Dagens tema: Middelværdi/varians-optimale porteføljer Geometrien; frihåndstegninger. Et eksempel; 2004 opg. 3 med samt julelege. Tre sætninger: - To-fondsseparation (Prop. 30); fond (fund) bruges blot som et andet ord for (en bestemt) portefølje. - Ortogonalitetslemmma (Prop. 3) - Kovariansrepræsentation af forventede afkast (Prop. 32); næsten CAPM Matematisk set blot omskrivninger af førsteordensbetingelser for middelværdi/varians-optimalitet, men interessante økonomiske fortolkninger. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 / 26
Middelværdi/varians-analyse på slide Problemet: min w w Σw under bibetingelserne: w µ = µ P w =. Løsningen: hvor A = ŵ = Σ [ µ ] A [ µp [ µ Σ µ µ Σ µ Σ Σ ] =: ] [ a b b c Denne portefølje kaldes for minimum-varians-porteføljen hørende til µ P. Den mindst mulige varians er σ 2 P := cµ2 P 2µ Pb + a ac b 2. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 2 / 26 ].
Geometrien: Den efficiente rand Samenhørende par af minimum-varians-porteføljers afkastrates middelværdi og varians. Global minimum-varians porteføljer; gmv. Effficent rand: Dem over gmv. Hele kurven: Kritisk rand. (Men jeg er ikke lingvistisk pedantisk.) Småting: Af historiske årsager ombyttede akser. Mest behageligt at regne på σ 2 P som funtion af µ P. Parabel i (σ 2 P,µ P)-rum; hyperbel i (σ P,µ P )-rum. Det er ikke porteføljer, vi tegner. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 3 / 26
Sommer 2004, opgave 3 Betragt en porteføljevalgsmodel med 3 usikre aktiver (aktier, numereret, 2 og 3), hvis afkastrater har forventede værdier (µ) og kovarianser (Σ) givet ved: µ = 0.05 0.07 0.0, Σ = 0.04 0.0 0.03 0.0 0.09 0.04 0.03 0.04 0.6 I første omgang antages modellen ikke at have et risikofrit aktiv.. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 4 / 26
Spg. 3.a [0%] Bestem den efficiente rand ( the efficient frontier ) og vægtene for porteføljerne på denne, de (middelværdi/varians-)efficiente porteføljer. Illustrer grafisk. Det kan være nyttigt at kende disse to matricer: [ ] A = [µ ] Σ 0.378.7335 [µ ] =.7335 3.435 og Σ [µ ]A = 2.92.9402 3.872 0.09960 8.725.0398. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 5 / 26
Idet a, b og c er vores sædvanlige navngivning af indgangene i A-matricen, så er den kritiske rand er bestemt ved σ 2 P = a 2bµ P + cµ 2 P ac b 2 = 0.990 6.0637 µ P + 54.98 µ 2 P, og porteføljevægtene for minimum-varians-proteføljerne er givet ved ( ) x P = Σ [µ ]A µp Den globale minimum-varians portefølje har en forventet afkastrate på b/c = 0.0554 og en varians på /c = 0.038, og således en standardafvigelse på 0.038 = 0.784. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 6 / 26
De efficiente porteføljer er de minimum-varians porteføljer, hvis forventede afkastrate ligger over afkastraten på den globale minimum-varians portefølje. I figuren kan man se den efficiente rand tegnet i (standardafvigelse, forventet afkast)-rummet (hvor der er en hyperbel). Efficiente rande forventet pf afkastrate 0.00 0.05 0.0 0.5 : Eff. rand uden risikofrit aktiv (Spg. 3.a) : Eff. rand med risikofrit aktiv (Spg. 3.c) 0.0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 standardafvigelse af pf afklastrate RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 7 / 26
Spg. 3.b [5%] Betragt en portefølje givet ved vægtene x G = (/2,/2,0). Find dens forventede afkastrate og afkastratens varians og standardafvigelse. Er x G efficient? Svar. 3.b Forventet afkastrate og standardafvigelse (når vi omdefinerer x G til en søjlevektor, hvis vi er meget pedantiske) er µ G = µ x G = 0.06 og σ G = xg Σx G = 0.936. Den efficiente portefølje med forventet afkastrate 0.06 har en standardafvigelse på 0.820. Så nej, x G er ikke efficient. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 8 / 26
