Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne, hypotenusen og arealet vha. Geogebra. Opgave En cirkel har centrum i ( 4,3). Dens radius er 5. a) Tegn cirklen vha. GeoGebra Opgave 3 Trekant ABC er tegnes ind i et koordinatsystem vha. GeoGebra med koordinater: A = (,), B = (, 6) og C = (1, ). a) Tegn trekanten b) Beregn trekantens omkreds og areal både ved beregning og vha. GeoGebra 1
Opgave 4 Et kvadrat har tre af sine vinkelspidser i (1,3), ( 3,0) og (0, 4). a) Find koordinatsættet til kvadratets fjerde vinkelspids. b) Find kvadratets areal Opgave 5 Beregn og bestem vha. GeoGebra skæringspunkterne af følgende linjer: a) y = x + 6 og y = 1 x b) y = 1 3 x + 5 og y = x + 1 c) y = 1 x 3 og y = x 6 d) y = x + og y = x 10 e) y = x + 5 og y = x + 6 f) y = 3x 6 og y = x 6 3 g) y = x + 5 og y = 1 x 4 h) y = 4x 1 og y = x + 5 4 Opgave 6 Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem: a) (,7) og (, 1) b) ( 1, 4) og (5,) c) (6,4) og ( 3,1) d) (3,8) og (, 4) e) ( 3,6) og (6, 3) f) (,0) og ( 6, 6) g) (3,6) og ( 3, 6) h) (3,6) og ( 4,6) Opgave 7 Tegn den retvinklede trekant, der dannes af x-aksen, y-aksen og linjen y = 4 3 x 8 a) Hvor store er kateterne? b) Hvor stor er hypotenusen? c) Beregn arealet af trekanten.
Opgave 8 Tegn de tre linjer: l : y = 1 x 11 m : y = x 31 n :y = 1 x + Sammen med linien k danner de et rektangel. Linjen k går gennem punktet ( 3,1). a) Skitsér alle tre linjer sammen med punktet vha. GeoGebra b) Bestem linje k s ligning (Facit: y = x + 7) Opgave 9 Løs følgende uligheder grafisk vha. GeoGebra a) 1 x + 1 > x + 4 b) 1 x + 1 < 1 x 4 c) x + 4 x + 1 d) 1 4 x 4 3 x + 4 e) 1 x + < 1 4 x 4 f) x 1 1 3 x + 5 g) 5 x + 4 < x + h) 3 x + 7 3 x + i) 1 x + 4 < 5 j) 1 > 1 x + 3 k) x + 5 3 l) 5 3 x + 3 Opgave 10 En punktmængde er bestemt ved følgende uligheder: y < 1 x 4 og x < 8 og y > 4 a) Skitsér ulighederne vha. GeoGebra b) Bestem arealet af punktmængden 3
Opgave 11 Punktmeængden A bestemmes af ulighederne: y 4 3 x + 7 og y 4 x + 7 og y 1 3 a) Bestem punktmængdens omkreds og areal vha. GeoGebra.(Facit: Omkreds=3 Areal=48) Opgave 1 I et frit fald -uden luftsmodstand- øger et legeme sin hastighed med 9.8 m/s for hvert sekund, det falder. a) Bestem en forskrift for bevægelsen og skitsér faldhastigheden i forhold til tiden vha. GeoGebra op til 10 sekunder. Ved det fie fald kan faldlængden udregnes efter formlen: s = 1 g t hvor g = 9.8 m/s er tyngdeaccelerationen, s er strækningen i meter og t er tiden i sekunder. b) Skitsér faldlængden i op til 10 sekunder. c) Hvor lang tid tager det at falde 10 m? d) Hvilken hastighedhar det faldende legeme så? Opgave 13 Rundetårn i Kbh. er 36 m højt. a) Hvor lang tid tager det et legeme at falde fra den højde? b) Med hvilken hastighed rammer legemet jorden? 4
Opgave 14 I de følgende opgives nogle ordnede talpar. Afgør vha. GeoGebra, i hvert tilfælde om der er tale om ligefrem proportionalitet eller ikke. a) {(4,10),(8,0),(,5),(6,15)} b) {(4,14),(,7),(3, 1 ),(5, 37 )} c) {(4,36),(4,63),(18,7),(8,4)} d) {(3,7),(4,54),(40,90),(0,45)} Opgave 15 I fysik defineres arbejde som produktet af kraft - målt i Newton og vejlængde - målt i meter: A = F s Arbejdet angives så i Newton-meter eller joule. De tre størrelser er to og to proportionale når den tredje er konstant. Afgør i det følgende om der er ligefrem eller omvendt proportionale: a) Arbejde og kraft -konstant vejlængde. b) Arbejde og vejlængde-konstant kraft. c) Kraft og vejlængde-konstant arbejde. Opgave 16 Bestem forskriften for følgende funktioner vha. GeoGebra a) {(1,4),(,6),(3,8),(4,10)} b) {(, ),(( 1,1),(0,4),(1,7),(,10)} Opgave 17 Reducér følgende udtryk: 5
