Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale regneregler i bogens appendix A.5, eller i jeres noter fra MatIntro. I de efterfølgende opgaer kigger i nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable og introducerer i den forbindelse Cauchy- Riemann betingelserne. Betingelserne er gengiet her: Cauchy-Riemann: En kompleks funktion kan skries på formen f(z) = u(x, y)+ i(x, y), hor funktionerne u og er relle og hor z = x + iy. x og y er også reelle. His funktionen f(z) er kompleks differentiabel i punktet z, så gælder der, at u x = y og u y = x. (1) Nederst I opgaesættet finder I en række ekstra opgaer. Den første gier et historisk perspekti på, hordan komplekse tal kan bruges til at løse reelle tredjegradsligninger. Den næste opgae er en inspirationsopgae, der drejer sig om at koble translation og rotation i en plan sammen med komplekse tal. F.eks. i kantemekanik er rotation en hyppig anendt operation. Der burde ære opgaer nok til at fylde tiden ud. His I ikke når dem alle er det ikke nogen katastrofe, men det er igtigt at I blier fortrolige med komplekse tal. God fornøjelse. Opgae 1: Angi det komplekse tal z = 1 + i 2 2 på formen z = r exp(iφ). Udregn z 2 og z 3 både for formen x + iy og r exp(iφ). Had er lettest? Opgae 2: Skri følgende komplekse tal på formen x + iy hor x, y R: a) (5 + 2i)(4 i) b) c) 1 3 4i 5 + 2i 5 4i 1
Opgae 3: Vis at for to komplekse tal z, w C gælder: (zw) = z w, hor x betyder den kompleks konjungerede af x. Brug dette til at ise at z w og zw er hinandens konjungerede. Opgae 4: Lad c = a + ib ære et fast komplekst tal og lad R ære et positit reelt tal. Vis at z c = R er ligningen for en cirkel med centrum c og radius R, når man tænker på de komplekse tal som planen R 2. Gør det først ed at regne og dernæst ed at lae en figur i den komplekse plan. Find nu maximum og minimum for z his z + 3 4i = 2 - dette gøres absolut lettest på en figur. Opgae 5: Vis at for faste komplekse tal a og b er z a = z b ligningen for en ret linie og bestem hilken linie. Det gøres lettest på en figur. (Det kan også gøres ed at regne). Opgae 6: Betragt ligningen (z 1) 10 = z 10 a) Vis geometrisk at de 9 løsninger ligger på en ertikal ret linie med real-del Re(z) = 1/2 (Tip: Brug foregående opgae og at Obs: gælder kun den ene ej.) (z 1) 10 = z 10 z 1 = z. b) Diider begge sider med z 10. Dette gier ligningen w 10 = 1, med w = (z 1)/z. Løs denne, hilket nemmest gøres på polær form. Brug løsningen til at løse den oprindelige ligning. c) Udtryk z på formen x + iy og erificer (a). Opgae 7: Vis at for z = 1 er Im z (z + 1) = 0 2 Gør det først ed at regne, altså sæt z = exp(iθ) og så bare derudaf. Prø dernæst at finde et geometrisk argument. 2
Opgae 8: For en reel funktion af en reel ariabel kan i i et (x, y)-koordinatsystem på et stykke papir tegne en funktion y = f(x) og med et enkelt blik på tegningen få en god fornemmelse af funktionen. For en kompleks funktion af en kompleks ariabel er det lidt særere. Vi kan skrie w = f(z) = u(x, y) + i(x, y), hor w = u + i og z = x + iy og x, y, u, er reelle. Så i skal bruge fire dimensioner til en tegning. Og det kan i ikke. Lidt fornemmelse kan i dog godt få alligeel. Betragt fx w = z 2. Horledes il en halcirkel i z-planen (z = re iθ, r konstant og θ [0, π] komme til at se ud i w-planen? Horledes il en linie gennem origo z = re iθ, r [0, ), θ konstant komme til at se ud? Betragt nu omendt først u = konstant og dernæst = konstant. Hilke kurer sarer det til (x, y)-planen? (Tip: Find ud af had ligningen for hyperbel er). Opgae 9: Eulers formel e iφ = cos φ + i sin φ udledes ofte som en potensrækkeudiklingen. His I ikke har set det, så skri potensrækken for eksponentialfunktionen af en imaginær ariabel. Find realdel og imaginærdel her for sig og identificer de to potensrækker med cosinus og sinus. En anden mulighed er at udnytte Cauchy-Riemann betingelserne (1) sammen med det naturlige kra at e z skal ære differentiabel og at e x+iy = e x e iy = u(x, y) + i(x, y) = e x φ(y) + ie x ψ(y). Løs de fremkomne differentialligninger for φ og ψ med naturlige begyndelsesbetingelser (F.eks. at de er 0 og 1 i y = 0 eller omendt.) Opgae 10: Eulers formel gælder også generelt for komplekse tal: e iz = cos z + i sin z. Brug dette til at ise at sinus og cosinus er giet ed cos z = eiz + e iz, 2 sin z = eiz e iz 2i Vis nu at sinus er analytisk ed at se at den opfylder Cauchy-Riemann betingelserne. (Tip: Indsæt z = x + iy og omskri til formen sin(z) = u(x, y) + i(x, y)). 3