Spg. 3.d [0%] Er nedenstående udsagn sande eller falske? (Eller kanske noget helt andet, fx ikke til at afgøre på det foreliggende grundlag, eller meningsløse.) Enhver konveks kombination af to eller flere efficiente porteføjler er efficient. Enhver konveks kombination af to eller flere inefficiente porteføjler er inefficient. (En konveks kombination af vektorerne x,...,x n er som bekendt en vektor af formen n i= α ix i, hvor α i erne er positive relle tal, hvis sum er.) RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 9 / 26
Første udsagn er sandt vi beviser det starks. Andet udsagn er falskt. (Bemærk: Der står enhver.) Selvfølgelig findes der konvekse kombinationer af inefficiente porteføljer, der er efficiente. Alle porteføljer (specielt de efficiente) laves jo ud fra enkeltaktiverne, der (typisk) er inefficiente. Konveksiteten kunne man evt. bekymre sig om, for hva nu hvis der slet ikke findes efficiente porteføljer med positive vægte i enkeltaktiverne? Og er enkeltaktiverne inefficiente? - Lav (mod)eksempel med tallene i opgaven. - Tae nk på en model med n uafhængige, identiske aktiver; her har den globale minimum-varians-portefølje /n i hver. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 0 / 26
Proposition 30: To-fondsseparation Lad w a og w b være minimum-varians-porteføljer med forventede afkastrater µ a og µ b med µ a µ b. Da gælder at: En vilkårlig vektor w c af porteføljevægte er en minimum-varians-portefølje hvis og kun hvis der findes α R så w c = αw a + ( α)w b. 2 Hvis w a og w b begge er efficiente porteføljer, så er αw a + ( α)w b også en efficient portefølje for 0 α. Bevis: Husk: en vektor af porteføljevægte w er en minimum-varians-portefølje hvis og kun hvis w = Σ [ µ ] A [ µp ]. () RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 / 26
Ad (i): kun hvis Lad w c være en minimum-varians-portefølje med forventet afkastrate µ c, og lad α være løsning til µ c = αµ a + ( α)µ b, dvs. α = µ c µ b µ a µ b (α er veldefineret da µ a µ b ). RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 2 / 26
Da w a og w b begge er minimum-varians-porteføljer har vi iflg. (): w c = Σ [ µ ] [ ] A µc = Σ [ µ ] [ ] A αµa + ( α)µ b = ασ [ µ ] [ ] A µa + ( α)σ [ µ ] [ ] A µb = αw a + ( α)w b. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 3 / 26
Ad (i): hvis Hvis w c er en portefølje med forventet afkastrate µ c og w c har formen w c = αw a + ( α)w b for et α R, så er µ c = E(wc r) = E ( αw a + ( α)wb ) = αe(wa r) + ( α)e(wb r) = αµ a + ( α)µ b RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 4 / 26
og dermed w c = αw a + ( α)w b = ασ [ µ ] A [ µa ] + ( α)σ [ µ ] A [ µb ] (iflg. () da w a og w b begge er minimum-varians-porteføljer) = Σ [ µ ] A [ αµa + ( α)µ b ] = Σ [ µ ] A [ µc ] så w c er en minimum-varians-portefølje iflg. (). RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 5 / 26
To-fondsseparation resultatet siger, at en investor (der formodes at ville investere i en efficient portefølje) kun har behov for at kunne handle to typer af porteføljer, og det er ligegyldigt hvilke to det er, så længe de begge to er efficiente porteføljer. Hvis vi derfor kan finde to sådanne porteføljer, som rent faktisk kan handles i markedet, så er det i praksis muligt for en investor at ligge på den efficiente rand uden selv at skulle handle i alle n aktiver i markedet. Specielt bliver det således principielt overflødigt at handle individuelle aktiver. To-fondsseparation har stor betydning som fundament for CAPM-modellen, som vi skal se på næste gang. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 6 / 26
