Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Det eneste du behøver at forstå........... 1 2 Differentiation af grundfunktioner 2 2.1 Konstanter og lineære funktioner.......... 2 2.2 Potensfunktioner................... 4 2.3 Lidt om notation................... 6 3 Kombinerede funktionsudtryk 10 3.1 Summer og differenser................ 10 3.2 Produkter og brøker................. 12 3.3 Sammensætninger.................. 15 3.4 Konstanter...................... 15 4 Differentiation af x 15 5 Et meget vildt eksempel 17 5.1 Det store, grimme eksempel............. 18 6 Logaritmisk differentiation 21
Resumé I dette dokument giver jeg nogle eksempler på hvordan regnereglerne for differentiation bruges. Jeg starter med helt simple funktionsudtryk og slutter med lange, komplicerede funktionsudtryk. 1 Introduktion I dette dokument gennegår jeg begrebet differentiation som om det var et håndværk. Du kan enten bruge dokumentet hvis du allerede kender til differentiation (og bare trænger til nogle eksempler) eller hvis du aldrig har hørt om det før (og gerne vil lære metoden inden alle de teoretiske detaljer). I det sidste tilfælde har du kun brug for lidt terminologi for at holde overblikket. Denne terminologi er samlet i det første afsnit. Forudsætninger: Du behøver ikke at have hørt om differentiation før du læser dette dokument. Til gengæld skal du lige finde oversigten over regneregler for differentiation. 1 Du har desuden brug for at kende til de mest almindelige funktionstyper og vide hvordan man læser rækkefølgen regneoperationerne i et sammensat regneudtryk. 1.1 Det eneste du behøver at forstå Det eneste du behøver at forstå for at kunne differentiere er følgende: 1 Den ligger her side 1
Differentiation er en proces (altså noget man kan foretage sig) som udføres på en funktion. Når man udfører processen siger man at man differentierer funktionen. Resultatet er en ny funktion som kaldes den afledede af den oprindelige funktion. Hvis den oprindelige funktion har et bogstavnavn (f.eks. f), så betegner man den afledede funktion med det samme bogstav, tilføjet en apostrof (sådan her: f ). Man læser det som f-mærke. Det var såmænd det hele. Man kan tegne det hele som vist på figuren herunder. 2 Differentiation af grundfunktioner Først skal du se nogle eksempler, hvor differentiation ganske enkelt går ud på at slå resultatet op i en tabel med facts. Du kan tænke på disse facts som udenadslære, men hvis du kan mærke en indre stemme som gerne vil vide hvorfor de er rigtige, så er det superfint! Det er du bare nødt til at finde svar på i et andet dokument 2. 2.1 Konstanter og lineære funktioner Eksempel 1. Lad os sige at jeg starter med en (temmeligt kedelig) funktion, f, som simpelt hen er givet ved forskriften: f(x) = 8 2 Du kan læse den præcise definition af hvad differentiation er her side 2
Dette er en konstant funktion, så hvis den skal differentieres, leder jeg efter facts om hvordan konstante funktioner differentieres. I tabellen over regneregler for differentiation kan man finde at hvis en funktion er givet ved forskriften: f(x) = k hvor k er et reelt tal (altså med andre ord: konstante funktioner), så er f (x) = 0 Det kunne ikke være meget nemmere: Den afledede funktion er simpelt hen den konstante funktion som hele tiden giver nul. Tillykke, du har nu differentieret din første funktion! Eksempel 2. Jeg har en ny funktion ved navn f. Den er givet ved forskriften: f(x) = 3x + 7 3 Kigger man lidt grundigt på den, ser man at det er en lineær funktion. Altså en funktion givet ved forskrifter af typen: f(x) = ax + b (Min funktion svarer til at a = 3 og b = 7 3 ) Slår man op i tabellen over differentiation af basale funktionstyper ser man at den afledede funktion af sådan en funktion simpelt hen er lig hældningskoefficienten, a. I mit konkrete tilfælde har vi altså at: f (x) = 3 side 3
