Maemaikkens mserier - på e høj niveau af Kenneh Hansen 4. Rumgeomeri Hvordan kan o forskellige planer ligge i forhold il hinanden?
4. Rumgeomeri Indhold 4. Vekorer i rumme 4. Krdsproduke 7 4. Planer og linier 6 4.4 Dimensionsbegrebe 4.5 Afsandsbesemmelse i rumme 4 4.6 Projekioner på plan 4 4.7 Kugler 46 4.8 Opgaver 48 Facilise 5 Sammenligning mellem plan- og rumgeomeri 54 Kapieloversig 55 Anvende smboler Sæninger, definiioner og formler er mærke med FS: LS: sæningen findes i formelsamlingen lær selv formlen udenad - den findes (underlig nok) ikke i formelsamlingen, og du får sikker brug for den il eksamen
4. Vekorer i rumme Vi vil nu generalisere plangeomeriens vekorer il rumgeomerien (eller sereomerien). De flese af definiionerne og sæningerne i dee afsni ligner plangeomeriens resulaer il forveksling, og der udelades derfor mange dealjer. For de førse har vi brug for e koordinassem i rumme. Dee er ganske simpel a lave: Man ager e sædvanlig koordinassem i planen og sæer en redie akse - z-aksen - på. Denne skal så vinkelre på de o andre akser, og dee gøres i praksis ved, a z-aksen sår vinkelre på den plan, x- og -akserne danner. Vi skal vælge z-aksens rening. Man plejer a vælge denne rening, således a man får e højreskrue ssem: Holdes højre hånd således, a omløbsreningen, dvs. reningen fra x- il -aksen, følger med de fire fingre, så skal z-aksen pege i ommelfingerens rening. z x En rumvekor er en pil i rumme. Alle de sædvanlige operaion, addiion, subrakion og skalarmuliplikaion, er definere på samme måde som i plangeomerien. Nedensående regler bevises ganske som i de plane ilfælde: Sæning Lad a, b og c være vekorer i rumme, og lad s og være skalarer. Da gælder, a a) a + b b + a b) a + ( b + c) ( a + b) + c c) a + + a a d) ( a + b) a + b e) ( s + ) a sa + a f) ( s ) a s( a) ( sa) g) a h) ( ) a a i) a + b a + b j) a b a + b
En vekor i rumme skal beskrives ved re koordinaer. Vi har nemlig re enhedsvekorer, i, j og k, som peger i samme rening som henholdsvis x-, - og z-aksen. Koordinafremsillingen af vekoren a er () a a ai + a j + ak a a Regning med koordinaer foregår ganske som i de plane ilfælde: Sæning (FS) Vekoren AB mellem punkerne A ( a, a, a ) F b a B ( b, b, b ) har koordinaerne AB Gb a og H G b a Sedvekoren OA il punke A ( a, a, a ) har koordinaerne a OA a. a I K J. Husk, a de, ligesom ved plangeomerien, er eksrem vigig a skelne mellem e punk og des sedvekor. Bevis: Sæning 4 Hvis a a a a a a) a + b a a sa c) sa sa sa b og b b, så gælder b + b + b + b b) d) a a b a a b b b a a + a + a
Kun punk d) kræver noge særskil bevis: z a a a Vi opsplier a i komponenerne a og a, hvor a befinder sig i x-planen, og a er parallel med z-aksen: Vi har a a + a, og ide a kan opfaes som den a plane vekor, og a ak, gælder a a a a + a og a a. x Nu er vekorerne a og a de o kaeer i en revinkle rekan med hpoenusen a. Phagoras giver derfor a a + a a + a + a og ved a age kvadraroden bevises sæningen Definiion 5 (FS) Skalarproduke mellem vekorerne a og b er give ved a b a b cos v hvor v er vinklen mellem a og b. Skalarproduke kan udregnes ud fra de o indgående vekorers koordinaer: (6) F H G a a a I F K J H G b b b I J K a b a b a b J + + Sæning 7 Lad a, b og c være vekorer, en skalar. Da gælder: a) a b b a b) a ( b + c) a b + a c c) a a a d) ( a) b a ( b) ( a b) e) a ± b a + b ± a b 4
Sæning 8 (FS) Lad a og b være egenlige vekorer. Så gælder, a a b a b Projekioner er definere som i de plane ilfælde, og der gælder da også formlen: (9) a a b b b b Opgaver Formåle med nedensående opgaver er ganske simpel a overbevise dig om, a de ikke er spor svær a regne med vekorer i rumme - man gør sor se som med vekorer i planen.... Lad vekorerne a, b, c og d være give ved a, b, 4 c, 4 d. Besem nedensående al og vekorer: a) a + b c b) d ( b c) c c) d a b +4 c d) a e) b f) a b g) a + b h) ( a, b ) i) ab j) ( c, d + b ) k) ( a b)( c d) a l) c d d c. Vekorerne i rumme a og b opflder a a + b 9 og a b 8. a) Besem længden af vekoren b. b) Besem vinklen mellem vekorerne a og b. c) Besem vinklen mellem vekorerne a + b og a b. 5
. For ehver reel al er vekorerne a og b besem ved a og b 4 Besem de værdier af, for hvilke a) a og b er orogonale, b) a 6..4 I rumme er give re punker A (,, ), B (,, ) og C ( 4,, ). a) Overbevis dig om, a re ilfældige (og forskellige) punker i rumme enen ligger på samme linie eller i samme plan. De oplses, a de re punker A, B og C ikke ligger på samme linie. b) Besem siderne og vinklerne i rekan ABC. E fjerde punk D er besem ved, a firkan ABCD er e parallelogram. c) Besem koordinaerne il punke D. d) Besem koordinasæe il diagonalernes skæringspunk i firkanen ABCD, og il medianernes skæringspunk i rekan ABC..5 I rumme er vekorerne a og b og punkerne A, B og C besem ved a, b og A (, 4, ). 4 Endvidere oplses de, a AB a + b og AC b. a) Besem koordinaerne il punkerne B og C. b) Besem sidelængderne og vinklerne i rekan ABC. Punke D opflder, a firkan ABCD er e parallelogram. c) Besem koordinaerne il D. 6
4. Krdsproduke En af de ing, som ikke kan generaliseres fra plangeomerien il rumgeomerien, er værvekoren. Grunden il dee er, a der ikke på nogen endig måde kan konsrueres en vekor, som sår vinkelre på en given vekor a ; som figuren viser, er der en hel række vekorer, som alle sammen er vinkelree på a - disse vekorer vil i øvrig ligge i den samme plan. a Men vælger man derimod o vekorer, a og b, og undersøger, hvilke vekorer der sår vinkelre på begge disse vekorer, så er siuaionen anderledes - krave om, a den ønskede vekor skal så vinkelre på a vinger vekoren il a ligge i planen. Men vekoren skal også så vinkelre på b, så er den nød il a ligge på den siplede linie på figuren. a b Dee viser, a man alligevel kan generalisere værvekor-begrebe il rumgeomerien, dog med den forskel, a man skal have angive o vekorer, før man kan finde deres fælles 'værvekor'. Denne ilordning kaldes normal vekorproduke eller krdsproduke - og man skriver a b. Bemærk, a skalarproduke a b er e al, mens krdsproduke a b er en vekor. Man skal derfor passe på med sine gangeegn! Vi giver den formelle definiion af krdsproduke: 7
