Simpel rente Definition: Simpel rente er rente der er begrænset af én termin. Rente afhænger af tre ting: 1) Kapitalen K 2) Rentefoden p 3) Antal dage d Ovenstående hænger sammen i formlen for simpel rente: (formel 1) Man regner med et renteår på 365 dage, og ved skudår er et renteår 366 dage. (Tidligere regnede man med et renteår på 360 dage) Kalendermånedernes dage (kan findes ved at tælle på knoer): Januar 31 dage Februar 28 (29) dage Marts 31 dage April 30 dage Maj 31 dage Juni 30 dage Juli 31 dage August 31 dage September 30 dage Oktober 31 dage November 30 dage December 31 dage For at bruge renteformlen skal man kende tre af størrelserne R, K, p eller d. 1
Eksempel 1. Jens sætter 6500kr. i Brørup sparekasse. Pengene står i 72 dage til 4% p.a. Hvor meget får han i rente? Eksempel 1.1 - En linje 1.1 Jens' rente 6500*72*4/(365*100) kr. = 51,29 kr. ELLER 1.1 Jens' rente 6500*72*4/365/100 kr. = 51,29 kr. ALDRIG 1.1 Jens' rente 6500*72*4/365*100 kr. = 512876,71 kr. Eksempel 1.1 - Pæn opstilling 1.1 Forudsætninger K = 6500 kr. p = 4% d = 72 R = 6500*72*4/(365*100) R = 51,2876712 Konklusion: Jens' rente er 51,29kr. Eksempel 2. Beregn antallet af rentedage fra 5/4 til 26/10 Eksempel 2.1 Rentedage 2.1 Antal dage 5/4-5/10 (30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30) dage = 183 dage Antal dage 5/10-26/10 (26-5) dage = 21 dage Antal dage 5/4-26/10 (183+21) dage = 204 dage Eksempel 3 Beregn antallet af rentedage fra 26/2 til 5/6 Eksempel 3.1 Rentedage 3.1 Antal dage 26/2-26/6 (28 + 31 + 30 + 31) dage = 120 dage Antal dage 5/6-26/6 (26-5) dage = 21 dage Antal dage 26/2-5/6 (120-21) dage = 99 dage 2
Opgave 1 a) Beregn renten R når kapitalen er 1200kr, pro anno renten er 7% og antallet af dage er 45. b) Beregn renten R når kapitalen er 12500kr, pro anno renten er 8% og antallet af dage er 187. c) Beregn renten R når kapitalen er 1200kr, pro anno renten er 6% og antallet af dage er 87. Opgave 2 a) Beregn antallet af dage fra 3/5 til 29/5 b) Beregn antallet af dage fra 10/3 til 30/3 c) Beregn antallet af dage fra 6/7 til 9/10 d) Beregn antallet af dage fra 23/2 til 3/5 Opgave 3 R K P d 10000 4% 56 10000 4% 365 15000 8% 184 2067 8% 361 321 3% 233 546 10000 10% 123 17129 5% 124 2156 11% 200 20000 30 200 20000 60 200 20000 365 200 20000 180 3
Sammensat rente / vækst Ved sammensat rente er der tale om rente over flere terminer. Her bruges bregrebet renters rente. Grundformlen ved sammensat rente hedder kapitalformlen eller vækstformlen. Kapitalformel: (formel 2) K n = Sluttal (slutkapital) K = Starttal (startkapital) x = Vækstprocent (rentesats) n = Antal vækstperioder Problem: At finde slutkapitalen kaldes at føre en kapital frem: I Excel kan dette gøres i én linje eller med pæn opstilling. Eksempel 4 Find slutkapitalen når K = 25.000kr., x = 8% og n = 14 Hvis man skal iklæde ovenstående problemstilling tekst, kunne opgaven lyde: Opgave: Løsning: Lise har arvet 25.000kr. af sin farfar. Disse penge sætter hun i Handelsbanken, der giver 8% p.a. i rente (helårlig rentetilskrivning). Hvor meget har Lise stående på sin bankbog