Opgae 11: For en kotientrække gælder: 1 + z + z 2 + + z n 1 = zn 1 z 1 (2) Sæt n = 2m og is at summen så kan skries S l + S u med S l = 1 + z 2 + z 4 + + z 2m 2 S u = z + z 3 + + z 2m 1 Vis at S u = zs l og bestem dermed S u. Indsæt z = exp(iθ) og is ed at se på realdel og imaginærdel her for sig, at og at cos θ + cos 3θ + + cos(2n 1)θ = sin 2nθ 2 sin θ, sin θ + sin 3θ + + sin(2n 1)θ = sin2 (nθ). sin θ Er du oerbeist om at (2) er sand? Prø et. at beise det ed induktion: Antag først at formlen gælder for n. Vis at det følger at den så også gælder for n = n+1. Vis da at det gælder for n = 1, hilket burde ære triielt. Er det nok til at beise (2)? Horfor? Ekstra opgaer Historisk brug af komplekse tal Komplekse tal ble første gang brugt i 1500 tallet som ulolige rødder til at løse tredjegradsligner. Descartes kaldte dem imaginære, fordi de i starten kun ble brugt til at finde reelle løsninger. Det er en lidt ærgelig sprogbrug, der har hængt ed, selom komplekse tal ikke er en anderledes abstraktion end 0 og negatie tal. Vi skal nu se hordan komplekse rødder optræder i et problem, der både er formuleret med reelle tal og har reelle løsninger: For at løse den kubiske ligning x 3 = 3px + 2q gør følgende: a) Få den geniale ide at sætte x = s + t og is, at x er løsning his st = p og s 3 + t 3 = 2q. b) Eliminer t fra disse to ligninger og løs den resulterende kadratiske ligning i s 3. 4
c) Bestem så også t. Det kan gøres uden regning ud fra en symmetribetragtning mellem s og t i p = st og s 3 + t 3 = 2q. d) Find så at x = 3 q + q 2 p 3 + 3 q q 2 p 3 e) Benyt metoden på x 3 = 15x + 4. Et hurtigt gæt iser også at ligningen har et heltal som løsning. Vis at de to løsninger stemmer oerens. (Det er ikke helt let). Inspirationsopgae Denne opgae illustrerer hordan komplekse tal kan forståes som geometriske operationer. Lad T betegne en translation af den komplekse plan med det komplekse tal, altså T z = z +. To translationer efter hinanden skries T T w og har effekten: (T T w )z = T (T w z) = (z + w) + = z + (w + ) = T w+ z Den inerse til T skries T 1 og det gælder at T T 1 = T 1 T = I hor I er den identiske afbildning. Desuden er T 1 = T Er det åbenlyst? En rotation omkring et punkt a med en inkel θ il i skrie R θ a. Det er formentligt klart at en rotation omkring origo R θ 0 kan skries R θ 0z = e iθ z Vis nu ed at benytte at R θ a = T a R θ 0 Ta 1 tegning og tænk oer det) at (his det ikke er oplagt så la en R θ az = e iθ z + a(1 e iθ ) = e iθ z + k Vi kan altså skrie R θ a = T k R θ 0. En rotation omkring et punkt a kan altså betragtes som en rotation omkring origo efterfulgt af en translation med a(1 e iθ ). Prø at tegne et simpelt eksempel med a reel. Find billedet af et punkt b på den reelle akse b > a direkte ed en rotation om a og ed formlen oenfor. 5
Omendt kan en rotation omkring origo R θ 0 efterfulgt af en translation T a altid skries som en enkelt rotation: Vis at c = /(1 e iθ ) T R θ 0 = R θ c Det omendte gælder også: R α 0 T a = R α p Bestem p For to på hinanden følgende rotationer gælder: hor R φ b Rθ a = R φ+θ c, c = aeiφ (1 e iθ ) + b(1 e iφ ) 1 e i(φ+θ) Vis at dette gælder his φ + θ ikke er et multiplum af 2π. His på den anden side φ + θ = 2nπ med n et heltal så er e i(φ+θ) = 1. Vis at i dette tilfælde gælder: R φ b Rθ a = T med = (1 e iφ )(b a) His fx φ = θ = π fås Illustrer dette på en figur. R π b R π a = T 2(b a) Endelig kan man definere en dilatations operation Da r,θ. (Dilatation betydekr noget i retning af udidelse. Meningen er at Da r,θ z drejer z om punktet a med inklen θ og samtidig forstørrer eller formindsker længden med faktoren r. Så D r,θ 0 z = re iθ z Dilatation omkring et ilkårligt punkt fås så præcist som rotation om et ilkårligt punkt: Da r,θ = T a D r,θ 0 Ta 1. De komplekse tal som R 2 I denne opgae skal i se idere på hordan komplekse tal kan betragtes som ektorer i R 2. Betragt to tal a, b C. Disse kan betragtes som ektorerne: ( ) ( ) x u a = og b = y 6
Find nu a b med udgangspunkt i a, b på formen x + iy og dernæst på formen re iφ. Bemærk at his a = r a e iθa og b = r b e iθ b, så er θ := θb θ a inklen mellem de to ektorer. Se på real-delen og imaginær-delen af a b: Re(a b) = (xu + y) = r a r b cos θ, Im(a b) = (x uy) = r a r b sin θ. Kan du genkende udtrykkene fra ektorregning? 7