte unktioner som unktioner, hvis gra er "ubrudt". På igur.8 er vist nogle ikke-kontinuerte unktioners graer. Fig..8. Nogle ikke-kontinuerte unktioners graer. 7

11 Funktioner a to eller lere variable På basis a disse deinitioner, kan man vise ølgende sætninger, som gør, at det er nemt at agøre om en unktion a lere variable er dierentiabel. Sætning. Har en unktion kontinuerte partielle aledede i en åben mængde D, da er dierentiabel i D (og dermed også kontinuert). Til at agøre om en unktion er kontinuert gælder ølgende: Sætning.. Enhver unktion, der ved "sædvanlig regning" ( + g, g, g,, ) g o g kan dannes ud ra standardunktionerne (ep, ln, potens, sin, cos, osv.), blive kontinuert i sin deinitionsmængde. Eksempel.7. Kontinuert unktion. 3 ln( ) ) Bestem deinitionsmængden or unktionen (, ) = cos( ) +. + ) Skraver deinitionsmængden i et - koordinatsstem 3) Bestem de værdier a (,) or hvilke er kontinuert. 4) Bestem de værdier a (,) or hvilke er dierentiabel Løsning: ) cos er deineret or alle værdier a og. ( ) ln( - ) er deineret or > 0 > Nævneren + 0 Deinitionsmængden D= {(, ) > } Fig..9. Deinitionsmængden D ) På igur.9 er deinitionsmængden D skraveret. 3) Da de indgående unktioner er kontinuerte hvor de er deineret, og er remkommet ved sædvanlig regning, er unktionen kontinuert i D (i hver a de to skraverede delmængder). 4) Da de partielt aledede er kontinuerte i D (ses umiddelbart), er unktionen dierentiabel i D. I det ølgende gives en kortattet gennemgang a deinitionerne or grænseværdi, kontinuitet og dierentiabilitet Grænseværdi. Grænseværdi or en unktion a to variable deineres analogt til grænseværdi or en unktion a én variabel. Lad (, ) have deinitionsmængden D. Lad endvidere a være et reelt tal, og lad ( 0, 0) være et punkt i D. Hvis (, ) er vilkårlig tæt på a, blot (, ) er tilstrækkelig tæt på ( 0, 0) siger vi, at (, ) har grænseværdien a or (, ) gående mod ( 0, 0). Vi skriver da (, ) a or (, ) ( 0, 0) eller lim = a (, ) ( 0, 0) Da deinitionen a grænseværdi er analog med den der gælder or unktioner a variabel gælder også de samme regneregler. Da vilkårlig tæt ikke er særlig præcist, er den præcise deinition ølgende: For ethvert ε > 0 eksisterer et δ > 0, således at det or alle (, ) D gælder, at 0 < ( 0) + ( 0) < δ (, ) a < ε. 8

12 Grundlæggende begreber Kontinuitet DEFINITION a kontinuitet. Lad (, ) have deinitionsmængden D og lad ( 0, 0) være et punkt i D. Vi siger da, at er kontinuert i ( 0, 0), hvis (, ) ( 0, 0) or (, ) ( 0, 0) Hvis er kontinuert i hele sin deinitionsmængde, siger vi kort, at er kontinuert. Dierentiabilitet. En unktion a én variabel siges som bekendt at være dierentiabel i 0 hvis der indes et reelt tal α, sådan at ( 0 + ) ( 0 ) α or 0 ( Dette kan skrives 0 + ) ( 0 ) α 0 or 0 Den sidste skrivemåde vil generaliseres til unktioner a variable. Lad være en unktion a variable med deinitionsmængden D, lad ( 0, 0) D og ( 0 +, 0 + ) D. r Lad endvidere vektoren = (, ) DEFINITION a dierentiabilitet. r Funktionen siges at være dierentiabel i ( 0, 0) hvis der indes en vektor α = ( α, α) sådan at r r ( 0 +, 0 + 0) ( 0, o) α r r 0 or 0..4 Tangentplan Lad unktionen være dierentiabel i et punkt og lad. ( 0, 0) z0 = ( 0, 0) Lad være skæringskurven mellem planen = k 0 og graen or og T være tangenten til k med røringspunkt i (, ). Tilsvarende er og graen or og T er tangen- planen = 0 ten til k. k 0 0 er skæringskurven mellem Fig..0. Tangentplan i (, ) Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet ( 0, 0). Ligningen or tangentplan z = (, ) + ( ) ( ) (, ) ( 0, 0 ) 0 Bevis: Lad or kortheds skld ' = ( 0, 0) og ' = ( 0, 0) r Da er hældningskoeicienten or tangenten T til kurven k har en retningsvektor or T koordinaterne a =

13 Funktioner a to eller lere variable 0 r Tilsvarende er b = retningsvektor or T. En normalvektor til tangentplanen er ølgelig r 0 r a b = 0 = Planens ligning bliver ølgelig ( 0) ( 0) + ( z z0) = 0 Eksempel.8. Tangentplan Lad der være givet unktionen (, ) = Find ligningen or tangentplanen til unktionen i punktet (0,). Løsning: I eksempel.3 andt man or unktionen (, ) = + + at og 4 ( 0, ) =. Idet ås ligningen: ( 0, ) = (,) 0 = z = + ( 0) + ( ) z = Dierential Dierential or unktion a variabel Følger vi graen or en dierentiabel unktion ra et punkt med abscissen til et punkt = ( ) 0 med abscissen 0 + bliver unktionstilvæksten = ( 0 + ) ( 0 ) jævnør igur igur.. 0 Fig... Tilvækst i tangents retning I stedet or at ølge graen ra 0 til 0 + kunne vi som en tilnærmelse ølge tangenten i 0. I så ald bliver - tilvæksten ( 0 ) som kaldes dierentialet d eller d. For den ahængige variabel, gælder = d (betragtes den identiske unktion ( ) = år vi nemlig d = d =, dvs. d = ) Vi har deror d = ( ) d. 0

14 d Divideres med d, ås den kendte sammenhæng =. d Bemærk, at man altid gerne må dividere med d, når blot d 0. Navnet dierentialkvotient betder netop en kvotient mellem dierentialer. Eksempel.9. Dierential Find dierentialet a unktionen ( ) = 5 4 Løsning: Dierentialet d = ( ) d = 0 3 d Grundlæggende begreber Dierential or unktion a variable Lad unktionen være dierentiabel i et punkt ( 0, 0) og lad z0 = ( 0, 0). Går vi ra punktet ( 0, 0 ) til punktet ( 0 +, 0 + ) bliver unktionstilvæksten z = ( 0 +, 0 + ) ( 0, 0) jævnør igur.9. I stedet or a ølge graen or, kunne vi som en tilnærmelse ølge tangentplanen i ( 0, 0) d.v.s. den plan der udspændes a tangenterne AB og AD på igur.. Da tangentplanen har ligningen z = (, ) + ( ) ( ) (, ) ( 0, 0 ) 0 bliver z-tilvæksten z (, ) = (, ) ( 0, 0 ) Fig... Dierential dz Denne z-tilvækst, som ås ved at ølge tangentplanen, kaldes dierentialet d eller d z.

