Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører notationen f = f dµ for f L, kan vi konstatere at følgende regneregler holder: (i) f 0, (ii) a f = a f (iii) f+ g f + g for alle a R, f, g L. Afbildningen f f er med andre ord en seminorm på vektorrummetl. Ifølge lemma 6.22 i [EH] gælder der at (iv) f = 0 f= 0µ næsten overalt, så er ikke nogen rigtig norm for de fleste målrum. Visse målrum - somnudstyret med tællemålet - har ikke andre nulmængder end, og så fald sikrer (iv) at er en rigtig norm. Men for de fleste målrum må man nøjes med seminormsegenskaben.
2 Kapitel. Funktionsrum Det er naturligt at betragte f g = f g dµ som en afstand melleml-funktionerne f og g. Man bemærker, at f g = 0 f= g µ næsten overalt, så f g er en pseudometrik og kun en metrik, hvis er den enesteµ-nulmængde. Definition. En følge af funktioner f, f 2, L siges at konvergere i -middel mod en grænsefunktion f Lhvis der gælder at f n f 0 for n. Dette konvergensbegreb for funktioner er et helt andet end punktvis konvergens, som vi hidtil udelukkende har beskæftiget os med. Som vi skal se, er der et vist samspil mellem de to konvergensbegreber, men i første omgang skal man fokusere på forskellen. Eksempel.2 Betragt funktionerne f n :R R givet ved f n = n (0, n) for n=, 2,... Disse funktioner er ikke-negative, og de er integrable med hensyn til Lebesguemålet, alle med integral. De er tydeligvis punktvist konvergente mod nulfunktionen, men da f n 0 = f n dm= for alle n, konvergerer de ikke i -middel mod nulfunktionen. Eksempel.3 Betragt trekantsskemaet af afsluttede intervallet [0, ] [ ] [ 0, 2 2 [ [, ] 0, 3] 3, ] [ 2 2 3 3 [ [, ] 0, 4] 4, [ 4] 2 2 4, ] [ 3 3 4 4, ].
.2. Vektorrum med seminorm 3 Lad os numerere disse intervaller række for række og derefter oppefra og ned, og lad g, g 2,... være den tilsvarende følge af indikatorfunktioner. For at pinde det helt ud: i denne nummerering bliver indikatorfunktionerne for fjerde række i skemaet g 7, g 8, g 9 og g 0. Indikatorfunktionerne svarende til intervallerne i den k te række har alle integral k med hensyn til Lebesguemålet m, så vi kan indse at g n 0 for n. Så g n -funktionerne konvergerer mod nulfunktionen i -middel. Men g n -funktionerne konverger ikke punktvist mod nulfunktionen. Uanset hvilket x [0, ] vi tager så vil der i følgen g (x), g 2 (x),... blive ved med at komme både 0 og, og derfor er følgen divergent..2 Vektorrum med seminorm Lad (M, d) være et pseudometrisk rum, dvs. en mængde M forsynet med en pseudometrik d(, ). Et pseudometrisk rum adskiller sig fra et metrisk rum derved at der kan optræde punktpar (x, y) med x y og d(x, y)=0. For et pseudometrisk rum kan man definere kuglen om x M med radius r > 0 som B(x, r)={y M d(x, y)<r}. Når man har indført kuglerne, kan man gå videre og snakke om åbne mængder. En mængde G M er åben hvis der for hvert x G findes et r>0 så B(x, r) G. Man ser at systemetgaf åbne mængder i M er stabilt over for endelig fællesmængdedannelse og over for vilkårlig foreningsmængdedannelse, og dermed udgør G en topologi. Pseudometrikken giver anledning til et naturligt konvergensbegreb. En følge x, x 2, M siges at konvergere mod x M, netop hvis d(x n, x) 0 for n. Det kan formuleres ved hjælp af topologien, for det er ækvivalent med at det for enhver åben mængde G indeholdende x gælder at x n G fra et vist trin. Topologien i et pseudometrisk rum adskiller sig noget fra den tilsvarende konstruktion i et metrisk rum. Fra et abstrakt topologisk synspunkt ville man sige at problemet
4 Kapitel. Funktionsrum er at den såkaldte Hausdorff egenskab ikke gælder. Hausdorff egenskaben går ud på at man til to vilkårlige punkter x y kan finde disjunkte åbne mængder G og G 2 så x G og y G 2. Man taler om at separere punkter ved hjælp af åbne mængder. I et pseudometrisk rum er det ikke muligt at separere x og y ved hjælp af åbne mængder hvis d(x, y) = 0. Af trekantsuligheden fås d(x, z)=d(y, z) for alle z M, så kugler med centrum x eller y kommer ud på ét, for B(x, r)= B(y, r). Specielt vil en åben mængde, der indeholder x, også indeholde y. Mere generelt vil x og y samtidig være indre punkter, ydre punkter eller randpunkter for en mængde A M. Et praktisk udslag af den manglende Hausdorff egenskab er at grænseværdier ikke nødvendigvis er entydige. Hvis x, x 2,... er en følge der konvergerer mod x M og hvis d(x, y) = 0, så vil følgen også konvergere mod y. Vi vil specielt interessere os for pseudometriske rum, der konstrueres ud fra en seminorm. I et vektorrum V med seminorm indføres en pseudometrik ved definitionen d(x, y)= x y for alle x, y V. Som vi skal se nu, kan man til et vektorrum med seminorm kan knyttes et andet vektorrum med en rigtig norm, på en sådan måde at de to vektorrum i praksis nærmest kan identificeres. Man kan derfor relativt let formulere sig uden om de problemer som den manglende Hausdorff egenskab ellers kunne give. Bemærk at : V R er kontinuert ligesom i et normeret rum. Det følger nemlig af trekantsuligheden at x y x y for alle x, y M. (.) Også kompositionerne er kontinuerte. Således kan man indse, at multiplikation med skalarer er kontinuert i (λ 0, x 0 ), ved brug af λx λ 0 x 0 λ x x 0 + λ λ 0 x 0, der fås ved at bruge trekantsuligheden på identiteten λx λ 0 x 0 =λ(x x 0 )+(λ λ 0 )x 0.
.2. Vektorrum med seminorm 5 Vi ser tilsvarende at additionen iver kontinuert, ved at benytte uligheden (x+y) (a+b) x a + y b. Ved fastsættelsen x y x y =0 defineres en ækvivalensrelationen i V. Vi skriver de tilhørende ækvivalensklasser som [x]={y V x y}={y V x y =0} for x V. Mængden V = V/ af ækvivalensklasser er et vektorrum med kompositioner defineret ved repræsentanter, [x]+[y]=[x+y], a [x]=[ax]. I algebraiske termer fokuserer vi på underrummetv 0 ={x V x =0} og danner herudfra kvotientrummet (eller faktorrummet) V=V/V 0. Da x = y når x y =0 ifølge (.), kan vi definere en funktion : V R ved [x] = x. Vi kan konstatere at denne funktion er en norm i V. Vi noterer alle disse overvejelser som en sætning: Sætning.4 Et vektorrumvmed seminorm går over i et vektorrum V med norm, når elementerne samles i klasser ved ækvivalensrelationen x y x y =0. Eksempel.5 For et vilkårligt målrum (X,E,µ) har vi defineret en seminorm på funktionsrummet L = L(X, E, µ) ved f = f dµ, f L(X,E,µ). Det vektorrum, der dukker op i sætning.4, vil i denne sammenhæng som regel blive skrevet L(X, E, µ). Ækvivalensrelationen bag konstruktionen er f g f g = 0,
6 Kapitel. Funktionsrum eller f g f= gµ-næsten sikkert. Overgangen fra funktionsrummet L til det mere abstrakte rum L består løst sagt i, at vi ophører at skelne mellem funktioner f og g, eller regner dem for lige gode, når f = g næsten overalt med hensyn til µ. Præcist: de opfattes som repræsentanter for en og samme ting (nemlig for samme klasse)..3 FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< Lad (X,E,µ) være et målrum, og lad p være et reelt tal med p [, ). En funktion f M(X,E) siges at være p-dobbelt integrabel med hensyn tilµhvis f p dµ<. Mængden af p-dobbelt integrable funktioner betegnesl p (X,E,µ) - eller blotl p (µ) eller måske enddal p hvis det skal gå hurtigt. Bemærk, atl (µ) netop er mængdenl(µ) afµ-integrable funktioner påx. Og der er naturligvis ingen mennesker der begynder at tale om en -dobbelt integrabel funktion når de kan nøjes med at sige integrabel. Tilsvarende siger man normalt kvadratisk integrabel i stedet for 2-dobbelt integrabel. Sætning.6 MængdenL p (X,E,µ) er et reelt vektorrum. BEVIS: Hvis a R er en skalar og f L p, så er a f p dµ= a p f p dµ<, og vi ser at a f L p. For at vise atl p er stabil over for addition, udnytter vi følgende uligheder, der gælder for alle y, z R: y+z p ( y + z ) p ( 2 max{ y, z } )p = 2 p max{ y p, z p } 2 p ( y p + z p ).
