Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Værktøj 2 2.1 Pythagoras sætning................ 2 2.2 De trigonometriske funktioner........... 3 2.3 De trigonometriske funktioner og retvinklede trekanter........................ 4 2.4 Hvad kan det bruges til?.............. 6 3 Eksempler på problemløsning 6 4 Opgaver 17
Resumé I dette dokument giver vi metoder til og eksempler på hvordan man løser problemer vedrørende størrelser i en retvinklet trekant. 1 Introduktion Matematisk problemløsning er en af de evner som man udvikler mens man lærer matematik, og det er nok den primære grund til at matematik findes som fag i skolerne. Det viser sig nemlig at evnen til at løse problemer på en struktureret og målrettet måde kan bruges mange andre steder end i matematiktimerne. I dette dokumenter viser vi hvordan en generel problemløsningsstrategi kan hjælpe med at bevare overblikket i problemer der vedrører vinkler og sidelængder i retvinklede trekanter. Forudsætninger Det er absolut nødvendigt at du har læst dokumentet om problemløsning 1 inden du læser dette dokument. Derudover er det en fordel at du har set Pythagoras sætning 2 og hørt om de trigonometriske funktioner 3 før, men hvis ikke du har, bliver det repeteret i starten af dokumentet. 1 Læs om problemløsning i matematik her 2 Læs et bevis for Pythagoras sætning her 3 Læs om de trigonometriske funktioner her side 1
2 Værktøj Vi skal undervejs bruge følgende fire sætninger. De findes bevist i andre dokumenter på MatBog, så her vil vi betragte dem som velkendte facts. 2.1 Pythagoras sætning Sætning 1 (Pythagoras sætning). I en retvinklet trekant (se figur 1), hvor kateterne har længder a og b, og hvor hypotenusen har længde c, gælder at a 2 + b 2 = c 2 Sagt i ord: Summen af kateternes kvadrater er lig hypotenusens kvadrat. c a b Figur 1: Navngivning af de relevante størrelser i sætning 1. side 2
Pythagoras sætning har en omvendt udgave som er lidt mindre kendt, men næsten lige så brugbar: Sætning 2 (Pythagoras sætning, del 2). Hvis en trekant har sidelængder, a, b og c, og disse længder opfylder at: a 2 + b 2 = c 2 så er trekanten retvinklet, og a og b er kateter, mens c er hypotenuse. 2.2 De trigonometriske funktioner Funktionerne sinus, cosinus og tangens er defineret i et andet dokument. Det eneste som vi behøver at vide om dem i dette dokument er, at de er knapper på lommeregneren, og at man kan udregne deres værdi ( tage dem ) til enhver given vinkel. Dette skal forstås som at hver gang man har en konkret vinkel, så kan man udregne tre forskellige tal, nemlig sinus til vinklen, cosinus til vinklen og tangens til vinklen. Det er ikke nødvendigt at vide hvordan disse værdier udregnes, men derimod er følgende facts vigtige: Hvis v er en vinkel, så skriver vi værdierne af sinus, cosinus og tangens til denne vinkel som: sin(v), cos(v) og tan(v) Hvis v er en vinkel mellem 0 og 90, så giver både sin(v) og cos(v) et tal mellem 0 og 1. Men tan(v) giver et reelt tal i intervallet [0; [. Eftersom vi angiver alle vinkler i grader i dette dokument, bør du kontrollere at din lommeregner er indstillet til at regne med vinkler i grader. side 3