Definiion (FS) Lad a og b være o vekorer i rumme. Krdsproduke a b defineres da som nedensående vekor: ) længden af a b defineres som a b a b sin v hvor v er vinklen mellem a og b ; ) reningen af a b er give ved den såkalde højrehåndsregel: Hold højre hånd i en knnæve, således a fingrene peger i reningen fra a il b ; a b vil da pege i ommeloens rening. Bemærk, a denne definiion også giver mening i følgende specialilfælde: ) Hvis a eller b er nulvekoren, så kan vi egenlig ikke ale om en vinkel v mellem a eller b. Men her er der ikke noge problem, ide længden af a b bliver nul ifølge regel I) - a b er da nulvekoren, og v (og reningen) er ligegldig. ) Hvis a og b er parallelle, så er højrehåndsreglen svær a anvende - reningen af a b er ikke veldefinere. Men dee er ligegldig, ide v enen er eller 8, og i begge ilfælde vil fakoren sin v gøre, a længden af a b bliver. Hisorisk se opfand man krdsproduke i forbindelse med eorien for elekromagneisme. Her opræder højrehåndsreglen i forskellige varianer, f.eks. i loven om magnefele fra en spole: Hold højre hånd om spolen således a fingrene peger i srømmens rening. Da vil magnefele fra spolen pege i ommeloens rening. Som de ses, så har vi umiddelbar følgende sæning: Sæning (FS) Hvis a og b er egenlige vekorer, så gælder, a a b a b 8
Bevis: Vi har, a a b kun kan være, når længden af a b er. Denne længde er give ved a b a b sin v og ide a og b er egenlige vekorer, så kan denne længde kun være nul, når fakoren sinv er. De er den neop når vinklen v mellem a og b er enen eller 8, dvs. når a og b er parallelle. Vi vil nu prøve a udregne krdsproduke af sandardvekorerne i, j og k. Ide vi får brug for dee resula, når vi skal finde e koordinaudrk for krdsproduke, formulerer vi resulae som en sæning: Sæning ) ) ) Vi har følgende krdsproduker: i i j j k k i j k j k i k i j j i k k j i i k j Bevis: De re krdsproduker i ) giver alle, ide en vekor jo alid er parallel med sig selv. I ) og ) ser man førs, a alle krdsprodukerne har længden - fakorerne i krdsproduke er alle enhedsvekorer, og vinklen mellem o af vekorerne er alid 9. Reningen kan så besemmes af højrehåndsreglen (Prøv!). Her er nogle regneregler for krdsproduke: Sæning (LS) ) a a ) a b b a ) ( ka) b a ( kb) k( a b) 4) a ( b + c) a b + a c 5) ( a + b ) c a c + b c Bevis: Regel ) følger umiddelbar af sæning, ide en vekor alid er parallel med sig selv. 9
Regel ) følger af højrehåndsreglen; ber man om på rækkefølgen af a og b, så skal højre hånd også vendes om, hvilke beder, a ommelfingeren kommer il a pege i den modsae rening. Ved bevise for regel ) sarer man med a observere, længderne af de indgående vekorer er ens. Man skal da blo undersøge reningerne, og her skal man dele op i re ilfælde: k >, k, k <. Når k er posiiv, så bliver den ene af vekorerne k gange længere, hvilke gør længden af krdsproduke k gange længere; men alle reninger forbliver uændrede. Når k er nul, så bliver en af fakorerne i krdsproduke nulvekoren, og dee gør naurligvis resulae il nulvekoren. Når k er negaiv, så ændres reningen af en af vekorerne il den modsae, hvilke ændrer omløbsreningen af fakorerne. Højre hånd skal da vendes på hovede, hvilke igen ændrer reningen af krdsproduke. Reglerne 4) og 5) er emmelig komplicerede a bevise, så vi nøjes med a give e overbevisende eksempel nedenunder. Eksempel Vi vil vise, a i ( j + k) i j + i k. Højresiden er en smal sag a udregne, ide vi har sæning : i j + i k k + ( j) j + k Længden af denne vekor er + + j k + ( ). Vensresiden er værre; vi har j + k + hvilke giver j + k + + Vi beegner vinklen mellem i og j + k med v. Ide i ( j + k) i j + i k + er v 9, og fakorerne i krdsproduke på vensresiden er orhogonale. Derfor fås i ( j + k) i j + k sin9.
i ( j + k ) skal så vinkelre på i, så i ( j + k ) må være parallel med z-planen. Men i ( j + k ) skal også så vinkelre på j + k, hvilke beder, a i ( j + k ) bliver parallel med j + k. Højrehåndsreglen viser, a i ( j + k ) fakisk er ensree med j + k. Al i al ser vi, a længden og reningen af vensre- og højresiden er ens, hvilke beder, a de o vekorer er ens. Vi er nu i sand il a lave en koordinaformel for krdsproduke: Sæning 4 (FS) Lad a a a a b og b b. Så er a b a b a b b a b a b a b a b Bevis: Bevise for denne formel er lige ud af landevejen - vi opskriver fakorernes koordinafremsillinger og bruger sæning og : a b ( ai + a j + ak ) ( bi + b j + b k ) abi i + ab j i + abk i + ab i j + ab j j + ab k j + abi k + ab j k + abk k + a bk + ab j + ab k + + ab i + a b j + a b i + ( a b a b ) i + ( a b a b ) j + ( a b a b ) k Denne formel er ikke lige le a huske, så derfor anvender man i praksis følgende meode il udregning af krdsproduke: Opskriv koordinaerne for a og b o gange hver på følgende måde: a a a a a a b b b b b b
Koordinaerne for a b kan da findes som deerminaner i ovensående skema:. koordinaen er hér: a a a a a a b b b b b b. koordinaen er hér: a a a a a a b b b b b b og. koordinaen er hér: a a a a a a b b b b b b ( a b a b ) ( a b a b ) ( a b a b ). Eksempel Vi har, a 4. Dee kan ses ved a berage skemaerne: 6 x: 4 6 4 6 4 6 4 6 : 4 6 4 6 6 6 ( ) z: 4 6 4 6 4 ( ) 4 Eksempel Punkerne A (,, ), B ( 4, 56, ) og C (,, ) ligger på samme ree linie - dee kan f.eks. ses ved a vise, a AB 4 AB 5 6 og de ses, a AB AC. og AC er parallelle: og AC Advarsel Krdsproduke er ikke associaiv, dvs. ligningen a ( b c) ( a b) c normal ikke gælder. E eksempel herpå er