15 Funktioner a to eller lere variable Ligesom or unktioner a variabel gælder, at man kan erstatte med d og med d, hvorved dierentialet kan skrives d = d + d Ved visse anvendelser kaldes dierentialet or det totale dierential a. Eksempel.0. Dierential Lad unktionen være givet ved z = (, ) = ) Beregn z når punktet (.) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) ) Beregn dz når punktet (.) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) Løsning: ) z = (. 03,. 0 98) (,) = = ) dz= + d d hvor d og d = =, 0 =, = 003. dz =.5 dz= ( 00. ) = 050. Fejlvurdering. Som det ses a eksempel.0 kan man erstatte unktionstilvæksten med dierentialet når blot ændringerne i og er små. Dette udnttes ved ejlvurderinger. Koeicienterne og kaldes så s ølsomhed overor ejl på henholdsvis og. Ved den absolutte ejl på en talværdi orstås = 0 hvor 0 betegner den sande værdi. Ved den maksimale absolutte ejl på orstås Ved den relative ejl rel() på orstås. Ved den maksimale relative ejl orstås rel( ) 0 Eksempel.. Fejlvurdering. Et clindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3 ± 0. cm og h = 6 ± 0. cm ) Find den maksimale absolutte ejl på hullets volumen V ) Find den maksimale relative ejl på V 3) Har V størst ølsomhed overor r eller overor h? Løsning. V = π r h. Dierentialet på V er dv = π r dh + π r hdr ) Den maksimale absolutte ejl på hullets volumen V: dv = π 3 dh + π 3 6dr = 9π π 0. = 696. ) V = Den maksimale relative ejl er dv V = 0% 3) V har størst ølsomhed over or ejl på r, da dv dr dv = π 36 < = π 3 dh

16 Grundlæggende begreber..6. Kæderegel Ved dierentiation a en sammensat unktion som eksempelvis dierentiationsreglen: d d d Lad = ( g( t) og lad = g() t Vi har da =. dt d dt Eksempel.. dierentiation a sammensat unktion = sin 3t Find dierentialkvotienten a ( ) Løsning: Sættes = sin( ), hvor t ås = 3 d = cos( ) 6t = 6t cos( ( 3t ) dt ( t ) = sin 3 benttes For en unktion a to variable gælder tilsvarende regler (kort kaldes kæderegler). Sætning.. Kæderegel Lad z = (, ) være en unktion a og med kontinuerte partielle aledede, og lad og være dierentiable unktioner a t.da gælder dz z dt = d z d dt + dt Formlen remkommer ormelt ud ra dierentalet dz = z ved division med dt. d + z d Eksempel.3.Kæderegel Lad z =, hvor = cos t + og = sin( t) + 3 ( ) dz Find or t = 0 dt Løsning: Vi har d t d z z = sin, = cos( t), =, = 3 dt dt Indsættes t = 0, ås =, =, z = 4, Ved indsættelse i kæderegel ås dz dt d dt z 3 d z z = 0, =, = 8, = dt d z d = + = 80 + = 4 dt dt 3

17 Funktioner a to eller lere variable Eksempel.4 Anvendelse a kæderegel. Når en clinder varmes op vokser såvel radius r som højde h. Til tiden t = 0, hvor r = 0 cm og h = 00 cm vokser r med 0. cm pr time og h med 0.5 cm pr time. Hvor hurtigt vokser clinderens overlade O? Løsning: O= π r h+ π r do O dt = dr O dh r dt + h dt = ( πh+ 4πr) 0. + ( πr) 05. = 58π = 8. cm Sætning.3. Kæderegel Lad z = (, ) være en unktion a og med kontinuerte partielle aledede, og lad og være dierentiable unktioner a s og t. Da gælder z s z z z z z = +, = + ds s t dt t Hvis t holdes ast, vil og være unktioner a s alene. Man kan så bentte kæderegel. Eksempel.4. Kæderegel Lad z = sin( ), hvor = s t og = s + t z Find ved anvendelse a kæderegel. t Løsning: z z z = + = ( ) s t+ ( ) cos cos t dt t t ( 4s t 3s t ) cos( s t s t ) 4 3 s t = s t s cos s t s = + + t t t

18 ..7. Gradient og retningsaledede Gradient: Ved gradienten til en unktion orstas vektoren = Smbolet kaldes nabla Eksempel.. Gradient Lad unktionen være givet ved z = (, ) = ) Find gradienten (, ) ) Find (, 3) Løsning: + ) = + 9 ) (, 3) = 9 Grundlæggende begreber Retningsaledet r r r a r Lad a være en vilkårlig vektor, og e = r enhedsvektoren i a s retning. a r r Ved den retningsaledede De r i vektoren a s retning orstås D e r = e v v Er specielt a = i (basisvektoren i - aksens retning) bliver den retningsaledede Di r = (i overensstemmelse med at hældningskoeicienten er unktionstilvæksten svarende til en -tilvækst på ). Tilsvarende bliver den retningsaledede i -aksens retning lig med den partielle aledede eter. Dierentialet d =. d + d = d d r Hera ses, at den retningsaledede i en vektor a s retning er tilvæksten d når vi går enhed i r a s retning. Man kan også sige, at det angiver, hvor stærkt unktionen ændrer sig i vektoren r a -s retning. Da et skalært produkt er størst hvis de to vektorer er ensrettede, ses, at en unktion stiger hurtigst i gradientens retning og alder hurtigst i den modsatte retning 5

