Lektion 7 Eksponentialfunktioner Den naturlige eksponentialfunktion ep) = e Andre eksponentialfunktioner a Regneregler ep0) =, ep + y) = ep) epy) Potensfunktioner r En berømt grænseværdi Uegentlige integraler
Den naturlige eksponentialfunktion Tallet e m n = n e m er det tal hvis ln-værdi er m n. Vi vedtager nu feks at e er det tal hvis ln-værdi er. Helt generelt vedtager vi at e er det tal hvis ln-værdi er. Dvs at lne ) = = e ln Graf for ln) og ep) så e og ln er hinandens inverse funktioner. De to grafer er spejlbilleder over vinkelhalveringslinjen y =. De vigtigste egenskaber ved e er e 0 =, e = e e +y = e e y, e y = e e y e ) y = e y lim e = lim e = 0 6 4 4 6 som vi ser af at de to tal på hver side af lighedstegnet har samme ln-værdi. Desuden er d d e = e og e = e + C som vi ser af formlen for differentiation af invers funktion. Man skriver også ep) for e.
Eksempel Beregning af e ) Du kan finde en tilnærmelse til e ved at bruge Udregningen ln lim n lim + ) n = e n n + n) n = lim ln n ) = lim n ln n + n = ln ) = = + ) n n ln + n) ln) = lim n n viser nemlig at grænseværdien er det tal hvis ln-værdi er. Det tal har vi kaldt e. Med n = 0000 og = er ) 0000 + = 4, 8... 0000 mens den sande værdi er e = 4, 3.... 3
Eksponentialfunktioner med andre grundtal Lad a være et positivt tal, feks a =. Tallet a m n = n a m er det tal hvis log a -værdi er m n. Vi vedtager nu feks at a er det tal hvis log a -værdi er. Helt generelt vedtager vi at a er det tal hvis log a -værdi er. Dvs at log a a ) = = a log a så a og log a er hinandens inverse funktioner. De to grafer er spejlbilleder over vinkelhalveringslinjen y =. Da a = e ln a) = e ln a) er der ikke den store forskel på de forskellige eksponentialfunktioner. De vigtigste egenskaber ved funktionen a er a 0 =, a = a ^ og /)^.5 0.5 4 4 a +y = a a y, a y = a a y, a ) y = a y a ln b = b ln a, e = a d d a = lna) a, ln a a d = a ln a + C 4
Eksempel Eksponentiel vækst) Størrelsen P t) af en bakteriepopulation undre optimale betingelser vokser efter formlen P t) = P 0 e λt = P 0 e λ ) t, λ > 0, hvor P 0 er antallet af bakterier til tiden t = 0 og λ er en positiv konstant. Fordoblingstiden er T = ln λ og vi kunne også skrive P t) = P 0 t/t. 7 6 5 4 3 Eksponentiel v kst 0 4 6 8 0 Eksempel 3 Eksponentiel hendøen) Antallet P t) af atomer af en bestemt radioaktiv isotop aftager efter formlen. 0.8 0.6 0.4 0. Eksponentiel hendłen P t) = P 0 e λt = P 0 e λ ) t = P 0 e λ ) t, λ > 0, Halveringstiden er T / = ln λ og vi kunne også skrive P t) = P 0 ) t/t/. 0 4 6 8 0 5
Eksempel 4 Låner du K 0 kroner til en rente på r procent pr år, er gælden vokset til Kn) = K 0 + r ) n 00 efter n år. Gældens fordoblingstid er T = ln ln + r/00) år Med r = 0 er T = ln = 7, 3 år og ln,) med r = DKs BNP?) er T = ln ln,0) = 35 år. Eksempel 5 Kulstof datering) Carbon 4 isotopen har en halveringstid på T / = 5730 år. Alderen t af en prøve af organisk materiale som indeholder /0 af den mængde carbon 4 man finder i levende materiale er bestemt ved ) t/5730 = hvilket giver t = ln 0 ln 0 5730 år = 9035 år. 6
Potensfunktioner med positiv eksponent 4 Potensfunktioner med negativ eksponent 3 3.5.5 3.5.5 0.5 0 0.5.5 Potensfunktionen f) = r.5 0.5 0.6 0.8..4.6.8 Lad r være et vilkårligt reelt tal. Funktionen f) = r er defineret for alle positive tal og den kaldes potensfunktionen med eksponent r. Hvis r er et helt tal er funktionen også defineret for negative.) Graferne for nogle potensfunktioner med positiv eksponent til venstre) og negative eksponent til højre) kan ses øverst på siden. De vigtigste egenskaber: y) r = r y r, /y) r = r /y r, r = / r d d r = r r, r = r+ r ) r + r voksende hvis r > 0 og lim r = Eksempel 6 Allometrisk vækst) Sammenhængen mellem størrelsen y af et bestemt organ og størrelsen af hele organismen er for mange levende væsener givet ved en potensfunktion y = c r hvor tallet r kaldes allometrikonstanten. 7