Der er ikke to forskellige vinkler mellem 0 og 90 som kan give den samme værdi af hverken sinus, cosinus eller tangens. Hvis man derfor kender f.eks. sin(v), hvor v er en vinkel mellem 0 og 90 så er det muligt at bestemme hvad v er, alene ud fra denne oplysning. Til dette formål bruges de inverse trigonometriske funktioner, sin 1, cos 1 og tan 1. De er også bare knapper på lommeregneren indtil videre, og det er ikke nødvendigt at vide hvordan de beregnes. De inverse trigonometriske funktioner er baglæns udgaver af de trigonometriske funktioner: Hvis man f.eks. tager sin 1 til et tal, x, mellem 0 og 1, så får man den vinkel, v, som opfylder at 4 : v [0 ; 90 ] og F.eks. er sin(v) = x cos(60 ) = 1 2 Derfor er: ( ) 1 cos 1 = 60 2 2.3 De trigonometriske funktioner og retvinklede trekanter Bemærk at i en retvinklet trekant er den ene vinkel ret, mens de to andre vinkler altid er spidse (mellem 0 og 90 ). Hvis man tager en af de trigonometriske funktioner til en af de spidse vinkler, så gælder følgende vigtige sammenhænge: 4 Hvis du synes at dette minder om definitionen af kvadratroden, så har du fuldkommen ret! side 4
Sætning 3 (cos, sin og tan i en retvinklet trekant). Hvis A er en af de spidse vinkler i en retvinklet trekant, og m er længden af den modstående katete til vinkel A (den af katerne som ligger overfor A), h er længden af den hosliggende katete til vinkel A (den af kateterne som ligger ind imod A) og c er længden af hypotenusen (se figur 2), så gælder at: cos(a) = h c sin(a) = m c tan(a) = m h c m A h Figur 2: Navngivning af de relevante størrelser i sætning 3. Det er meget klogt at huske sætningen uden brug af bogstaver. Derfor kommer den også lige på slogan form her: Sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig den modstående katete (til vinklen) divideret med hypotenusen side 5
Cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig den hosliggende katete (til vinklen) divideret med hypotenusen Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig den modstående katete (til vinklen) divideret med den hosliggende katete (til vinklen) 2.4 Hvad kan det bruges til? For det utrænede øje kan sætning 3 godt virke lidt ubrugelig1, fordi man kan fristes til at tro at de bare giver en måde at udregne cosinus, sinus og tangens til en spids vinkel på. (Og det har vi jo lommeregneren til.) Men hvis man tror det, er det fordi man læser lighedstegnet forkert! Lige som Pythagoras sætning, udtrykker hver af disse sætninger en sammenhæng mellem størrelser i en retvinklet trekant. I næste afsnit skal vi se at sådanne sammenhænge kan være lige præcis det vi skal bruge for at løse et problem. 3 Eksempler på problemløsning Vi gennemgår nu nogle eksempler på problemer vedrørende størrelser i en retvinklet trekant. I stedet for at fokusere på resultatet, koncentrerer vi os om problemløsningsprocessen, idet vi forsøger at beskrive hvilke tanker der bør løbe igennem ens hovede mens man løser problemet. Eksempel 1. I en retvinklet trekant får vi oplyst at den ene katete har længde 3, og hypotenusen har længde 5. Vi ønsker at finde alle sidelængder i trekanten. side 6
Situation Vi har fået oplyst længden af en katete og hypotenusen i en retvinklet trekant. Hvis vi ønsker noget som helst information om trekanten, er begge disse oplysninger selvfølgelig relevante. Man kan også indse at disse oplysninger er tilstrækkelige, eftersom det kun er muligt at lave én retvinklet trekant med de givne sidelængder. Vi vælger derfor at navngive længden af kateten: og længden af hypotenusen: a = 3 c = 5 Opgave Vi ønsker at bestemme et tal, nemlig længden af den sidste katete. Vi vælger at betegne dette ukendte tal som x. Vi tegner situationen (se figur 3). Værktøj Vi leder værktøjskassen igennem efter en sammenhæng mellem de kendte informationer og den søgte information, og Pythagoras sætning skriger på at blive brugt. I vores tilfælde udtrykker Pythagoras sætning følgende sammenhæng mellem de relevante størrelser: x 2 + a 2 = c 2 Udførsel Vi løser ligningen, idet de kendte værdier indsættes: x 2 + 3 2 = 5 2 side 7