.3. FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< 7 Tager vi f, g L p og sætter f (x) og g(x) ind som y og z, ser vi at f+ g p dµ 2 p f p + g p dµ< og vi konkluderer at f+ g L p. Vi skal se, at der ved ( f p = f p dµ) /p f L p (X,E,µ) defineres en seminorm p pål p (X,E,µ). Det er klart at denne definition opfylder (i) og (ii) fra p., så udfordringen er at få vist trekantsuligheden. For at bevise trekantsuligheden gennemgår vi nogle klassiske integraluligheder, centreret omkring begrebet duale eksponenter. To tal p, q (, ) er duale eksponenter hvis p + =. (.2) q F. eks. har 2 sig selv som dual eksponent, mens 3 har 3 2. Ethvert p (, ) har præcis én dual eksponent, nemlig q= p p. Hvis p og q er duale eksponenter, så er (p )(q )=. (.3) Lemma.7 (Youngs ulighed) Lad p, q> være duale eksponenter. Der gælder at uv up p + vq q for u, v [0, ). (.4) BEVIS: Uligheden er triviel for u=0 eller v=0, så vi antager at begge er positive. Da x e x er konveks på hele den reelle akse (se [EH], appendix D) gælder der for alle y, z Rog alleα (0, ) at exp ( αy+( α)z ) αe y + ( α)e z. Bruges det på y= p log u, z=q log v, α= p, får vi Youngs ulighed. Bemærk at Youngs ulighed for p=q=2 er det velkendte resultat 2uv u 2 + v 2.
8 Kapitel. Funktionsrum (0, v) (u, 0) Figur.: Grafisk illustration af Youngs ulighed. Kurven er grafen for x x p. Arealet af kassen er uv, arealet af det nederste skraverede område er p up, arealet af det øverste skraverede område er q vq. Youngs ulighed siger at arealet af kassen er mindre end summen af de to skraverede arealer. Sætning.8 (Hölders ulighed) Lad (X,E,µ) være et målrum, og lad p, q> være duale eksponenter. Hvis f L p (µ) og g L q (µ) så er f g L(µ) og f g dµ f p g q. (.5) BEVIS: Vi kan antage f p 0 og g q 0, for ellers er f = 0 eller g=0 næsten sikkert, og i så fald er også f g=0 næsten sikkert. Heraf vil det følge at venstresiden af (.5) er nul, sådan at uligheden trivielt er opfyldt. Vi kan observere at hvis (.5) holder for f og g, så holder formlen også for c f og d g, hvor c og d er reelle tal. Det er derfor tilstrækkeligt at vise formlen under antagelse af at f p = g q =. Det generelle tilfælde følger nemlig af dette specielle tilfælde, kombineret med at f= f p f f p, g= g q g g q,
.3. FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< 9 Fra Youngs ulighed følger det at f (x) g(x) p f (x) p + q g(x) q for alle x X, og dermed f g dµ p f p dµ+ q g q dµ = p f p p+ q g q q= p + q = = f p g q. Eftersom denne øvre grænse er endelig, følger det at f g er integrabel. Og selve Hölders ulighed står direke at læse. Den form Hölders ulighed oftest optræder i, er med p=q=2. I den form kaldes uligheden gerne Cauchy-Schwarz ulighed. Denne variant siger at hvis f og g begge er kvadratisk integrable med hensyn tilµ, så er f g integrabel, og f g dµ f 2 g 2. Sætning.9 (Minkowskis ulighed) Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad p. Hvis f, g L p (µ) så er f+ g L p (µ) og f+ g p f p + g p. (.6) BEVIS: Vi ved allerede at f+ g L p (µ), således at det kun er selve uligheden, vi skal vise. Uligheden er allerede kendt for p =, så vi antager at p > og vi lader q være den duale eksponent til p. Vi begynder med vurderingen f+ g p p= f+ g p dµ= f+ g f+ g p dµ f f+ g p dµ+ g f+ g p dµ. Funktionen f+ g p ere-målelig, og f+ g (p )q dµ= f+ g p dµ<,
0 Kapitel. Funktionsrum idet f+ g L p. Altså er f+ g p L q med ( f+ g p q = ) /q f+ g p dµ = f+ g p/q p = f+ g p p. Hölders ulighed giver så f f+ g p dµ f p f+ g p p, g f+ g p dµ g p f+ g p p. Sammenholdt har vi f+ g p p ( f p + g p ) f+ g p p. (.7) Hvis f+ g p = 0 er (.6) trivielt opfyldt. Og hvis f+ g p 0 kan vi nu opnå (.6) ved at forkorte f+ g p p væk i (.7). Vi samler det viste i følgende: Sætning.0 Lad (X,E,µ) være et målrum, og lad p. Ved fastsættelsen ( /p f p = f dµ) p for alle f L p (µ), defineres en seminorm på funktionsrummetl p (µ). Det konvergensbegreb der svarer til seminormen p kaldes konvergens i p-middel, eller for p=2 konvergens i kvadratisk middel. En følge f, f 2, L p (µ) konvergerer således mod f L p µ) i p-middel, netop hvis f n f p 0 for n. Altså netop hvis f n f p dµ 0 for n.