efter 14 år? Eksempel 4 - En linje 4.1 På bankbogen står 25000*1,08^14 kr. = 73.429,84 kr. Eksempel 4 - Pæn opstilling 4.1 Forudsætninger K = 25000 kr. x = 8% n = 14 K n = 25000 * (1 + 0,08)^14 K n = 73429,8406064 Konklusion: Lise har 73429,84 kr. stående efter 14 år. Opgave 4 a) Find K n når startkapitalen er 27.000kr., renten er 6% p.a. og antal rentetilskrivninger er 27. Besvar opgaven både som En linje og med Pæn opstilling b) Find K n når startkapitalen er 10.000kr., renten er 5% p.a. helårlig rentetilskrivning, og pengene står i 7 år. Besvar opgaven både som En linje og med Pæn opstilling 4
Rentetilskrivning Renten kan tilskrives årligt (helårligt), halvårligt, kvartårligt og månedligt. Her gælder det princip at pro anno renten fordeles på antal tilskrivninger. Renten kan kun tilskrives på terminsdage eller hvis kontoen lukkes. Eksempel: I en bank er renten 6% p.a. og renten tilskrives kvartalsvis. Det giver 4 rentetilskrivninger årligt á 1,5%. De 1,5% kaldes for terminsrenten. Eksempel 5 Marie sætter 32.000kr. i sin bank Nordea. De giver 6% p.a. i rente og renten tilskrives halvårligt. Hvor meget står der på hendes konto efter 8år. Eksempel 5 - En linje 5.1 På kontoen står 32000*1,03^16 kr.? 51.350,61 kr. Eksempel 5 - Pæn opstilling 5.1 Forudsætninger K = 32000 kr. x = 6/2% = 3% n = 8*2 = 16 K n = 32000 * (1 + 0,03)^16 K n = 51350,6060512 Konklusion: Lars har 51350,61kr. stående efter 8 år. Opgave 5 a) Find K n når startkapitalen er 27.000kr., renten er 6% p.a. og antal rentetilskrivninger er 27. Renten tilskrives kvartårligt. Besvar opgaven både som En linje og med Pæn opstilling b) Find K n når startkapitalen er 10.000kr., renten er 5% p.a. helårlig rentetilskrivning, og pengene står i 7 år. Renten tilskrives halvårligt. Besvar opgaven både som En linje og med Pæn opstilling 5
Kombination af simpel og sammensat rente Nogle gange sættes pengene ikke ind på terminsdagen. Så er man nødt til at kombinere simpel og sammensat rente. Simpel rente (formel 1) K = Kapitalen p = Rentefoden d = Antal dage Kapitalformlen: (formel 2) Eksempel 6 K n = Sluttal (slutkapital) K = Starttal (startkapital) x = Vækstprocent (rentesats) n = Antal vækstperioder Liv sætter 43.658kr. i Kolding Sparekasse den 2/2 2008. Banken har rentetilskrivning 1/6 og 1/12. Banken giver 4% p.a. - halvårlig rentetilskrivning. Hvad står der på Livs konto 1/12 2020? Eksempel 6 6.1 Antal dage 2/2-2/6 (28 + 31 + 30 + 31) dage = 120 dage Antal dage 2/6-1/6 (2-1) dage = 1 dage Antal dage 2/2-1/6 (183+21) dage = 119 dage Rente 2/2-1/6 43658*4*119/(365*100) kr.? 569,35 kr. 1/6 står der (43658+569,35) kr.? 44227,35 kr. K = 44227,35 x = 2% n = 12*2+1 = 25 1/12 2020 står der 44227,35*(1 + 0,02)^25 kr.? 72559,66 kr Opgave 6 a) Rikke sætter 21540kr. ind på en konto i Lokalbanken 4/3 2004. Renten er 5% p.a. halvårlig tilskrivning. Banken har termin 1/6 og 1/12. Hvad kan Rikke hæve 9/10 2014 hvor hun er færdig med gymnasiet, og skal på jordomrejse med sin gode veninde Nethe? b) Thomas sætter 32145kr. ind på en konto i Bornholmske Bank 3/1 2005. Renten er 6% p.a. kvartårlig tilskrivning. Banken har termin 1/1, 1/4, 1/7 og 1/10. Hvad kan Thomas hæve 8/7 2015, hvor han vil købe sin første bil.? 6
