Kvatemekaik i SRP e Torste Traum Rømer, Frederiksberg Gymasium E gag imellem er der elever fra studieretiger med matematik, fysik og kemi, der i SRP øsker at skrive om kvatemekaik. Emet er svært for alle og især for gymasieelever, der hvis de skal have oplevelse af at forstå stoffet samt formidle det på et rimeligt iveau, har et meget stort arbejde fora sig. I dee artikel præseteres e SRP med omdrejigspukt i kvatemekaikke. Først behadles selve opgaveformulerige og deræst bliver e vejledede besvarelse skitseret. Projektet er møtet på fagee matematik A og fysik A eller B og blev til som e modificeret versio af e opgave fra et kursus i kvatemekaik for aotekologer på Købehavs Uiversitet. Udervejs i udarbejdelse rådførte jeg mig med de opridelige opgaves forfatter, Karste Flesberg. Opgaveformulerig Redegørelse for grudlæggede begreber ide for de lieære algebra, heruder lieære afbildiger, vektorrum, matrixrepræsetatioer af lieære afbildiger, egevektorer og egeværdier. Redegørelse skal ideholde både defiitioer, sætiger (hvoraf midst e bevises) og eksempler på udregiger. Der øskes e geemgag af grudlæggede begreber og sammehæge ide for kvatemekaik, heruder Hamiltooperatorer, egeeergier og egetilstade. Hvor det er muligt, skal disse begreber og sammehæge sættes id i kotekste af lieær algebra. Edeligt øskes vedlagte opgave løst, og som afslutig skal dee opgave perspektiveres og sættes i sammehæg med de foregåede to pukter. a ( + ) og a ( ) med tilkyttede egeværdier hhv. ε V og ε +V. 3. Kostruér på baggrud af () matrice for Hamiltooperatore H og tjek vha. et CAS værktøj, at dee matrice har de samme egevektorer, som dem du fadt uder pkt. Vik: Nogle CAS værktøjer ka ikke rege med bogstavmatricer. Er dette tilfældet sæt da fx ε til værdie og V til værdie. Overvej i så fald betydige for egevektorer og egeværdier, år dette trick beyttes. 4. Agiv systemets grudtilstad og de tilkyttede grudtilstadseergi og diskuter i de forbidelse de fysiske betydig af grudtilstade. Spørgsmål B Ispireret af de simple model, vi lige har behadlet, skal vi se på e ade model, emlig e model for bezemolekylet. Bezemolekylet består af pladser, hvor i alt elektroer (valeselektroer for at være præcis) ka befide sig. Disse seks pladser beæves,, 3, 4, 5 og, og modelle ka illustreres ved følgede tegig. SRP projektets kvatemekaiske del ser således ud: Spørgsmål A Vi betragter et system med e elektro, der ka vælge imellem to pladser. Det koster eergie ε at sidde på hver plads, og der er e eergigevist V forbudet med, at elektroe hopper mellem pladsere. Systemet ka teges således: Her betyder, at elektroe befider sig på plads og, at elektroe befider sig på plads. Det oplyses, at Hamiltooperatore for dette system er: Hamiltooperatore for systemet ser således ud: H t ( + + 3 + 3 + 3 4 + 4 3 + 4 5 + 5 4 + 5 + 5 + + ) Her er t de eergibesparelse, der er forbudet med at hoppe fra plads til plads. I de model for beze molekylet, som Hamiltooperatore repræseterer, ses elektroere altså som kietiske partikler, hvormed der mees partikler, der miimerer deres eergi ved at være i bevægelse. H e + e V +, V > (). Forklar de fysiske betydig af Hamiltooperatore H.. Gør rede for, at egetilstadee for H er. Vis, at matrice for Hamiltooperatore er givet ved H t t > LMFK-bladet / 9
og kommeter på, hvorfor ( ) tallere står på de give pladser. Vik: Lad dig ikke forvirre af de egative forteg. De skal bare være der, for at Hamilto operatore ideholder iformatio om, at det er eergimæssigt favorabelt for e elektro at hoppe fra plads til plads.. Vis at vektorere m ( + + 3 + 4 + 5 + ) m + 3 5 m 3 + 3 4 5 + er egevektorer for H og bestem de tilkyttede egeværdier. Vik: Du ka gøre dette ete direkte ud fra H eller ved at omskrive ket vektorere til traditioel vektorform i stadard basis og gage dem på matrice H. 3. Diskuter til sidst forme af de tre egevektorer m, m og m ud fra figure heruder. Vejledede besvarelse Opgave A A: Hamiltooperatore for et fysisk system udtrykker systemets eergitilstade. Egetilstadee for Hamiltooperatore og de dertilhørede egeværdier, repræseterer de mulige eergitilstade, systemet ka befide sig i. I det kokrete tilfælde udtrykker Hamiltooperatore altså de mulige eergitilstade for to elektrosystemet. A: Lad tilstadee og udgøre e orthoormal basis for det todimesioelle Hilbertrum, der beskriver elektroes to mulige placeriger: Plads og plads. Ved at lade H virke på tilstade a + H α H + fås ε + ε + ε + ε V V V V ε ( V + ) ( + ) ( ε V ) ( V + ) ( ε ) α Her har vi brugt, at og idet og jo etop udgør e orthoormal basis. Tilsvarede fås, at H α H ( ε V ) α. + 3 4 5 Det er hermed vist, at a og a er egetilstade for H med egeværdiere hhv. ( e-v ) og ( e +V ). Figure viser de tre ederste eergitilstade for bezemolekylet. Da bezemolekylet ideholder elektroer, vil grudtilstade derfor være beskrevet ved, at de tre ederste eergitilstade hver ideholder to elektroer, idet Pauli pricippet ku tillader e spi up og e spi ed elektro i hver eergitilstad. Opgave er slut Skitserig af besvarelse I det følgede skitseres, hvorledes projektets vedlagte opgave (opgaveformuleriges pukt 3) ka besvares. Der lægges vægt på, hvad der for e gymasieelev er miimumsvide for at svare fyldestgørede. Opgaveformuleriges to første pukter berøres af pladshesy ikke. De vedlagte opgave ka på trods af sit store omfag besvares vha. e begræset mægde tekikker. Disse fremgår af bokse på æste side. A3: Da vi har at gøre med et to dimesioelt rum (Hilbertrum) udspædt af base {, }, vil matrice for Hamiltooperatore blive e matrix, hvor idgag ij er fastlagt som H ij i H j. For idgag H fås: H H ( ) e + e V + e + e V V e + e V V e På tilsvarede vis fås H V, H V og H e og de samlede matrice ser derfor således ud: H e V V e Egevektorere for dee matrice ka bestemmes vha. Nspire. LMFK-bladet /
Basiskvat for gymasieelever For e orthoormal basis gælder følgede deltafuktio i j ij d for i j for i j hvor d ij kaldes Kroeeckers deltafuktio. Her er i e såkaldt bra, mes j kaldes e ket. Det smarte her er, at bra er i e dimesioel orthoormal basis ka repræseteres af vektorer på forme i ( i i... i i ) at kvadratet på hver koefficiet ka fortolkes som e sadsylighed. Kvatemekaisk ka dette fortolkes som sadsylighede for at fx e elektro befider sig lags e give komposat af vektore. De grafiske fremstilliger af egefuktioer ka år fuktioe er ormeret, dvs. år det samlede areal mellem grafe og akse geem puktere har areal, fortolkes som e sadsylighed. Grafes højde over e bestemt plads ka derfor tolkes som sadsylighede for at e elektro befider sig etop på dee plads. mes ket er er på forme j j j j j 3 4 5 Det idre produkt i j udføres derfor efter reglere for ormal matrixmultiplikatio som e række gaget samme med e søjle. E vektor kaldes ormeret år det idre produkt med sig selv er. I bra ket otatio er