To vektorer af porteføljevægte w og w kaldes ortogonale hvis deres afkastrater har kovarians 0, dvs. hvis wσ w = 0. ( Ortogonal fordi Σ definerer et indre produkt mht. hvilket...) RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 7 / 26
Proposition 3: Ortogonalitetslemma Til enhver minimum-varians-portefølje w mv w gmv findes en entydigt bestemt ortogonal minimum-varians-portefølje w zmv. Hvis w mv har forventet afkastrate µ mv, så har w zmv forventet afkastrate µ zmv = a bµ mv b cµ mv, hvor a,b,c som sædvanlig er de tre indgange i matricen A. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 8 / 26
Bevis: (Basalt set: Regn efter!) En minimum-varians-portefølje w zmv ortogonal med w mv opfylder ( 0 = wmv Σw zmv = Σ [ µ ] [ ]) A µmv ΣΣ [ µ ] [ A µzmv = [ µ mv ] [ ] A µ Σ [ µ ] [ ] A µzmv }{{} =A = [ µ mv ] [ ] A µzmv = [ µ mv ] [ c b ac b 2 b a = (µ mvc b)µ zmv µ mv b + a ac b 2 ] [ µzmv ] ] RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 9 / 26
Så w zmv og w mv er ortogonale netop hvis (µ mv c b)µ zmv µ mv b + a = 0 µ zmv = a bµ mv b cµ mv. Dvs. der findes netop en minimum-varians-portefølje, der er ortogonal med w mv, og denne portefølje har forventet afkastrate a bµ mv b cµ mv. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 20 / 26
Proposition 32: Kovariansrepræsentation of forventede afkast Lad w mv w gmv være en minimum-varians-portefølje med forventet afkastrate µ mv og varians σ 2 mv. Lad endvidere w zmv være den tilhørende ortogonale minimum-varians-portefølje med forventet afkastrate µ zmv. Da gælder for en vilkårlig vektor w P af porteføljevægte med forventet afkastrate µ P at hvor µ P µ zmv = β P,mv (µ mv µ zmv ) β P,mv = Cov( wp r, w mv r) σmv 2. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 2 / 26
Bevis: Fordi w mv er en minimum-varians-portefølje med forventet afkastrate µ mv, så er w mv = Σ [ µ ] [ ] A µmv, og for en vilkårlig portefølje w P med forventet afkastrate µ P gælder at Cov ( wp r, w mvr ) = wp Σw mv = wp ΣΣ [ µ ] [ ] A µmv = [ [ ] wp µ w P ] A µmv = [ [ ] wp µ ] A µmv (idet w mv er pf. vægte) (2) = [ µ P ] [ ] A µmv. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 22 / 26
Hvis vi specielt vælger w P = w zmv, så er (per definition af w zmv ) 0 = Cov ( wzmvr, wmvr ) = [ µ zmv ] [ ] A µmv og dermed for en vilkårlig portefølje w P ifølge (2) Cov(w P r, w mvr) = [ µ P ] A [ µmv ] [ µ zmv ] [ ] A µmv }{{} = [ µ P µ zmv 0 ] [ ] A µmv = [ µ P µ zmv 0 ] [ c b ac b 2 b a =0 ][ µmv = (µ P µ zmv ) cµ mv b ac b 2. (3) ] RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 23 / 26
Hvis vi specielt vælger w P = w mv, så er dvs. σ 2 mv = Cov(w mvr, w mvr) = (µ mv µ zmv ) cµ mv b ac b 2 cµ mv b ac b 2 = σ 2 mv µ mv µ zmv og dermed for en vilkårlig portefølje ifølge (3) σ 2 mv Cov(wP r, w mvr) = (µ P µ zmv ) cµ mv b ac b 2 = (µ P µ zmv ) µ mv µ zmv hvilket giver os det ønskede. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 24 / 26
Hvis vi fikserer en bestemt minimum-varians-portefølje w mv og bruger dens ortogonale minimum-varians-portefølje som udgangspunkt (benchmark) for måling af afkast, så kan vi altså udtrykke det forventede merafkast for en vilkårlig portefølje w P µ P µ zmv vha. minimum-varians-porteføljen og dens tilhørende ortogonale minimum-variansportefølje. RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 25 / 26
Hvorfor kunne det tænkes at være interessant? Hvis vi nu kan finde en minimum-varians-portefølje, der virker rimelig at bruge som benchmark og som vi kan observere i praksis, så har vi hermed fundet en sammenhæng mellem afkastrater (og dermed priser) på alle aktiver i økonomien! RP (IMF) Finansiering 8. februar 2009 26 / 26