Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given mængde output. Det er en isokostlinje, som angiver de kombinationer af inputs, som koster det samme for virksomheden at anvende. 1.2 Forkert. Engel-kurven angiver en sammenhæng mellem forbrugerens efterspørgsel og forbrugerens budgetsum. Det er efterspørgselskurven, som angiver en sammenhæng mellem forbrugerens efterspørgsel efter en vare og prisen på varen. 1.3 Korrekt. Den samlede effektafetprisfaldpåenvarekandekom- poneres i to effekter: en substitutionseffekt og en indkomsteffekt (her vil det være hensigtsmæssigt med en graf: jf. pensumnoten om substitutionsog indkomsteffekter ved prisændringer). Substitutionseffekten isolerer konsekvensen af, at de relative priser er blevet ændret, hvilket isoleret set gør, at man vil bruge mere af varen der er faldet i pris og mindre af den anden vare. Indkomsteffekten afspejler, at forbrugeren har fået en større real købekraft som følge af prisfaldet. De kvalitative konsekvenser af indkomsteffekten svarer dermed til effekten af en øget budgetsum, hvilket implicerer et øget forbrug af normale varer. Hvis begge varer er normale, vil indkomsteffekten således isoleret set bevirke et øget forbrug af begge varer. 1.4 Korrekt. Monopolisten kan kun påvirke profitten før skat. Hvis profitten efter skat skal maksimeres, er det derfor nødvendigt, at virksomheden 1
maksimerer profitten før skat hvilket er identisk med profitten før indførelsen af skatten. Da virksomheden altså ønsker at maksimere det samme med og uden skat, må det nødvendigvis gælde, at at virksomhedens valg af pris og produktion er uafhængig af skatten. Mere formelt kan dette vises på følgende måde: Profitten før indførelsen af skatten kan skrives π før = R (y) C (y), hvor y er produktions størrelse, R (y) er virksomhedens indtægter, og C (y) er virksomhedens omkostninger. Maksimering af profitten opnås i et punkt, hvor π før / y =0hvilket giver standardbetingelsen MR = R 0 (y) =C 0 (y) =MC, hvor MR er marginalindtægterne, mens MC er marginalomkostningerne. Profitten efter indførelsen af skatten kan skrives π efter =(1 t)[r (y) C (y)], hvor t er en skattesats. Maksimering af profitten opnås i et punkt, hvor π efter / y =0hvilket giver (1 t)[r 0 (y) C 0 (y)] = 0 MR = R 0 (y) =C 0 (y) =MC. Altså samme betingelse som før. Monopolisten vil dermed vælge den samme produktion. Monopolistens pris på varen findes ved at indsætte produktionen i forbrugernes (inverse) efterspørgselskurve, som er upåvirket af skatten (det vil være godt med en grafisk illustration). Pris og produktion er dermed upåvirket af skatten. 1.5 Korrekt. Omsætningen på et marked er givet ved R (x) =p (x) x, hvor p (x) er den inverse efterspørgselskurve. Differentiering af dette udtryk giver R 0 (x) = p + dp µ dx x = p 1+ dp/p dx/x = p (1 + 1/ε), 2
hvor ε = dx/x dp/p er efterspørgslens egenpriselasticitet. Hvis efterspørgslen er elastisk, er ε< 1, hvilket fra ovenstående udtryk betyder, at R 0 (x) > 0. Altså stiger omsætningen på markedet, hvis produktionen øges, og efterspørgslen er elastisk. Den elastiske efterspørgsel betyder, at priserne skal falde med mindre end 1 procent for at skabe en øget afsætning svarende til en produktionsforøgelse på 1 procent. Da prisfaldet relativ set er mindre end produktionsforøgelsen, stiger omsætningen. OPGAVE 2 2.1 Marginalnytterne bliver MU x = a x og MU b y =1. Begge marginalnytter er positive, idet det er antaget, at x<a. Præferencerne er således monotone. 2.2 Det marginal substitutionsforhold mellem x og y bliver MRS = MU x MU y = a x. Da præferencerne er monotone og konvekse (hvilket vides b at være opfyldt for kvasi-lineære præferencer) vil et varebundt, som opfylder tangeringsbetingelsen, også være et optimalt valg for forbrugeren. Tangeringsbetingelsen implicerer, at hældningen på en indifferenskurve, MRS, vil være lig hældningen på husholdningens budgetlinjen, p D (dette kan evt. illustreres grafisk). Løsningen vil dermed være karakteriseret ved MRS = a x b = p D. Isoleres x i denne ligning, får man x = a bp D, hvilket er efterspørgselsfunktionen. 2.3 Virksomhedens variable omkostninger (VC) er den produktionsafhængige del af de totale omkostninger, mens den resterende del er de faste omkostninger (FC). Derved fås VC = e x + 1 f 2f x2,ogfc = c. Degennemsnitlige omkostningsbegreber findes ved at dividere med produktionens størrelse x. Dette giver AF C = c, AV C = e + 1 x,ogat C = c + e + 1 x. x f 2f x f 2f De marginale omkostninger findes ved at differentiere de totale (eller variable) omkostninger mht. x, hvilket giver MC = e + 1x. f f 3
