BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte P(A = P(A B. Foregshædelse B. Foregshædelse Fgure P(A B = P(A + P(B P(A B Fælleshædelse er både med hædelsere A og B, dvs. P(A B er medreget to gage derfor fratrækkes dee.
C. Multplkatosformle Deftoe af betgedes sadsylgheder er P (A B = P(A B P(B P(A B = P(A B P(B P(A B = P(B A P(A der gages på begge sder med P(B ved bogstavsombytg Specelt fås ved uafhægge hædelser P(A B = P(A P(B det P(A B = P(B, år A og B er stokastsk uafhægge
D. Udledg af omreggsformel for varase for e stokastsk varabel Deftoe på Var(X er som ævt kaptlet Var (X = E(X µ = σ = Sdste udtryk ka omformuleres (x µ f (x µ f (x = (x + µ x µ f (x ( x Der kvadreres de sumteget ( x + µ x µ f (x = x f (x + µ f (x x µ f (x Der gages paretese med f(x og summe deles op tre delsummer. x f (x + µ f (x x µ f (x = E(X + µ f (x µ x f (x På højre sde af lghedsteget er mapulatoere Første led mddelværde af de stokastske varabel X. Adet led sættes µ ude for sumteget. Selve summe er summe af sadsylgheder, som jo er. Tredje led sættes µ ude for sumteget. Selve summe er u E(X = µ. Da fås E (X + µ f (x µ x f (x = E(X + µ µ µ = E(X µ E. Formel for bomalkoeffcet K(, r Bomalkoeffcete avedes formle for sadsylghedsfordelge e bomalfordelg. For at udlede e formel skal dledgsvs deferes e såkaldt fakultetsfukto:! =... ( specelt er 0! = og! = Atag at elemeter skal sættes rækkefølge. På hvor mage måder ka dette lade sg gøre? Dette ka llustreres ved følgede: - - Første plads ka vælges mellem elemeter Adet plads ka vælges mellem elemeter osv. I alt ka de vælges eller ordes på! forskellge måder. Atag u, at der ku er r pladser tl rådgheder. Der er stadg elemeter at vælge mellem.
r r- r- -r+ -r+ Første plads ka vælges mellem r elemeter Adet plads ka vælges mellem r elemeter osv. I alt ka de r elemeter vælges rækkefølge eller ordes på r (r...( r + forskellge måder. Hvs v forestller os, at først udtages r elemeter ud af de elemeter ude at sætte dsse rækkefølge, vl atallet af måder, dsse ka vælges, være K(, r. Hvs de r elemeter skal ordes, ka det lade sg gøre på r! forskellge måder. Da må K (, r r! = r(r... ( r + r(r... ( r + K(, r = der dvderes med r! r! r(r... ( r + ( r... K(, r = der gages med ( r! tæller og æver r!( r!! K(, r = r!( r! F. Formel for sadsylghedsfordelg e bomalfordelg De geerelle udledg af e formel for sadsylghedere e bomalfordelg ka foretages på dee måde. Atag, at følgede forudsætger er opfyldt: ( I hvert forsøg er der to mulge udfald A og A. ( P(A = p er kostat fra forsøg tl forsøg. (3 Der er stokastsk uafhægghed mellem hvert forsøg. (4 Der er forsøg. Dsse forudsætger kedeteger e Beroull-proces. V ser på de stokastske varabel: X = atal A forsøg som ka atage værdere 0,,,,. Et ekelt eksempel på e sekves med r A er og ( r A er dee: hvor alle A ere kommer først. På grud af stokastsk uafhægghed må sadsylghede for dee sekves være: p x ( p x A ere behøver kke at optræde først, og der ka vælges K(, x mulge udfald, hvor A optræder præcst x gage ud af de alt udfald. Da dsse sekveser er gesdgt udelukkede og forskellge fås:
f(x = P(X = x = K(, x p x ( p x for x = 0,,, G. Bevs for mddelværd og varas for bomalfordelg Ude bevs skal følgede regler for summer af stokastske varable agves E (X + X +... + X = E(X Hvs varablee er stokastsk uafhægge er Var (X + X +... + X = Var(X Bomalfordelge X ~ b(, p ka også betragtes som e sum af stokastske varable. For forsøg ummer deferes de stokastske varabel X såda: Der gælder da X = Atal Aer forsøg = X kaldes e 0- varabel. X Mddelværde for X ka da bestemmes ved følgede: E(X = p + 0 ( p = p da P(A = p og P(A = p Varase for X ka ved hjælp af omreggsformle bereges ved Var(X = E(X µ = p + 0 ( p p = p( p Da X = Atal Aer forsøg = X fås ved avedelse af oveståede regler for summer af stokastske varable at og dermed σ = p( p
H. Fordelg for geemst X Ude bevs aføres, at hvs X er ormalfordelt, er X også ormalfordelt. Desude aføres ude bevs følgede sætger for leær trasformato af stokastske varable: Hvs Y = ax + b er E(Y = ae(x + b Var(Y = a Mddelværde af X udledes ved Var(X X E(X E(X = E( = her avedes regeregel for summer af stokastske varable samt regeregel for mddelværd for e leær trasformato. X E(X µ + µ +... + µ µ E(X = E( = = = = µ Her avedes at mddelværde for X er µ, og der er µ gage. Varase udledes ved avede formle for summe af varaser for stokastske varable samt regeregel for varas for e leær trasformato X Var(X Var(X = Var( = = Og dermed er stadardafvgelse σ σ (X = σ σ =