2.2 Potensfunktioner Nu skal vi se på nogle eksempler hvor den afledede funktion ikke bliver konstant. Eksempel 3. Jeg har en ny funktion. Lad os (for en afvekslings skyld) sige at den hedder g, og at den er givet ved forskriften: g(x) = x 3 Jeg konstaterer at det er en potensfunktion af typen: g(x) = x a hvor a er et reelt tal forskelligt fra nul (i mit tilfælde er a = 3). Derfor kan jeg læse i tabellen at g (x) = 3 x 3 1 = 3 x 2 Når man bruger denne regel, skal man helst forestille sig at man (helt fysisk!) tager fat i den konstante potens (3-tallet) og trækker den ned foran. Men idet man trækker sker der det samme som når man trækker hårdt i en kvindes kjole, nemlig at det kun er kjolen (3-tallet) som bliver trukket ned, mens der stadig står noget tilbage som er en smule mindre (2-tallet). Reglen om differentiation af potenser er meget nyttig, og nogle gange kan den endda bruges selvom funktionen ikke ligner en potensfunktion ved første øjekast. Derfor tager vi lige et eksempel mere. Eksempel 4. Her har jeg fundet på hele fire funktioner, f 1, f 2, f 3 og f 4 givet ved forskrifterne: f 1 (x) = x side 4
f 2 (x) = 1 x f 3 (x) = 1 3 x 5 De ligner ikke potensfunktioner ved første øjekast, men hvis jeg lige husker potensregnereglerne 1 kan jeg omskrive: Derfor er: f 1 (x) = x = x 1 2 f 1(x) = 1 2 x 1 2 (Hvis man trækker 1 fra 1 giver det 1 ). Med lidt ekstra potenstrylleri kan dette omskrives 2 2 til: f 1(x) = 1 2 1 x 1 2 = 1 2 1 = 1 x 2 x På samme måde kan jeg, ved hjælp af nogle flere potensregneregler, omskrive: Derfor er: f 2 (x) = 1 x = x 1 f 2(x) = 1 x 2 = 1 x 2 Og nu går det lidt stærkt. Prøv at følge med: Derfor er: f 3 (x) = ( (x ) ) 5 1 1 3 = x 5 1 3 ( 1) = x 5 3 f 3(x) = 5 3 x 8 3 1 Du kan genopfriske potensregnereglerne her hvis du har brug for det. side 5
(Lagde du mærke til hvordan notationen med at sætte et mærke på funktionens navn fungerer når funktionsnavnene er numererede?) 2.3 Lidt om notation Det næste eksempel er næsten for nemt, men vi tager det for at vise at beregninger ikke altid er forkerte bare fordi de er utroligt nemme. Eksempel 5. Vi vil differentiere funktionen f, givet ved: f(x) = ln(x) altså den naturlige logaritmefunktion. I tabellen kan vi slå op at: Og det var den differentiation. f (x) = 1 x Bemærkning. Det ovenstående eksempel er også med for at vise et andet fænomen, nemlig at nogle kan kan være lidt besværligt at funktionen skal have et bogstavnavn (i dette tilfælde: f) for at vi kan differentiere den. Den har jo allerede et godt navn, nemlig ln. Og faktisk ville det ikke være forkert (men lidt grimt!) at skrive direkte: ln (x) = 1 x Til gengæld kan der godt komme lidt problemer hvis funktionen slet ikke har et symbolsk navn som vi kan sætte mærket på. Det handler det sidste eksempel i dette afsnit om. side 6
Eksempel 6. Lad os se på den naturlige eksponentialfunktion! En af de vigtigste funktioner i verden (måske den vigtigste overhovedet). Hvis vi giver den et bogstavnavn, f, er den givet ved: f(x) = e x og så er det utroligt nemt at differentiere den. Ifølge vores tabel giver det nemlig: f (x) = e x Bemærkning. Den naturlige eksponentialfunktion giver simpelt hen sig selv når man differentierer den! (Det er en af grundene til at den er så vigtig). Men det føles lidt dumt at man er nødt til at kalde den f for at kunne differentiere den. Så er der nogle smarte mennesker som tænker vi høvler bare mærket på et eller andet sted. Og så skriver de noget i retning af: (e x ) = e x ( Forkert!) Men det er simpelt hen forkert! Og endda farligt, fordi man bytter om på rækkefølgen af hvornår der differentieres og hvornår x indsættes i funktionen. Det bliver klart når vi vælger en konkret værdi til x, f.eks. x = 0. Så står der pludselig at: ( e 0 ) = e 0 ( Forkert!) Og her er problemet at højre side er lig med 1, mens venstre side er lig med 1, hvilket kun kan læses som den konstante funktion 1 differentieret. Og det giver altså nul! side 7