c a x Figur 3: Kendte og ukendte størrelser i eksempel 1. dvs. x 2 = 5 2 3 2 = 25 9 = 16 Her stopper vi et øjeblik og husker at den slags ligninger normalt har to løsninger. Men da vi ved at x er en sidelængde i en trekant, kan vi øjeblikkeligt udelukke den negative mulighed. Derfor konkluderer vi: x = 16 = 4 Dokumentation Som dokumentation af problemløsningen behøver vi blot at skrive følgende: Lad a = 3 og c = 5 være de givne sidelængder, og lad x betegne længden af den sidste katete. Ifølge Pythagoras sætning gælder: x 2 + a 2 = c 2 dvs. x 2 = c 2 a 2 = 5 2 3 2 = 16 side 8
dvs. x = 16 (Vi glemmer den negative løsning, fordi x er en sidelængde i en trekant) Eksempel 2. I en trekant med navngivne sider og vinkler som angivet på figur 4 får vi oplyst at: K = 22 c = 4 Vi ønsker at finde længden af siden m. K m c R d Figur 4: Navngivne størrelser i eksempel 2. Situation I denne opgave har vi to konkrete oplysninger, og en masse navne som ikke indeholder egentlig information. Ved nærmere undersøgelse kan side 9
vi se at de givne størrelser er henholdsvist en vinkel i den retvinklede trekant og en side, nemlig den hosliggende katete til denne vinkel. Ved grundig eftertanke kan man indse at disse to oplysninger er tilstrækkelige til at fastlægge trekanten, idet det kun er muligt at konstruere én retvinklet trekant med en given vinkel og en given længde på den modstående katete. Opgave Vi skal finde længden af den side, m, som er hypotenuse i den retvinklede trekant. Da den allerede har et navn, behøver vi ikke finde på et. For at hjælpe på overblikket tegner vi trekanten igen, men denne gang kun med de relevante størrelser angivet. (Se figur 5.) K m c Figur 5: Relevante størrelser i eksempel 2. Værktøj Igen leder vi værktøjskassen igennem efter en sammenhæng mellem de relevante størrelser, og sætning 3 skriger på opmærksomhed. I side 10
vores tilfælde siger den at: cos(k) = c m Udførelse Vi indsætter de kendte størrelser og får dermed en simpel ligning med m som ukendt. Derefter isoleres m: cos(22 ) = 4 m dvs. dvs. m = 4 1 cos(22 ) = m 4 1 cos(22 ) 4,3141 Dokumentation Eftersom R er en vinkel i en retvinklet trekant, c er den modstående katete til R, og m er hypotenusen, siger sætning 3 at: cos(r) = c m Idet de kendte værdier af R og c indsættes fås en simpel ligning som løses: cos(22 ) = 4 m dvs. dvs. m = 4 1 cos(22 ) = m 4 1 cos(22 ) 4,3141 side 11
Eksempel 3. Den direkte afstand mellem Andeby og Gåserød er 40km. En tilfældig and kører langs en ret linje ud af Andeby, men ikke i den direkte retning mod Gåserød. Efter et stykke tid kommer han til en sidevej, der går vinkelret på den nuværende vej og fører langs en ret linje til Gåserød. Ved denne sidevej oplyses det at afstanden til Gåserød er 12km. Vi vil nu bestemme hvor stor vinklen mellem den direkte vej til Gåserød og den kørte vej har været. Situation I denne opgave er det sværeste næsten at finde ud af hvilke oplysninger der er relevante. Efter lidt eftertanke med en blyant indser man der er tre linjestykker som tilsammen udgør en retvinklet trekant, nemlig den direkte vej, a, det første lige stykke af den kørte