Pris pr. enhed MC ATC AVC AFC Enheder Figur 1: Gennemsnitlige - og marginale omkostninger AF C, AV C, AT C og MC er skitseret i figur 1. AF C er faldende overalt, da de faste omkostninger fordeles ud på flere enheder, når produktionen øges. AV C og MC er her stigende overalt, hvilket betyder, at det koster mere at producere én enhed yderligere sammenlignet med, hvad det kostedeatproducereenhedernefør.detgælderaltid,atav C og MC før eller siden vil være stigende, da de faste produktionsfaktorer på kort sigt vil gøre detsværeogsværeatforøgeproduktionenyderligere. AV C og MC kan godt være faldende i starten (jf. Varian kapitel 21), hvilket dog ikke er tilfældet her. AV C og MC starter i samme punkt, hvilket skyldes, at de gennemsnitlige variable omkostninger og de marginale omkostninger begge er identisk med de samlede variable omkostninger for den første producerede enhed. AT C-kurven er U-formet og ligger over hhv. AF C og AV C, idet AT C = AF C + AV C. AT C-kurven nærmer sig AV C-kurven, når produktionen øges, idet de gennemsnitlige faste omkostninger bliver mindre 4
og mindre. MC-kurven går igennem minimum af AT C-kurven. Dette kan forstås på følgende vis: Hvis virksomheden producerer én enhed yderligere, og meromkostningerne (MC)ermindreend,hvadde eksisterendeenheder i gennemsnit har kostet (AT C), da må gennemsnitsomkostningerne falde, hvis virksomheden producerer én enhed yderligere. Mao. hvis MC ligger under AT C, vilat C være faldende. Omvendt vil AT C være stigende, hvis MC ligger over AT C. IminimumforAT C, erat C hverken faldende eller stigende, hvilket pga. ovenstående kun kan lade sig gøre, hvis MC = AT C. Dvs. at MC krydser AT C i det punkt, hvor AT C har minimum. 2.4 Under fuldkommen konkurrence betragter virksomheden prisen, p S, som given. Virksomhedens indtægter ved at producere en enhed yderligere marginalindtægterne bliver derfor identisk med prisen. Hvis p S >MC kan det betale sig at øge produktionen, idet indtægten ved en marginal udvidelse overstiger omkostningerne. Omvendt gælder, at hvis p S <MC kan det betale sig at sænke produktionen. Altså vil det, hvis virksomheden vælger at producere, være optimalt at gøre dette et sted, hvor MC = p S. Virksomheden vil dog kun producere, hvis den som minimum for dækket alle sin variable omkostninger, hvilket implicerer, at p S >AVC. Da MCkurven her altid ligger over AV C-kurven, bliver virksomhedens udbudskurve sammenfaldende med MC-kurven i figur 1. For priser under skæringen med 2. aksen udbyder virksomheden intet. Ovenstående resultat anvendes til at finde et matematisk udtryk for udbudskurven. Hvis p S < e vil virksomheden ikke producere, x =0. Hvis f p S e produceres, hvor f ps = MC = e + 1 x, hvilket giver x = f f fps e. Virksomhedens udbud bliver dermed x = ½ x = fp S e for p S e f x =0 for p S < e f. 2.5 Ved at sætte efterspørgsel lig udbud og udnytte sammenhængen p D = p S + τ, fåsa bp D = f p D τ e, hvilket giver p D = a + e + fτ. b + f 5