Bemærkning. En meget bedre løsning på ovenstående problem kunne være at give den naturlige eksponentialfunktion et fast symbolnavn. Det er der faktisk mange som har foreslået, og det er temmeligt almindeligt at betegne den med symbolet: exp, sådat at: exp(x) = e x Og så kan man naturligvis skrive (helt korrekt, men stadig lidt grimt) at: exp (x) = exp(x) (Læg mærke til at differentiationsmærket er på funktionens navn, sådan som det skal være.) Bemærkning. Men der findes en mere elegant løsning! Der er opfundet en alternativ notation for differentiation som er en hel del mere kompliceret, men som til gengæld ikke har brug for at funktionen har et bogstavnavn. Den ser sådan her ud: d dx og læses som differentiation med hensyn til x. Bemærk at selvom det ligner en brøk (og det er der en god grund til!) så er det ikke en brøk, men derimod noget meget mere kompliceret. Symbolet fungerer sådan her: Hvis vi vil differentiere eksponentialfunktionen lige som i eksempel 6, så kan vi skrive det som: Og vi kan skrive resultatet som: d dx (ex ) d dx (ex ) = e x side 8
På samme måde er det lovligt at skrive f.eks: og d ( ) x 4 = 4 x 3 dx d (9x 1) = 9 dx Så hvad er forskellen på de to måder at skrive differentiation på? Jo, notationen d lægger op til at man læser det efterfølgende dx udtryk som en funktion af x. Dermed er det ikke lovligt at indsætte talværdier for x, fordi disse x er skal læses som værende alle mulige værdier på en gang. 3 Der er således både fordele og ulemper ved begge notationer. Her er nogle af de vigtigste forskelle: Med d -notationen kan man differentiere et funktionsudtryk uden dx at give funktionen et bogstavnavn. 3 For at være helt, helt præcis: Det som sker er at symbolet x skifter rolle fra at betegne et (ukendt) tal til at betegne en funktion. Dette bliver fuldkomen essentielt hvis du en dag lærer om differentialgeometri. Men vær ikke bekymret: Det hører hjemme på 2. eller 3. år af et universitetsstudium i matematik. side 9
d dx -notationen håndterer funktioner af flere variable på en naturlig måde. Med mærke -notationen får den afledede funktion automatisk et bogstavnavn, og derfor er det let at opskrive dens værdi i et konkret tal f.eks. f (7). Dette er meget besværligt med d - dx notationen. Når mærke -notationen bruges korrekt, bliver man aldrig forvirret over forskellen på en funktion og dens funktionsværdier. Dette er meget vigtigt når man f.eks. skal lære om differentialligninger. Her på MatBog vil vi stort set aldrig bruge d -notationen. Det er dx dog en god ide at kende den, fordi andre (især fysikere) bedre kan lide den. (Fysikere bryder sig ikke om at navngive deres funktioner!) 3 Kombinerede funktionsudtryk Tilbage til eksemplerne! 3.1 Summer og differenser Eksempel 7. Jeg definerer en funktion, f ved forskriften: f(x) = e x + x 2 Dette er en sum af to simplere funktioner. Vi kan gøre det helt tydeligt ved at definere g og h ved: g(x) = e x og h(x) = x 3 side 10