vej, b og det andet lige stykke af den kørte vej, c. Af disse størrelser kender vi kun a og c. Vi tegner situationen. (Se figur 6) Opgave Vi leder efter vinklen mellem det første stykke kørt vej, b og den direkte vej a. Da denne vinkel ligger overfor siden c, er det naturligt at kalde den C (se figur 6). Vi bemærker at de kendte størrelser er henholdsvist hypotenusen a og den modstående katete c til den søgte vinkel. Værktøj Vi åbner værktøjskassen, og vi falder over sætning 3. Den giver følgende sammenhæng mellem de relevante størrelser: sin(c) = c a side 12
C a c Figur 6: Relevante størrelser i eksempel 3. Udførelse Idet vi indsætter kendte størrelser, får vi: sin(c) = 12 40 = 3 10 Da vi således kender sinus til vinkel C, kan vi bestemme vinkel C ved at bruge den inverse sinus. Det giver: ( ) 3 C = sin 1 17, 46 10 Dokumentation Da den direkte vej a og det sidste kørte stykke, c udgør en retvinklet trekant, hvor a er hypotenusen og c er den modstående katete til den søgte vinkel C (se figur 6) giver sætning 3 følgende sammenhæng: sin(c) = c a side 13
Dvs. Dvs. sin(c) = 12 40 = 3 10 ( ) 3 C = sin 1 17, 46 10 Eksempel 4. I en trekant får vi oplyst samtlige sidelængder: a = 3, b = 8 og c = 73 Vi ønsker at beregne den vinkel som ligger mellem siden med længde a og siden med længde c. Situation Denne gang står vi med en trekant hvor alle sidelængder er kendte, men til gengæld ved vi ikke at den er retvinklet. Heldigvis får vi øje på sætning 2 i værktøjskassen, og den siger øjeblikkeligt at eftersom c 2 = ( 73 ) 2 = 73 og a 2 + b 2 = 3 2 + 8 2 = 9 + 64 = 73 så kan vi konkludere at trekanten er retvinklet og at a og b er dens kateter mens c er dens hypotenuse. Efter denne indsigt kan vi konkludere at den ene af de tre informationer er overflødig, eftersom en retvinklet trekant er fastlagt hvis bare to af sidelængderne er kendte. Da c er det mindst behagelige tal at arbejde med, glemmer vi denne information fremover. side 14
Opgave Vi ønsker at finde vinklen mellem a og c. Da denne vinkel ligger overfor siden b, vælger vi at kalde den B. Alle de relevante størrelser indtegnes på en tegning. (Se figur 7) b B a Figur 7: Relevante størrelser i eksempel 4. Værktøj Sætning 3 giver øjeblikkeligt en sammenhæng mellem de relevante størrelser: tan(b) = b a Udførelse De kendte størrelser indsættes: tan(b) = 8 3 side 15
Dermed ved vi altså hvad tangens til B er. For at finde hvad B er, bruger vi den inverse tangensfunktion. Dermed kan vi konkludere at: ( ) 8 B = tan 1 69,44 3 Dokumentation Da c 2 = 73 og a 2 +b 2 = 9+64 = 73, kan vi ifølge sætning 2 konkludere at trekanten er retvinklet med siden c som hypotenuse. Dermed giver sætning 3 at: tan(b) = b a Idet de kendte størrelser indsættes, fås: tan(b) = 8 3 dvs. ( ) 8 B = tan 1 69,44 3 side 16
4 Opgaver Øvelse 1. I en retvinklet trekant med sidelængder a, b og c, hvor c er længden af hypotenusen, oplyses at: a = 1 og Hvad er c? b = 1 Øvelse 2. I en retvinklet trekant, med sidelængder b, d og k, hvor b er længden af hypotenusen, oplyses b = 3 og at vinklen mellem b og d er 71. Hvad er d? Øvelse 3. Midt på et 22 meter langt skibsdæk står en mast som er 10 meter høj. Fra toppen af masten til stævnen (det forreste punkt på skibet) hænger et helt stramt reb. Hvor stor er vinklen mellem rebet og skibsdækket? Øvelse 4. Er det rigtigt at hvis man får oplyst to størrelser (sidelængder eller vinkler) i en retvinklet trekant, så kan alle de andre udregnes? side 17