Analyse af kapitalformlen Vi kigger nu på kapitalformlen igen: Kapitalformlen: (formel 2) K n = Sluttal (slutkapital) K = Starttal (startkapital) x = Vækstprocent (rentesats) n = Antal vækstperioder 1) I kapitalformlen er der 4 variable. Når vi kender de 3 kan vi regne den sidste. Vi har allerede prøvet at finde slutkapitalen. Det kaldes at føre en kapital frem og gøres på nedenstående måde: Find Kn: Føre en kapital frem Lommeregner: K n = K*(1+x)^n = Computer: K n = K*(1+x)^n = [husk at x er vækstprocenten i decimaltal] 2) Såfremt vi ønsker at finde startkapitalen, ønsker vi at føre tilbage, hvilket gøres på følgende måde: Find K: Føre en kapital tilbage Lommeregner: K = K n / (1+x)^n = Hvorfor? K n = K * (1+x) n K n / (1+x) n = K K = K n /(1+x) n (gange bliver til dividere) (bytte rundt) 3) Nogle gange er det vækstprocenten vi ønsker at finde Find x: Find vækstprocenten (rodligning) Lommeregner: x = (n 2end ^(Kn/K)-1) * 100 = x% Eller x = ((Kn/K)^(1/n)-1) * 100 = x% se potensregneregler Hvorfor? K n = K * (1+x) n Kn / K = (1+x) n n (K n /K) = n (1+x) n n (K n /K) = 1+x n (K n /K) - 1 = x (gange bliver til division) (tager den n`rod på begge sider) (roden ophæver potensen) (plus bliver til minus) x% = ( n (K n /K) 1) *100% Potensregneregler (n gange) ( ) 7
4) Den fjerde mlighed er at finde antallet af vækstperioder. Find n: Find antal vækstperioder (expotentiel ligning) Lommeregner: Hvorfor? n = log(kn/k)/log(1+x) K n = K * (1+x) n K n /K = (1+x) n Log(K n /K) = Log(1+x) n Log(K n /K) = n* Log(1+x) Log(K n /K) / Log(1+x) = n (gange bliver til division) (logaritmen tages på begge sider) (logaritmeregel Log a n = n*loga) (gange bliver til division Vi anvender her logaritmer som blackbox D.v.s. et redskab vi ikke forstår til bunds Lidt oplysninger: log 0,001 log 10-3 -3 log 0,01 log 10-2 -2 log 0,1 log 10-1 -1 log 1 log 10 0 0 log 10 log 10 1 1 log 100 log 10 2 2 Man kan bruge logaritmen til at fjerne n fra eksponenten idet: Opgave 7 Udfyld nedenstående skema: K K n x n 2.000 4% 10 30.000 10% 7 600.000 8,50% 5 1.000.000 1,50% 30 435.376 4,50% 50 7.000.000.000 0,3150% 7000 5.327 6% 45 109.876 30% 2 8
Opgave 8 Løs nedenstående rodligninger: a. x 2 = 100 b. x 4 = 625 c. x 5 = 243 d. x 1 = 10 Opgave 9 Find vækstprocenten x i følgende tilfælde K K n n x (%) 15.000 25.000 8 6,6 5.674 7.654 9 3,4 47.653 190.876 45 3,1 45.325 65.436 5 7,6 4.325 7.695 17 3,4 2.076 5.698 10 10,6 110 765 65 3,0 215.437 1.000.000 30 5,3 Opgave 10 Løs følgende expotentialligninger Logaritmeformlen: skal bruges a. 2 n = 4 b. 10 n = 1000 c. 2 n = 64 d. 3 n = 27 e. 4 n = 64 f. 6 n = 216 g. 1,04 n = 2,000 h. 1,08 n = 6,075 i. 2,08 n = 5,9879 j. 1,085 n = 1,0987 9
