Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder, at C 90. y x 9 y x 9 y x 9 y 9 x y 0 x x 9 0 x x Dvs.: Punktet C(, ). Skæringspunkt mellem b og c: 8 9 6 y x x x x x x 9 x 6 6 6 6 6 x 8 8 8 8 y x y y x y x y x Dvs.: Punktet A(, ). Skæringspunkt mellem a og c: y x 9 y x 9 y x 9 y 7 9 x y 8 0 x ( x 9) 8 0 x x 7 Dvs.: Punktet B( 7, ). Sidelængderne kan nu beregnes: AC 80 AB 7 60 BC 7 80 Trekanten er ligebenet og retvinklet.
Areal ( ABC) ½ 80 80 0. Opgave Vi kan benytte formlen for afstanden fra et punkt til en linje (side 7): 8 9 y0 ax0 b Pl. a 6 9 6 Opgave Det må være ligningen for midtnormalen til linjestykket AB. 0 8 0 Midtpunkt M af AB: M, ( 6, ). 8 0 Linjen gennem A og B har hældningskoefficienten: a. 0 Midtnormalen, der står vinkelret på linjen gennem A og B, har hældningskoefficienten:. Linjen gennem punktet ( 6, ) med hældningen: har ligningen (se side ): y x 6 y x 9 y x Opgave. Vi beregner sidernes længde: AB 0 AC 9 0 BC 9 80 Trekanten er således ligebenet. Cirklen med centrum i O( a, b ) og radius r går gennem de punkter, og det giver følgende ligninger: ) ( a) ( b) r a 8a 9 b 6b r a 8a b 6b r ) a b r 6 a 8a 69 b 6b r a 8a b 6b 8 r ) a 9 b r a a 8 b 8b r a a b 8b r
Ligningernes venstre side sættes lig hinanden: Ligning ) og ): Ligning ) og ): a 8a b 6b a 8a b 6b 8 0b 60 b 8 a 8a b 6b 8 a a b 8b 6a 8b 0 a b b 8 indsat i a b giver: a 8 a 6, Nu kan radius beregnes af f.eks. ligning ): 6, 8 6, 8 6 8 r r, r, 9 x 6, y 8, Cirklens ligning: 8 Linjen gennem centrum O( 6½, 8 ) og A(, ) har hældning:. 6,, Det betyder, at tangenten har en hældning på. Tangentens ligning: y x y x. Opgave 8 A l C m 6 B - n 0 - Skæringspunkterne kan meget nemt beregnes, men måske også aflæses af grafen. Vi får punkterne A(, 8) B(, 0) C(, 6) 6
Længden af siderne kan selvfølgelig beregne ved hjælp af afstandsformlen, men da det her er så pæne tal, kan vi se på en alternativ metode: Linjen m har en hældning på -. Det betyder, at når x-værdien øges med mindskes y-værdien med. Vi kan, som det ses af tegningen, derfor tegne netop retvinklede trekanter med kateterne og. Det betyder, at hypotenusen i denne trekant bliver lig med 0. Derfor får vi: BC 0. Langs AC kan efter samme metode tegnes tilsvarende trekanter, Så vi får igen: AC 0. Langs AB kan tegnes trekanter, hver med hypotenusen. Det betyder: AB. Det ses, at ABC er ligebenet og retvinklet. Dvs.: A B og C 90. Areal ( ABC) ½ 0 0 0 0. Opgave 6 0 b C(,9) a E(0,6) F O(,) -0-0 0 0 0 0 c B(-,-) D(,-) A(,-) - Trekantens vinkelspidser kan beregnes på traditionel vis: -0 8 x 6 x x x. Det giver punktet C(, 9 ). - Koordinaterne til A og B er nemmere at beregne, da y. Vi får de på tegningen viste punkter. Vi regner på cirklens ligning for at bestemme centrum og radius: x 6 x y y 0 x 6 x ( y y ) ( x ) y. Cirklen har centrum i O(, ) og radius lig med. Cirklens røringspunkt med c er nemt at bestemme til D(, ), da vi herved får OD. 7