19 Funktioner a to eller lere variable Eksempel.3. Retningsaledede Lad unktionen være givet ved z = (, ) = ) Find den retningsaledede a unktionen i punktet (,-3) i retningen a r = 3 4 ) Angiv den retning hvori unktionen i punktet (,-3) vokser hurtigst, og angiv den retningsaledede i denne retning.. Løsning: 9 r 9 ) Iølge eksempel. er = a (, 3). Da r = r = a 3 = r I punktet (,-3) alder unktionen i retningen a med en hastighed på.5. 9 ) Funktionen vokser hurtigst i gradientens retning, dvs. i retningen (, 3) =. 9 D = 9 9 = = For en niveaukurve svarende til niveauet k er unktionen jo konstant k. Det betder igen at unktionstilvæksten langs kurven er 0. Det betder igen. at den retningsaledede i kurvens retning må være 0. Da et skalært produkt a vektorer kun er 0 hvis de to vektorer står vinkelret på hinanden, må gradientvektoren stå vinkelret på niveaukurven i det pågældende punkt. (se igur.3) Fig.3. Niveaukurver med gradienter 6

20 Grundlæggende begreber Som eksempler på anvendelser a gradientbegrebet kan nævnes ) Temperaturgradienten T står vinkelret på isotermerne og peger modsat den retning varmen vil vandre (varme vandrer ra højere temperatur mod lavere). r ) Er den potentielle energi E p vil F = E = ( E ) være den dertil svarende krat, og stå vinkelret på ækvipotentialladerne. ( p)..8. Talorpolnomium Som vi har set (eksempelvis i orbindelse med ejlvurdering), kan det være nttigt i omegnen a et punkt at erstatte en unktion med sin tangentplan : ( 0, 0) z = (, ) z = (, ) + (, ) ( ) ( 0, 0 ) ( 0 ) ( man siger ote, at man har lineariseret unktionen ) Ønskes en bedre approksimation, kunne man tilnærme unktionen med et andengradspolnomium eller måske endnu bedre med et polnomium a tredie grad. For unktioner a variabel udviklede vi unktionen = ( ) i et såkaldt Talorpolnomium: (se eventuelt Matematiske grundbegreber kapitel?) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( 0) 3 = 0 + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) +... i!! 3! Dette polnomium har i punktet 0 samme unktionsværdi og samme ørste, anden og tredie aledede osv. som () Tilsvarende kan man udvikle en unktion a variable i et Talorpolnomium. Sætning.4. Talorpolnomium a højst. grad. Lad unktionen z = (, ) have kontinuerte partielle variable a. og anden orden.i punktet ( 0, 0) Ved det.talorpolnomium med udviklingspunkt (, ) orstås polnomiet p 0 0 ~ (, ) (, ) (, ) ( ) (, ) ( )! = (, ) ( ) (, )( )( ) (, )! ( ) Bevis: Lad = 0 + h, = 0 + k Vi danner unktionen Ft () = ( 0 + t h, 0 + t k) hvor 0 t. Det ses, at F() 0 = ( 0, 0) og F() = (, ) Da F(t) er en unktion a variabel t, som vi opskrive Talorrækken or den i punktet 0. ~ () ( ) Ft = F0 + F () 0 t+ F ( 0) t!! Ved at bentte kæderegel ås + + F t = th tk d( th) dt th tk d tk () (, ) 0 ( ) (, ) dt 7

21 Funktioner a to eller lere variable = ( th tk h 0, 0 ) th tk k ( 0, 0 ) F () t = ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) th, tk h th, tk k th, tk h th tk k, 0 = ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) 0 th, 0 tk h th, tk h k th, tk k h th, tk k Vi har nu ~ ~ F () = (, ) = F ( 0 ) + F () 0 + F () 0!! ~ (, ) = (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, ) h k h h k k Eksempel.4. Talorpolnomium + Lad den optimale temperatur T i en bestemt reaktor være bestemt ved T = 3 e ln( + ) hvor og er to koncentrationer. I en omegn omkring dritspunktet ( 0, 0) = (, ) ønskes unktionen tilnærmet ved et Talorpolnomium. ) Bent et Talorpolnomium a. orden til at beregne T, når punktet (.) ændrer sig ra punktet (,) til punktet (0.8,.) ) Bent et Talorpolnomium a. orden til at beregne T, når punktet (.) ændrer sig ra punktet (,) til punktet (0.8,.) 3) Beregn T eksakt når punktet (.) ændrer sig ra punktet (,) til punktet (0.8,.). (ved at bentte en lommeregner). Løsning: Først inder vi unktionsværdien og de partielle aledede i udviklingspunktet: + T = (, ) = 3 e ln( + ). (, ) = 3 0= 3 T + T = 3e + (,) = 3 = T + T = 3e + (,) = 3 = 4 T T T + T = 3e + ( + ) + T = 3e + ( + ) ( + ) 3 4 (,)= + = 3 4 (,)= + = + T (,)= 3+ = = 3e + Vi har = 08. = 0,, =. = 0. ) ~ T (, ) = 3+ ( )! ( ) ( ) 4 T = 4 = ( 0 0. ) 4 ( 0. ) = 08. 8

22 Grundlæggende begreber ) T = 3+ ( ( ) ( )) + ( ( ) + ( ) + ( )( )( )) ~ (, )! 4! 4 4 T 08 ( ) ( ) ) T = 3 e 08.. ln( ) ( 3 e ln( + ) ) = = 067. =. + + ( ) ( )( ) =. + 4 ( 0. ) + 4 ( 0. ) 4( 0. )( 0. ) = 074. ) z = hvor 0 =, 0 =, = 0. og = 0. z = = 0. ( 0. ) 075. z + + +! ) = ( ) = = (. ) 4 ( 0. ) ) z = =