Opgave 11 Find n i følgende tilfælde K K n x (%) n 10.000 20.000 8,0 9,01 5.000 6.574 10,0 2,87 6.578 12.987 4,5 15,45 6.574 34.256 5,0 33,83 7.654 15.437 2,0 35,43 100 546 3,4 50,77 19.876 32.187 12,0 4,25 1.234 2.315 20,0 3,45 Opgave 12 Jerald laver en opsparing, der løber over 20 år. Han indsætter 25000 kr på en konto, der giver 8% p.a. i rente a) Hvor meget står der på kontoen efter 20 år? b) Hvor mange renter er der tilskrevet? Opgave 13 Bodil får 3500 kr til sin konfirmation. Dem sætter hun i Skovlunde Sparekasse. Efter 10 år er pengene vokset til 7897 kr. a) Hvilken pro anno rente har Bodil fået? Opgave 14. Gritt vinder 80.000 kr i tips. Hun sætter 30% af pengene i Skovlunde Sparekasse til 6% p.a. kvartårlig tilskrivning. Resten af pengene graver hun ned i jorden på et hemmeligt sted, som kun Gritt kender. a) Hvor mange år går der før Gritt har flere penge i banken end end i jorden? Opgave 15. Frederik V synes, at det er fjollet at Gritt graver pengene ned. Han sniger sig hen på det hemmelige sted, graver pengene op og sætter dem i kapitalistbanken. Den giver 2% i rente pr. kvartal. Efter 7 år hæver Frederik V alle pengene. Han tager selv renterne og graver resten ned til Gritt a) Hvor meget tager Frederik V? b) Er det ulovligt? Opgave 16. David har 90 edderkopper som kæledyr. De formerer sig med 12% om måneden. a) Hvor mange edderkopper har han efter et år? Efter et år er han træt af edderkopper fordi de ikke forstår ham. Han sprøjter derfor insektgift ud over dem. Alle hans edderkopper begynder at dø. Bestanden aftager med 6% i timen. a) Hvor mange timer går der inden Davids edderkopper er døde? 10
Opgave 17. Steen vil gerne lave en opsparing, så han har 20.000 kr. Han sætter et beløb i banken til 1% pr. måned og lader dem stå et år. a) Hvor stort et beløb skal han sætte ind? b) Hvor stort et beløb udgør renterne? Opgave18. Annemarie sætter 33.900 kr i banken. Efter 6 år står der 45.000 kr. på kontoen. Renten er blevet tilskrevet hver måned. a) Hvor mange procent er der tilskrevet hver måned? b) Hvor mange % p.a. svarer det til 11
K_n (Sluttal) Matematik 3 Forår 2012 Negativ vækst Man kan operere med begrebet negativ vækst. Så kommer formlen bare til at hedde: (formel 3) Eksempel 7 Nedenstående er to vækstkurver for henholdsvis a) 15% positiv vækst b) 15 % negativ vækst. a) b) N 0 1 2 3 4 5 6 7 1000 1150 1323 1521 1749 2011 2313 2660 1000 850 723 614 522 444 377 321 3000 2500 2000 1500 1000 K_n=1000 1,15^n K_n=1000 0,85^n 500 0 0 1 2 antal 3 vækstperioder 4 5 6 7 Opgave 19. På 10 år er bestanden af sorte spættestorke faldet fra 6070 til 3675. Hvor mange procent er det årlige fald i gennemsnit Opgave 20 På 20 timer faldt bakterietallet fra 765498765 til 560. Hvor mange % faldt det i gennemsnit pr. time? 12
Beregning af vækstprocenter ud fra tabeller Tit ses der forskellige udviklinger: Befolkningstal, arbejdsløse, kaniner, bakterier, renter: Når der skal regnes procenter ud bruges to forskellige typer af formler: a) Følgende formel skal bruges hvis stigningen (eller faldet) beregnes over hele perioden! b) Denne formel bruges hvis der er spurgt efter den gennemsnitlige stigning. ( ) Opgave 21 Nedenstående viser befolkningen i Mexico City: År 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 befolkning (mio) 9,1 9,4 9,8 10,4 10,9 11,7 12,9 13,9 15,7 a. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2000? b. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2006? c. Hvad er den gennemsnitlige procentuelle stigning fra 1990 til 2006? Opgave 22 Nedenstående viser arbejdsløsheden i København: År 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Arbejdsløs 7656 9876 12000 15432 21098 32157 39876 51876 64098 a. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2000? b. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2006? c. Hvad er den gennemsnitlige procentuelle stigning fra 1990 til 2006? 13
Prognoser udfra tabeller Nogle gange kan statistiske data danne grundlag for en prognose: 1. Først udregnes vækstprocenten 2. Derefter fremskrives med en bestemt procentsats 3. Nu kan den ekspotentielle ligning bruges til at finde, hvornår et bestemt tal nås. Opgave 23 Nedenstående viser befolkningsudviklingen i det afrikanske land Zambia År 1960 1970 1980 1990 2000 2009 antal mio 17,9 20,3 22,1 25,5 27,6 32,7 a. Hvad er den årlige vækstprocent fra 1960 2009? b. Hvis væksten fortsætter med samme procent. Hvor mange indbyggere er der så i 2020? c. Hvis væksten fortsætter. Hvornår vil befolkningstallet overstige 35 mio. Pro anno termins og reel rente (nominiel rente) Vi har tre rentebegreber: 1. Pro anno rente (p) [pro anno renten er renten år uden at der er taget hensyn til antal rentetilskrivninger 2. Terminsrenten (t) [terminsrenten er renten ved den enkelte rentetilskrivning] 3. Reelle eller nominielle rente ( r ) [det er den rigtige rente, hvor der tages hensyn til antal rentetilskrivninger] Nedenstående formler viser, hvordan de tre begreber hænger sammen. n er antal årlige rentetilskrivninger. Nedenstående tabel anskueliggør det. Normalt arbejder vi med helårlig, halvårlig, kvartårlig og månedlig rentetilskrivning. Tilskrivninger Pro anno rente Terminsrente Reel rente n p (p.a) t r Helårlig 1 12 % p.a. 12% 12,00 Halvårlig 2 12 % p.a. 6% 12,36 Kvartårlig 4 12 % p.a. 3% 12,55 Månedlig 12 12 % p.a. 1% 12,68 14
Opgave 24 Gustav sætter 10.000kr. ind på en bankbog til sin konfirmation. Gustav er på det tidspunkt 14 år. Da han vælger en juniorkonto kan han få 6% i rente. a. Hvor mange penge står på Gustavs konto, når han er 30 år. 1. Ved helårlig rentetilskrivning? 2. Ved halvårlig rentetilskrivning? 3. Ved kvartårlig rentetilskrivning? 4. Ved månedlig rentetilskrivning? Man kan også tale om det samlede rentebeløb R = K n K og det samlede rentebeløb i %. Udfyld nedenstående skema for ovenstående tilfælde. Antal år Antal tilskriv. Pro anno rente Helårlig 16 6% p.a Halvårlig 16 6% p.a Kvartårlig 16 6% p.a Månedlig 16 6% p.a Terminsrente Reel rente Slutkapital Samlet rente N p (p.a) t r Kn R Funktioner Ovenstående problematikker er indeholdt i begrebet vækstfunktioner Man kan tale om en konstant absolut tilvækst (Lineær funktion) og en konstant relativ tilvækst (ekspotentialfunktion) Opgave 25 Tegn følgende funktioner: 1. f ( n ) = 50 n + 500 2. g ( n ) = -50n + 500 3. h ( n ) = 500 * 1,1 n 4. i (n) = 500 * 0,9 n Brug nedenstående sildeben og tegn i samme koordinatsystem. N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(n) 503,3 g(n) 492,3 h(n) 885,8 i(n) 405 15