i ( i j) i k j j ( i i ) j Derimod har vi Sæning 5 Lad a, b og c være vekorer. Så gælder a) a ( b c) ( a c) b ( a b) c b) ( a b ) c ( a c ) b ( b c ) a Bevis: Beviserne for a) og for b) er som snd ud af næsen på hverandre, så vi nøjes med a bevise a). Dee foregår ved koordinaopskrivning: a b c a a, b b, c c a b c Efer a have indfør noaionen, så er de bare a smøge ærmerne op: a b a ( b c ) a b a b c c c a a a b c b c b c b c b c b c a ( bc bc ) a( bc bc) a( bc bc ) a( bc bc ) a ( b c b c ) a ( b c b c ) bac + bac cab cab bac + bac cab cab b a c + b a c c a b c a b bac + bac + ba c cab cab cab bac + bac + ba c cab c ab cab b a c + b a c + b a c c a b c a b c a b b ( ac + ac + ac) c( ab + ab + ab) b ( ac + ac + ac) c( ab + ab + ab ) b ( a c + a c + a c ) c ( a b + a b + a b )
b c ( a c) b ( a b) c ( a c) b ( a b) c b c Vi afsluer med følgende sæning: Sæning 6 (FS) Lad a og b være egenlige vekorer. ) Parallelogramme udspænd af a og b har areale a b. ) Trekanen udspænd af a og b har areale a b. Bevis: Ligesom i de plangeomeriske ilfælde er areale af parallelogramme og af rekanen give ved henholdsvis a b sin v og a b sin v, hvor v er vinklen mellem a og b. Sæningen følger nu af definiion, ide a b a b sin v. Regne opgave Opgave: Parallelogramme ABCD er give ved A (,, ) C (,, ), B (,, 4 ) og. Besem koordinaerne for punke D, og beregn areale af parallelogramme ABCD. Løsning: Vi har umiddelbar, a AC AB. 4 5 Kaldes koordinassemes begndelsespunk for O, og benes a AB DC (ABCD er jo e parallelogram), så fås og 4
OD OC+ CD OC AB 5 6 Vi kender da D's sedvekor, hvoraf kan aflæses, a D (,, 6 ). For a finde areale af ABCD, så finder vi AB AC... 5, og areale 8 af ABCD er da lig AB AC + 5 + 8 89 Opgaver. Lad vekorerne a, b, c og d være give ved a b c Besem a) a b b) a c c) d) a ( b c) e) ( a b) c f) g) areale af parallelogramme udspænd af b og d h) areale af rekanen udspænd af c og d i) vinklen mellem a og b j) Er vekorerne a og d mon parallelle? b c a ( b + c) og d 4. 5 5
4. Planer og linier Vi vil nu se, hvorledes man kan beskrive planer og linier i rumme. Beskrivelserne vil på mange måder minde om beskrivelsen af linier indenfor plangeomerien. P n P En måde a karakerisere en plan på er ved hjælp af en normalvekor. Berag figuren ovenfor. Her er normalvekoren n en egenlig vekor, som sår vinkelre på planen, og P er e fas punk i planen. De ses, a punke P ligger i planen, neop når P P n Dee kan vi bruge il a finde en ligning for planen: Lader vi normalvekoren n have koordinaerne n a b og punkerne P og P have c x koordinaerne P ( x,, z) og P ( x,, z), så er P P z x z. Beingelsen n P P kan da omformuleres il n P P, og indsæes ovensående koordinaer fås ligningen for en plan: Sæning 7 (FS) Planen med normalvekoren n a b ( n ), og som indeholder c punke ( x,, z ), har ligningen a( x x ) + b( ) + c( z z ) Ersaer vi alle ax b cz med alle d i denne ligning, så fås en alernaiv form for planens ligning: (8) ax + b + cz + d. 6
Eksempel z-planen i koordinasseme er den plan, der indeholder både - og z-aksen. Vi vil finde en ligning for denne plan: Førs bemærker vi, a i er en normalvekor for denne plan. Dernæs observeres, a denne plan indeholder punke O (,, ). Dee giver ligningen ( x ) + ( ) + ( z ) eller, simplere skreve x Tilsvarende ses xz-planen a have ligningen, og x-planen har ligningen z. En anden måde a beskrive en plan på er ved hjælp af en parameerfremsilling. Nu er planen e odimensional objek (mere herom senere), så de er nødvendig med o paramere: q P p P Vi vælger e punk P i planen, sam o ikke-parallelle vekorer (reningsvekorer) p og q, som er parallelle med planen. På figuren ses, a punke P ligger i planen, hvis og kun hvis der findes reelle al s og, så a P P sp + q. (s og kaldes paramerene i parameerfremsillingen.) Lader vi P ( x,, z), P ( x,, z), p p p og q q q, så kan ovensående p q ligning omskrives il den endelige udgave af parameerfremsillingen for en plan: x x p q (9) s p q + + z z p q Eksempel z-planen fra før har følgende parameerfremsilling: 7
x s + + z eller x s z - denne plan indeholder nemlig punke (,,) og har reningsvekorerne j og k Vi vil nu se, hvorledes man kan gå fra den ene beskrivelse af en plan il den anden. Regnede opgaver Opgave: Find en ligning for planen med parameerfremsillingen x 4 s + + z 6 Løsning: Opgave: Løsning: Vi ser umiddelbar af parameerfremsillingen, a planen indeholder punke (,,). Endvidere er vekorerne r 4 og r 6 ikke-parallelle reningsvekorer for planen, ide deres krdsproduk ikke er nulvekoren. Vi finder en normalvekor n for planen som n r r n 4 8 Heraf ses, a en ligning for planen er ( x ) 4( ) + 8( z ) eller, skreve pænere, x 4 + 8z Find en parameerfremsilling for planen med ligningen x + z +. : Sraegien er a finde re punker A, B og C i planen. Disse skal ikke ligge på sammen linie. AB og AC er da o ikke-parellelle reningsvekorer for planen. Sæes x, så ses, a punke A (,, ) ligger i planen. Tilsvarende kan man sæe x z, hvilke giver, a B (,, ) ligger i planen. Endelig ligger C (,, ) i planen. Vi finder reningsvekorerne AB og AC : 8
AB ( ) AC ( ) Ide er AB og AC AB AC 9 9 9 4, ikke parallelle. Parameerfremsillingen bliver nu x s + + z Opgave: Find en ligning for planen indeholdende punkerne A (,, ), B (,, ) og C (,, ). Løsning: Vi har brug for en normalvekor n il planen. Denne vekor kunne f.eks. være n AB AC (forudsa, a denne ikke er nulvekoren): AB AC 7 n AB AC 9 6 Ide planen jo går gennem (,,), så får vi følgende ligning: 7( x ) + 9( ) 6( x ) En linie i rumme kan desværre ikke beskrives ved en ligning - som vi skal se nedenfor, så er de nødvendig med o ligninger. Men vi kan sadigvæk finde en parameerfremsilling, ganske som i plangeomerien: 9
Sæning (FS) Linien med reningsvekoren r r r r har parameerfremsillingen x x z z r r + r gennem punke ( x,, z ) Regne opgave Opgave: Find en parameerfremsilling for linien gennem punkerne A (, 4, 8 ) og B ( 5,, ). Løsning: En reningsvekor for linien må være AB 4 5 4 8 8 En parameerfremsilling for denne linie er da x 4 + 4 z 8 8 Vi skal nu se på, hvorledes planer og linier kan skære hinanden. Vi sarer med a berage fællesmængden mellem o planer: Sæning (LS) To planer α og β er enen a) sammenfaldende b) parallelle, og uden fælles punker, eller c) skærende - fællesmængden er da en linie.