23 Funktioner a to eller lere variable.3.funktion a mere end variable De deinitioner og begreber som er gælder or unktioner a variable kan umiddelbart generaliseres til unktioner a 3 og lere variable..3. Graisk remstilling Graen or en unktion a 3 variable muligt at tegne en niveaulade hvor (,, z) (,, z) kan naturligvis ikke tegnes i et 4-dimensionalt rum. Derimod er det har en konstant værdi k. Eksempelvis er en såkaldt orbital eller bølgeunktion Ψ( z,, ) or et atom anskueliggjort ved en niveaulade or Ψ på igur.4. (Orbitaler spiller en stor rolle or orståelsen a atomers og moleklers egenskaber). Et andet eksempel er nogle kugleormede niveaulader or tngdepotentialet på igur.5. a + + z omkring jorden vist Fig..4. Niveaulade or en atomorbital Ψ( z,, ) Fig..5. Niveaulader or tngdepotentialet omkring jorden.3. Dierential, kæderegel, gradient, Talorpolnomium Begreberne kan umiddelbart kan generaliseres ra til lere variable. Lad u = (,, z) Partiel dierentiation orløber eter ganske de samme retningslinier som or variable. For de blandede partielle aledede kan dierentiationernes rækkeølge vælges vilkårligt. Dierential d = d + d + z dz Kæderegel : Lad og være dierentiable unktioner a t t (), t () zt () Da gælder: t = d dt + d dz dt + z dt Kæderegel : Lad st (,), st (,) og zst (,) være dierentiable unktioner a s og t Da gælder: z = + + s s s z s 0

24 Grundlæggende begreber Gradient: = z r r Den retningsaledede De r i vektoren a s retning er bestemt ved D e r = e r r a r hvor e = r er enhedsvektoren i a s retning. a Gradienten og den retningsaledes geometriske betdning er den samme som or variable. Talorpolnomium z z (,, ) = ( 0, 0, 0) + ( 0) + ( 0) + ( z z0)! z + ( ) ( 0 ) ( z z 0 )! z z z z ( )( ) ( )( ) ( z )( z z ) Eksempel.5. Funktion a 3 variable 3 Lad unktionen være bestemt ved (,, z) = e z ) Find dierentialet or unktionen i punktet (,,z) = (,,3) r ) Find den retningsaledede De r i vektoren a = i punktet (,,3) 3 3) Find det ' Talorpolnomium or med udviklingspunkt (,,3) Løsning: 3 z 3 z ) = e, ( 3,, ) =, = 3 e, ( 3,, ) = 3 3 z = e, ( 3,, ) = z z d = d + 3d dz ) e r = = + + ( ) 3 3) 3 z = e, ( 3,, ) =, 3 z = e, z z ( 3,, ) =, r De r = e = 3 3 = 3 3 z = 9 e, ( 3,, ) = 9 3 z = 6e, ( 3,, ) = 6

25 Funktioner a to eller lere variable 3 z = e, ( 3,, ) =, z z ~ (,, z) = + ( ) + 3( ) ( z 3) 3 z = 3 e, ( 3,, ) = 3 z z ( ( ) ( ) ( z ) ( )( ) ( )( z ) ( )( z ))

26 Grundlæggende begreber Opgaver Opgave. Lad være en unktion givet ved (, ) = ) Skitsér i et - koordinatsstem s niveaukurver svarende til niveauerne 0, ±, ± og ±. ) Agør ud ra niveaukurverne om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave. Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ) = +. Der ønskes hovedsageligt betragtet punkter, hvor (, ) 3 og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. Såvel positive som negative - og -værdier betragtes. ) Skitsér i et - koordinatsstem s niveaukurver svarende til niveauerne 0,, og 3. ) Har unktionen noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? 3) Skitsér i et z - koordinatsstem skæringskurven mellem s gra og planen = 0. 4) Lav en skitse, der giver et indtrk a graens 3-dimensionale udseende. Opgave.3 4 Lad være en reel unktion a to variable givet ved (, ) =. 3 9 ) Angiv s deinitionsmængde (skitsér den i - planen). ) Skitsér i et - koordinatsstem s niveaukurver svarende til niveauerne 0,,, 3 og 4. 3) Skitsér i et z - koordinatsstem skæringskurven mellem s gra og planen = 0. 4) Skitsér graen or i et z - koordinatsstem, således at man år et indtrk a graens 3- dimensionale udseende. Opgave.4 Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ) =. Der ønskes hovedsageligt betragtet punkter, hvor (, ), og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. ) Skitsér i et - koordinatsstem s niveaukurver svarende til niveauerne -, -, 0, og. ) Har unktionen noget lokalt maksimum? - lokalt minimum? - saddelpunkt? 3) Lav en skitse, der giver et indtrk a graens 3 - dimensionale udseende. Opgave.5 Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ) =, (, ) ( 00. ) + ) Skitsér i et - koordinatsstem s niveaukurver svarende til niveauerne,,, 4 og 6. ) Skitsér i et z - koordinatsstem skæringskurven mellem s gra og planen = 0. 3) Skitsér graen or i et z - koordinatsstem, således at man år et indtrk a graens 3- dimensionale udseende. 4) Har unktionen noget lokalt maksimum? - lokalt minimum? - saddelpunkt? 3

27 Funktioner a to eller lere variable Opgave.6 Find de partielle aledede a ørste og anden orden or ølgende unktioner 3 ) (, ) = ) (, ) = ( > ) + 3 3) e (, ) = 4) (, ) = ln + Opgave.7 nrt ) Van der Waal s tilstandsligning or n mol gas er P, hvor R, a og b er V nb a n = V P P P konstanter. Find udtrk or, og V T Tn, Vn, 4 n VT, nrt an ) Redlich-Kwong-tilstandsligningen or n mol gas er P =, hvor R, a og V nb VV ( + nb) T P T V b er konstanter. Find udtrk or, og V n V T hvor R, a og b er konstanter. Opgave.8 Find ligningen or tangentplanen or ) (, ) = i punktet (,) = (-,3) Tn, PV, ) (, ) = i punktet (,) = (, -) Opgave.9 Find dierentialet a unktionen ) (, ) = ) (, ) = + 4 i punktet (,0) ( 3) e ( ) (, ) = ln i punktet (, -) ( e ) 4) (, ) = i punktet (,) Opgave.0 For mol a en ideal gas gælder tilstandsligningen Pn, PV = RT, hvor P er trkket i N/m, V er volumenet i m 3, T er temperaturen i grader K, og R=8.343 J/(K mol) er en konstant. A tilstandsligningen kan P beregnes, når T og V er målt. ) Angiv ved hjælp a et dierential et tilnærmet udtrk or, hvor meget den beregnede P-værdi bliver or stor, hvis T =500 K og V =0.5m 3 er målt henholdsvis T og V or store. ) Beregn den maksimale absolutte og relative ejl på P, når T = 500 ± 0 og V = 05. ±