Og så er det meget tydeligt at f(x) = g(x) + h(x) I oversigten over regneregler for differentiation står der at hvis man vil differentiere en sum af to funktioner 4 så skal man bare differentiere de to funktioner hver for sig og lægge deres afledede sammen. Eftersom g (x) = e x og får vi altså at h (x) = 3x 2 f (x) = g (x) + h (x) = e x + 3x 2 Man siger at summer differentieres ledvist. I praksis er man meget mindre detaljeret. Det ser som regel ud som i det næste eksempel: Eksempel 8. Her er en funktion, f, givet ved: f(x) = sin(x) cos(x) Vi differentierer ledvist, hvilket giver: f (x) = cos(x) ( sin(x)) = cos(x) + sin(x) Når der er mere end 2 led kan man bare bruge reglen flere gange: 4 Her skal du lige være forsigtig: Når man skriver oversigten over regneregler hedder de to funktioner som lægges sammen f og g. I vores tilfælde hedder de g og h. side 11
Eksempel 9. Funktionen p er givet ved: p(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Strengt taget gælder vores regel kun hvis der er præcis 2 led. Men det kan vi fremtrylle (på flere forskellige måder) ved at sætte en parentes: p(x) = x 5 + ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ) Nu siger reglen at vi kan differentiere de to led hver for sig. Men når vi så kommer til at skulle differentiere (x 4 + x 3 + x 2 + 1), så kan vi gentage tricket med at sætte en parentes i dette udtryk for at skille endu et led ud og bruge reglen endnu en gang. Sådan kan vi fortsætte indtil det sidste led kun bliver 1-tallet som nemt kan differentieres. Det er dog meget, meget nemmere at indse hvad konklusionen på det hele bliver: Vi ender jo bare med at differentiere alle leddene hver for sig. Dette er en udvidelse af reglen som næsten aldrig bliver forklaret. Men den er god nok: Når man har mange led (adskilt af + eller ) bliver de stadig bare differentieret hver for sig. Derfor får vi: p (x) = 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 (Bemærk at x + 1 faktisk kan differentieres på én gang, fordi det er en lineær funktion. Alternativt kan du se afsnit 4 for inspiration til hvordan x skal differentieres.) 3.2 Produkter og brøker I dette afsnit ser vi på reglerne for differentiation af produkter og brøker. Samtidigt begynder vi at se på hvordan man håndterer funktioner, hvor der indgår flere forskellige regneoperationer i forskriften. side 12
Eksempel 10. Vi har en funktion, g defineret ved: h(x) = sin(x) e x Vi genkender dette som et produkt af to funktioner, f og g, som hver især er givet ved: f(x) = sin(x) og g(x) = e x Reglen for differentiation af produkter er desværre ikke så nem at man kan gætte den selv. Den siger at når vi skal differentiere h, så giver det: h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Det giver: h (x) = cos(x) e x + sin(x) e x (Kan du se hvilken af de to e x -forekomster der er blevet differentieret?) Igen er der ingen grund til at navngive de to funktioner som er ganget sammen. Det kan gøres så hurtigt som i det følgende eksempel: Eksempel 11. Jeg finder lige på en funktion. Den skal (sørme!) hedde f og være givet ved: f(x) = ln(x) x 2 Jeg bruger produktreglen til at differentiere den: f (x) = 1 x x2 + ln(x) 2x = x + 2x ln(x) = x (1 + 2 ln(x)) (De sidste omskrivninger var bare for at gøre det så pænt som muligt). side 13
Nu begynder det at blive sjovt, for selvfølgelig kan man blande produkter med summer. Eksempel 12. Lad os definere funktionen f ved: f(x) = cos(x) (x 2 + x 3 ) Her kan man godt blive forvirret et øjeblik: Det er meget vigtigt at man kan indse hvorfor funktionen skal behandles som et produkt og ikke som en sum! Grunden er at f kan skrives som produkt af de to funktioner g og h givet ved: g(x) = cos(x) og h(x) = x 2 + x 3 Derimod kan den ikke skrives en sum af to funktioner på en brugbar måde. 5 Til gengæld: Når vi kommer frem til at skulle differentiere h, så får vi brug for reglen om differentiation af summer. Men ikke før! Alt i alt giver det: f (x) = sin(x) (x 2 + x 3 ) + cos(x) (2x + 3x 2 ) Eksempel 13. f(x) = x 2 sin(x) ln(x) 5 Den kan naturligvis skrives som: ( cos(x) (x 2 + x 3 ) ) + 0, men det gør ikke differentiationen nemmere. side 14