(Figuren illusrerer ilfældene b) og c). ) Bevis: Vi lader ligningerne for de o planer være α:a x + b + cz + d og β:a x + b + c x + d De o normalvekorer beegnes n α og n β - vi har alså a nα b c og a nβ b c Hvis begge disse normalvekorer er parallelle, så er planerne ligeledes parallelle, og vi er i ilfælde a) eller b). Hvis disse o værvekorer ikke er parallelle, så ved vi, a krdsproduke n n. Dee beder, a minds en af koordinaerne i dee krdsproduk ikke α β er nul. Lad os i førse omgang anage, a de er x-koordinaen, som ikke er nul. Denne x- koordina er lig D b c b c. Vi kan nu paramerisere de fælles punker på α og β ved a paramerisere løsningerne il ligningssseme ax + b + cz + d ax + b + cz + d. Dee gøres ved a kalde parameeren, og lade x. Ligningssseme kan da omskrives il b + c z a d b + c z a d Dee ligningsssems deerminan er neop D b c b c
som jo er forskellig fra nul! Ligningssseme kan derfor løses; løsningen bliver a d c a d c b c b c ac ac b c b c c d c d + b c b c a c d c a c c d + + b c b c og e ilsvarende komplicere udrk for z. De vigige her er a bemærke, a begge udrk er lineære, dvs. af formen f + g og z f + g, hvor f, f, g og g er reelle al. E punk i løsningsmængden il de oprindelige ligningsssem kan da udrkkes ved x g f +. z g f og dee er jo parameerfremsillingen for en linie! Endelig skal man berage de ilfælde, hvor x-koordinaen for normalvekorernes vekorproduk n n er nul. Men ide vi har anage, a dee vekorproduk ikke er α β nulvekoren, så må enen - eller z-koordinaen være forskellig fra nul. Vi bruger da denne koordina i sede for x som parameer i ovensående beregninger. Eksempel Vi vil besemme fællesmængden og vinklen mellem planerne α og β med ligningerne α: x + + z og β:x + + z Vi sarer med a bemærke, a planernes normalvekorer er n α og n β, og a nα nβ 9 6 hvilke beder, a planerne ikke er parallelle. Fællesmængden er en linie. Desværre er x-koordinaen for krdsproduke ovenfor lig, så meoden i bevise for sæning kan ikke umiddelbar bruges. Men vi kan bare lade parameeren være i sede for x. Ersaer vi således med, så fås ligningssseme
x + z + x + z som løses ved deerminanmeoden D 9 eller Eksempel Dx + ( + ) ( ) + Dz + ( )( ) ( + ) D x x D + 4 9 Dz z + D 9 9 9. Skæringslinien har alså parameerfremsillingen 4 x + z 9 9 Vinklen v mellem α og β ses sraks a være lig vinklen mellem normalvekorerne nα og nβ. Denne vinkel findes vha. sandardmeoderne: nα nβ ( ) + + cosv n n ( ) + + + + 4 7 α β v arccos 44585. 4 7 Vi vil finde fællesmængden mellem planerne α og β give ved x α:x z 9 og β: s + + z De leese er her a indsæe udrkkene for x, og z fra β's parameerfremsilling i α 's ligning. Herved opnås en sammenhæng mellem paramerene s og, og den ene parameer kan elimineres: @ @ ( + s + ) ( + ) ( + s ) 9 s + 9 s
Dee udrk indsæes i β's parameerfremsilling, hvorved skæringsliniens parameerfremsilling opnås: x + 6 + 7 + + + + ( ) z + 4 4 Den bire erfaring viser, a hvis begge planer er beskreve ved en parameerfremsilling, så der de nemmes a omskrive den ene parameerfremsilling il en ligning, før man finder skæringslinien. For linier i rumme gælder følgende sæning: Sæning (LS) To linier l og m i rumme er enen a) sammenfaldende, b) parallelle og ikke sammenfaldende, c) skærende, eller d) vindskæve. Bevis: A o linier er vindskæve beder simpelhen, a de hverken er parallelle eller skærende - se figuren illusrerende ilfældene b), c) og d). Bevise for sæningen bliver med denne definiion riviel, ide ilfælde d) opfanger de, som ikke hører ind under a), b) eller c). b) c) d) parallelle linier skærende linier vindskæve linier Sæningen foræller desværre ikke, hvorledes man undersøger o liniers beliggenhed i forhold il hinanden. Meoden er som følger: Man sarer med a undersøge, om linierne er parallelle. Dee gøres ved a undersøge, om reningsvekorerne er parallelle. 4
5 Er reningsvekorerne parallelle så er linierne enen sammenfaldende eller parallelle og forskellige. Man undersøger da, om linierne har e fælles punk - har de de, så der de nødvendigvis sammenfaldende. Er reningsvekorerne ikke parallelle, så sæer man de o liniers parameerfremsillinger lig hinanden og opnår ligninger med de o ubekende s og. To af ligningerne opfaes som e sædvanlig ligningsssem og løses, f.eks. ved hjælp af deerminanmeoden, og løsningen (en værdi for s og en værdi for ) indsæes i den redie ligning. Passer den, så skærer linierne hinanden, og passer den ikke, så er linierne vindskæve. Nu kan man være uheldig, således a deerminanen for de o udvalge ligninger giver. Men denne deerminan er en af koordinaerne i de o reningsvekorers krdsproduk, og er reningsvekorerne ikke parallelle, så er dee krdsproduk ikke nulvekoren. Én af koordinaerne må da være forskellig fra nul, og man vælger derfor sine o ligninger ud fra dee. Eksempel Linierne give ved x z s + 4 og x z + 7 4 8 er parallelle, ide krdsproduke af reningsvekorerne er nulvekoren (Prøv!) Punke (,,) ligger på den ene linie, og for a se, om de også ligger på den anden, så finder man en evenuel værdi for parameeren : 7 4 8 5 4 4 + De er lid svær for a opflde alle re beingelser samidig, så punke (,,) ligger ikke på den anden linie, og de o linier er derfor ikke sammenfaldende. Eksempel Linierne give ved x z + 4 5 6 og x z + 4 er vindskæve: Vi sarer med a udregne krdsproduke af reningsvekorerne:
4 5 4 6 8 5 6 4 4 6 6 4 4 5 8 Linierne er alså ikke parallelle. Vi bruger meoden ovenfra, efer a vi har omdøb den ene parameer il s: + 4 + 5 + s + 6 + 4s Ide alle re koordinaer i krdsproduke er forskellige fra, så vælger vi a løse de o førse ligninger og anvende den redie som konrol: + 4 4 + 5 + s s + 5 4 D 5 D 4 8 D s 4 5 Ds s 4 D 8 5 Dee indsæes i den redie ligning: D 4 D 8 + 6 5+ 4 s + 6 ( ) 5+ 4 ( 4 5 ) 4 5 Dee er deligvis ukorrek, så de o linier har ine skæringspunk, og er derfor vindskæve. Eksempel Linierne med parameerfremsillingerne x 5 + 6 z 4 og x 8 6 s + 8 4 z 5 skærer hinanden i punke ( ; 4; 5) : For de førse er linierne ikke parallelle, ide krdsproduke af reningsvekorerne ikke er nulvekoren: 6