28 Grundlæggende begreber Opgave. En kugleormet tank har radius r. Med en pejlestok måler man væskehøjden h or at kunne beregne væskerumanget V = π h ( 3r h) 3 Angiv ved hjælp a et dierential et tilnærmet udtrk or, hvor meget V bliver or stor, hvis h = 0. m og r = m er målt henholdsvis h og r or store. Opgave. Bredden b a en kløt beregnes, ved at man asætter stkket a, og måler vinklen v, se iguren. Angiv ved hjælp a et dierential et tilnærmet udtrk or, hvor meget b bliver or stor, hvis a =0m og v = 30 o er målt henholdsvis a og v or store. Opgave.3 En bunke har orm som en kegle med højde h og grundladeradius r. Man måler h og r, or at kunne beregne rumanget V = π r h 3 ) Angiv ved hjælp a et dierential et tilnærmet udtrk or, hvor meget V bliver or stor, hvis h = 0 m og r = 0 m er målt henholdsvis h og r or store. ) Lad h=0. m og r=0. m. Find den relative ejl på V. Opgave.4 En tank har orm som en cirkulær clinder med radius r og længde L. Idet clinderaksen er vandret, måler man væskehøjden h med en pejlestok or at kunne beregne rumanget r h V = Lr ARCcos Lr ( h) rh h r Angiv ved hjælp a et dierential et tilnærmet udtrk or, hvor meget V bliver or stor, hvis r = m, L = 0 m og h = m er målt henholdsvis r, L og h or store. 5

29 Funktioner a to eller lere variable Opgave.5 En olietank er kasseormet med længden L = 3 m, bredden B = m og højden H = m. Tanken er nedgravet vandret, men ejeren år mistanke om, at den hælder en vinkel u. For at inde u, hælder ejeren V = m 3 olie i den tomme tank, og måler oliestandens højde h i den højeste side til 0.0 m.(se iguren) Vinklen u kan indes a ormlen V h u = Arctan B L L ) Find vinklen u. ) Det anslås, at V= ± 00. og h = 0. ± 0.0. Find den maksimale absolutte ejl på u (alle resultater med 3 betdende cire) Opgave.6 Vi betragter en boble, der sidder på en plan lade. Boblens krumme overlade har orm a en kuglekalot med arealet A= π r + h, ( ) se iguren. ) Idet både r og h er unktioner a tiden t, skal da man inde udtrkt ved rh dr dh,, og dt dt dt da ) Find or t =, idet r()=, h()=5, dt dr dh () = 3 og () = dt dt Opgave.7 + ) Lad z = ( + + ) 3 3 dz, hvor = t t. = t t + t. Find or t =. dt ) Lad z e dz = sin + e sin, hvor = 3t. = t. Find udtrkt ved t. dt 3) Lad z = ln, hvor = tan( t). = dz. Find or t = π. cos t dt 4 Opgave.8 z ) Lad z = ln hvor = s sin t, = tsin s, Find udtrkt ved s og t t z ) Lad z = hvor = t + s, = st, Find or s = og t = - t 6

30 Opgave.9 Lad unktionen være givet ved (, ) = Arcsin( ) + + sin Grundlæggende begreber Lad endvidere g være en dierentiabel unktion a én variabel med g(0) = og g () 0 = 7. Find ved hjælp a kædereglen or unktioner a lere variable ht () = ( 3t, gt ()). h ( 0), når h er givet ved orskriten Opgave.0 r Find i punktet P den retningsaledede a unktionen i retningen a hvis ) (, ) = r 3, P = (,) og a = 4 r ) (, ) = 3+, P = (-,) og a = 3) (, ) = e sin, P = 0, π r og a = 4 3 Opgave. r Find i punktet P en enhedsvektor e i den retning i hvilken unktionen vokser hurtigst. idet 3 5 ) (, ) =, P = (,-) 5π ) (, ) = sin( 3 ), P =, 6 0 Opgave. Find i hvert a de ølgende tilælde det. Talorpolnomium med udviklingspunkt i punktet P. 3 ) (, ) =, P = (, ) ) (, ) =, P = (, ) 3) (, ) = + +, P = ( 00, ) 4) (, ) = cos( + 4), P = (, ) 5) (, ) = ln( ) +, P = (, ) 6) (, ) = e + + +, P = (, ) Opgave.3 Find de partielle aledede a ørste og anden orden or ølgende unktioner 3 3 ) (,, z) = z + z ) (,, z) = sin( z) + z 3) (,,, ) =

31 Funktioner a to eller lere variable Opgave.4 Find dierentialet a unktionen z ) (,, z) = ln ( ) i punktet (e,,0) ( ) ) (,,, ) = Opgave.5 Lad u = 3 z+ z 4 du hvor = t, = 3t+ og z = t t+. Find or t =. dt Opgave.6 Lad u = z + 4z z, hvor = t t t + 3t t t t + t t + t = 3t 4 + t t + t3 t4 + 4t + t4 5 z = t3 t4 4 + t t3 + t + t3 + t4 u Find or ( t, t, t3, t4) = (,,,) t Opgave.7 Det årlige overskud ra en virksomhed er beregnet til u = ( + 0. ) z+ ( 3. + z) + (. ) hvor [ ] = s 03. t, = s t, z = s 08. t Her betegner s og t dimensionsløse variable or henholdsvis markedsprisen på produktet og arbejdslønnen ved abrikationen. u Idet (s, t) = (,), skal man beregne overskuddets ølsomhed over or ændringer i arbejdsløn- t nen. Opgave.8 r Find i punktet P den retningsaledede a unktionen i retningen a hvis 5 r ) (,, z) = + z, P = (,,) og a = 3 3 r 3 ) (,, z) = z, P = (-,,3) og a = r a = 3) (,, z) = + + z, P = (,-,) og 8

