Opgave 1 Lufthavnen Airtowns landingsbane kan tilnærmelsesvist beskrives som (del af) en plan. Med et passende indlejret koordinatsystem (hvor koordinatværdierne kan tolkes som målt i km, -planen er den vandrette plan og -aksen peger lodret opad) har landingsbanen indflyvningslys placeret i punkterne 0,5 ; 10 ;0,1 og 0,5 ; 10 ;0,1, mens kontroltårnets fod er placeret i punktet 0,5 ;0 ;0,6. a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen besvarelse lad os navngive de to lys-punkter 0,5 ; 10 ;0,1 og 0,5 ; 10 ;0,1 med disse betegnelser kan vi fx skrive parameterfremstillingen : = + +,, R 0,5 0 1 : = 0 +10+10,, R 0,6 0,5 0,5 supplerende lærerkommentar, forventes ikke som del af besvarelsen her er selvfølgelig mange andre valg af kendte punkter i planen og retningsvektorer parallelle med planen mulige stedvektoren har samme koordinater som punktet koordinaterne til vektor beregnes som = 0,5 0,5 = 0 10 0,6 0,1 henvisning til formelsamlingen, ønskes ikke som del af besvarelsen planens parameterfremstilling er beskrevet i formel 237-238 se formel 206-207 Fly nr. RAL 007 befinder sig med koordinater i samme koordinatsystem i punktet 10 ; 109 ;10,6 til et tidspunkt =0 og starter herfra sin indflyvning til landing på landingsbanen. Under hele indflyvningen kan flyets retningsvektor tilnærmelsesvis angives med 0,1 = 1. Retningsvektoren kan forstås som den strækning, flyet tilbagelægger indenfor en 0,1 tidsenhed 1. den tilbagelagte strækning indenfor en tidsenhed kan beregnes som retningsvektorens længde længdeformlen fremgår af formel 217 og indirekte også af formel 245 1 Nogenlunde realistisk kunne 1 tidsenhed måske være 5 sek. beregn under denne forudsætning RAL 007 s hastighed angivet i km/h
0,1 = 1 =0,1 +1 + 0,1 0,1 =1,02 1,010 flyets hastighed er altså ca. 1,010 km pr. 5 sek vi kan omregne til km/h på følgende måde: 1,010 5 =1,010 5 727 km/h 60 60 h b) angiv en parameterfremstilling for den linje, der beskriver flyets indflyvningsbane lad os navngive flyets startpunkt 10 ; 109 ;10,6 parameterfremstillingen for linjen er da : = +, R 10 0,1 : = 109+ 1, R 10,6 0,1 også her er der selvfølgelig andre mulige parameterfremstillinger både ved planen i delspm. a og her er det i orden at overspringe den første vektorbogstavudgave af parameterfremstillingen linjens paramterfremstilling er beskrevet i formel 211-212 c) undersøg om flyet faktisk lander på landingsbanen og angiv i givet fald det punkt på landingsbanen, hvor flyet lander, samt hvor mange tidsenheder efter indflyvningens start landingen finder sted at finde landingspunktet svarer til at finde skæringspunktet mellem planen og linjen, altså forudsat at findes at beregne = for at finde skæringspunktet skal vi løse vektorligningen 0,5 0 1 0 +10+10 0,6 0,5 0,5 10 0,1 = 109+ 1 10,6 0,1 altså løse ligningssystemet 0,5+0 = 10+0,1 0+10+10= 109+ 0,6+0,5+0,5=10,6 0,1 I behøver ikke at nummerere ligningerne
heraf følger 5+0 10= 100+ 0+10+10= 109+ 6+5+5=106 : 10 : 10 I behøver ikke at skrive, hvad I gør ved de enkelte ligninger 5 10 20=9 6+15+15= 3 15 30 60=27 12+30+30= 6 : : + :3 : 2 heraf følger 3 30=21 : + 30=24 = 0,8 den fundne værdi for indsættes i 5 10 20 0,8=9 2=10 =0,2 og den fundne værdi for indsættes i 0,5+0 0,8= 10+0,1 10,3=0,1 =103 de tre fundne parameterværdier indsættes nu i hver af de to parameterfremstillinger 0,5 0 1 0,3 = 0 +0,210 0,810= 6 0,6 0,5 0,5 0,3 hvis I har arbejdet med andre parameterfremstillinger, får I højst sandsynligt også andre parameterværdier, men uanset dette skulle I gerne få samme skæringspunkt 10 0,1 0,3 = 109+103 1 = 6 10,6 0,1 0,3 da vi får samme stedvektor lander flyet altså på landingsbanen og landingspunktet er 0,3 ; 6 ;0,3 landingen finder sted 103 tidsenheder efter indflyvningens start, altså 515 sek eller ca. 8,6 min efter indflyvningens start d) beregn afstanden mellem landingspunktet og kontroltårnets fod afstandsformel 245
= 0,5 0,3 +0 6 +0,6 0,3 =0,8 +6 +0,3 = 36,73 6,061 km Et andet fly med nr. DAT 888 passerer nogenlunde samtidig luftrummet i nærheden af Airtown. Til det samme tidspunkt =0 befinder det sig i samme koordinatsystem i punktet 1 21,7 ; 97,3 ;5,4 og dets retningsvektor kan tilnærmelsesvis angives med = 0,1. 0,3 Retningsvektoren kan tolkes på samme måde som ovenfor for RAL 007. e) undersøg, om de to fly kolliderer angiv i givet fald kollisionspunkt og kollisionstidspunkt (antal tidsenheder efter, at RAL 007 har startet sin indflyvning) ruten for DAT 888 kan beskrives med linjen 21,7 1 : = 97,3+0,1, R 5,4 0,3 for at undersøge om flyene kolliderer, skal vi løse vektorligningen 10 0,1 21,7 1 109+ 1 = 97,3+0,1 10,6 0,1 5,4 0,3 normalt ville vi bruge forskellige parameterbogstaver for to forskellige linjers parameterfremstillinger, men her ønsker vi netop ikke kun at undersøge, om de to linjer skærer hinanden altså om det ene flys rute krydser det andet flys, men præcist, om de to fly er på samme sted på samme tid derfor bruger vi her bevidst samme bogstav det svarer til at løse ligningssystemet 10+0,1= 21,7+ 109+= 97,3+0,1 10,6 0,1=5,4+0,3 11,7=0,9 11,7= 0,9 5,2=0,4 =13 =13 =13 da alle tre ligninger har samme løsning, kan vi sige, at flyene kolliderer 13 tidsenheder efter at RAL 007 har startet sin indflyvning, dvs. efter 65 sek. stedvektorern til kollisionspunktet kan vi finde ved at indsætte den fundne løsning =13 i en eller
begge linjers parameterfremstilling 10 0,1 8,7 = 109+13 1 = 96 10,6 0,1 9,3 21,7 1 8,7 = 97,3+130,1= 96 5,4 0,3 9,3 de to fly kolliderer altså i punktet med koordinaterne 8,7 ; 96 ;9,3