Vi har derfor ligningssseme 6 5 ( 4) 4 4 6 5 ( ) 5 ( 4) ( ) 6 5+ 8 6s 6 + 8 4s 4 + + 5s 6s + 4s+ 5s + 6 Vi løser de o førse ligninger og bruger den redie som konrol: 6s + 4s + 6 D 6 4 4 UPS - deerminanen blev jo nul! Tjah - de kunne man jo have sag sig selv - denne deerminan er jo krdsprodukes z-koordina, og denne er jo nul. Så i sede for a vælge de o førse ligninger vælger vi f.eks. førse og redie ligning - deres deerminan er krdsprodukes -koordina (pånær foregn), og denne -koordina er jo ikke nul: 6s + 5s + 6 6 D 5 6 D 5 6 D s 6 Ds s D D D Indsæes dee i den sidse ligning fås 4s + 4 + ( ) og dee er jo e sand udsagn. Linierne skærer alså hinanden. For a finde skæringspunke indsæes enen s eller i en af parameerfremsillingerne. Vi vælger a indsæe s : x 8 6 + 8 4 4 z 5 5 7
Dee er alså sedvekoren il skæringspunke, som derfor har koordinaerne (, 4, 5) Endelig gælder der følgende sæning om skæringen mellem en linie og en plan: Sæning (LS) Lad α være en plan og l være en linie i rumme. Da gælder enen a) α og l skærer hinanden i e punk, eller b) l er indehold i α, eller c) α og l er parallelle og har ingen punker ilfælles. l l α l α α a) b) c) Bevis: Lad α have ligningen ax + b + cz + d og lad l have parameerfremsillingen x x z z r r +. r Ved indsæelse af parameerudrkkene for x, og z i ligningen for α fås følgende udrk: som kan omskrives il a( x + r ) + b( + r ) + c( z + r ) + d, ( ar + br + cr ) ( ax + b + cz + d). Ide vi kalder α's normalvekor for n og l's reningsvekor for r, kan vi skrive dee som ( n r ) ( ax + b + cz + d) 8
Hvis n r, dvs. hvis linien ikke sår vinkelre på planens normalvekor (eller, hvad der er de samme, linien og planen ikke er parallelle), så har denne ligning neop en løsning for, og dee giver neop e skæringspunk. Hvis n r, så er linien og planen parallelle, og analle af løsninger afhænger af højresiden. Hvis højresiden er, så er alle mulige værdier for løsninger, og linien l er indehold i planen α. Hvis højresiden ikke er, så findes der ingen løsninger, og linien og planen har ingen fælles punker. (Bemærk, a denne højreside er lig -(punke ( x,, z ) 's koordinaer indsa i planens ligning)). Eksempel Linien α give ved ligningen x + + z + parameerfremsillingen x + z og linien l give ved skærer hinanden i punke (-5, 4, -): Indsæelse af parameerfremsillingen i planens ligning giver nemlig ligningen som reducerer il ( + ) + ( ) + ( + ) + 4 8. Indsæes løsningen i l's parameerfremsilling, så fås skæringspunke ( 5, 4, ). Opgaver. a) Find en parameerfremsilling for planen med ligningen x z + 9 b) Find en ligning for planen med parameerfremsillingen x 4 s + + 4 z 6 c) Find en ligning for planen gennem punkerne ABC, hvor A (,, 4 ) B (,, 6 ) og C (, 4, ) d) Besem vinklen mellem planerne i a) og b) 9
e) Ligger punke D (,, ) 6 i nogle af de re planer fra a), b) eller c).. a) Besem en parameerfremsilling for linien gennem punkerne (8,,) og (-7,4,9) b) Kan man opskrive en ligning for denne linie?. Planerne α β γ δ,, og er give ved: α : 7 4 9 x z + β: 4 6 x z + γ : x z s + + 6 4 6 δ : x z s + + 6 4 7 8 4 a) Besem fællesmængden mellem α og β. b) Besem fællesmængden mellem β og γ. c) Vis, a α og δ skærer hinanden, find deres fællesmængde og find vinklen mellem de o planer. d) Besem fællesmængden mellem γ og δ. e) Besem vinklen mellem γ og δ. f) Besem ligningen for den plan, som sår vinkelre på både γ og δ, og som går gennem punke (,,)..4 Linierne k, l, m og n er besem ved parameerfremsillingerne: k x z : + 6 l x z : + 8 4 m x z : + 6 6 n x z : + 4 4 4 5 Besem fællesmængderne og beliggenhedsforholde mellem a) k og l b) k og m c) k og n d) m og n. e) Besem endvidere vinklen mellem linierne k og n.
.5 Planerne α, β, γ og δ er som i opgave., og linierne k, l, m og n er som i opgave.4. Besem fællesmængden og beliggenhedsforholde mellem a) α og k b) β og l c) δ og m d) Besem vinklen mellem planen γ og linien l..6 Samme planer og linier som i opgave. og.4. a) Besem en parameerfremsilling for den linie, som indeholder punke (8,-,4) og som sår vinkelre på planen γ. b) Besem en ligning for den plan, som sår vinkelre på linien n og som indeholder punke (,,). c) Besem en ligning for den plan, som er parallel med linien l og som indeholder linien m.
4.4 Dimensionsbegrebe I dee afsni vil vi kor sudere dimensionsbegrebe. Grof sag er dimension lig med anal frihedsgrader. En frihedsgrad kan berages som en rening, e punk kan bevæge sig i. Mere præcis kan vi sige, a allinien - - - er -dimensional - e punk på denne allinie kan kun bevæge sig i én rening, nemlig frem/ilbage. En anden måde a sige dee på er a konsaere, a e punk på allinien kan beskrives ved én koordina - il enhver posiion svarer der neop é al, og omvend. Planen er o-dimensional: Ehver punk i planen har o bevægelsesmuligheder: frem/ilbage og op/ned. Alernaiv kan ehver punk posiion i planen beskrives med o koordinaer. Rumme er redimensional, ide vi skal bruge re koordinaer il a beskrive e punks posiion. Indenfor relaivieseorien arbejder man med den såkalde rum-id. E 'punk' i denne mængde er en begivenhed, som beskrives ved fire koordinaer: Tiden, il hvilken begivenheden fand sed, og de re rum-koordinaer. Rum-iden er således fire-dimensional. Rum eller mængder af højere dimension opræder hppigere end man ror. F.eks. kan man beskrive produkionen hos en osefabrik, der producerer 8 slags ose, ved 8 al - e al for hver slags os. Vi siger, a oseprodukionen er e punk i e 8-dimensional rum, hvor den førse dimension beskriver den producerede mængde af os nr., den anden dimension mængden af os nr., ec. Probleme med disse højere-dimensionale rum er desværre, a de er rimelig svær a foresille sig dem, endsige a egne dem. For a vende ilbage il rumgeomerien kan vi berage de forskellige objeker, som opræder her, og deres dimensionalie. Vi kan lave følgende lille abel:
Objek Dimension punk linie plan rumme Vi kan se, a en plan er -dimensional, ide den kan beskrives ved en parameerfremsilling med o paramere. En anden måde a finde denne dimension på er a sige, a e punk i en plan har o frihedsgrader: Som punk i rumme har de re frihedsgrader, men ligningen for planen indskrænker des bevægelsesfrihed med en frihedsgrad. Der er så o frihedsgrader ilbage. Tilsvarende er en linie -dimensional, ide en linie kan beskrives ved en parameerfremsilling med én parameer. Her ser vi også grunden il, a de er umulig a beskrive en linie i rumme med en ligning. Var dee nemlig mulig, så ville linien jo blive -dimensional. Men vi kan beskrive en linie med ligninger - disse o bindinger på koordinaerne eferlader lige præcis en frihedsgrad. Men ved a beskrive en linie med o ligninger, så beskriver vi fakisk en linie som skæringen mellem o planer. Endelig ser vi, a e punk er -dimensional. F.eks. kan vi beskrive punke (,,) på o måder: Enen som den lid kedelige parameerfremsilling x z som indeholder paramere, eller ved de re ligninger x,, z. Ide hver ligning æder en frihedsgrad, ser vi, a punke er -dimensional. Ovensående skal dog ages med e gran sal; man kan dog god komme ud for, a en punkmængde i rumme, som beskrives med én ligning, er -dimensional og ikke - dimensional. F.eks. fremsiller ligningen x + + z (,, ). den -dimensionale punkmængde { }