32 Grundlæggende begreber Opgave.9 00 Temperaturen i en kugle med centrum i (0,0,0) er givet ved Tz (,, ) = z ) Hvor er temperaturen højest i kuglen? r ) Find en vektor a som peger i retning a den største stigning a temperaturen i punktet (,-,) r 3) Peger a mod kuglens centrum? Opgave.30 Find i hvert a ølgende tilælde det. Talorpolnomium i punktet P. ) (,, z) = 3 z 3, P = (,,-) ) (,, z) = z z, P = (,,) 3) (,, z) =, z P = (0,0,0) 4) z e + z (,, ) =, P = (,,) 9

33 . Optimering OPTIMERING. Indledning I det ølgende betegner en reel unktion a n variable. Ved optimering søges den "bedst"mulige løsning i en given situation. Først må man udtrkke, hvad der menes med "bedst", dvs. opstille en unktion a én eller lere variable,,..., n, sådan at s største eller mindste værdi i deinitionsmængden S angiver den bedste løsning på et problem. Eksempel. Optimal produktionsplan Skal man.eks. inde en produktionsplan or en abrik, således at man år den største ortjeneste, må man ørst udtrkke, hvordan ortjenesten ahænger a de variable,,..., n i produktionsplanen. Dernæst må man udtrkke de begrænsninger i produktionsorholdene, som skal overholdes (begrænset arbejdsstrke, begrænset kapacitet a produktionsapparatet, visse kvalitetskrav til produktet osv.). Disse begrænsninger giver visse ligninger eller uligheder, som de variable,,..., n skal oplde, og derved er deinitionsmængden S astlagt... Generelle begreber. Lad være en unktion med deinitionsmængde S og lad være et punkt i S. P 0 Globalt minimum. Hvis ( P0 ) ( P) or alle punkter P i S, så kaldes ( P0 ) or s globale minimum eller mindsteværdi. og kaldes et globalt minimumspunkt or. P 0 Analogt deineres globalt maksimum (eller størsteværdi) og globalt maksimumspunkt. Som en ællesbetegnelse or globalt minimum og globalt maksimum anvendes udtrkket globalt ekstremum. Er misorståelser udelukket, strges ote ordet globalt Lokalt minimum Lad P 0 være et indre punkt i S og M S være en omegn a P 0.Hvis ( P ) ( P) or alle punkter P i M, så kaldes denne værdi or s globale minimum 0 Da maksimumspunkter or er minimumspunkter or mer behandles helt parallelt. Funktionen kaldes or objektunktionen. kan minimums- og maksimumsproble- Nedenstående igur leder os ind på, at det som et led i ekstremumsbestemmelser kan være nttigt Fig... Stationære punkter Fig.. Stationære punkter 30

34 . Generelle begreber at se på punkter, hvor graen har "vandret tangent(plan)" - såkaldte stationære punkter. På igurerne har (og g) vandret tangent (tangentplan) i ( ), ( ) og 3 ( 3), globalt maksimum i 3 ( 3 ) og globalt minimum i 4 ( 4) Endvidere er graen or vandret mellem a og b. For dierentiable unktioner, hvor der er vandret tangent /tangentplan er ( ) = 0/ g ( ) = 0 På igur. er således ( ) = 0 og på igur. er g ( ) = Sådanne punkter kaldes stationære punkter 0 sterer og ( 0 ) = 0, dvs. ( 0) = 0, ( 0) = 0,..., ( 0) = 0, Eksempel.. Stationære punkter. 3 En unktion er givet ved (, ) = Find de stationære punkter or. Løsning: De stationære punkter or indes a ligningssstemet = = 0 () = = 0 ( ) I ligning () kan sættes udenor en parantes. Vi år: ( 3 4) = 0 = = 0 4 Tilælde : Indsættes = 0 i ligning (), ås = 0 =. 3 4 Stationært punkt: (, ) = 0, 3 Deinition (stationært punkt). Lad være kontinuert i S. Et indre punkt i S kaldes et stationært punkt or, hvis ( ) eksi 0 n Tilælde : Ligningen 3 4= 0løses med hensn til og indsættes i ligning (). 3 4 = indsættes: = = 0 = ± = 4 = 5 Stationære punkter ( (, ) = ( 4, 4) (, ) = 5, TI89: Funktionen deineres ^* - ^3 - *^ + 3*^ + 8* - STO (,) ENTER F: Algebra, solve(d ((,),)=0 and d ((,),)=0,{,}) Resultat: =-4 and =_/ or =-4 and = -4 or =0 and =-4/3 Bemærk: d indes over 8 tast og and ved Math, test 0 3

35 . Optimering Maple:> := ^* - ^3 - *^ + 3*^ + 8* - : > solve( { di(,) =0, di(,) =0 } ) ; Resultat: Følgende sætning som er umiddelbart indlsende, anøres uden bevis. Sætning..(Eksistens a globalt ekstremum). Hvis være kontinuert i en begrænset lukket mængde har både et globalt maksimum og et globalt minimum. Forudsat der indes et globalt ekstremum, så angiver den ølgende sætning hvor man skal lede eter det. Sætning. (de mulige globale ekstrema). Lad være kontinuert i S. Globale ekstremumspunkter or skal søges blandt a) stationære punkter or, b) randpunkter or S og c) punkter, hvor ikke eksisterer. Bevis: Lad 0 være et globalt ekstremumspunkt or. Hvis det globale ekstremumspunkt ikke indes på randen eller i et punkt hvor indre punkt 0 a S hvor eksisterer. Lad os or simpelheds skld ørst antage, at er en unktion a variable, og lad 0 = ( 0, 0) ( 0, 0) g ( ) = (, 0 ) 0 ikke eksisterer, så må det indes i et Da har et ekstremum i vil unktionen have et ekstremum i. Da endvidere er (, ) dierentiabel i 0 0 må g være dierentiabel i 0. For en unktion a variabel ved vi, at i et indre ekstremumspunkt vil g ( 0 ) = 0. Hera ølger, at ( 0, 0 ) = g ( 0 ) = 0 Tilsvarende ses, at. Vi har ølgelig, at er et stationært punkt. ( 0, 0 ) = 0 ( 0, 0) Beviset kan let generaliseres til unktioner a mere end variable..3 Optimering or unktioner a variable.3.. Globale ekstrema i lukket begrænset mængde Som angivet i sætning. vil en kontinuert unktion i en lukket begrænset mængde altid have globale ekstremumspunkter. A sætning. remgår hvordan man i princippet skal inde disse. I det ølgende eksempel vises, hvorledes dette kan gøres hvis det er muligt at reducere problemet til en unktion a variable 3