Opgave 26 Tegn det grafiske billede af funktionen: f(n) = 1000 * (1+0,15) n n Є N 0 Tegn det grafiske billede af funktionen: g(n) = 1000 n Є N 0 Tegn det grafiske billede af funktionen: h(n) = 1000 * (1+0,15) n - 1000 n Є N 0 Giv en fortolkning af funktionerne forklar hvad de eventuelt kunne være en model for. 16
værdi Matematik 3 Forår 2012 Opsparing og afbetaling (annuiteter) Det er ikke altid man sætter et beløb ind og lader det vokse et antal terminer (vækstperioder). Nogle gange vælger man at sætte et beløb ind på en række på hinanden følgende terminsdage. Nedenstående illustrerer problematikken. Vækst Her sættes et beløb i banken og der vokser hver termin med samme procentsats: Grafisk ser det således ud: Kn =K + R 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 2 4 6 8 10 antal terminer K Kn R 17
værdi Matematik 3 Forår 2012 Opsparing/ annuitet Hvis der i stedet indsættes det samme beløb a på n følgende terminsdage ser det således ud: Grafisk ser det således ud A = n*a + R 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 n*a A A-n*r = R 2000 0 0-2000 2 4 6 8 10 antal terminer ) a: Er den enkelte indbetalings størrelse Denne indbetaling skal falde på rentetilskrivningsdagen A: De samlede indbetalingers værdi efter n indbetalinger. Den sidste indbetaling tilskrives der ikke rente af. x: Terminsrenten n: Antal indbetalinger (antal rentetilskrivninger) Værdien A kan udregnes v.h.a. opsparingsformlen eller annuitetsformel 1. n ( 1 x) 1 A a x 18
Opgave 27 Beregn A når x = 8%, a = 4000 og n = 10 Beregn A når x = 5%, a = 6000 og n = 27 Opgave 28 Nu i klæder vi ovenstående tekst. Jespers forældre lavede en børneopsparing den dag Jesper blev født. Han blev tilfældigvis født på en terminsdag. Jespers forældre sætter nu 1000 kr ind på bankbogen 4 gange om året på terminsdagene. Der tilskrives hver gang 1,5% i rente. a. Hvor meget er børneopsparingen vokset til på Jespers 18 års fødselsdag? b. Hvor meget er der i alt indbetalt? c. Hvor meget udgør renterne? d. Hvad er den nominielle rente? Opgave 29 Peter ryger 20 cigaretter om dagen. 20 cecil koster 30 kr. Lars stopper med at ryge og vælger at sætte pengene i en bank der giver 0,5 % i rente hver måned. Han stopper på sin 18 års fødselsdag og vælger at hæve pengene på sin 60 års fødselsdag. a. Hvor mange kr. sætter han i banke hver måned? b. Hvor mange gange sætter han penge i banken? c. Hvor stort et beløb er pengene vokset til? d. Hvor stort et beløb har han i alt sat i banken? e. Vor stort et beløb udgør renterne? f. Hvad er den nominielle rente? Opgave 30 Opbyg et computerprogram der kan vise opsparingens størrelse, indbetalingernes størrelse, antal indbetalinger, samlede indbetalinger og den samlede rente, når der indtastes: terminsrenten x, antal år og cigaretforbrug pr. dag. Der forudsættes månedlige indbetalinger og at en måned indeholder 30 dage, samt at 1 cigaret koster 1 kr. Brug nedenstående model: Terminsrente Cigaretter pr. dag 1 kr/stk Cigaretter pr. mrd = a Antal år Antal indbetalinger Opsparings værdi Samlet indbetaling Samlet rente X antal antal*30 antal år*12 A n*a R =A-na 19