.3. FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< Konvergens i p-middel er noget helt andet end punktvis konvergens. Både eksempel.2 og eksempel.3, der formelt beskæftiger sig med forholdet mellem konvergens i -middel og punktvis konvergens, generaliseres uden videre til at punktvis konvergens ikke nødvendigvis medfører konvergens i p-middel, og omvendt at konvergens i p-middel ikke nødvendigvis medfører punktvis konvergens i ét eneste punkt. Men der gælder dog følgende: Sætning. Lad (X,E,µ) være et målrum, og p [, ). Lad f, f 2,... :X R være en følge afl p -funktioner. Antag at der findes en grænsefunktion f :X R sådan at f n (x) f (x) for n for alle x X. Hvis der findes en integrabel majorant f p, f 2 p,..., så er f L p (µ), og der gælder at f n f p 0 for n. g M + for følgen BEVIS: Det er klart at f L p (µ), for når f n (x) p f (x) p for n og når f n (x) p g(x) for alle n, så må også f (x) p g(x). Da f n (x) f (x) p 0 for alle x, og da f n f p 2 p g, giver Lebesgues majorantsætning f n f p dµ 0 dµ=0 for n. Seminormen p er ikke i almindelighed en norm pål p (X,E,µ), idet ( /p f p = f dµ) p = 0 f= 0µ næsten sikkert. Men ved at samle funktionerne il p i ækvivalensklasser kan man, ligesom i eksempel.5 føre seminormen over i en norm: Sætning.2 FunktionsrummetL p (X,E,µ) med seminormen p går over i et vektorrum L p = L p (X,E,µ) med norm (som vi også skriver p ) når funktionerne samles i klasser ved ækvivalensrelationen f g f g p = 0, det vil sige f g f= gµ-næsten sikkert.
2 Kapitel. Funktionsrum Skellet melleml p (µ) og L p (µ) er en formalistisk øvelse, som ikke betyder det store i manges øjne. Men overgangen til L p redder entydighed af grænsepunkt for følger, og det er en egenskab man ofte ubevidst trækker på. Sætning.3 Hvisµ(X)<, og hvis r s, så gælder der atl s (µ) L r (Xµ), og at f r f s µ(x) /r /s for alle f L s (µ). (.8) BEVIS: Antagµ(X)< og f L s. Anvendelse af Hölders ulighed på f r L s/r og den konstante funktion L s/(s r) giver da f r L, altså f L r, samt ( f r dµ ) r/s ( f r s/r dµ dµ) (s r)/s, dvs. f r f s µ(x) /r /s. I tilfældet µ(x) = gælder ikke i almindelighed resultater af lignende karakter. For Lebesgue målet på R er det således let at give eksempler på funktioner tilhørende henholdsvisl r \L s,l r L s ogl s \L r når r<s. Eksempel.4 Når målrummet er (N, P(N), τ) hvor τ er tællemålet, skriver man normaltl p i stedet forl p. Vi har altså at og vi ser at l p = (x, x 2,...) R N x p = x j p j= /p x j p <, j= når x=(x, x 2,...) l p. Hvis vi tager to talfølger x og y der begge er nul fra koordinat k + og fremad, så kan Hölders og Minkowskys uligheder i dette tilfælde formuleres /q k k k x j y j x j /p p y j q, j= j= j=
.4. Fischers fuldstændighedssætning 3 når p og q er duale eksponenter, og k x j + y j p j= /p k x j p j= /p k + y j p j= /p. Det er disse uligheder, der skyldes henholdsvis Otto Hölder (889) og Hermann Minkowski (896). Sætning.5 Lad (X,E,µ) være et målrum, og p [, ). De simplel p -funktioner ligger overalt tæt il p (µ). BEVIS: Vi starter med at vise at f L p kan approksimeres vilkårligt godt med simple L p -funktioner hvis vi gør den ekstra antagelse at f 0. Ifølge korollar 5.7 i [EH] findes der