2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af en kop varm kakao, som blev sat i et lokale med en temperatur på 20 C. Vi antog, at lokalet var så stort, at temperaturen ikke steg, selvom der jo principielt må ske en opvarmning af lokalet, når kakaoen afkøles. Så hvad hvis vi nu i stedet ser på en situation, hvor omgivelserne opvarmes i takt med at drikkevarerne afkøles? Lad os antage, at vi for nemheds skyld forlader kakaoen og i stedet afkøler et hårdkogt æg ved at putte det i en skål med koldt vand. Forholdene er sådan, at hvis temperaturen på ægget falder med 1 C, stiger vandets temperatur med 0.1 C. (De faktiske forhold vil afhænge af vandmængden i forhold til æggets masse, men den historie vil overlader vi til fysiklæreren) I stedet for at omgivelsernes temperatur er konstant bliver omgivelsernes temperatur nu også en funktion af tiden. Vi kan opstille to differentialligninger med to ubekendte funktioner x(t) og y(t) x' t =Kk1$ x t K y t y' t = k2$ x t K y t hvor x(t) angiver æggets temperatur til tiden t og y(t) angiver vandets temperatur til tiden t. Vi sætter k1 til 0.1 som i eksemplet med kakaoafkølingen, og k2 bliver 0.01, fordi vi antog, at temperaturændringen var 10 gange så stor for ægget som for omgivelserne. Vi vil gerne løse differentialligningssystemet og udnytter som sidst den indbyggede hjælpefil i Maple. 1.Vælg Tools/Assistants/ODE Analyzer Udfyld felterne fra venstre mod højre Tryk Edit under Differential Equations Tryk Assist for at få den rigtige syntaks til venstre side af differentialligningerne og indtast højresiderne. Skriv navnet på funktionen (her x) og den uafhængige variabel (her t) og vælg order til 1, svarende til en førsteordens differentialligning MJ Nærum gymnasium 17-05-2013 s 1 af 6
5. Tryk Insert og dernæst Done 6. Indskriv resten af ligningen og tryk Add, når du er færdig. Koblede differentialligninger.mw 7. Gentag punkt 2-5, så du får begge ligninger indsat og afslut med at trykke Done 8. Gå videre med Conditions dvs. startbetingelserne, som her skal være x(0)= 100, svarende til at ægget er 100 C til at begynde med, og y(0)=20 fordi vandet har stuetemperatur. 9. Udfyld til sidst Parameters, med værdierne for k1 og k2 MJ Nærum gymnasium 17-05-2013 s 2 af 6
9. Koblede differentialligninger.mw Når du er færdig ser det således ud 11. Tryk Solve Numerically 12. Tryk Plot Options og sæt indstillingerne som vist neden for. Linjen med y i nederste felt fremkommer, ved at man trykker på Copy i linjen med x og udskifter x med y i rullemenuen 13. Tryk Done 14. Tryk Plot 15. Tryk Quit MJ Nærum gymnasium 17-05-2013 s 3 af 6
Så skulle følgende billede komme frem. 100 80 x, y 60 40 20 16. 0 0 10 20 30 40 50 t Klik på figuren og sæt enheder på akserne, og labels på kurverne. 100 80 temperatur i C 60 40 Æggets temperatur Omgivelsernes temperatur 20 0 0 10 20 30 40 50 tid i min Øvelse 1 Prøv selv at undersøge, hvad der sker, når man ændrer på startbetingelser og parametre. MJ Nærum gymnasium 17-05-2013 s 4 af 6
Det viser sig, at vi kan løse dette ligningssystem analytisk i Maple. Vi definerer først parametrene k1 d 0.1 : k2 d 0.01 : Dernæst definerer vi differentialligningerne ode1 d x' t =Kk1$ x t K y t : ode2 d y' t = k2$ x t K y t : og så løser vi dem med startbetingelserne x(0)=100 og y(0)=21 dsolve ode1, ode2, x 0 = 100, y 0 = 21 x t = 310 11 C 790 11 K 11 e 100 t, y t = K 79 11 e K 11 100 t C 310 11 (1) Ekstramateriale Vi kan også udlede de generelle løsninger til dette specielle differentialligningssystem på følgende måde. Vi skal finde alle de funktioner x(t) og y(t), der passer ind i ligningssystemet x' t =Kk1$ x t K y t y' t = k2$ x t K y t For nemheds skyld, skriver vi ikke t-erne, så ligningssystemet ser således ud x'=kk1$ x K y y'= k2$ x K y hvor vi husker, at x og y er funktioner. Vi starter med at vise at k2$x C k1$y er konstant ved at differentiere udtrykket og få 0. (Sætningen om differentiable funktioners monotoniforhold). k2$x C k1$y '= k2$x'c k1$y'= k2$ Kk1 $ x K y C k1$k2$ x K y = 0 Sætter vi x 0 = x 0 og y 0 = y 0 ved vi k2$x C k1$y = k1$x 0 C k2$y 0 Øvelse 2 Hvorfor gør vi det? MJ Nærum gymnasium 17-05-2013 s 5 af 6
Nu kan vi isolere y og indsætte det fundne udtryk i ligningen for x' y = k1$x 0 C k2$y 0 K k2$x k1 x'=kk1$ x K k1$x 0 C k2$y 0 K k2$x k1 =Kk1$x C k1$x 0 C k2$y 0 Kk2$x x'=k k1 C k2 $x C k1$x 0 C k2$y 0 Ser vi grundigt på denne differentialligning genkender vi Newtons afkølingslov, hvor x'=kk$ x K tslut k1 C k2 svarer til k og tslut = k1$x 0 C k2$y 0 k1 C k2 Når vi har bestemt x analytisk ved at løse diferentialligningen, kender vi også y. Øvelse 3 Hvorfor gør vi det? Vi kan nu sammenligne vores teoretiske løsning med vores analytiske ved at plotte de to løsninger i samme diagram. Øvelse 4 Gør det. MJ Nærum gymnasium 17-05-2013 s 6 af 6