Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget os med den komplekse eksponentialfunktion: hvor z = x + i y ( ) z x e = e cos y + i sin y, Inden vi går videre er det på sin plads at definere, hvad vi mener med en (reel) funktion Funktioner af en reel variabel Definition En funktion er sæt af ordnede par (,, hvor ingen par har det samme x xy) En funktion beskrives også som en afbildning mellem to mængder Vm f Vi skriver: definitionsmængden Dm( f ) og værdimængden ( ) y = f( x), hvor x Dm( f ) og y Vm( f ) En reel funktion af en reel variabel x kan beskrives ved dens graf Feks f ( x) = x Figur 1 1
Differentialkvotienten af funktionen f i et punkt x 0 angiver hvor meget funktionen varierer i det punkt Den geometriske fortolkning er, at differentialkvotienten er hældningen af tangenten i x 0 På figur er tangenten i x 0 = 1 tegnet Figur Funktioner af to variable Der findes også funktioner, der afhænger af mere end en variabel Funktioner af f xy, to variable x og y, skriver vi som ( ) Eksempel 1 (, ) = 5 ( + ) f xy x y er en funktion af de to variable x og y Som bekendt er x + y = r kvadratet på afstanden r fra origo til punktet ( xy, ) i planen Funktionen f giver for hvert punkt i planen et reelt tal Til eksempel er f ( 1, ) = 5 (1 + ) = 0 Det er nemt at forestille sig fysiske eksempler, der opfylder denne ligning Det kan feks være en 5 meter høj cirkulær bakke, hvor f ( xy, ) angiver højden i punktet ( xy, ) i forhold til bakkens midte i ( 0,0) Bakken er symmetrisk og dens radius er 5 meter Øvelse 1 Argumenter for at bakken er symmetrisk omkring (0,0) og dens radius er 5 meter
Her er det ikke så nemt at tegne en graf Da vi skal afbilde en funktion af to variable har vi brug for tre dimensioner til grafen Man kan så tegne bakken som en 3-dimensionel flade i rummet (se figur 3) Figur 3 Alternativt kan grafen illustreres ved niveaukurver På samme måde som man ser med isobarerne på et vejrkort Isobarer er kurver langs hvilke trykket er det samme For funktionen f kan vi tilsvarende tegne højdekurverne, der er kurver med samme højde, dvs samme værdi af f Det er gjort i figur 4 til højre Man bemærker symmetrien omtalt i øvelse 1 Figur 4 3
Det ligger lige for at overveje, hvor stejl bakken er i et givet punkt, dvs hvor hurtigt bakkens højde ændrer sig I modsætning til funktioner af én variabel kan det afhænge af hvilken retning man bevæger sig på bakken Vi må derfor udvide begreberne differentialkvotient og afledet funktion Hvis vi starter i punktet ( x0, y0) og bevæger os i x -retningen til et punkt ( x0 +Δ x, y 0) ændrer højden sig fra f ( x0, y 0) til f ( x0 +Δ x, y0) Som sædvanlig danner vi differenskvotienten ( +Δ, ) (, ) f x0 x y0 f x0 y o Grænseværdien når vi lader kaldes den partielle afledede funktion af funktionen f med hensyn til x og skrives ( ) ( ) f x +, y f x, y f ( x, y ) lim 0 0 0 o = 0 0 De krøllede d er ( ) angiver, at der er tale om en partiel differentiation i modsætning til den almindelige Tilsvarende kan vi flytte os i y-retningen og definere den partielle afledede med hensyn til y For en funktion af to variable x og y definerer vi altså de to partielle afledede (kaldes også retningsafledede) funktioner: f ( xy, ) fxy (, ), Vi kan nu beregne hvor stejl bakken er i forskellige retninger i punktet ( 1, ) Generelt får vi for funktionen f: ( 5 ( x y )) f( x, y) + = = x, ( 5 ( x y )) f( x, y) + = = y Vi fortolker resultatet således, at minusserne betyder, at højden falder når x eller y vokser Vi ser også, at bakken bliver stejlere jo længere væk fra toppen vi kommer Endelig er det værd at bemærke, at bakkens top i origo (0, 0 er speciel f( x, y) f( x, y) da det er det eneste sted, hvor = = 0 Geometrisk svarer det til at tangentplanen er vandret det er en top I punktet (1, ) bliver de partielle afledede - og -4, hvilket betyder, at bakken i det punkt er stejlere i y-retningen Den geometriske fortolkning er lidt sværere her En flade i rummet har jo mange tangenter i et punkt De to partielle afledede danner en vektor ) 4