Vi gætter på at punktet E( 0, 6) er cirklens røringspunkt med a. Der gælder i hvert fald: E( 0, 6 ) ligger på a, EO og EO a O(, ) ligger på vinkel B s vinkelhalveringslinje. Da (kan vises ved at se på hældningskoefficienterne). Det betyder, at EC 9 6 er OCE en ligebenet retvinklet trekant. Det betyder: ECO, og da C 90 ligger O også på vinkel C s vinkelhalveringslinje. Hermed er O centrum for trekantens indskrevne cirkel. Vi kunne beregne sidernes længde ved afstandsformlen, men det er nemmere at indse: BE BD AD AF 0 CE CF Trekantens omkreds s 0 60 s 0.. Areal ABC 0 0 Opgave 7 0 A(,7) P(-½,0½) 0 M(6,7) B(-0,) O(,) N(½,½) 0-0 0 0 - C(,-) Centrum for den omskrevne cirkel er midtnormalernes skæringspunkt. Man kan derfor bruge følgende metode: ) Sidemidtpunkterne bestemmes, eksempelvis er midtpunkt M for AC lig med: 7 M, 6, 7 8
) Midtnormalen skal stå vinkelret på siden. Det betyder, at produktet af de linjers hældningskoefficienter skal være -. Midtnormalens ligning kan nu bestemmes. ) Cirklens centrum kan bestemmes som skæringspunkt mellem midtnormaler. ) Radius er afstanden mellem dette centrum og en af trekantens vinkelspidser. Men i dette tilfælde kan man ved at tegne (evt. i GeoMeter) gætte sig til centrum, og prøve efter, om afstanden til de vinkelspidser er ens. Cirklens ligning bliver: x y. Opgave 8 Vi antager, at trekanten med vinkelspidserne A( a, a ), B( b, b ) og C( c, c ). har de angivne a b a b sidemidtpunkter. Hvis f.eks. (,) er midtpunkt for AB må der gælde:, (, ). Det giver følgende ligningssystemer: a b 0 a b 0 a a b a b a b c a c b b c 0 a c 8 b a c a c c a c a c c 6 Metoden, der her er anvendt til ligningsløsning, er følgende: De øverste ligning er subtraheret. Herefter er de nederste ligninger adderet, hvorved A s koordinaterne kan udregnes og dette kan indsættes i de øvrige ligninger. Vi fandt punkterne A(, ), B(, ) og C(, 6). 8 Opgave 9 7 6 - - 6 8 Skæringspunkterne mellem parablen og den rette linje bestemmes ved løsning af ligningen: 9
6 6 x x x x x 0 x 6 x 0 x x 6 x 6 Det giver skæringspunkterne: ( 6, ) og (, ). 9 Opgave 0 6-6 8 - - For x For x g( x) x x x, idet vi her har x 0. gælder: g( x) x x x x x. får vi derimod: g-funktionen er således den brudte linje. Vi løser ligningerne: x x x x x 0 x x x x x x x 0 x 0 x Ved indsættelse af x-værdien kan y-værdien bestemmes. Vi får følgende skæringspunkter: ( 0, ) (, 0) (, ). De kunne i øvrigt nemt aflæses af grafen. 0
Opgave (-,) t=0 t=9 (-,) -8-6 - (-,0) - 6 - t= - - (-,-) - - ) Hvis parablen skal have netop ét punkt fælles med x aksen, skal diskriminanten være 0: d 6 t 0 t 6 t 9. ) Parablen har ingen punkter fælles med x aksen, når diskriminanten er negativ: d 6 t 0 t 6 t 9. ) Opgave Da parablen P(, ) f 6 t t 0. t y ax bx c går gennem de givne punkter kan vi opstille følgende ligninger: a b c a b c a b c a c c a b c a b c b 0 b 0 b 0 a b c a b c a c a a Der er foretaget subtraktion af nogle ligninger, samt indsættelse af fundne resultater. Ligningen for parablen er derfor: y x Vi undersøger løsningsmængden til ligningen: x x x x 0 x 0 x
0 8 Det giver skæringspunkterne: 0, og,. Opgave 6 l B(0,) T - A(-,0) b d Parablen har toppunkt i (, ), (, ) a a Afstanden fra punktet T (, ) til linjen l: y x kan beregnes efter formlen side 7: y0 ax 0 b a I stedet for formlen (som man måske ikke kan huske)kunne vi opstille ligningen for linjen gennem T vinkelret på l, og derefter bestemme skæringspunkt mellem denne og linjen l. Hvorefter afstanden mellem de punkter kan beregnes. Den fundne afstand er højden i trekant ABT. Vi mangler nu, at beregne længden af linjestykket AB:. AB 0 0 0 Areal ( ABT ) ½.