Analyse af opsparingsformlen Det kan selvfølgelig også lade sig gøre at finde a og n, anderledes forholder det sig med x. Neden for er formlerne vist: Find a A A x a n n ( 1 x) 1 (1 x) 1 x Find n Ax a log n log 1 1 x Opgave 32 Lars sætter 500kr. i banken hvert kvartal i 8 år på en række følgende terminsdage. Hvor mange kr. står der på kontoen efter 20 år, når renten er 6% p.a.og tilskrives hvert kvartal? Opgave 33 Peter sætter 600kr. i banken hver måned. Renten tilskrives hver måned og er 6% p.a. Efter et stykke tid står der over 125.000 kr på kontoen. Hvor mange år er der gået? Opgave 34 Søren sætter 10000kr. i banken til 8 p.a. kvartårlig tilskrivning på en konto. På en anden konto sætter Søren 500kr. ind hvert kvartal. På denne konto er der også 8% p.a. kvartårlig tilskrivning. Hvor stor er forskellen på opsparingerne a. Efter 3 år? b. Efter 5 år? c. Efter 20,5 år? d. Hvor når er opsparingerne lige store? Gæld (Annuitet) På samme måde som man kan opspare. Kan man afbetale. Her lånes et beløb G(gæld). Dette beløb afbetales med en række lige store afdrag a på en række terminsdage. Terminsrenten kaldes x og antal afdrag kaldes n. Disse fire begreber hænger sammen i afbetalingsformlen eller afbetalingsannuiteten. 1 (1 x) G a x n 20
Opgave 35 Et beløb afdrages i 5 år med 1000 kr om måneden til 9% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort? Opgave 36 Et beløb afdrages i 10 år med 1000 kr om måneden til 24% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort? Opgave 37 Et beløb afdrages i 8 år med 2000 kr om måneden til 18% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort? Opgave 38 Et beløb afdrages i 10 år med 5000 kr om måneden til 6% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort? I ovenstående tilfælde falder rente og afdragstermin sammen. Find a G a 1 (1 x) x n G 1 (1 x x ) n Find n a log a Gx n log1 x 21
Opgave 39 Bevis ovenstående to formler udfra afbetalingsformlen formlen Opgave 40 Lars vælger at sætte 500kr. i banken på 30 på hinanden følgende terminsdage. Renten er 1% pr. termin. Søren vælger at optage et lån og afbetale det på 30 på hinanden følgende terminsdage. Renten er 3% pr. termin og ydelsen er 500kr. a) Hvor stor er Lars opsparing efter 30 terminer? b) Hvor stor er Sørens startgæld? c) Hvor mange renter får Lars i alt? d) Hvor mange renter betaler Søren i alt? e) Hvor mange kr. er der i forskel på Lars og Sørens renter? Opgave 41 Peter vil låne penge til en bil. Bilen koster 250.000kr. og han kan betale 20% i udbetaling. Renten er på 0,5% pr. måned. Pengene lånes over år. a) Hvor mange penge skal han låne? b) Hvor mange afdrag skal han betale? c) Hvad er hans månedlige afdrag? d) Hvad er hans månedlige ydelse? e) Hvor meget skal han i alt betale i renter? Bilen taber 2% i værdi om måneden. f) Hvad er bilen værd efter 3 år? (lav et program) g) Lav et program der udregner restgælden? h) Hvad er forskel på restgæld og værdi efter 3 år? (lav et program) i) Hvornår er restgæld og værdi lige store? 22