1) 3x 4x + x 6x ) x y + 3y 8y 3) a 5b + 3a b 4) y 3z + 4y + z 5) ( 4)3x + 6x 5x 6) b 3c + 4b c 6b 7) 4a + 3a 4b a 8) 8x 3x + 4y 5x y 9) 36 (8b + 0) 4b 10) 1 + 3a (4a + 6) 11) 3x 4y + (7x + 8y) 4y 1) 30 + x 15 (4 x) 13) 4( 8a) + 30a 14) 6x( 1 x ) x 15) 40 3(1 8x) + 0x 16) 1 (4a 8b) + 4b 17) 8(4 + 9 a) + (36a + 30) 18) 3y 4(1 y) 6y + 3 19) 0 x(x 4) 4(x x ) 0) 11a (a 3) 6a 1) 16 3x(x 8) + 5x ) a 1 (a 8b) + 3(5 a b) 3) (4a b) + 3(a + b) 4b 4) 4a 3(6 + a) + 16 (a + 3) 5) a 4b (4b + a) 6a 3(a + b) 6) (8a + 6b) 4(a b) + b 7) 4x + (6x y) + y (3x y) 8) (3x 8)4 + 7(x + 3) 6x 4 9) (4a 8)( + a) 30) (a 8)(a + 8) a 31) (6x + 3)(1 + x) 3) (3x + 4)(x 8) 33) (a + 3)(3 a) 34) (x 10)(3x + 4) 35) (6x 8)( + x) 36) (a + b)(a + b) 37) (x + 8)( 3x) = (x + 8)(6x 3) + 6 7 38) 1 x(3x + 4) = (x + 4)( 3x) 39) (x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x 1) 6
40) (x + 3)(3 + x) = (x 3)( 3 + x) Opgave 18 I et rektangel er længden 4 gange større end bredden. Omkredsen er 60 cm. Opstil en ligning og beregn rektanglets sider. Opgave 19 Et rektangels areal er 54 cm.længden er 3 gange større end bredden. a) Beregn rektanglets sider. b) Beregn rektanglets omkreds. Opgave 0 Omskriv følgende ved hjælp af kvadratstninger Øvelse 0 Omkredsen i en cirkel er 36 cm. Opstil en ligning til beregning af cirklens radius. Opgave 1 En cirkels radius er lig med et kvadrats sidelængde. Cirklens omkreds er 10 cm. større end kvadratets omkreds. Opskrv en ligning og beregn cirklens radius. Opgave Siderne i rektanglet er (x+) cm. og (x 1) cm. Bestem et udtryk for rektanglets omkreds og areal. 7
Opgave 3 Løs følgende ligninger: a) 4x = 36 b) x(x + 3) = 81 + x c) x = 50 d) 6x + 16 = 0 e) x 7 Opgave 4 Omskriv følgende vha. kvadratsætningerne = 8 f) 144 x = 16 1) (x 3) ) (x 3a) 3) (6a 3b) 4) (4a b) 5) (x 4y) 6) (4x y) 7) ( 1 a 4) 8) (14 x) 9) 4(3 x) 10) ( x 3 1) 11) (10 10x) 1) 6( 1 4 x + 6) Opgave 5 Et kvadrat har sidelængden (a 4) cm. Bestem et udtryk for kvadratets omkreds og areal. Opgave 6 Løs følgende ligningssæt: 1) y = 1 x + 4 og y = x + 6 ) y = 1 5 x 1 og y = x + 3 3) y = x + 4 og y = x 5 4) y = 3x 3 og y = 3 x + 6 5) y = x og y = x 5 6) y = 1 3 x + 1 og y = x 3 7) y = 1 x og y = x + 6 8) y = 1 x + 1 og y = x 5 9) x + y = 4 og + y = x 10) 5y x 1 =0 og y = x 11) y = 8 + x og x + 6 = y 1) 1 + y = x og y = x 8 8
13) 3y + x = 1 og 14 + x = y 14) y x + 5 =0 og y = 15) x + y = 6 og 1 x = y + 3 16) = y x og x + 6 = 0 Opgave 7 Gang paranteserne ud og reducér hvis nødvendigt 1) (x + 5)(x 5) ) (8 + 7x)(8 7x) 3) (3 + 8x)(3 8x) 4) (3a 8)(3a + 8) 5) (6 y)(6 + y) 6) (4x )(4x + ) 7) x + (4 + x)(4 x) 8) 40 (x + 6)(x 6) 9) 4 + (3x )(3x + ) Opgave 8 Reducér følgende udtryk: 1) 4x + (13 + x)(13 x) ) 1x + (x + 1)(x 1) 3) (x + 8)(8 x) + 36 x 4) 56a (7a + 4)(7a 4) 5) (14 + 3x)(14 3x) + 4 6) 14b + (3b 4)(3b + 4) Opgave 9 Løs følgende uligheder 1) x + 9 > 9 ) x 6 1 3) 19 + x < 45 4) x + 4 < 7 5) x 8 7 6) 44 + x > 76 7) 3x + 19 55 8) 4 + 5x < 39 9) 16x 56 4 10) x 7 > 5 11) 33 + 6x 15 1) 4x + 18 > 10 9