e vektor i altså ormeret år i i. Basisvektorere for e -dimesioalt rum (Hilbertrum) er på ket form,,, hvor der i hver ket er pladser. Basis bra er kostrueres tilsvarede som rækkevektorer. E operator, fx Hamiltooperatore, lader ma virke mod højre, og hvis operatore er repræseteret ved e m matrix gages dee via ormal matrixmultiplikatio på e dimesioal ket ( dimesioal søjlevektor), der herefter giver e y dimesioal ket. Dee ket er så klar til et idre produkt med e bra af samme dimesio (-dimesioal rækkevektor). Eksempel I bra ket otatio udføres operatorudregiger meget elegat. Hedder operatore fx O t, t hvor t er et tal, virker dee id på kette på følgede måde O t t og altså bliver E give vektor skrives som e liearkombiatio af basisvektorer og er altså skrevet som e ket på forme : vektor c + c + + c + c c + c + + c + c Er vektore ormeret gælder det, at c i i, således O t t t idet kostater altid passerer uædret igeem det idre produkt. Idgag ij i e matrix, der repræseterer e operator, er defieret som: H ij i H j hvor i er de i te basis bra og j er de j te basis ket. LMFK-bladet /
Dette giver + og hvilket etop er forme på a og a agivet i opgave A. De tilhørede egeværdier ka u fides ved at diagoalisere H i base a, a { }, hvilket giver H e V e + V Dette ka desværre ikke gøres på TI Nspire år idgagee er variable, me ma ka slippe omkrig problemet ved at sætte fx e og V, hvilket giver egeværdiere og 3, svarede til hhv. e-v og e +V. A4: Da et systems grudtilstad er karakteriseret ved det lavest mulige eergiiveau, og da ethvert af disse eergiiveauer ifølge kvatemekaikkes love er e egetilstad for Hamiltooperatore og både e og da V er positive størrelser, så må systemet beståede af de to elektroer have grudtilstade a ( + ) + med tilhørede grudtilstadseergi e-v. Opgave B B: Vi har u at gøre med et seks dimesioelt Hilbertrum udspædt af base {,, 3, 4, 5, }. Som før er idgag ij fastlagt ved H H H ij i H j. Som eksempel fås t ( + + 3 + 3 + 3 4 + 4 3 + 4 5 + 5 4 + 5 + 5 + + ) t t t 3 t 3 t 3 4 t 4 3 t 4 5 t 5 4 t 5 t 5 t t Her står ( ) tallere på præcis de idgage, der svarer til hop mellem to abopladser. Idgag H svarer til at elektroe hopper fra plads til, H 3 svarer til at elektroe hopper fra plads til 3. At modelle ku tillader elektroer at hoppe til e aboplads, afspejles altså ved at idgage med værdier forskellige fra ul (her ) ku forekommer på forme H i, i + eller H i +, i. B: m omskrives til vektorform i stadard basis: m og gages på matrice for H. Dette giver H m t Skrives dette som H m egeværdie t. t t m ses det, at m har Tilsvarede fås for m og m, at H m t m og H m t m. B3: Faktore t i Hamiltooperatore H udtrykker, at systemet af elektroer sæker si eergi ved, at partiklere er i bevægelse. Dette ka ikke forstås i et klassisk billede, idet klassiske partikler jo miimerer deres eergi ved at være i hvile. For kvatemekaiske partikler som elektroere i dee opgave gælder Heisebergs usikkerhedspricip, Dx Dp, hvoraf det følger, at hvis positioe af partiklere er meget ubestemt, så ka hastighede via impulse være meget bestemt. Det er altså e ødvedig betigelse for, at e kvatemekaisk partikel ka miimere si hastighed og dermed eergi, at des positio er ubestemt. Derfor vil e kvatemekaisk partikel gere bevæge sig og være flere steder på e gag. Det er etop dette, vi ser i egevektore m s form med et tal på alle pladser. Dee kofiguratio af elektroere svarer til, at