Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Transkript

1 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau. Det iver derfor mulihed for, at ma på et hold til A-iveau ka afslutte eemae af differetialreie i.. Formle for differetiatio af e brøk er supplerede stof. Vi har i B-boes kapitel behadlet reerelere for differetiatio af fuktioers sum, differes o produkt med e kostatfaktor. Vi har edvidere bevist formlere for differetiatio af her e tekik der kue eeraliseres, hvorved vi kue få formler for differetiatio af skal blot kue udree pareteser som: 5 o, o avedte 5,,... osv. Vi ( h), ( h), osv. Vi kue her ete avede et værktøjsprorams epad-fuktio eller udree i håde med bru af Pascals trekat, der iver os koefficietere til poteser af sådae to-leddede størrelser. Øvelse a) Se beviset for differetiatio af b) Udre ( h) ieem. c) eemfør et bevis for differetiatio af efter samme møster som ved Efter at have eemført et par af disse beviser, ville vi måske være i stad til at bevise det eerelle tilfælde, ved at udskrive e formel for ( h. Me vi kue oså betrate ) 5,,... osv. som produkter af fuktioer: 5, osv Vi har styr på, hvorda vi differetierer o, o hvis vi havde e reel for differetiatio af produkter, kue vi få e formel for differetiatio af. Har vi u fået styr på, hvorda vi differetierer, kue ie avede e såda produktreel o få e 5 formel for differetiatio af. Osv., osv. E såda produktreel fides. De er lidt mere kompliceret at bevise, ed de adre reereler, o det er vitit at huske, at der ikke ælder de reel, ma måske ville ætte, emli af ma differetierer et produkt ved at differetiere hver for si o ae samme. Vi ka illustrere eometrisk, hvorfor sae er lidt mere kompliceret her. Lad os betrate to fuktioer, At (), der aiver atal arbejdstimer e bestemt virksomhed råder over pr da, o Pt (), der aiver de eemsitlie produktivitet pr arbejder, målt i værdie af det ma producerer på e time. Værdie af produktioe på e da er så V( t) P( t) A( t). t aiver tide. Værdie ka stie både ved at P vokser o ved at A vokser. Lad os atae at efter at der er ået tide h er der sket e tilvækst i produktivitet på P o e tilvækst i atal arbejdstimer på A. De samlede værdi ka u illustreres således:. A P A P A A P A A P L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk

2 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio P P Vi ser her, at de to væsetliste bidra til de samlede tilvækst er P A o A P. Det vil vise si, at produktet af tilvækstere PAiver et forsvidede bidra i e ræseovera. Tilvækst pr tid er etop differetialkvotiete. Differetialkvotiete af et produkt (produktrele) I matematik avedes berebet kotiuert om fuktioer, hvis rafiske billeder er sammehæede kurver, der pricipielt ka tees i e stre, ude vi behøver at løfte blyate fra papiret. Dee sprolie præsetatio af berebet udtrykker vi i symbolspro således: Defiitio. Kotiuitet i et bestemt pukt E fuktio f sies at være kotiuert i, hvis der ælder: Når vil f f Eksempel. Kotiuert o diskotiuert i et pukt. er ikke kotiuert i =, da () =, o e føle af tal,,, der fra højre ærmer si ikke vil ive e føle ( ), der ærmer si (). h er kotiuert i = - me ikke differetiabel I beviset får vi bru for, at differetiable fuktioer oså er kotiuerte. Dette viser vi i A-boe, me det er oså vist i projektet om kotiuitet. Sæti. Differetiatio af et produkt. Ata fuktioere f o bee er differetiable i puktet. Så er oså produktet h f differetiabel i med følede differetialkvotiet: h( ) f ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) Bevis. Iføle forudsætiere har vi, at f er differetiabel i, o er differetiabel i dvs: f( ) f( Når vil ) ( ) ( f( ) o ) ( ) Vi får edvidere bru for, at er kotiuert i i, dvs: Når vil ( ) ( ) Idee i de omskrivier der føler edefor er, at å frem til de to udtryk ovefor for sekathældiere for heholdsvis f o. Vi udersøer h ved hjælp af tretrisreles første versio: L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk

3 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio. Opskriv sekathældie for fuktioe h h( ) h( ) f ( ) f ( ). Omskriv sekathældie: f ( ) f ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) Aved defiitioe på f ( ) Samme led trækkes fra o læes til Sæt udefor paretes Aved brøkreel for sum af brøker Aved brøkreel for at ae på brøker Vi har u fået skilt de to brøker ud, der etop er dem vi har styr på, år vi lader. I det første led aes ( ) på brøke. Me pa. at er kotiuert har vi oså styr på dee, år vi lader.. Lad : f ( ) er e kostat o ædrer si ikke uder ræseoverae. De to brøker har vi som omtalt styr på iføle ataelse. O for ( ) ved vi, at år vil ( ) ( ). Samlet får vi: f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) h( ) h( Dvs ) f( ) ( ) f( ) ( ) <beviset er slut> Eksempel. Differetiatio af Opskriv som, o sæt f() o ( ) Så er f( ) o Aved u produktrele: f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) Produktreel Idsæt de afledede L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk

4 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Reducer Koklusio: Eksempel. Formle for differetiatio af Vi kue fortsætte et stykke tid som vi jorde i det tidliere eksempel. Me år vi skal vise oet ælder for alle aturlie tal, så har vi e særli tekik, der kaldes matematisk iduktio. Idee heri er følede: Formle vises for e eller ole få værdier i starte af talrække. Her har vi foreløbi vist formle for =,, o. Deræst vises, at ælder formle for et bestem tri i talrække, så ælder de oså for det æste tal,. Har vi vist de to pukter, så ælder formle for alle aturlie tal. For ethvert aturlit tal ka vi jo - i teorie i alt fald - å ved at å et bestemt edelit atal tri frem. Ata derfor formle ælder for tallet : Vi udersøer om formle så oså ælder for æste tri i række,. Opskriv som, o sæt f() o ( ) Så er f( ) o Aved u produktrele: f( ) ( ) () f( ) ( ) f( ) ( ) Produktreel Idsæt de afledede Udyt e potesreel, samt at udefor paretes ( ) Sæt Koklusio: ( ) Me så har vi vist pukt, at vi ka å et skridt frem. O dermed er formle iføle pricippet bi matematisk iduktio vist for alle aturlie tal. Øvelse. Differetier følede fuktioer o bestem evt. lokale ekstrema a) h ( ) l( ), b) h ( ) e, c) h ( ) e l( ), d) h ( ) si, ` Differetialkvotiete af e brøk (brøkrele supplerede stof) Ovefor beviste vi sætie om differetiatioe af, hvor er et aturlit tal. Hvis er et eativt tal, a ka vi klare differetiatioe ved at betrate fuktioe som e potesfuktio,, der behadles uder L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk

5 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio sammesat fuktio. Me vi ved jo, at, o der fides aturlivis oså e brøkreel, på lije med produktrele, o som vi ka brue i dette tilfælde. Sæti. Differetiatio af e brøk. Ata fuktioere f o bee er differetiable i puktet, o ata at ( ) i et iterval om Så f er oså brøke h differetiabel i med følede differetialkvotiet: f f( ) ( ) f( ) ( ) h( ) ( ) ( ) Vi iver tre forskellie beviser. I hver af versioer skal du selv øre e del af arbejdet. f o. versio. Omskrivi o bru af produktrele f Vi tillader os i dette bevis, at arumetere ituitivt for at h er differetiabel, hvis de to fuktioer f, o er det: Hvis de to rafer ikke har kæk, me er latte år vi bevæer os ieem puktet heholdsvis, ( ), ( ), så ka der heller ikke opstå et kæk på rafe for h. Så vi ka operere med differetialkvoiete h ( ). Vi omskriver o udytter produktrele: f h h f ae ( ) over ( ) ( ) differetier på hver side h f h( ) ( ) h( ) ( ) f( ) udyt produktrele f ( ) h( ) ( ) ( ) f( ) Idsæt h ( ) h( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ae ieem med ( ) h( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) flyt over i liie f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) divider med ( ) ( ) h hvilket er det øskede resultat... versio. Bevis med bru af tretrisrele. Iføle forudsætiere har vi, at f er differetiabel i, o er differetiabel i dvs: f( ) f( Når vil ) ( ) ( f( ) o ) ( ) Vi får edvidere bru for, at er kotiuert i i, dvs: Når vil ( ) ( ) Idee i de omskrivier der føler edefor er, at å frem til de to udtryk ovefor for sekathældiere fro heholdsvis f o.. Opskriv sekathældie for fuktioe h L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk

6 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio f f ( ) ( ) h( ) h( ). Omskriv sekathældie (forklar i hvert tri, hvad der sker): f f f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f Aved defiitioe på ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ). Lad : Så får vi, at oveståede udtryk vil å mod følede: f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) hvilket iver de øskede koklusio. versio. Bevis med bru af sammesat differetiatio o produktrele. Vi omskriver først: h( ) f( ) ( ) L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk

7 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Udtrykket ( ) ka vi opfatte som e sammesat fuktio, hvor de ydre fuktio er ly ( ), o de idre fuktio er (). y Derfor får vi: ( ) ( ) ( ) Avedes u produktrele på h ( ) får vi: h ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f h( ) f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f( ). ( ) h( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ). ( ) h( ) h( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ). ( ) ( ) hvilket iver de øskede koklusio. Øvelse. versio af beviset udyttede e vide om de afledede af fuktioe, (eller: ). Dette er behadlet i y B-boes kapitel, afsit. side 77. Me for alle øvrie poteser med eativ ekspoet ka vi u udytte brøkrele, idet vi har: Øvelse De trioometriske fuktio taes, ta( ) er defieret ved: si( ) ta( ). cos( ) Vis ved bru af brøkrele de to formler for de afledede af taes: ta( ) o ta( ) ta ( ) cos ( ) Øvelse Bestem defiitiosmæde o te rafere til følede polyomiumsbrøker. Bestem mootoiforhold o evt lokale ekstrema. L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk

8 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio a) f ( ) 6 b) f ( ) 7 7 c) f ( ) L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk