3.8 Lineære differentialligninger af første orden

92 Differentialligninger af 1. orden Fordelen ved differentialligningen ved empiris modellering Bemær, at en blandt andre fordele ved at have en differentialligning for logistis væst i modsætning til blot en algebrais ligning (som jo er løsningen til differentialligningen), er, at differentialligningen un indeholder to esplicite parametre. Dette betyder, at hvis man har empirise data og helst en begrundet formodning om logistis væst, så an man ud fray i -data beregne transformeredeỹ i -data, f.es. ved ỹ i = 1 y i y i+1 y i t i+1 t i som da forventes at approsimere y y. Ifølge den logistise differentialligning er dette lig med ay(t) +al. Ved lineær regression an onstanterne a ogal beregnes og derafaogl. Da vi tidligere arbejdede med den logistise ligning estimerede vi generelt værdien af to parametre vha. lineær regression på et transformeret udtry, men dette blev gjort på baggrund af et valificeret gæt på systemets bæreapacitet, jvf. afsnit A.9 side 197. Med modellen på differentialligningsform er et sådan gæt ie nødvendigt. Til gengæld inddrages viden om systemet til et givent tidspunt, nemlig systemets begyndelsesværdi, og det er med en sådan vægt, at systemet tvinges gennem dette datapunt. 3.8 Lineære differentialligninger af første orden I dette afsnit sal vi se lidt nærmere på en anden ategori af differentialligninger, som an løses analytis, nemlig lineære differentialligninger af første orden. Lineære differentialligninger er særligt interessante matematis set, fordi teorien om dem an generaliseres til differentialligninger af højere orden og som vi sal se i apitel 4 til systemer af oblede differentialligninger. Lineære differentialligninger er endvidere meget anvendelige i modelleringssammenhænge. Matematis definition En lineær differentialligning af første orden an generelt srives på denne form y =a(t)y +b(t), hvor y(t) er den ubeendte funtion af den uafhængige variabel, som søges, og hvor a(t) og b(t) er ontinuerte funtioner eller eventuelt reelle tal. Grunden til at en sådan ligning aldes lineær, er, at der un indgår led i ligningen medy i første og nulte potens (led udeny). Der er ie nogen led medy i andre potenser eller specielle funtioner afy f.es sin(y). Den logistise differentialligningy = y(1 y) =y y 2 er således et esempel på en ie-lineær differentialligning. At en lineær differentialligning er af første orden betyder naturligvis som hidtil, at ligningen ie indeholder led med afledede af funtionen y af højere orden

3.8 Lineære differentialligninger af første orden 93 end den første afledede. Der er en lar analogi til sædvanlige lineære ligninger (y =ax +b), hvor den uafhængige variabel,x, un optræder i første og nulte potens. Homogene og inhomogene ligninger I behandlingen af lineære differentialligninger benyttes en vigtig selnen mellem homogene og inhomogene ligninger. En homogen lineær differentialligning indeholder ie led udeny ellery (svarende til atb(t) = 0). En homogen lineær differentialligning har altså formen y =a(t)y Fuldstændig løsning til den homogene ligning Vi an se, at de homogene ligninger er en delmængde af de separable ligninger, som vi behandlede i forrige afsnit. Vi an derfor umiddelbart finde den fuldstændige løsning til en homogen lineær differentialligning af første orden. Vi får ligningen 1 y dy = a(t)dt +c hvor c er en vilårlig reel onstant. Efter opdeling i intervaller hvory 0, an vi bestemme integralerne og danne ligningen ln y =A(t) +c Efter overvejelser helt analogt med dem vi gennemførte for ligningeny =ay på side 85, får vi følgende udtry for den fuldstændige løsning til ligningen y =a(t)y, nemlig y(t) =Ce A(t), hvora(t) er en stamfuntion tila(t), ogc er en vilårlig reel onstant.c= 0 svarer til ligevægtsløsningen y(t) = 0. Fuldstændig løsning til den inhomogene ligning Der er en meget smu sammenhæng mellem løsningen til en inhomogen lineær differentialligning og løsningen til den tilsvarende homogene ligning. Det vil sige den ligning, der fremommer ved at fjerne leddet b(t) i den inhomogene ligning. Den fuldstændige løsning til en inhomogen ligning an nemlig fremstilles som summen af en enelt vilårligt valgt partiulær løsning til den inhomogene ligning og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning. Denne sammenhæng an vi endda relativt let bevise: Vi ser på den inhomogene ligning

94 Differentialligninger af 1. orden y =a(t)y +b(t) Vi antager, at vi har fundet en partiulær løsning f(t) til denne differentialligning. Vi har altså at f (t) =a(t)f(t) +b(t) Vi undersøger nu, hvor meget en vilårlig anden løsning z(t) til den inhomogene ligning an afvige fra vores løsning f(t). Vi ser på differentialvotienten af differensen mellem de to funtioner: (z(t) f(t)) = z (t) f (t) = (a(t)z(t) +b(t)) (a(t)f(t) +b(t)) = a(t)(z(t) f(t)) Det tredje udtry fremommer ved at udnytte, at bådez(t) ogf(t) er løsninger til den inhomogene ligning. Ved at sammenholde det første og det sidste udtry an vi se, at funtionen (z(t) f(t)) er løsning til den tilsvarende homogene ligning. Det betyder, at der for hvilen som helst løsningz(t) findes en onstant C så (z(t) f(t)) =Ce A(t) Dermed an den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning srives på formen z(t) =Ce A(t) +f(t) hvor f(t) er en partiulær løsning til den inhomogene ligning. Men hvad er det smarte ved det? Som det næste esempel viser, er det ofte meget nemt at finde en enelt løsning til en inhomogen ligning, og derfor er ovenstående sammenhæng et raftfuldt redsab til løsning af inhomogene lineære differentialligninger. Esempel: Minfarmen Vi ser på en minfarm. Vi an opfatte bestanden af min på farmen som et ompartment, og vi indfører betegnelsen N(t) for bestanden af min til tiden t. Minene formerer sig naturligvis, og der er derfor en tilstrømning til ompartmentet. Det antages, at fødselsraten er onstant F% per uge. Der er imidlertid også en vis dødelighed, som ligeledes antages at unne besrives med en onstant rated% per uge. Formålet med en minfarm er naturligvis at tjene penge

3.8 Lineære differentialligninger af første orden 95 f N(t) N(t) d N(t) P Figur 3.14 Kompartmentdiagram for minfarm. ved at sælge minsind. Derfor udtages der hver ugep min til pelsning. Situation an illustreres ved hjælp af diagrammet i figur 3.14, når vi sætterf = F 100 ogd = D 100. Ud fra diagrammet an vi opstille følgende differentialligning for ændringen i minbestanden målt i min per uge: N (t) =fn(t) dn(t) P = (f d)n(t) P Vi an se, at der er tale om en inhomogen lineær differentialligning af første orden. For at finde den fuldstændige løsning til denne ligning prøver vi først, om vi an finde en partiulær løsning. En oplagt mulighed er at søge efter en ligevægtsløsning. Det vil jo sige en løsning, hvor minbestanden forbliver onstant. HvisN(t) er onstant, betyder det, atn (t) = 0. Vi sætter derfor N (t) lig med nul N (t) = (f d)n(t) P = 0 N(t) = P f d Med værdierf = 4%,D = 1.5% ogp = 150 min fås ligevægtsløsningen N(t) = 6000 min. Det vil sige, at der med en bestand på 6000 min er balance mellem den naturlige tilvæst og et udtag til pelsning på 150 min per uge. Vi finder herefter den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning N (t) = (f d)n(t) Det giverce (f d)t. Når vi hertil lægger ligevægtsløsningen og indsætter tallene forf ogd, får vi følgende udtry for den fuldstændige løsning til vores inhomogene ligning

96 Differentialligninger af 1. orden N(t) =Ce 0.025t + 6000, hvor C er en vilårlig onstant. Vi an se, atc = 0 giver ligevægtsløsningenn(t) = 6000. Vi an nu spørge om, hvad der ser, hvis bestanden er mindre end 6000 min, f.es. 5000 min. Vi sal altså finde den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen N(0) = 5000. Vi indsætter i det generelle udtry og får og hermed altså Den søgte løsning har altså ligningen N(0) =Ce 0.025 0 + 6000 = 5000 C = 1000 N(t) = 6000 1000e 0.025t Grafen for denne løsning er tegnet i figur 3.15, der også viser løsningen gennem puntet (0, 7000). Vi an se, at ligevægtsløsningeny = 6000 er ustabil. Hvis begyndelsespuntet ligger under dette niveau, vil minbestanden uddø, og hvis det ligger over, vil bestanden i følge modellen vose mod uendelig. Begge situationer er naturligvis urealistise. Minavleren vil formentligt regulere på systemet, inden det ommer så vidt. 10000 9000 8000 7000 6000 Min 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 uger Figur 3.15 Viser tre løsningsurver til ligningenn (t) = (f d)n(t) P. Den inhomogene differentialligning vi opstillede i esemplet med minfarmen er speciel simpel, derved at oefficienterne i ligningen er onstante og altså ie

3.8 Lineære differentialligninger af første orden 97 afhænger af t. Løsningen af sådanne ligninger bliver behandlet nærmere efter nedenstående esempel. Esempel: Frit fald med luftmodstand Vi har tidligere set, at ligningen a(t) = g besriver sammenhængen mellem acceleration og hastighed for en bold, der astes lodret op i luften, når man ser bort fra luftmodstanden. Vi ser nu på en faldsærmsudspringer, der falder frit mod jorden, fordi faldsærmen ie folder ud. Faldhastigheden vil da un være påviret af tyngderaften og af luftmodstanden. I denne situation er luftmodstanden af afgørende betydning, og den må derfor indgå i modellen. Luftmodstand er en raft, der virer modsat bevægelsesretningen, og som an antages at være proportional med størrelsen af legemets hastighed. Vi regner hastigheden mod jorden som positiv. Tyngderaften virer jo naturligvis i retning mod jorden, og den er onstant og proportional med legemets masse. Den resulterende raft, der virer på vores uheldige udspringer, er summen af disse to ræfter regnet med fortegn. Vi får dermed følgende ligning F res (t) =ma(t) =mg v(t) hvor m er udspringerens masse, g er tyngdeaccelerationen, og er en fritionsonstant. Heraf fås a(t) =g m v(t) Dav (t) =a(t) får vi en 1. ordens lineær inhomogen differentialligning som model for udspringerens hastighed: v (t) = v(t) +g m Vi an illustrere situationen med et ompartmentdiagram, hvor vi lader udspringerens hastighed være ompartmentet, se figur 3.16. g v(t) m v(t) Figur 3.16 Kompartmentdiagram for frit fald med luftmodstand.

98 Differentialligninger af 1. orden Vi løser ligningen; først finder vi en ligevægtsløsning: v (t) = 0 v(t) = mg Vi an se, atv er negativ, nårv> mg og positiv forv<mg. Det betyder, atv vil vose op til hastigheden mg. Der er således tale om stabil ligevægtsløsning. Den fuldstændige løsning til den homogene del af ligningen bliverce m t,c R. Og vi får derfor følgende udtry for den fuldstændige løsning v(t) =Ce m t + mg Vi an se, at uanset værdien afc vil løsningerne gå mod mg fortgående mod. Spørgsmålet er, hvor lang tid der går, før udspringeren når denne hastighed. Det undersøger vi ved at bestemme en forsrift for den løsning, der opfylder betingelsen v(0) = 0, svarende til at vi måler faldtiden fra det tidspunt, udspringeren forlader flyet. v(0) =Ce m 0 + mg Og hermed får vi løsningen = 0 C = mg v(t) = mg (1 e m t ) For at få fuldstændigt endsab til udspringerens hastighed som funtion af faldtiden mangler vi blot parameteren, idet vi regner med, at vi fi vejet udspringeren til 85 g inden han sprang. Hvis vi måler hastigheden i m/se fårenheden g/se, og en realistis værdi forer 18 g/se. Det giver en ligevægtshastighed på 9, 82 m/se 2 85 g 18 g/se = 46, 4 m/se Udspringeren opnår altså en hastighed af 46,4 m/se svarende til 167 m/time. Vi har tegnet løsningsurven for v(t) i figur 3.17 sammen med ligevægtsløsningen og løsningen, der opfylder betingelsenv(0) = 80 m/se. Af grafen forv(t) an vi se, at der går ca. 20 seunder, inden udspringeren falder med ligevægtshastigheden. Inhomogene ligninger med onstante oefficienter For inhomogene lineære differentialligninger med onstante oefficienter an vi helt generelt angive den fuldstændige løsning. For ligninger af formen y =ay +b

3.8 Lineære differentialligninger af første orden 99 80 70 60 50 v [m/se] 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [se] Figur 3.17 Tre løsninger til ligningenv (t) = mv(t) +g. hvora,b R, an vi nemlig altid finde en ligevægtsløsning, da y = 0 y = b a som an benyttes som en partiulær løsning. Når vi hertil lægger den fuldstændige løsning til ligningeny =ay, får vi følgende udtry for den fuldstændige løsning til en inhomogen lineær differentialligning af første orden med onstante oefficienter: y(t) =Ce at b a Der bliver rig lejlighed til at arbejde med differentialligninger af denne form, men i stedet for at forsøge at huse ovenstående generelle løsningsudtry an det anbefales, at man hver gang tæner forfra og bestemmer en ligevægtsløsning og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning. Fuldstændig løsning til inhomogene ligninger Selv om de fleste af de lineære differentialligninger vi sal arbejde med i dette ursus, har onstante oefficienter, an det være nyttigt at vide, at der også findes en generel formel til bestemmelse af en partiulær løsning til en inhomogen ligning, hvor oefficienterne er ontinuerte funtioner. Vi an nemlig bevise, at ligningeny =a(t)y +b(t) generelt har følgende partiulære løsning

100 Differentialligninger af 1. orden z(t) = e A(t) e A(t) b(t)dt (3.9) hvor A(t) er en stamfuntion til a(t). Ved differentiation efter produtreglen og ædereglen får vi ) z (t) = (e A(t) e A(t) b(t)dt = a(t)e A(t) e A(t) b(t)dt +e A(t) (e A(t) b(t)) og efter redution fås z (t) =a(t)(e A(t) e A(t) b(t)dt) +b(t) Udtryet i parentesen er netop vores bud på en partiulær løsningz(t), og vi an derfor se, at z (t) =a(t)z(t) +b(t) Og hermed har vi bevist, at funtionenz(t) i alle tilfælde er en partiulær løsning til en lineær inhomogen ligning. Vi an derfor opsrive følgende formel for den fuldstændige løsning til den lineære inhomogene differentialligning af første orden y(t) =Ce A(t) +e A(t) e A(t) b(t)dt (3.10) hvilet også an srives således y(t) =e A(t) ( e A(t) b(t)dt +C) hvor C er en vilårlig reel onstant. Esempel: Ligningeny =y+t Som esempel på en inhomogen ligning, der har ie-onstante oefficienter, ser vi på ligningeny =y +t. Meda(t) = 1 ogb(t) =tses det, at ligningen er af denne type. Vi prøver først at finde en ligevægtsløsning ved at sættey lig med nul. Det giver y =y+t = 0 y(t) = t Det vil sige, at når funtionen y(t) = t indsættes i ligningen giver højresiden nul. Men funtionen y(t) = t er jo ie onstant, og dens differentialvotient er derfor ie nul. Den er derimod onstant 1, og vi får derfor 1 på venstresiden. Funtionen y(t) = t passer med andre ord ie i differentialligningen. Men

3.8 Lineære differentialligninger af første orden 101 fordi dens differentialvotient er onstant, an vi nemt lave om på den således, at den bliver en løsning til differentialligningen. Hvis vi lægger 1 til funtionen, så vi får at y = t 1, ændrer vi nemlig ie på differentialvotienten. Den bliver stadigvæ 1. Højresiden giver nu også 1 ved indsættelse afy= t 1, og dermed har vi fundet en partiulær løsning til den inhomogene ligningy =y+t. Der er imidlertid ie tale om en ligevægtsløsning, fordiy 0, men om en løsning der er retlinet, fordiy er onstant. Den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligningy =yer givet vedce t, og den fuldstændige løsning til den inhomogene ligningy =y+t bliver da y(t) =Ce t t 1 Mængden af løsningsurver er illustreret i figur 3.18 med et hældningsfelt. Det an ses direte af hældningsfeltet, at funtionen med ligningeny = t 1 er en løsning til differentialligningen. Hvis man starter et sted på denne linie og tegner parallelt med hældningselementerne, an man ie omme væ fra linien. Starter man oven over denne linie, vil løsningsurven være esponentialt vosende svarende til, at onstanten C er positiv. Ligger begyndelsespuntet derimod under denne linie vil løsningsurven gå esponentialt mod for t gående mod. En sådan løsningsurve svarer selvfølgelig til en negativ C-værdi i udtryet for den fuldstændige løsning. C = 0 giver den retlinede løsningsurve y = t 1. Denne løsningsurve delert y planen op i to halvplaner, hvor løsningsurverne er valitativt forsellige. 5 4 3 2 1 y 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 t Figur 3.18 Hældningsfelt for ligningeny =y+t.

102 Differentialligninger af 1. orden Ligningeny =y +t an naturligvis også løses ved direte indsættelse i formlen (3.10) for den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning. Det giver y(t) =Ce t +e t e t tdt Ved hjælp af partiel integration an denne ligning omsrives til y(t) =Ce t +e [ e t t t + ] e t dt Efter redution fås som forventet følgende udtry for den fuldstændige løsning y(t) =Ce t t 1 3.9 Vigtige begreber og pointer 1. ordens differentialligning: En 1. ordens differentialligning y (t) =F(t,y) fastlægger en sammenhæng mellem en ubeendt funtion y(t) og dens differentialvotienty (t). Man an også tæne på en første ordens differentialligning som en sammenhæng mellem en tilstandsvariabely(t) og den hastighedy (t), hvormed tilstanden ændrer sig. Denne fortolning er specielt oplagt, hvis differentialligningen er opstillet ud fra et ompartmentdiagram. For hvert ompartment giver summen af indstrømninger minus summen af udstrømninger netop en differentialligning, der angiver den hastighed, hvormed niveauet i ompartmentet ændrer sig. Hældningsfelt: Et hældningsfelt for en 1. ordens differentialligning viser i et (t,y)-oordinatsystem værdien afy repræsenteret ved hældningen af et lille liniestye (hældningselement) i et gitter af udvalgte punter. Det bruges til at visualisere saren af løsninger og identificere valitativt forsellige løsningsfuntioner. Numeris løsning: En numeris løsning til en differentialligning af 1. orden er en løsning, der optræder i form af en numeris beregnet tabel eller graf, der giver tilnærmede værdier til en løsningsfuntion i udvalgte punter. Analytis løsning: En analytis løsning til en differentialligning af 1. orden er en funtionsforsrift med tilhørende definitionsmængde, der opfylder differentialligningen i hele definitionsmængden.

3.9 Vigtige begreber og pointer 103 F.es. er funtionenf(t) = 3e 2t fort R en løsning til differentialligningen y (t) = 2y(t). Det an ontrolleres ved at udregne henholdsvis venstre og højre side af differentialligningen, når f(t) indsættes for y(t). Venstresiden giver Og højresiden giver y (t) = (3e 2t ) = 6e 2t 2 (3e 2t ) = 6e 2t Funtionenf(t) = 3e 2t opfylder altså ligningeny (t) = 2y(t) fort R. Fuldstændige løsning: Den fuldstændige løsning til en differentialligning er en angivelse af samtlige analytise løsninger til ligningen med tilhørende definitionsmængder. Den fuldstændige løsning an som regel sammenfattes i et eller to analytise udtry, hvori der indgår en eller flere onstanter. Den fuldstændige løsning til ligningeny (t) = 2y(t) an f.es. angives således: hvor C er en vilårlig reel onstant. y(t) =Ce 2t,t R Begyndelsesværdiproblem: Et begyndelsesværdiproblem af 1. orden drejer sig om at finde en løsningf(t) til en 1. ordens differentialligning, der samtidig opfylder en given begyndelsesbetingelse af typenf(t 0 ) =y 0. F.es er funtionenf(t) = 3e 2t løsning til begyndelsesværdiproblemet:y (t) = 2y(t),y(0) = 3; fordif foruden at passe i ligningen også opfylder betingelsen f(0) = 3. Partiulær løsning: En partiulær løsning til en differentialligning er en løsning, der opfylder en bestemt begyndelsesbetingelse. En partiulær løsning er med andre ord en løsning til et bestemt begyndelsesværdiproblem. Ligevægtsløsning: En ligevægtsløsning til en differentialligning er en løsning f(t) fort I, hvorom det gælder, atf (t) = 0 for allet I. Separabel differentialligning: En separabel differentialligning har formen: y =f(t)g(y) hvoryer en funtion af den uafhængige variabelt. I intervaller hvorg(y) er nulpuntsfri, an den fuldstændige løsning til en sådan ligning findes ved at isolere y af ligningen:

104 Differentialligninger af 1. orden 1 g(y) dy = hvor C er en vilårlig reel onstant. f(t)dt +C 1. ordens lineær differentialligning med onstante oefficienter: En 1. ordens lineær differentialligning med onstante oefficienter har formen: y =ay +b hvora,b R. Hvisb=0aldes ligningen for homogen, og hvisb 0aldes den for inhomogen. Den fuldstændige løsning har formen: hvor C er en vilårlig reel onstant. y =Ce at b a 1. ordens lineær differentialligning: En 1. ordens lineær differentialligning af formen: y =a(t)y +b(t) hvor a(t) og b(t) er ontinuerte funtioner af t, har den fuldstændige løsning: y(t) =e A(t) ( e A(t) b(t)dt +C) hvora(t) er en stamfuntion tila(t), ogc er en vilårlig reel onstant. Ligevægt og stabilitet: En ligevægtsløsning til en enelt differentialligning er en løsning, der er onstant for alle værdier af den uafhængige variabel. Grafen for en ligevægtsløsning er derfor en vandret linie. Ligevægtsløsninger an findes ved at sætte differentialvotienten lig med nul,y = 0, og løse ligningen med hensyn til y. En ligevægtsløsning siges at være stabil, hvis enhver lille forsydning i begyndelsesbetingelsen (således, aty(t 0 ) =y 0 ± y) giver løsningsurver, der alle går mod ligevægtsløsningen, når den uafhængige variabel går mod. En ligevægtsløsning siges at være ustabil, hvis en lille forsydning i begyndelsesbetingelsen an give løsningsurver, der ie nærmer sig ligevægtsløsningen, når den uafhængige variabel går mod.