Producentens pris findes ud fra ovenstående samt p S = p D τ, hvilketgiver resultatet i opgaveformuleringen. Den efterspurgte mængde kan findes ved at indsætte ligevægtsprisen i udbudsfunktionen eller efterspørgselsfunktionen. Indførelsen af afgiften driver en kile ind imellem producentens pris og forbrugerens pris som illustreret i figur 2. Her angiver p 0 og x 0 hhv. pris og mængde i ligevægten uden afgift, mens p D, p S og x angiver priser og mængde efter indførelse af afgiften. Afgiften får producentens pris p S til at falde, mens husholdningens pris p D stiger. Forskellen mellem købers og sælgers pris er lige præcis lig med afgiftens størrelse τ, somvistifiguren. Hvor stor effekten bliver på de to respektive priser afhænger af parameterne b og f, hvilket man kan se af de afledte: p D τ = f b + f, p S τ = b b + f, x τ = bf b + f De to parametre b og f bestemmer hældningen på hhv. efterspørgselskurven og udbudskurven. Hvis b er lille, så er forbrugerens efterspørgsel ikke særlig prisfølsom. Efterspørgselskurven er da relativ stejl, hvilket betyder, at effekten på p D alt andet lige er relativ stor ifht. effekten på p S. Hvis f er lille, er udbudskurven relativ stejl, hvilket betyder, at effekten på p S alt andet lige er relativ stor ifht. effekten på p D. Jo større b og f er, jo mere følsom er både efterspørgsel og udbud overfor prisændringer, og jo mere vil produktionen falde som følge af afgiften. Dette kan ses grafisk af figur 2. Når efterspørgselskurven og udbudskurven bliver mere flade, skal produktionen falde mere, for at forskellen mellem p D og p S svarer til afgiften τ. 2.6 Dødvægtstabet (DWL) er illustreret i figur 2. Dødvægtstabet er et mål for det samfundsmæssige velfærdstab ved afgiften. Ved ligevægtsmængden x er forbrugerens pris større end marginalomkostningerne (svarende til prisen virksomheden får for varen efter afgiften er betalt). Dvs. at forbrugeren er villig til at betale mere end produktionsomkostningerne for at få én enhed yderligere. I punktet x sker dette ikke, da afgiften bringer en kile ind mellem forbrugerens betalingsvillighed og virksomhedens indtægt 6
pr. enhed. Forskellen p D p S er udtryk for størrelsen (målt i penge) af den velfærdsmæssig gevinst, der vil være ved at øge produktionen med én enhed yderligere. Så lang tid denne forskel er positiv, vil det ud fra et samfundsmæssigt synspunkt være optimalt at øge produktionen. Det samlede samfundsmæssige velfærdstab bliver dermed arealet B + D. Man kunne tro, at velfærdstabet ville være arealet A + B + C + D. Menherskalmanhuske på, at tabet A + C for forbrugeren og producenten modsvares af en gevinst for det offentlige, idet arealet er lig med skatteprovenuet ved afgiften (τ x ). Det samfundsmæssige tab bliver dermed kun B + D. Pris pr. enhed DWL = B + D Udbud τ p D A B p 0 C D p S Efterspørgsel x* x 0 Enheder Figur 2: Konsekvens af afgift Dødvægtstabet er altså givet ved arealet mellem efterspørgselskurven og udbudskurven fra x til x 0,hvorx = af be bfτ er produktionsniveauet med b+f afgift, mens x 0 = af be er produktionsniveauet uden afgift. Dødvægtstabet b+f 7
bliver således DWL = Zx 0 x p D (x) p S (x) dx = Zx 0 x p D (x) MC (x) dx, hvor p D (x) er den inverse efterspørgselskurve, mens p S (x) er den (inverse) udbudskurve svarende til marginalomkostningskurven (man kan også opstille en definition af DWL ud fra efterspørgselskurven og udbudskurven, istedet for de inverse kurver). Dødvægtstabet kan udregnes ud fra ovenstående formel ved brug af integraleregning. Alternativt kan man bemærke, at DWL her er en trekant, og at man derfor kan udregne arealet ud fra simpel trekantsregning. Sidstnævnte metode giver DWL = 1 2 τ x 0. x, hvilket efter indsættelse af x og x 0 giver DWL = 1 2 bf b + f τ 2. Dødvægtstabet stiger mere end lineært i afgiften. Hældningen på efterspørgselskurven, 1/b, og hældningen på udbudskurven, 1/f, er afgørede for, hvor stort tabet bliver. Jo mere fladedetokurverer(jostørreb og f er), jo mere følsom er hhv. den efterspurgte mængde og den producerede mængde overfor prisændringer. Indførelsen af afgiften implicerer (som beskrevet i spm. 2.5), at producentens pris falder, mens husholdningens pris stiger, indtil forskellen mellem de to priser lige præcis er lig med afgiftens størrelse. Jo mere følsom efterspørgsel og udbud er overfor prisændringer, jo mere vil produktionen altså falde ved indførelse af afgiften, og jo større vil arealet/dødvægtstabet blive. Omvendt, hvis afgiften slet ikke påvirker enten udbuddet eller efterspørgslen (svarende til at én af kurverne er lodrette), så vil produktionen være upåvirket af afgiften, og der vil ikke være noget dødvægtstab. 8