Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 1 / 23
Sidste gang: Længden af et kurvestykke. fra γ(t 0 ) til γ(t 1 ) s = t 1 t 0 γ (t) dt Målforhold m(p, γ (t 0 )) = (f γ) (t 0 ) γ (t 0 ) = Df (γ(t 0))γ (t 0 ) γ (t 0 ) Brug kædereglen og få m((λ, ϕ), γ ) 2 = Ẽ(λ ) 2 + 2 Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 E(λ ) 2 + 2Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 Konstater, at det kun afhænger af retningen af γ (t). Når γ = (cos α, sin α) fås m(p, α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cos α sin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cos α sin α + G sin 2 α Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 2 / 23
Principskitse Forvanskning ved X Forvanskninger ved f er Forvanskning ved X X(λ, ϕ) koordinater på kuglen/ellipsoiden. X(λ, ϕ) er kortet. BEREGNING af forvanskninger ved afbildning fra (λ, ϕ)-planen til kuglen/ellipsoiden/et kort/... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 3 / 23
I opgaver: Parametrisering af en længdegrad L λ0 (R cos(s) cos(λ 0 ), R cos(s) sin(λ 0 ), R sin(s)), π/2 < s < π/2 Parametrisering af en breddegrad B ϕ0 (R cos(ϕ 0 ) cos(t), R cos(ϕ 0 ) sin(t), R sin(ϕ 0 )), π < t < π Parametrisering efter Mercatorprojektion (λ, ϕ) (λ, ln(tan(π/4 + ϕ/2))) Billedet af en længdegrad:(λ 0, ln(tan(π/4 + s/2))), π/2 < s < π/2 Billedet af en breddecirkel: (t, ln(tan(π/4 + ϕ 0 /2))), π < t < π Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 4 / 23
Udregning af målforhold Udregn koefficienterne til første fundamentalform for kuglen/ellipsoiden, E, F og G Udregn koefficienterne til første fundamentalform for kortet, Ẽ, F og G Målforholdet i retning efter kurven givet ved (λ(t), ϕ(t)) fås af m((λ, ϕ), γ ) 2 = Ẽ(λ ) 2 + 2 Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 E(λ ) 2 + 2Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 5 / 23
Målforhold og retning Sætning Målforholdet afhænger kun af punktet (λ, ϕ) og tangentretningen γ (t) (γ (t)) En retning er givet ved en vinkel: (λ, ϕ ) = (cos α, sin α) - f.eks. givet ved en linie i (λ, ϕ)-planen (λ(t), ϕ(t)) = (λ 0 + t cos α, ϕ 0 + t sin α) m(p, α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cos α sin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cos α sin α + G sin 2 α Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 6 / 23
Eksempel - cylinderprojektioner Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 7 / 23
Idag Første Fundamentalform og vinkler Første fundamentalform og arealer Vinkelbevarende (konforme) kort Arealbevarende kort Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 8 / 23
Et par eksempler på misvisende kort Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 9 / 23
Vinkler mellem kurver To kurver γ 1 (t) og γ 2 (s). Skæringspunkt P = γ 1 (t 0 ) = γ 2 (s 0 ) Vinklen mellem γ 1 og γ 2 i P er vinklen mellem γ 1 (t 0) og γ 2 (s 0) cos v = γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) v = arccos( γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 10 / 23
Principskitse Forvanskning ved X Forvanskninger ved f er Forvanskning ved X X(λ, ϕ) koordinater på kuglen/ellipsoiden. X(λ, ϕ) er kortet. BEREGNING af forvanskninger ved afbildning fra (λ, ϕ)-planen til kuglen/ellipsoiden/et kort/... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 11 / 23
Første fundamentalform og vinkler γ 1 (t) = X(λ 1 (t), ϕ 1 (t)) γ 2 (t) = X(λ 2 (t), ϕ 2 (t)) cos v = γ 1 (0) γ 2 (0) γ 1 (0) γ 2 (0) cos v = Eλ 1 λ 2 + F(λ 1 ϕ 2 + λ 2 ϕ 1 ) + Gϕ 1 ϕ 2 (E(λ 1 )2 + 2Fλ 1 ϕ 1 + G(ϕ 1 )2 ) (E(λ 2 )2 + 2Fλ 2 ϕ 2 + G(ϕ 2 )2 ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 12 / 23
Første fundamentalform og konforme kort Sætning En projektion med første fundamentalform Ẽ, F, G fra en datumflade med første fundamentalform E, F = 0, G er konform hvis og kun hvis for alle (λ, ϕ) F = F = 0 og Ẽ E = G G Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 13 / 23
Konforme kort og målforhold m(p, α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cos α sin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cos α sin α + G sin 2 α Indsæt F = F = 0 og Ẽ E = G G (Ẽ = ke og G = kg og få m(λ, ϕ) = k = Ẽ E = G G Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 14 / 23
Målforholdet for en konform projektioner er uafhængigt af retningen. Og omvendt: En projektion, hvis målforhold er uafhængigt af retningen, er konform. Målforholdet er: m(λ, ϕ) = Ẽ E = G G Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 15 / 23
Første fundamentalform og arealer Areal(X(U)) = U d b c a X λ (λ, ϕ) X ϕ (λ, ϕ) dλdϕ = EG F 2 dλdϕ hvor vi bruger omskrivningen v w = v 2 w 2 (v w) 2 med v = X λ og w = X ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 16 / 23
Første fundamentalform og arealer Sætning En projektion er arealbevarende hvis og kun hvis EG F 2 = Ẽ G F 2 for alle (λ, ϕ). Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 17 / 23
Forste fundamentalform for kuglefladen X(λ, ϕ) = X λ (λ, ϕ) = X ϕ (λ, ϕ) = R cos ϕ cos λ R cos ϕ sin λ R sin ϕ R cos ϕ sin λ R cos ϕ cos λ 0 R sin ϕ cos λ R sin ϕ sin λ R cos ϕ E(λ, ϕ) = R 2 cos 2 (ϕ), F (λ, ϕ) = 0, G(λ, ϕ) = R 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 18 / 23
Første fundamentalform for ellipsoiden X(λ, ϕ) = N cos ϕ cos λ N cos ϕ sin λ N (1 e 2 ) sin ϕ E = N 2 cos 2 ϕ Hvor N = F = 0 G = M 2 a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ M = a 2 b 2 (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ) 3/2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 19 / 23
Konstruktion af konforme projektioner Pr. håndkraft... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 20 / 23
Mercatorprojektion (λ, ϕ) (k λ, k ln(tan(π/4 + ϕ/2))) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 21 / 23
arealtro cylinderprojektion Archimedes Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 22 / 23
Målforhold og zonebredde Nøjagtighedskrav kontra bredde. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 Maj 2016 23 / 23