Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen mellem tæthed og fordelingsfunktion Middelværdi, varians og spredning integraler af funktioner med værdier i R definitioner og regneregler I eftermiddag: Introduktion til R Måske eksempel om Paretofordelingen SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 2 / 18 Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Eksempler fra sidst P er et kontinuert fordeling på I R hvis P(A) = 1 A (x)p(x)dx = p(x) dx I A for pæne delmængder A af I, hvor p er en (sandsynligheds)tæthed, dvs. p(x) 0 med I p(x)dx = 1. Fordelingsfunktion for kontinuert fordeling P med tæthed p: x F (x) = p(y)dy, x R Hvis P er kontinuert gælder for a I og for x < y: Eksponentialfordelingen med parameter λ > 0 { p(x) = λx λ 0, x 0 x (x > 0), F (x) = 1 e λ x, x > 0 Ligefordelingen på [a, b]: p(x) = 1 0 x < a x a (a x b) F (x) = b a b a, a x b 1 x > b P({a}) = 0 P([x,y]) = P((x,y]) = P([x,y)) = P((x,y)) = F (y) F (x) SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 3 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 4 / 18
Nye eksempler Betafordelingen med parameter β > 0 (i simpel udgave): p(x) = βx β 1, 0 < x < 1 Er p overhovedet en tæthed? Og hvad er fordelingsfunktionen? Eksempel 5.1.7: X ligefordelt på [ 1, 1]. Definer og lad P være fordelingen af Y. Y = max(x,0) Hvad er P({0})? Er fordelingen af Y kontinuert? Og er fordelingsfunktionen kontinuert i 0? Fordelingsfunktionen beregnet i eksempel 5.1.7 læs selv! Kontinuert fordeling og kont. stokastisk variabel Hvis P er kontinuert med tæthed p, så: x F (x) = p(y)dy, x R Den omvendte vej: Lad F være fordelingsfunktionen for en fordeling P. Er P kontinuert? Og i givet fald, hvad er tætheden? Sætning 5.1.5 Hvis F kan skrives F (x) = x er P kontinuert med tæthed f. f (y)dy hvor f er ikke-negativ, så Sætning 5.1.6 Antag at P ( (a,b) ) = 1 og at F er kontinuert differentiabel på (a,b). Så er P kontinuert med tæthed { F p(x) = (x), x (a,b) 0, ellers NB. a kan være, b kan være +. SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 5 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 6 / 18 Middelværdi for SV med endeligt udfaldsrum Middelværdi for kontinuert fordeling Husk et øjeblik tilbage på tilfældet med endeligt udfaldsrum. X stokastisk variabel (SV) med udfaldsrum {a 1,...,a k } og sandsynlighedsfunktion p, dvs. P(X = a i ) = p(a i ). Husk middelværdi, varians og spredning/standardafvigelse fra s. 87 og 93: E(X ) = k i=1 a i p(a i ) ( [X ] ) 2 Var(X ) = E E(X ) = E(X 2 ) ( E(X ) ) 2 sd(x ) = Var(X ) X kontinuert stokastisk variabel med tæthed p. Kan antage at p er defineret på hele R men evt. er 0 udenfor et interval. Vil definere middelværdien af X som xp(x) dx... når integralet vel at mærke er veldefineret! Bemærk at xp(x) kan være negativ, så der skal lidt mere til end det vi snakkede om i mandags! SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 7 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 8 / 18
Integraler af funktioner med negative værdier Eksempler og majoranter Sidst snakkede vi om integraler af ikke-negative funktioner. Nu kan f være negativ! f : (, ) R kaldes integrabel hvis f er integrabel, dvs. hvis følgen I n konvergerer hvor n Ĩ n = f (x) dx n Hvis f er integrabel kan vi definere integralet som sidst uden problemer: n f (x)dx = lim f (x)dx n n Samme som differens mellem integral af positivdel og negativdel. Ellers skriver vi f (x) dx = + og siger at f ikke er integrabel. Eksempel D.1.5 f 1 (x) = x/(1 + x 2 ) med stamfunkt. F 1 (x) = 1 2 log(1 + x 2 ). n f 1(x)dx? n f 1(x) dx? Er f 1 integrabel? Eksempel D.1.6 f 2 (x) = x/(1 + x 2 ) 2 med stamfunkt. 