Karakteristisk egenskaber Logaritmefunktioner L) = C + log a ) > 0) opfylder LA) = B + L), B = log a ) Potensfunktioner P ) = C r > 0) opfylder P A) = BP ), B = A r Eksponentialfunktioner E) = Ca opfylder EA + ) = BE), B = a A Specielt gælder ET + ) = E) når T = ln ln a hvis a > så E er voksende og ET / + ) = E) når T / = ln/) ln a hvis a < så E er aftagende. 8
En berømt grænseværdi Lad r > 0 være et positivt tal. Både potensfunktion r og eksponentialfunktionen e går mod for. Hvem vinder? Det gør eksponentialfunktionen: lim r e = 0 Hvorfor? Indsætter vi = ln t bliver r ) ln t)r ln t r = = e t t /r Da går mod når t går mod bliver r ) ln t r lim e = t lim t /r Men vi så i Lektion 6 at enhver potensfunktion vinder over den naturlige logartimefunktion, så grænseværdien til højre er 0. Denne grænseværdi ledte Thomas Malthus 766-834) til en dommedagsteori. 9
Uegentlige integraler Vi definerer f) d = a N lim N a f) d hvis ellers grænseværdien eksisterer. Du kan ogås møde uegentlige integraler af formen b f) d og endda f) d. Hvis f) er en positiv funktion kan integralerne ses som arealer af ubegrænsede områder. =y^ ) Eksempel 7 For alle r > 0 er [ r d = lim r r ] N = lim r N r + r ) = r N Feks er d = og 3 d =. 0.8 0.6 0.4 0. 3 4 5 Eksempel 8 Det uegentlige integral e t / dt = π kender I fra sandsynlighedsregningnens normalfordeling. 0 Normalfordelingen 0.8 0.6 0.4 0. 3 3 t
Opgave: Find 0 r e d for r =,, 3,... Løsning: Partiel integration giver r e d = r e + r r e d og derfor er 0 r e d = r 0 r e d, r, så vi kan altså finde værdierne induktivt. Vi starter med r = hvor 0 0 e [ d = 0 e d = lim e ] N N 0 ) = lim e n + = N og altså er 0 r e d = r r ) for alle naturlige tal r. 6 gammar+) 5 4 3..4.6.8..4.6.8 3 r
Opgaver til Lektion 7. Skriv på formen e λ for en konstant λ.. Skriv e, på formen a for en konstant a. 3. Hvad er halveringstiden for E) = 3? 4. Eksamen Januar 00, Opgave 3) Der er nu en bestand af 50 Traner Grus grus) i Jylland. Det antages, at bestanden vokser eksponentielt med 0% om året. Hvornår vil der være 00 fugle? 5. Et radioaktivt stof har en halveringstid på, 3 millioner år. Hvor lang tid tager det for aktiviteten at aftage til 0% af den nuværende? 6. Find maksimumsværdien for funktionen f) = e. 7. Når billetprisen øges med 0% falder passagerantallet med 3%. Hvilken funktion taler vi om her? Hvor meget skal billetprisen øges for at passagerantallet falder med 5%? 8. En tommelfingerregel siger at fordoblingstiden for en formue, der forrrentes med p% p.a, er 70 p år. Hvordan kom jeg frem til det? Vink: 70 00 ln)) 9. Den. januar 000 lægger du en 0 krone på et bord. Samtidig tænder en lommelygte og lader lysstrålen fare ud i verdensrummet. Banken giver dig 0% i rente som du modtager i 0 krone mønter og stabler ovenpå den første mønt. Hvornår bliver lysstrålen overhalet af stablen af mønter? 0. Biologer tæller antallet af fuglearter S på en række øer med areal A. Det viser sig at logaritmen til artsantallet vokser lineært lns) = 4, 5 + 0, 5 lna) som en funktion af logaritmen til arealet. Gør rede for at det betyder at artsantallet vokser som en potensfunktion af arealet. Se I. Hanski, M. Gyllenberg, Science 75 997), 397 400.) 4. Find på en opgave hvor svaret er π 0 d. Du skal bruge ordene parabel og vinglas.