f( x, y ) f( x, y ), 0 0 0 0 (, ), f x y der kaldes gradienten i punktet (, ) 0 0 = x y og angiver den retning bakken hælder 0 0 mest Gradienten er den -dimensionale udvidelse af tangenten og betegnes med symbolet (kaldes del) Komplekse funktioner Nu er vi så klar til at tackle de komplekse funktioner En funktion f, hvis definitionsmængde er komplekse tal kaldes en kompleks funktion 1 Da komplekse tal i Hamiltons definition er par af reelle tal z = ( x, y) er der mange ligheder med funktioner af to variable De fleste af de kendte reelle funktioner kan udvides til komplekse funktioner Vi har allerede set den komplekse eksponentialfunktion z f ( z) = e Men oftest er der nye egenskaber Feks er den komplekse eksponentialfunktion cyklisk se side 50 i Komplekse tal Vi skal se nærmere på nogle flere komplekse funktioner af en kompleks variabel z og vores mål er at undersøge differentiabilitet Eksempel f ( z) = z Vi kan skrive f ud således: f z f x i y z x i y x y i x y ( ) = ( + ) = = ( + ) = + Denne sammenhæng angiver hvordan punktet ( xy, ) i den komplekse plan afbildes Feks bliver ( 1, ) afbildet over i ( 1, ) (, ) = ( 1, 1 ) = ( 3, 4) x y x y Generelt kan vi skrive den komplekse funktion f som en funktion af to reelle funktioner u og v (u og v er reelle funktioner af de reelle variable x og y): f ( z) = u( x, y) + i v( x, y) For f ( z) = z fås, ifølge ovenstående, derfor ux (, y) = x y og vxy (, ) = x y 1 Strengt taget skelner man mellem komplekse funktioner af reelle variable og komplekse funktioner af komplekse variable 5
Øvelse Hvad bliver uxy (, ) og (, ) for funktionerne vxy f ( z) = k, ( ) z f z = z og f ( z) = e? Udgangspunktet for kompleks funktionsteori er at bestemme differentialkvotienten for f Som omtalt på side 57, så er det ikke helt så enkelt som i det reelle tilfælde Vi kan godt definere differentialkvotienten som f '( z ) = lim 0 Δz ( +Δ ) ( ) f z0 z f z 0 Δz (1) men det stiller det oplagte spørgsmål - I hvilken retning går z? Vi løser det ved at forlange, at differentialkvotienten skal være uafhængig af hvilken måde Δz Til sammenligning kan vi se på det reelle tilfælde og funktionen numerisk værdi af x, f ( x) = x Grafen ser således ud: Differentialkvotienten i x 0 = 0 er: lim x + ( +Δ ) ( ) 0+ 0 + 1for f x x f x 0 0 = = = = 1for - Vi ser her, at den sidste brøk bliver 1 eller -1 afhængig af om Δ x er positiv eller negativ Da differentialkvotienten således afhænger af hvilken måde er funktionen x ikke differentiabel i 0, idet vi naturligvis må forlange, at de to måder at lade skal give samme resultat 6
Kravet om differentialkvotientens uafhængighed af hvilken måde Δz fører til, at vi også må stille krav til hvilke komplekse funktioner, der er differentiable Δ z kan variere i flere retninger, så vi skriver: Δ z =Δ x + i Δ y, hvor der altså er uendelig mange måder at Δz Det svarer til at både 0 og Δy 0 Vi får så: f ( x0 +Δ x, y0 +Δy) f ( x0, y0) f ( z0 ) = lim 0 Δ x + i Δy Δy Vi kan af gode grunde ikke undersøge alle de måder det kan ske på, så lad os nøjes med at se på de to oplagte: 1 Δ y = 0 dvs Δz langs den reelle akse (x-aksen) ( +Δ, ) (, ) f x0 x y0 f x0 y0 f ( z0 ) = lim u( x0 +Δ x, y0) + i v( x0 +, y0) u( x0, y0) + i v( x0, y0) = lim u( x0 +y, 0) u( x0, y0) + i v( x0 +y, 0) v( x0, y0) = lim = + i Ved sidste lighedstegn har vi anvendt de tidligere definerede partielle afledede Δ x = 0 dvs Δz langs den imaginære akse (y-aksen) Læseren inviteres til selv at gentage ovenstående udregning med i Δy Resultatet bliver: f ( z0 ) = i Hvis f skal have en entydig differentialkvotient må vi forlange, at de to måder giver det samme Vi får så Cauchy-Riemann ligningerne =, = 7
Disse er en nødvendig (og næsten tilstrækkelig ) betingelse for, at funktionen f er differentiabel Eksempel 3 f ( z) = z er holomorf se definition af holomorf i bogen s 57 De partielle afledede bliver: ( x y ) = = x, ( x y ) = = y, ( x y) = = y, ( x y) = = x som opfylder Cauchy-Riemann ligningerne Differentialkvotienten er f ( z) = + i = x + i y Det ses også, at vi ligeså godt kunne have brugt f ( z) = i y Man kan tilsvarende vise, at alle polynomier er holomorfe Det næste logiske trin er at undersøge integration af komplekse funktioner Det overlades til læseren! Opgave 1 Beregn de partielle afledede af funktionerne 4 4 1 f ( x) = x + y 4 x y f( x) = x + y 3 f( x) = x sin y Opgave Vis, at en konstant funktion er holomorf og angiv dens differentialkvotient Opgave 3 Vis, at f ( z) = z er holomorf og angiv differentialkvotienten Opgave 4 Vis, at f ( z) = z ikke er holomorf En tilstrækkelig betingelse er, at de partielle afledede er kontinuerte 8
n Opgave 5 Vis, at alle potensfunktioner ( ), Opgave 6 Vis, at f ( z) = z ikke er holomorf f z = z n er holomorfe 9