begge i geemsit befider sig lige meget på hver plads i bezemolekylet eller mere præcist: I geemsit lige meget over hele bezemolekylet hvilket også illustreres af de grøe graf. Dee elektrokofiguratio giver etop de laveste eergi for elektroer, der i modelle med Hamiltooperator H beskrives som kietiske. Fortolkes de grøe graf som e sadsylighedsamplitude, ses det, at der etop er samme sadsylighed for, at elektroere befider på ethvert sted i molekylet (ige positio er foretrukket frem for adre). d ij med i ¹ j. Fortsættes så- da alle led er på forme i j da for alle 3 idgage fås H t Egevektore m har komposater lags retigere, 3, 5 og, hvilket betyder, at her ka de to elektroer ikke befide sig på pladsere og 4. Dette giver aturligt e højere eergi (egeværdi t), idet elektroere her fordeler sig på midre plads ed i tilfældet m. I et termodyamisk billede har elektrokofiguratioe svarede til m e lavere etropi ed elektrokofiguratioe svarede til m, hvilket også ka forklare de højere eergi. Grafisk repræseteres dette ved de blå kurve, hvor det ses, at der ikke er lige stor sadsylighedsamplitude over alle pladser i molekylet de tilgægelige pladser, 3, 5 og har samme sadsylighed (som så hver må være e fjerdedel) mes de ikke tilladte pladser og 4, har sadsylighed ul. LMFK-bladet /
Egevektore m har komposater lags alle retiger og har derfor e sadsylighedsamplitude over alle pladser, se de røde graf. Bemærk, at amplitude ikke er es over alle pladser, og at der er e placerig mellem plads og 3 samt mellem 5 og, der ikke er tilladt. Sadsylighedere ka udreges ved at kvadrere koefficietere til hver komposat. Altså tilkyttes pladsere og 4 hver e sadsylighed på /3, mes pladsere,3,5 og får sadsylighede /. Samlet set e sadsylighed, der summer til. At egeværdie for m er t lige som for m, ka grafisk forstås ved, at de to grafer (rød og blå) blot er vadrette parallelforskydiger af hiade. Der er altså de samme elektrotæthed over molekylet, blot forskudt rudt lags molekylet. Dette giver god meig i e model, hvor elektroere er beskrevet som kietiske, og hvor bezemolekylet har e rotatiossymmetri ( folds) omkrig e akse geem cetrum og vikelret på molekylets pla. At egeværdie for m er større ed for m, selvom alle pladser i begge tilfælde ka være besatte, ka ige forklares ud fra de plads, elektroere har at fordele sig på. De totale ligefordelig af elektroer over hele molekylet vil give e lavere eergi ed e kofiguratio, hvor alle pladser godt ok er tilgægelige, me hvor elektroeres positio er mere bestemt. Det skal bemærkes, at de tre grafer er fremkommet ved at udtrykke egevektorere i e basis af sfærisk harmoiske fuktioer og derefter ormere hver ekel. Dette er grude til, at graferes amplituder ka fortolkes som sadsyligheder. At udføre dette selv ville gøre opgaves omfag for stort for e gymasieelev, og det er derfor i opgave blot op til eleve at fortolke de grafiske fremstilliger. Afslutigsvis skal det æves, at eleve løste de her beskreve molekyleopgave meget tilfredsstillede, og det lykkedes ligeledes at sætte dette i e foruftig forbidelse med reste af opgaveformulerige. De her beskreve opgaveformulerig befider sig i græseladet mellem matematik og fysik. Det vil formetlig også være muligt at dreje e opgave som dee i e mere kemisk retig, så de retter fokus væk fra matematikke og i stedet behadler e kvatemekaisk forklarig på et molekyles kemiske egeskaber. LMFK-bladet / 3