36 .3 Optimering or unktioner a to variable Eksempel.. Optimering i lukket begrænset mængde. En retvinklet kasse uden låg skal have et rumang på 3m 3. Kassen skal konstrueres således, at dens overlade bliver mindst (mindst materialeorbrug), idet dog ingen a kassens kanter må overstige 0m. Find kassens optimale dimensioner. Løsning: ) Optimeringsproblemet opstilles. Lad længde, bredde og højde a kassen være, og z. Vi har da Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen g(,, z) = z + z + i mængden S givet ved begrænsningerne z = 3, 0, 0, z 0, > 0, > 0, z > 0. ) Problemet reduceres. Begrænsningsligningen benttes til at reducere antallet a variable. 3 z = 3 z =. Ved indsættelse a z = 3 i g og de øvrige begrænsninger ås =, , 0, 0, > 0, > 0, > 0. Problemet kan deror nu reduceres til Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen (, ) = 64 i mængden S givet ved begrænsningerne <, 0 (se iguren) 3) De mulige globale ekstremumspunkter bestemmes. Som det remgår a ovenstående igur er mængden S lukket og begrænset. Iølge sætning. er der nu 3 muligheder: 3a) Stationære punkter: = 0 + = 0 = 64 = 0 + = 0 () 33

37 . Optimering Indsættes = 64 i ligning () ås = 0 + = = 0 = 0 = 4 64 Da > 0 er kun = 4 en løsning. Ved indsættelse a = 4 i = 64 ås = 4 A iguren ses, at det undne punkt (,) = (4,4) er et indre punkt i S Samlet har vi altså undet stationært punkt (4,4). 3b) Randpunkter: Randen a S opdeles i 3 dele R, R, og R3 (se iguren) Randdel R har ligningen = 3., R har ligningen = 0 og R 3 har ligningen = 0 De 3 randele skærer hinanden i A = (0,0.3), B = (0.3,0) og C = (0,0). Disse 3 punkter kunne også være ekstremumspunkter. Vi undersøger nu hver a de 3 rande or punkter med vandret tangent. R : Indsættes = 3. i (, ) år vi en unktion ( ) a variabel: ( ) = = hvor [ 030. ; ](ses a iguren) ( ) = 0. R R ( ) = 0 0 = 0 0 = 64 = ± = ± 5 Punkter (, ) =, kunne være et ekstremumspunkt. 5 Tilældet = 4 alder udenor intervallet [0.3; 0] 5 : Indsættes = 0 i (, ) år vi en unktion ( ) a variabel: ( ) = + +, hvor (ses a iguren) 0 0 [ 30.; ] ( ) = + 0. ( ) = = 0 0 = 64 = ± 6. 4 Punktet (, ) = ( 0, 6. 4) kunne være et ekstremumspunkt. Tilældet = 64. alder udenor intervallet [0.3; 0] : Indsættes = 0 i (, ) år vi en unktion 3( ) a variabel: ( ) = Det ses, at det er den samme som ( ), dvs vi år 0 Punktet (, ) = ( 64., 0) 3c) Punkter hvor ikke eksisterer: ingen. kunne være et ekstremumspunkt. 34

38 .3 Optimering or unktioner a to variable 4) Vi sammenatter nu de undne punkter i ølgende skema (,) -4,4 4 4, ( 0, 6. 4) ( 0, 6. 4 (0,0.3) -3, -0, ) 5 5 (,) ,8 Konklusion: Da 48 er mindst, har (, ) globalt minimum 48, som indtræer i minimumspunktet (4,4). Den optimale kasses overlade er altså 48 m, som indtræer or længden = 4 m, bredden = 4 m og højden z = m (idet z = 3 ).3.. Lokale ekstrema Skal man skae sig et overblik over en unktions "udseende", kan det være nødvendigt at kende arten a de stationære punkter, dvs. vide om de er lokale maksima, minima eller såkaldte saddelpunkter. Sætning.3 (de mulige lokale ekstrema). Lokale ekstremumspunkter skal søges blandt de stationære punkter or, samt punkter hvor ikke eksisterer. Beviset or sætningen svarer ganske til beviset or sætning.. Fra unktioner a én variabel vides, at man kan bestemme arten a et stationært punkt ved at lave en ortegnsdiskussion a ( ) Imidlertid kan man som regel også agøre arten a et stationært punkt ved at betragte de aledede a. orden i punktet. Der gælder nemlig ølgende: Lad være et stationært punkt or en unktion 0 (dvs. ( ) = ). ( ) > 0 er et lokalt minimumspunkt 0 0 ( ) < 0 er et lokalt maksimumspunkt 0 0 ( 0 ) = 0 nærmere undersøgelse må oretages 0 0 vi antager her, at er gange dierentiabel med en kontinuert. aledet ", 35

39 . Optimering Da man jo ikke kan lave en ortegnsdiskussion på en unktion a variable, må man i stedet betragte de partielt aledede a anden orden. Der gælder ølgende sætning: Sætning.4 (undersøgelse a arten a et stationært punkt). Lad (, ) være et stationært punkt or en unktion, og sæt 0 0 A = (, og 0, 0) B = 0 0 (, ) C = ( 0, 0) Der gælder da a) B 4AC < 0 A> 0 har lokalt minimum i (, ) 0 0 b) B 4AC < 0 A< 0 har lokalt maksimum i (, ) 0 0 ) B 4AC > 0 har intet lokalt ekstremum i (, ) 0 0 3) B 4AC = 0 : Nærmere undersøgelse må oretages. Bevisskitse:For nemheds skld antages, at har det stationære punkt (0,0) og at (0,0) = 0. (Koordinatsstemet kan altid parallelorskdes, så begndelsespunktet alder i ( 0, 0, ( 0, 0) ). Vi skal da blot undersøge ortegnet or (,) ~ nær (0,0). Vi tilnærmer (,) ved Talorpolnomiet (, ) a. grad med udviklingspunkt i (0,0). Idet vi ved, at (,) 00 = 0, (,) 00 = 0og ås (,) 00 0 ~ (, ) = A + B + C A + B C or ~ + 0 (, ) = Det omskrives til A + B C or + 0 = ( ) I begge tilælde indeholder den kantede parentes et andengradspolnomium med diskriminanten D= B 4 AC ~ ) Er D < 0 har andengradspolnomiet i den kantede parentes ingen rødder, dvs. (, ) må have samme ortegn or alle (, ) ( 00, ) nemlig ~ a) positivt or A > 0, så har egentligt lokalt minimum i (0,0). ~ b) negativt or A < 0 så har egentligt lokalt maksimum i (0,0) ~ ) Er D > 0 har andengradspolnomiet i den kantede parentes rødder, således at (, ) vil antage såvel positive som ~ negative værdier i en selv nok så lille udprikket omegn a (0,0), dvs. har ikke lokalt ekstremum i (0,0). 3) Er D = 0, kan man ikke ud ra ovennævnte Talorpolnomium a. orden vide noget, så her er en anden undersøgelse nødvendig. ~ Beviset er ørst uldørt, hvis resultaterne or under punkt ) og ) kan overøres til at gælde or. Dette er muligt, men er orholdsvis kompliceret, og vil ikke blive gennemørt her. vi antager her, at har kontinuerte partielle aledede a. orden. 36