1 F 2 (x) = 2(1 + x 2 ) n f 2(x)dx? n f 2(x) dx? Er f 2 integrabel? Følger også af sætning D.1.7. Sætning D.1.7 To funktioner f,g : I R. Hvis f (x) g(x) for alle x R og g er integrabel, så er f også integrabel. g kaldes en majorant. SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 9 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 10 / 18 Middelværdi for kontinuert fordeling igen Eksempler X kontinuert stokastisk variabel med tæthed p. Kan antage at p er defineret på hele R men evt. er 0 udenfor et interval. Vi siger at X har middelværdi hvis x p(x)dx < og definerer så middelværdien som E(X ) = xp(x)dx < Hvis x p(x)dx = siger vi at X ikke har middelværdi. Middelværdien er et gennemsnit af de mulige værdier hvor hvert punkt vægtes efter hvor meget sandsynlighed der ligger i omegnen af punktet. Hvis X er begrænset, dvs. X c for et c > 0 så har X middelværdi. X ligefordelt på [a, b]. X begrænset så middelværdien eksisterer og er lig (a + b)/2. Hvorfor er det rimeligt? Betafordelingen med parameter β. Eksisterer middelværdien? Og i givet fald, hvad er middelværdien? Eksponentialfordelingen med parameter λ. Eksisterer middelværdien? Og i givet fald, hvad er middelværdien? Husk fortolkningen som fordelingen af første ankomst: stort λ betegner intensiteten af ankomster. SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 11 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 12 / 18
Middelværdi for transformeret stokastisk variabel Regneregler X kontinuert stokastisk variabel på I med tæthed p. Funktion t : I R. Transformeret stokastisk variabel Y = t(x ). Sætning 5.2.3 Y = t(x ) har middelværdi hvis og kun hvis I t(x) p(x)dx < og middelværdien er så E(Y ) = E(t(X )) = t(x)p(x) dx I Kan altså beregne middelværdien af Y uden først at finde fordelingen af Y (som kan være diskret/kontinuert/ingen af delene). Sætningen bevises senere i et specialtilfælde. Hvad er E(X 2 ) hvis X er eksponentialfordelt? Sætning 5.2.5 Hvis X har middelværdi, så har a + bx middelværdi for a,b R og Og mere generelt: E(a + bx ) = a + be(x ) Sætning 5.2.4 Hvis t 1 (X ) og t 2 (X ) har middelværdi så har Y = t 1 (X ) + t 2 (X ) også middelværdi og den er givet ved E ( t 1 (X ) + t 2 (X ) ) = E ( t 1 (X ) ) + E ( t 2 (X ) ) SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 13 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 14 / 18 Varians og spredning Eksempler Vi siger at X har varians hvis x 2 p(x)dx < og definerer så variansen som ( [X ] ) 2 Var(X ) = E E(X ) Bemærkninger: x x 2 + 1 så hvis X har varians så har X middelværdi (så Var(X ) er veldineret, heldigt nok). Var(X ) = E(X 2 ) [E(X )] 2. Næsten altid nemmere at bruge denne formel, dvs. regne E(X 2 ) ud først. Variansen måler den gennemsnitlige kvadratiske afvigelse fra middelværdien. Spredning/standardafvigelse, sd(x ) = Var(X ). Nemmere at fortolke end variansen da den er på samme skala som variablen selv. Eksponentialfordelingen med parameter λ: Ligefordelingen på [a, b]: Check selv! Var(X ) = E(X 2 ) [E(X )] 2 = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ Var(X ) = (b a)2 12 Betafordelingen med parameter β: Eksisterer variansen? Og i givet fald, hvad er den? SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 15 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 16 / 18
Eksempel: Paretofordelingen Resumé Definer Paretofordelingen med parameter α > 0. Er p en sandsynlighedstæthed? p(x) = αx (α+1), x > 1 For hvilke værdier af α har fordelingen middelværdi? Og hvad er midddelværdien? For hvilke værdier af α har fordelingen varians? Og hvad er variansen? Vigtige ting fra i dag: Sammenhæng mellem tæthed fordelingsfunktion Middelværdi og varians, incl. eksistensproblemer Starten på R! I skal kunne regne på disse ting! Næste uge: Normalfordelingen Tæthed for transformeret stokastisk variabel Start på flerdimensionale kontinuerte fordelinger SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 17 / 18 SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 18 / 18