ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består udelukkende i deres fortolkning. Tlfølgen fortolker vi blot som opremsningen f dens led, men når vi tler om en række tænker vi os t leddene lægges smmen. Groft sgt drejer det sig ltså om en sum f uendelig mnge tl. Det vigtigste er t klrlægge om det overhovedet giver mening t sige hvd summen giver, hvilket kldes konvergens f rækken (TL 12.1. For rækker med udelukkende positive led findes (TL 12.2 nogle nyttige kriterier (også kldet tests for konvergens: integrlkriteriet, smmenligningskriteriet, kvotientkriteriet og rodkriteriet. Det næste emne (TL 12.3 er konvergens f lternerende rækker, hvor leddene er skiftevis positive og negtive. Til slut (TL 12.4 behndles generelle tlrækker, hvor der ingen fortegnskrv er til de enkelte led. De enkelte led kn endd også være komplekse tl. Her indføres bsolut konvergens som det vigtigste begreb. Herudover eksempler. Bemærk t fsnit mrkeret med * i Lindstrøms Klkulus som regel kun er kursorisk pensum: Der vil ikke direkte blive stillet opgver i disse fsnit til eksmen, men kendskb til resultterne i fsnittene kn f og til være en hjælp. Det gælder feks fsnittet Ombytte v led i TL 12.4. Torsdg: Vi generliserer (TL 12.5 tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner. Det svrer gnske nøje til sidste uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger. Et centrlt resultt er Weierstrss mjorntkriterium (TL Sætning 12.5.1. Afsnit 12.5 om funktionsrækker suppleres med en uddybning, som findes til sidst på denne ugeseddel. 1
Torsdg påbegynder vi også teorien for potensrækker (TL 12.6, som er funktionsrækker hvor funktionerne er potensfunktioner. Potensrækker optræder for eksempel i form f Tylorrækker som er en fortsættelse f teorien for Tylor polynomier fr MtIntro. Dgens hovedresultter vedrører konvergensforholdene for potensrækker. Vi indfører konvergensrdius og konvergensintervl som de centrle begreber, og vi viser en sætning (TL 12.6.1 om uniform konvergens i delintervller f konvergensintervllet. De omtlte resultter gennemgås også i generliseret version med komplekse tl. Abels sætning (TL 12.6.9 omtles, men beviset gennemgås ikke. Første obligtoriske fleveringsopgve med frist Tirsdg den 7/5 vil være tilgængelig fr Tirsdg den 30/4. Regneøvelser Tirsdg TL 11.4.1, TL 11.4.2, TL 11.4.3. I disse opgver er det underforstået, t definitionsmængden er R. I den sidste kn det være illustrtivt t benytte Mple til t skitsere grferne. TL 12.1.1, b, c, TL 12.1.5 (I spørgsmål kn du ignorere bemærkningen om prtilbrøksopspltning og blot verificere påstnden direkte. Torsdg morgen og eftermiddg regnes følgende opgver. Der er mnge så vær velforberedt og brug tiden på de svære. TL 12.1.3, c, TL 12.1.4 b, c, TL 12.1.8, TL 12.2.2 (Ps på med integrlkriteriet for negtive værdier f p, eller brug et ndet kriterium for disse. TL 12.2.5 e og g, TL 12.2.8 b og g TL 12.3.1 b og d, TL 12.3.4 TL 12.4.1 b og e De følgende opgver egner sig bedst til eftermiddgen d de forudsætter kendskb til formiddgens forelæsningsemne. TL 12.5.1 c, d og f, TL 12.5.2 b og c 2
Uddybning om funktionsrækker D de grundlæggende begreber vedrørende funktionsrækker og konvergens f sådnne kun er omtlt gnske kort i lærebogen (fsnit TL 12.5, gives her en uddybning. Givet en følge (f n n N f funktioner defineret på et intervl I, betegnes den tilsvrende funktionsrække med f n. Funktionen f n kldes rækkens n te led, og funktionen s k defineret ved s k (x = f n (x, x I. kldes rækkens k te fsnit (i TL benyttes betegnelsen delsum. Funktionsfølgen (s k k N kldes fsnitsfølgen. At rækken konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod en funktion s på I, betyder per definition, t fsnitsfølgen konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod s på I. Formuleret eksplicit betyder dette følgende: Rækken f n konvergerer punktvis mod s hvis der for ethvert x I og ethvert ɛ > 0 findes K > 0, således t f n (x s(x < ɛ for lle k > K. Den konvergerer uniformt mod s hvis der for ethvert ɛ > 0 findes K > 0, så t f n (x s(x < ɛ for lle x I og lle k > K, ltså hvis vi kn bruge det smme K for lle x. Det er klrt t uniform konvergens mod s medfører punktvis konvergens mod s. I begge tilfælde betegnes grænsefunktionen s også med f n, og den kldes summen f rækken eller blot sumfunktionen. 3
Addition, subtrktion og multipliktion med tl f funktionsrækker defineres punktvis (ligesom for funktioner: f n ± c g n = f n = (f n ± g n (cf n. hvor det er ntget, t lle funktioner er defineret på det smme intervl I. Der gælder, t hvis rækkerne på venstresiderne er punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, d er rækkerne på højresiden også punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, og de to identiteter gælder d også for sumfunktionerne. For punktvis konvergens følger dette umiddelbrt f de tilsvrende resultter for tlrækker (Sætning TL 12.1.7. For uniform konvergens og ddition følger det f opgve TL 11.3.11, og for subtrktion og sklrmultipliktion ses det tilsvrende. Uniform konvergens f en funktionsfølge fgøres næsten ltid med Weierstrss kriteriet (TL Sætning 12.5.1. Grunden til t uniform konvergens er vigtig er først og fremmest de følgende tre resultter. Sætning A Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet I og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på I. D er sumfunktionen kontinuert på I. Bevis. Dette følger umiddelbrt f TL Sætning 11.3.8, d s k = f 1 + + f k er kontinuert på I for hvert k, hvis lle f n er kontinuerte. Sætning B Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet [, b] og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på [, b]. D er tlrækken ( b f n(xdx konvergent med summen ( b ( b f n (x dx = f n (x dx. Bevis. Ifølge regnereglerne for integrler (TL Sætning 8.5.5 gælder ( b ( b f n (x dx = f n (x dx. 4
Ved t bruge TL Sætning 11.4.1 på funktionsfølgen (s k fås t højresiden f den ovenstående identitet konvergerer mod b ( f n(x dx. Det gør venstresiden så også, og det viser påstnden. Sætning C Ld f n være en funktionsrække og ntg, t hvert led f n er en kontinuert differentibel funktion på et åbent og begrænset intervl I smt, t den ledvis differentierede række f n er uniformt konvergent på I. Hvis der findes et c I, således t tlrækken f n(c er konvergent, d er rækken f n uniformt konvergent på I med kontinuert differentibel sumfunktion, og der gælder ( d f n (x = f dx n(x, x I. Bevis. Ifølge regnereglerne for differentition (TL Sætning 6.1.4 gælder s k(x = f n(x. Ved t bruge TL Sætning 11.4.3 på fsnitsfølgen (s k fås t den konvergerer uniformt mod en kontinuert differentibel funktion s på I, hvis differentilkvotient s netop er grænsefunktionen for følgen (s k. I krft f identiteten ovenfor gælder derfor s = f n. De sidste to sætninger tillder os t ombytte rækkefølgen f summtion og integrtion/differentition, også selvom det er en uendelig sum (men selvfølgelig kun hvis de i sætningerne nævnte betingelser er opfyldt. 5