40 .4 Lineær programmering Eksempel.3. Lokale ekstrema Find de stationære punkter or unktionen givet ved (, ) = ( ) + og agør or 5 hver a disse, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Løsning: = 0 ( ) + 4 = 0 4( + ) = 0 = 0 = 8 = 0 ( ) ( ) = 0 + = 0 () 5 5 = 0 indsættes i ligning () : ( ) ( ) = 0 = 0 Stationært punkt (0,0) 5 = indsættes i ligning (): ( )( ) = 0 = 5Stationære punkter (,5) og (-,5) ,5 (-, A = = 4( ) B = = ( 4) = 8 C = = B 4 AC 44 8 < > >0 5 5 Konklusion lokalt minimum saddelpunkt saddelpunkt.4 Lineær programmering.4. Indledning Hvis objektunktionen er en unktion a mange variable, og begrænsningerne består a mange ligninger og uligheder, bliver den i orrige asnit angivne metode ikke anvendelig. Er objektunktion og begrænsninger lineære kan man altid enten inde en løsning eller konstatere, at problemet ingen løsning har. Man siger i sådanne tilælde, at man har lineært programmeringsproblem (orkortes i det ølgende til LP-problem).4.. Problemstilling Ved et LP-problem orstås et optimeringsproblem, hvor objektunktionen u er lineær dvs. a tpen u(,,..., n) = c + c cnn og begrænsningerne ligeledes er lineære uligheder eller ligninger a tpen a + a ann b, a + a ann b. a + a a = b n n 37

41 . Optimering Skal man inde en produktionsplan or en abrik, således at ortjenesten bliver størst mulig, samtidig med at en række begrænsninger i produktionsaktorerne skal overholdes, vil dette tpisk være et LP ( lineært )- problem, som kan involvere mange hundrede ubekendte og begrænsninger. I den kemiske industri har LP-problemer tit karakter a blandingsproblemer. Et problem i et olierainaderi var således det ørste store LP - problem, der blev løst ved hjælp a et edb program (løst i 950). Løsningsmetoden orstås bedst ved at betragte et par tpiske LP- eksempler, hvor der kun orekommer variable. Man kan så anskueliggøre metoden geometrisk og regnearbejdet er overkommeligt. Med lidt lere variable kan man eventuelt bentte en lommeregner med matriregning mens det or problemer med mange variable er nødvendigt at bentte et egentligt LP-program på en PC. Eksempel.4. Produktionsplanlægning En abrik remstiller i en adeling to slutprodukter A og B, som kan sælges med nettoortjenester på henholdsvis 80 kr/ton og 80 hr/ton. Både A og B skal passere 3 maskiner. Dritstimer og maksimal dritstid ses a skemaet. Dritstimer or ton A Dritstimer or ton B Største totale antal dritstimer pr. uge or hver maskine Maskine 6 36 Maskine Maskine 0 Man ønsker en plan, så produktionen giver størst overskud. ) Opskriv objektunktion og begrænsningerne og vis, at problemet er et LP - problem. ) Løs problemet graisk. Løsning: ) Lad og betegne det antal ton, der produceres pr. uge a henholdsvis produkt A og B. Overskuddet u ved denne produktion kan da skrives u = (objektunktion) Koeicienterne til og (80 og 80) kaldes de (relative) omkostningskoeicienter Den tid maskine benttes til produktionen i en uge (maskine l's "aktivitet") er + 6 da den højst må være 36 timer, haves begrænsningen Analogt ås begrænsningene + og Endelig gælder naturligvis, at 0 og 0 (ikke negativitetsbetingelserne) Man skal inde maksimum a unktionen u (, ). Ovenstående udgør et LP - problem, da såvel objektunktionen som begrænsningerne er lineære., og 38

42 .4 Lineær programmering ) Geometrisk løsning Mængden a punkter, der tilredsstiller begrænsningerne er en polgon, begrænset a linierne + 6 = 36 () () + = (3) + = 0 og koordinatakserne (se iguren). Objektunktionen u = har niveaukurver, der er parallelle linier. På iguren er tegnet = 480 og = 380 (or overskud på 480 og 380). niveulinierne Man ser let, at det største overskud ås i en a polgonens vinkelspidser, nemlig (, ) = (6,5). Konklusion: Pr. uge skal produceres 6 ton A og 5 ton B, hvorved overskuddet bliver 380 kr. Et karakteristisk træk ved løsningen er, at selvom omkostningskoeicienterne ændres lidt, skal produktionsplanen ikke ændres. Falder.eks. nettoortjenesten på B betder det, at niveauliniernes hældning numerisk bliver større, men det giver ørst en ændring i produktionsplanen, når nettoortjenesten alder under 80 kr./ton. I så ald sker der et "diskontinuert" spring ra punktet (6,5) til punktet (9,). Er ortjenesten 80 kr./ton kan ethvert punkt på orbindelseslinien mellem de to punkter vælges. En optimal løsnings "ølsomhed" overor ændringer i de indgående konstanter, er deror væsentlig at kende. Optimal løsning Er LP-problemet i variable indså vi geometrisk, at en mulig optimal løsning må ligge i en a vinkelspidserne i den polgon, der bestemmes a begrænsningerne. 39