en følge g g 2... afs + -funktioner funktioner, så g n ր f. Idet 0 g n f og f L p, sluttes af sætning. at g n L p, og f g n p 0. En reel funktion f L p kan spaltes f=f + f, og da både f + og f er majoriseret af f, ser vi at f +, f L p. De er ikke-negative, så for et givetǫ> 0 kan vi ifølge det netop viste, finde positive simplel p -funktioner g og g 2, så f + g p <ǫ/2, f g 2 p <ǫ/2. Funktionen g=g g 2 er da en simpell p -funktion, og f g p f + g p + f g 2 p <ǫ..4 Fischers fuldstændighedssætning En følge (x n ) n N i et pseudometrisk rum (M, d) er en Cauchyfølge hvis der for alle ǫ> 0 findes et N N sådan at d(x n, x m )<ǫ for alle n, m N. En konvergent følge er naturligvis en Cauchyfølge. Vi siger at det pseudometriske rum (M, d) er fuldstændigt hvis det omvendte gælder, altså hvis enhver Cauchyfølge er konvergent. Vi ved at den reelle akse med den sædvanlige metrik er et fuldstændigt
4 Kapitel. Funktionsrum metrisk rum, og derfor også et fuldstændigt pseduometrisk rum. Tilsvarende er de rationale tal Q med den sædvanlige metrik et ikke-fuldstændigt (pseudo)metrisk rum. I et vektorrumvmed seminorm kan man indføre begreberne konvergent og absolut konvergent uendelig række. Definition.6 En uendelig række x k med led fravkaldes konvergent med sum s såfremt afsnitsfølgen s n = x +...+ x n konvergerer mod s. Rækken kaldes absolut konvergent såfremt rækken af positive tal x k er konvergent, altså såfremt x k <. Fuldstændighed af pseudometrikken i et seminormeret vektorrum kan formuleres ved hjælp af en relation mellem de absolut konvergente rækker og de konvergente rækker. Man taler om at absolut konvergens medfører konvergens, eller om Weierstrass M- kriterium. Sætning.7 Et vektorrum V med seminorm er fuldstændigt, hvis og kun hvis enhver række x k med led frav, hvor x k <, er konvergent iv. BEVIS: Antag først atver fuldstændigt, og at rækken x k er absolut konvergent. Sættes s n = n x k har man s n+p s n = n+p k=n+ x k n+p k=n+ x k, og da x k er en konvergent reel række, følger det af udsnitskriteriet at (s n ) er en Cauchyfølge. Fuldstændigheden giver at (s n ) må være konvergent, og derfor er x k konvergent. Antag dernæst at absolut konvergens medfører konvergens og lad (x n ) være en Cauchy følge iv. Vi kan vælge n < n 2 <... således at x n x m 2 k for n, m n k, og dermed har vi x nk+ x nk <. (.9)
.4. Fischers fuldstændighedssætning 5 Faktisk er rækkens sum, men det spiller ikke nogen rolle for os. Rækken x n + ( ) xnk+ x nk er altså absolut konvergent, og dermed konvergent, så der findes x V, så afsnitsfølgen x n, x n2,... konvergerer mod x. Men vi ser at også (x n ) konvergerer mod x. Vi kan nemlig for givetǫ> 0 findet N så x k x m <ǫnår k, m N. Vælg k så stor at n k N, og så x nk x <ǫ. For n Nser vi da at x x n x x nk + x nk x n 2ǫ. Spørgsmålet om fuldstændighed af et vektorrum med seminorm, kan føres tilbage til det tilsvarende spørgsmål for normerede rum, idet der gælder: Sætning.8 Lad V være et vektorrum med seminorm, og lad V være det tilsvarende normerede rum af ækvivalensklasser ved relationen x y x y = 0. Så er V fuldstændigt, hvis og kun hvis V er fuldstændigt, altså et Banach rum. BEVIS: Idet der for x, y V gælder x y = [x] [y] = [x y], så følger, at (x n ) er konvergent (henholdsvis en Cauchy følge) iv, hvis og kun hvis ([x n ]) er konvergent (henholdsvis en Cauchy følge) i V. Sætning.9 (Fischers fuldstændighedssætning) Lad (X, E, µ) være et målrum og lad p [, ). FunktionsrummetL p =L p (X,E,µ) er fuldstændigt. Anderledes sagt: det normerede rum L p = L p (X,E,µ) er et Banach rum. BEVIS: Vi benytter karakteriseringen af fuldstændighed i sætning.7. Så vi tager en følge af funktioner g k L p der tilsammen opfylder at g k p <, og vi søger en funktion f L p så n f g k 0 for for n. p
6 Kapitel. Funktionsrum Eftersøgningen viser sig at lykkes ved, at rækken g k er punktvis konvergent næsten overalt med en sumfunktion, der kan bruges. I første omgang sætter vi h(x)= g k (x) for alle x X. Vi lader h komme til verden som en sum af tælleligt mangem + -funktioner, og dermed er h selv enm + -funktion. Rækken g k (x) er (absolut) konvergent i hvert punkt x Xhvor h(x)<. For n har vi n g k (x) րh(x) for alle x X og dermed p n g k (x) ր h(x) p, idet vi regner p =. Lebesgues monotonisætning giver da at p n g k dµր h p dµ, hvilket kan reformuleres som n ( g k ր p h p dµ) /p. Idet n g k p n g k p for alle n N, finder vi som resultat: ( Da h p dµ<, slutter vi at h p dµ) /p g k p <. N={x X h(x)= }={x h(x) p = } har målµ(n)=0. Rækken g k (x) er altså absolut konvergent forµ-næsten alle x X, og dermed kan vi definere f :X R ved f (x)= X\N (x) g k (x) for x X.
.4. Fischers fuldstændighedssætning 7 Det er klart at f er en grænse afm-funktioner, og da f selv er reel, er f også en M-funktion. Videre har vi f (x) h(x) for alle x X, hvoraf det følger at ( /p ( f dµ) p h p dµ) /p g k p <. Vi ser således at f L p (µ) og det følger af sætning. at f n g k p 0 for n, da n g k fµ-n.o., og da h p er en majorant af den ønskede type. BEMÆRK: Vi har faktisk vist følgende: En række g k med led fral p, der opfylder at g k p <, konvergerer punktvis absolut næsten overalt og i p-middel mod en funktion f L p, som opfylder f p g k p. Denne ulighed kan lidt farligt skrives g k p g k p, og fremtræder derved som en generalisation af Minkowskis ulighed. Korollar.20 Enhver følge f, f 2, L p (X,E,µ), der konvergerer i p-middel mod f L p, har en delfølge f n, f n2,..., der konvergerer punktvis mod f næsten overalt. Det er endda muligt at opnå, at ( f nk p ) har en integrabel majorant g M +. BEVIS: Vi udnytter af ( f n ) er en Cauchyfølge. De samme argumenter som gav (.9) giver nu en delfølge n < n 2 <... sådan at f nk+ f nk p <. Følgen f n, f n2,... er afsnitsfølge for den absolut konvergente række f n + ( f nk+ f nk ),
8 Kapitel. Funktionsrum og dermed vil konvergere f n, f n2,... både næsten overalt og i p-middel mod en funktion f L p. Da også f nk f il p, sluttes, at f f p = 0, altså f= f næsten overalt. Som majorant kan benyttes p g(x)= f n (x) + f nk+ (x) f nk (x). Korollar.2 Hvis en følge f, f 2, L p (X,E,µ) konvergerer i p-middel mod ϕ L p og punktvis modϕ 2 næsten overalt, da erϕ =ϕ 2 næsten overalt. BEVIS: En passende delfølge konvergerer næsten overalt modϕ, foruden naturligvis tillige modϕ 2. Litteratur [EH] - Ernst Hansen: Measure Theory (second edition). Københavns Universitet 2007.