4.5 Afsandsbesemmelse i rumme Vi vil i dee kapiel give formler for, hvorledes man kan besemme afsanden mellem de forskellige objeker i rumme, nemlig punker, linier og planer. Vi sarer med en af de nemme formler: Sæning 4 (FS) Bevis: x x Denne sæning er en direke konsekvens af sæning, ide PQ z z og dermed Afsanden mellem punkerne P ( x,, z ) og Q ( x,, z ) er give ved PQ ( x x ) + ( ) + ( z z ) PQ PQ ( x x ) + ( ) + ( z z ) Eksempel Afsanden mellem punkerne A (,, ) findes ganske le: 7 og B (,, ) AB ( 7) + ( ) + ( ) 8 + 5 + 9 Følgende sæning og bevis skal sammenlignes med plangeomeriens sæning 7. Sæning 5 (FS) Lad P ( x,, z ) være e punk og α:ax b cz d være en plan i rumme. Da er afsanden fra P il α give ved ax + b + cz + d dis( P, α ) a + b + c Endvidere gælder, a a) ax + b + cz + d > P ligger i de posiive halvrum b) ax + b + cz + d < P ligger i de negaive halvrum c) ax + b + cz + d > P ligger på α. 4
Bemærk, a de posiive halvrum er definere som de halvrum, hvori normalvekoren n a b c peger ind - se egningen: n de posiive halvrum de negaive halvrum Bevis: Lad P ( x,, z) være e punk på α. Vi har da, a dis(, ) P l neop er lig længden af projekionen af P P på normalvekoren n. Endvidere ligger P i de posiive halvrum, hvis denne projekion er ensree med n, og i de negaive halvrum, hvis projekionen er modsa ree n. Se figuren nedenfor, hvor projekionsvekoren P P n er egne som den siplede pil. P P o n Vi finder projekionen: x x P P z z x x P P n z z a b a x x b c z z ( ) + ( ) + ( ) c ax + b + cz ( ax + b + cz ) ax + b + cz + d ide ax + b + cz + d Projekionen er nu 5
P P n P P n n n og de ses, a projekionen er ensree med n, hvis og kun hvis sørrelsen P P n ax + b + cz + d er posiiv, og a projekionen er modsa ree n, hvis den samme sørrelse er negaiv. Endelig fås for længden af projekionen dis( P, α ) P P n P P n n n P P n n ax + b + cz + d a + b + c Eksempel Lad planen α være give ved ligningen x + z, og punkerne P,Q og R være P (,, ), Q (,, ) og R (,, ). Vi har da, a dis( P, α ) +, + ( ) + 6 så P ligger i planen α, dis( Q, α ) + + ( ) + og de ses, a Q ligger i planens negaive halvrum, og dis( R, α ) + + ( ) + 6 6 6 6, så R ligger i planens posiive halvrum. Speciel kan vi konkludere, a Q og R ligger på hver sin side af planen α. Sæning 5 kan også bruges il a finde afsanden mellem en linie og en plan, og afsanden mellem o planer - nemlig når planen og linien, eller de o planer, er parallelle. Eksempel Lad linien l og planen α være give ved 6
x l: + z og α:x + + 5z. Vi sarer med a bemærke, a l og α er parallelle - vi har nemlig, a r n l α + 4 5 5 så liniens reningsvekor og planens normalvekor er orhogonale. Dee er heldig, for hvis l og α ikke var parallelle, så ville de skære hinanden, og deres indbrdes afsand ville være. Pga. denne parallelie kan vi nøjes med a finde e enkel punk P på linien l og beregne dis( P, α) dis( l, α). Vi vælger punke P (,, ), som opnås ved a sæe parameeren lig, og får dis( l, α) dis( P, α) + + 5 + + + 5 8 6 7 Eksempel Planerne α og β, hvis ligninger er α:x + + z og β:x + + z + er parallelle, ide de har den samme normalvekor. Dee er heldig; hi var de ikke parallelle, så skar de hinanden, og deres indbrdes afsand var. Som ovenfor vælger vi e ilfældig punk P beliggende i α, og for nemheds skld vælger vi P (,, ). Vi får da dis( α, β) dis(, β) + + P + + + Vi forsæer vor Odssé gennem afsandsformlernes rige:. Bevis: Sæning 6 (FS) Afsanden mellem punke P og linien l gennem punke P og reningsvekoren r er give ved r dis( P, l) r P P 7
Hvis punke P ligger på linien l, så er afsanden. De passer mege god med, a i dee ilfælde er reningsvekoren r parallel med P P. Krdsproduke mellem disse vekorer er da nulvekoren, og højresiden af afsandsformlen forsvinder. Hvis P ikke ligger på linien l, så udspænder P og l en plan. Berager vi denne plan, så ser siuaionen således ud: P v P r R Q Q er projekionen af P på linien l, og vores afsand er dis( P, l) Reningsvekoren r placeres med halen i punke P, og hovede kaldes for R. Vinklen PP R kaldes v. Vi beregner areale T af rekanen PP R på o forskellige måder. For de førse ses, a PQ er en højde for denne rekan, så den sædvanlige formel giver T højde grundlinie P R PQ r dis( P, l ) For de ande vides fra sæning 6, a T r P P hvilke ilsammen giver r dis( P, l) r P P, eller ved omrokering af leddene r P P dis( P, l) r PQ Regne opgave Opgave: Beregn afsanden mellem punke P (,, ) parameerfremsillingen og linien l med 8
x 4 + 5 z Løsning: Vi sarer lige på og hård: 4 P ( 4 ; ; ) P P r r 8 P P 9 P P ( 8) + 9 + 44 r + 5 + ( ) 5 dis( P, l) r P P r 44 5 6 5 Dee var egenlig sle ikke så slem... Bevis: Sæning 7 (FS) Afsanden mellem de ikke-parallelle linier l og l, som har reningsvekorerne r og r, og som går gennem punkerne P og P, er give ved n P P dis( l, l), hvor n r r n. Bemærk, a hvis linierne er parallelle, så er vekoren n, og formlen er ikke så mege værd. Vi behandler dee ilfælde senere. l l m α 9
Vi berager nu planen α, som indeholder l, og som er parallel med l. Denne plan kan f.eks. konsrueres ved a parallelforskde linien l, indil den skærer l. Den parallelforskude linie kan passende kaldes m. En normalvekor for planen er neop n r r, og endvidere gælder pga. parallelieen, a Som i sæning 5 har vi nu, a hvilke beviser sæningen. dis( l, l ) dis( α, l ) dis( α, P ). n P P dis( α, P ) P P n n Eksempel Afsanden mellem linierne l og m give ved x l: + 5 og z findes: n rl rm 7 n ( ) + + 7 6 P P 5 x m: + z n P P ( )( ) + ( ) + 7 5 7 dis( l, m) n P P n 5 6 4
Hvis de o linier er parallelle, så dur sæning 7 ikke. Men vi kan anvende sæning 6 og finde afsanden mellem dem som afsanden mellem e vilkårlig punk på den ene linie og den anden linie. Eksempel Afsanden mellem de parallelle linier l og m findes: x 5 x l : + 4 m: + z 6 z 4 Vi finder e ilfældig punk P på m ved a sæe : P (, 4, ). Tilsvarende findes P på l som P ( 5,, ). Vi får så: r 4 6 5 P P ( ) 4 ( ) 5 r P P + ( 8) + 8 r + 4 + 6 56 r P P 8 8 og dis( l, m) dis( l, P) 56 9 7 Opgaver I de følgende opgaver beegner α. β, γ og δ planerne definere i opgave., k, l, m og l linierne definere i opgave.4 og punkerne A, B, C og D de fire punker nedenfor: A (,, ) B (,, ) C ( 5,, ) og D (, 4, ) 4
5. Besem afsandene a) AB b) AC c) CD d) BD 5. Besem afsanden mellem planen α og hver af punkerne A, B, C og D. Besem endvidere, hvilke af de 4 punker, der ligger i α s posiive halvrum. 5. a) Besem afsanden mellem planerne β og γ. b) Besem afsanden mellem planerne α og β. 5.4 Besem nedensående afsande: a) dis( A, l ) b) dis( A, m ) c) dis( A, n ) d) dis( B, k ) e) dis( D, l ) f) dis( B, n ) 5.5 Besem nedensående afsande: a) dis( k, l ) b) dis( k, n ) c) dis( m, n ) d) dis( k, m ) 5.6 Besem en ligning for hver af de o planer, som sår vinkelre på linien l, og som ligger i afsanden 4 fra punke D. D l 5.7 Besem en ligning for den plan, som ligger mid imellem de o parallelle planer β og γ. 4
4.6 Projekioner på plan I dee afsni vil vi sudere hvorledes man projicerer vekorer og punker ned på en plan. Definiion 8 (FS) Projekionen af vekoren a på planen α med normalvekoren n er vekoren a a a α n n a α a α Sæning 9 (FS) Projekionen a α af vekoren a på planen α med normalvekoren n er give ved a n n a n aα a n ( ) n n Bevis: Ifølge sæning 9 har vi umiddelbar, a a n a a a α n a n n De ande lighedsegn vises ved hjælp af sæning 5, a): n ( a n) ( n n) a ( a n) n n n n a a n n a an a n n α Eksempel 4
Projekionen af vekoren a 6 på planen α:x + + z er give ved a a a α n ide planen har normalvekoren n. + + 6 + + 6 6 Bemærk, a de ikke kan beale sig a bruge formlen med de dobbele krdsproduk - der bliver for mange regnerier! 5 7 Definiion (LS) Projekionen P α af punke P på planen α er definere som skæringspunke mellem α og den linie, som sår vinkelre på α og som går gennem P. Denne definiion foræller, hvorledes man i praksis finder projekionen af e punk på en plan: Eksempel For a finde projekionen af P (,, ) på planen α:x + z + bemærker vi førs, a en normalvekor for α, og dermed en reningsvekor for linien gennem P vinkelre på α er n Denne linie har da parameerfremsillingen x + z og sæes dee ind i planens ligning, så fås ( + ) + ( + ) ( ) + 7 44
Denne parameerværdi giver de punk, hvor linien skærer planen, alså P α. Indsæes denne i parameerfremsillingen fås P α ( 7, 7, ( 7)) (, 5, 7). Regne opgave Opgave: Find koordinaerne il spejlbillede af punke P (,, ) α:x + z +. spejle i planen Løsning: Linien gennem P og som sår vinkelre på α har parameerfremsillingen x + z Indsæes dee i α's ligning, så fås ( ) + ( ) + Linien går alså gennem P for, gennem α for og må da passere gennem P's spejlbillede, når ( ), ide dee punk har samme afsand il α som P. Sæes i parameerfremsillingen, så fås spejlbilledes koordinaer (,, ). Opgaver 6. Hvorfor må man ikke anvende sæning 9 il a finde projekionen af e punk på en plan? 6. Lad punke P (, 4, 6 ) og planen α : x + z være give. a) Besem projekionen af punke P på planen α. b) Besem spejlbillede af punke P under spejlingen i planen α. Lad endvidere linien l være give ved parameerfremsillingen: x l : + 4 9 z c) Besem en parameerfremsilling for den linie, der opnås ved a projicere l ned på planen α. (Vink: De nemmese er a finde den linie, som går gennem projekionerne af på punker fra l). 45
4.7 Kugler Kuglen er e ganske velkend geomerisk objek. Vi giver dog alligevel den formelle definiion: Definiion (FS) Lad r > være e posiiv reel al, og lad C være e punk i rumme. Kuglen med cenrum C og radius r er definere som punkmængden besående af de punker P, som opflder CP r Sæning (FS) Kuglen med cenrum C ( x,, z ) og radius r er give ved ligningen ( x x ) + ( ) + ( z z ) r. Bevis: Dee følger af afsandsformlen i sæning 4 - vi har nemlig, a punke P ( x,, z) ligger på kuglen, hvis og kun hvis CP ( x x ) + ( ) + ( z z ) r Ide kuglen kan beskrive med en ligning, så er dimensionen af en kugle lig -. Dee semmer overens med, a der skal o 'koordinaer' eller paramere il, for a besemme en posiion på en kugle. E sådan 'koordinassem' er velkend: Jordoverfladens længde- og breddegrader. Regnede opgaver Opgave: Find ligningen for kuglen med cenrum ( ; 9 ; ) og radius. Løsning: Opgave: Løsning: Vi har umiddelbar, a den søge ligning er ( x ) + ( + ) + ( z 9). En kugle har ligningen x + + z x + 4 + 6z Find cenrum og radius. Vi omskriver ligningen il x x + + 4 + z + 6z 46
Opgave: ( x ) + ( + ) + ( z + ) + + 4 + 9 6 hvoraf de ses, a kuglens cenrum er (,, ), og a radius er 4. En kugle er give ved ligningen x + + z 4z Besem en ligning for angenplanen il kuglen med røringspunke P (,, ). Løsning: Vi ser hurig, a denne kugle har cenrum C (,, ) og radius. Tangenplanen, som rører kuglen i C, sår vinkelre på 'radiusvekoren' PC, som derfor er en normalvekor: PC Ide angenplanen går gennem P (,, ), så bliver ligningen ( x ) + ( ) + ( z ) som kan omskrives il z De ses, a denne angenplan fakisk er x-planen. Opgaver 7. Undersøg, om nedensående ligninger fakisk beskriver en kugle. Hvis de gør, så angiv cenrum og radius. a) x + + z x + 4 6z b) x + + z 4x + 4z + 8 c) x + + z x 6 + 5x + 8 d) x + + z x + z + 7. En kugle har cenrum i punke C (,, ) og indeholder punke P (,, ) a) Besem en ligning for kuglen. b) Besem en ligning for angenplanen il kuglen med røringspunk i P. 47
4.8 Opgaver 8. Ligger punker A ( 8,, ), B (,, 7 ), C (,, ) og D (,, 4 ) i samme plan? 8. I rumme er planen α og linien l besem ved parameerfremsillingerne x 9 x α : s + + 4 og l : + z 4 z a) Besem en ligning for planen α. b) Besem fællesmængden mellem α og l. c) Besem en parameerfremsilling for projekionen af l på α. 8. En plan α er besem ved α : x z + a) Besem koordinasæe il projekionen af punke A (,, 4 ) på planen α. b) Besem spejlbillede af A under spejling i planen α. c) Besem afsanden mellem A og α. 8.4 Lad en pramide OABCD i rumme være give - se figuren: D C B O A De oplses, a O (,, ) A ( 8,, ) B ( 8, 8, ) C (, 8, ) sam a højden af pramiden er. a) Besem koordinaerne il punke D. b) Besem vinklen mellem o af pramidens sideflader. c) Besem vinklen mellem en af pramidens sideflader og dens grundflade. 8.5 En kugle i rumme har cenrum i punke C (,, ). Endvidere oplses, de, a kuglen har planen α med ligningen 48
α : x + z + 8 som angenplan. a) Besem en ligning for kuglen. b) Besem koordinasæe il projekionen af C på α. c) Besem koordinasæe il røringspunke for angenplanen α. 8.6 En kugle i rumme har cenrum i punke O (,, ) og har radius. a) Besem en ligning for denne kugle. b) Besem en ligning for angenplanen α med røringspunk i A (,, ). c) Besem en ligning for den angenplan, som er parallel med α. d) De oplses, a der findes fire angenplaner, som sår vinkelre på α. Besem de fire ilsvarende røringspunker. 8.7 Man kan ikke umiddelbar inden for rumgeomerien definere deerminanen for o vekorer - men man kan definere deerminanen for re vekorer. De er dee deerminanbegreb, vi vil undersøge i denne og de næse par opgaver. Hvis a, b og c er re vekorer i rumme, så defineres deres fælles deerminan som de( a, b, c) ( a b) c. Indføres koordinaer for de re vekorer, så skrives deerminanen ofe i skemae de( a, b, c) a b c a b c a b c a) Besem deerminanen de( a, b, c ), når 4 a b c. b) Bevis formlen de(,, a b c) de( b, a, c) Rækkefølgen af de re indgående vekorer er alså ikke ligegldig. E koordinaudrk for deerminanen er re komplicere, men de skal ikke forhindre os i a prøve: c) Vis, ved direke udregning, a a b c a b c a b c a b c a b c + a b c a b c + a b c a b c 49
(Der er fakisk mening i galskaben - alle led af formen aib jck forekommer, forudsa a i, j og k er forskellige indices. Foregne er posiiv, hvis rækkefælgen af de re indices er, eller, og negaiv hvis ikke. Ved de posiive rækkefølger kommer allene i den rigige rækkefølge, ev. blo knække over). En vigig huskeregel er d) Vis, a a b c a b c a b c a b c a b c a b + b c b c b c c Igen bemærker man, a f.eks. ved ledde a b c besår den lille b c deerminan af den sore deerminan, hvor man dog har slee den søjle og den række, hvori alle a sår. e) Vis nedensående formel: de( a, b, c) de( b, c, a) de( c, a, b) de( a, c, b) de( c, b, a) de( b, a, c ) f) Vis, a de( a, a, b ) de( a, b, sc + d) sde( a, b, c) + de( a, b, d), for s, R. g) Vis, a de re vekorer a, b og c ligger i samme plan, hvis og kun hvis de( a, b, c ). (Vink: c sa + b ). 8.8 a) Den geomeriske bedning af x-deerminanen er: Volumine af de parallelepipedum, som udspændes af a, b og c, er lig de( a, b, c ) - se figuren c b a Bevis dee - reningen af krdsproduke a b spiller en vis rolle. b) Besem volumine af de parallelepipedum, der udspændes af vekorerne 5
a b 8 og c 9 c) Besem volumine af parallelipipedie udspænd af koordinavekorerne i, j og k. Hvilken speciel pe parallelepipedum er der ale om? 8.9 x-deerminaner benes bl.a. il a løse re ligninger med re ubekende, f.eks. ligningssseme x + 4+ z x + z 5 x + + 4z a) Gør rede for, a løsningsmængden il e sådan ssem enen besår af punkerne på en plan, punkerne på en linie, e enkel punk eller den omme mængde. Opfa i alle fire ilfælde de re ligninger som ligningerne for re planer, og skisér beliggenhedsforholde mellem de re planer i de fire ilfælde. b) Vis, a de piske ligningsssem kan opfaes som vekorligningen xa + b + zc d c) Vis, a løsningsmængden er e punk, hvis og kun hvis de( a, b, c). d) Bevis Cramer s formel: Hvis de( a, b, c), så er løsningen il ligningssseme give ved d b c x de(,, ) a d c de(,, ) a b d z de(,, ) de( a, b, c) de( a, b, c) de( a, b, c) e) Løs ligningssseme i saren af opgaven ved hjælp af Cramer s meode. De bør bemærkes, a denne meode langfra er den mes effekive, når de drejer sig om løsning af sådanne ligningsssemer. 5
. a) 5 4 4 b) 5 4 Facier c) g) 5 h) 58, 4 i) 7 6 / 7 / 7 / 7. a) 6 b) c) 8. a) ( ± 5) b) ± d) 4 e) f) 9 j) 4, 57 k) 7 8 54.4 b) AB AC BC 4 A 48, B 68, 99 C 6, 88 c) ( 4,, ) d) ( 5,, ) og (, 4, ).5 a) B ( 6,, ) C (,, ). a). a). a) b) AB 4 AC 8 BC A, 5 B 8, 77 C 9, 8 c) (, 6, ) 4 6 b) c) 4 6 d) 6 g) 89 h) 44 i) 7, 7 j) nej x 9 / s + + z 9 9 9 e) 6 b) x + 8 z 7 c) 6x 8 z + 5 d), 8 e) nej. a) linien x 8 5 + z 4 8 c) linien x + / 7 / 7 z / / x + 6 z 5, 95 b) nej l) f) b) om - planerne er parallelle 55,,, 9, 4 4 6 5
x 6 d) linien + 4 z e) 78, 46 f) x + + z.4 a) vindskæve b) parallelle c) skærer i punke (8,8,6) e) vindskæve f) 4, 6.5 a) skærer i ( 5, 6, 6 ) b) skærer i ( 8, 7, ) c) skærer i (,8,) d) 5, x 8.6 a) + z 4 5. a) b) 4 c) 59 d) 5 5. dis( A, α ) 74 dis( B, α ) 4 74 Punkerne A, C og D ligger i de posiive halvrum. b) 4x + 5 x + 6 c) x + z 4 9 dis( C, α ) 5 74 5. a) 6 / 56 b) 5.4 a) 5 b) / c) 449 / 45 d) / 5 e) f) 774 / 45 5.5 a) 9 / b) c) 78 / 644 d) 59 / 5.6 4x + z + c hvor c ± 4 8 5.7 x 4z + 6. a) (,-,4) b) (,,) x 4 / / c) + 7 / 54 / z 7 / 8 / 7. a) C (,, ) r 5 b) punke (,,-) c) ingen kugle d) C (,, ) r 7. a) ( x ) + ( + ) + ( z + ) 9 b) x + + z 9 9 dis( D, α ) 9 74 5
Sammenligning mellem plan- og rumgeomeri Her følger en kor lise over lighederne og forskellene mellem plan- og rumgeomerien: Plangeomeri vekoraddiion vekorsubrakion skalarmuliplikaion skalarproduk værvekor deerminan ligning for en linie parameerfremsilling for en linie cirkel Rumgeomeri vekoraddiion vekorsubrakion skalarmuliplikaion skalarproduk vekorproduk vekorproduk ligning for en plan parameerfremsilling for en linie parameerfremsilling for en plan kugle De begreber, som er mege forskellige fra plan- il rumgeomerien, er kursiverede. 54
Kapieloversig Regneregler for vekorer Hvis a a a og b b b, så a b a a + b a a + b + b + b a a b a a b b b sa sa sa sa Skalarproduke a b a b cos v,hvor v er vinklen mellem a og b. a a a b b b a b a b ab ab ab + + a a b b b b Vekorproduke a b a b sin v, hvor v er vinklen mellem a og b Lad a a a og b b b. Så er ab ab a b ab ab a b ab ab a b a b Parallelogramme udspænd af a og b har areale a b. Trekanen udspænd af a og b har areale a b. Planer og linier Linien med reningsvekoren parameerfremsillingen x x z z r r r r r r + r gennem punke ( x,, z ) har 55
Planen med normalvekoren q q q q n a b c og reningsvekorerne, og som indeholder punke ( x,, z ), har ligningen a( x x ) + b( ) + c( z z ) p p p p x x p q og parameerfremsillingen s p q + + z z p q Lad P ( x,, z ) være e punk og α:ax + b + cz + d være en plan i rumme. Da er afsanden fra P il α give ved ax + b + cz + d dis( P, α ) a + b + c Afsanden mellem punke P og linien l gennem punke P og reningsvekoren r er give ved r P P dis( P, l) r og Afsanden mellem de ikke-parallelle linier l og l, som har reningsvekorerne r og r, og som går gennem punkerne P og P, er give ved n P P dis( l, l), hvor n r r n. Projekionen af vekoren a på planen α med normalvekoren n er vekoren a n n a n a a a α n a n ( ) n n Kugler Kuglen med cenrum C ( x,, z ) og radius r er give ved ligningen ( x x ) + ( ) + ( z z ) r. 56