3.3 Sammensætninger 3.4 Konstanter Vi har allerede set at konstante funktioner giver nul når man differentierer dem. Men når konstanterne bliver blandet sammen med andre funktioner, så skal man være meget forsigtig med bare at smide dem væk. Det er især vigtigt at skelne mellem additive konstanter og multiplikative konstanter. 4 Differentiation af x Af en eller anden grund er den differentiation som oftest går galt når folk skal differentiere funktionen f givet ved: f(x) = x Denne (ret fantastiløse) funktion er kendt under navnet identitetsfunktionen. Den kan differentieres på rigtigt mange måder, men desværre er de fleste forkerte. Her giver vi lige en masse eksempler på hvordan man kan gøre det rigtigt. Bemærk at det giver det samme uanset hvilken metoder man vælger (og det er selvfølgelig tilladt bare at lære resultatet uden ad). Eksempel 14. Funktionen f givet ved: f(x) = x er en lineær funktion, fordi vi kan skrive den som: f(x) = 1 x + 0 Når man differentierer en lineær funktion, giver det hældningskoefficienten, så derfor er: f (x) = 1 side 15
Eksempel 15. Funktionen f givet ved: f(x) = x er en potensfunktion, fordi vi kan skrive den som: Derfor er: f(x) = x 1 f (x) = 1 x 0 = 1 1 = 1 (Husk at alle tal giver 1 når man opløfter dem i nul te potens!) De næste eksempler er nok lidt langt ude, men vi gør det for at få brugt nogle flere regneregler: Eksempel 16. Funktionen f givet ved: f(x) = x kan skrives som et produkt af to andre potensfunktioner: f(x) = x 2 x 1 Bruger vi produktreglen til at differentiere den, får vi: f (x) = 2x 1 x 1 + x 2 ( x 2 ) = 2 1 = 1 Eksempel 17. Funktionen f givet ved: f(x) = x kan skrives som en brøk af to andre potensfunktioner: f(x) = x4 x 3 side 16
Når man differentierer en brøk, giver det: f (x) = 4x3 x 3 x 4 3x 2 = 4x6 3x 6 (x 3 ) 2 x 6 = x6 x 6 = 1 Eksempel 18. Funktionen f givet ved: f(x) = x kan skrives som en sammensætning (overvej lige hvorfor! Det er en meget vigtig sammensætning!) f(x) = ln(e x ) Differentierer vi den ved hjælp af kædereglen, får vi: f (x) = 1 e x ex = 1 5 Et meget vildt eksempel Når du får lidt rutine med at differentiere, så skulle du gerne opnå en fornemmelse af at differentiation altid foregår lige ud af landevejen, forstået på den måde at en differentiation godt kan være stor og besværlig, men så længe man tager hvert skridt i den rigtige rækkefølge så er det bare et spørgsmål om hele tiden at bruge en af regnereglerne til at opdele opgaven i flere dele, indtil hver del består af differentiationer som kan klares ved at slå op i en tabel (eller bruge sin hukommelse!) Jeg vil godt vise et enkelt eksempel på hvordan et funktionsudtryk kan være helt vildt stort. Dermed bliver den afledede funktions selvfølgelig også helt vildt grim. Men læg mærke til at så længe man side 17
tager et enkelt skridt af gangen (i den rigtige rækkefølge), så er det faktisk lige så nemt som de simplere eksempler ovenfor. Jeg dropper den grønne kasse omkring dette eksempel, fordi der skal bruges farver i teksten. 5.1 Det store, grimme eksempel Her kommer en grim funktion. Den hedder f og er defineret ved: f(x) = e(x3) sin(cos(sin(x))) ln(x) + e x sin(x) x 2 Først og fremmest er f(x) en sum af to funktionsudtryk. De skal differentieres hver for sig, så vi har allerede delt problemet op i to halvdele. Vi kan gøre os mentalt klar ved at skrive noget i retning af: f (x) = + (Hvor vi gør klar til at skrive den afledede af første led på den røde linje og den afledede af andet led på den blå.) Nu fokuserer jeg på den røde halvdel. Her skal der differentieres en brøk. Så fra reglerne om brøkdifferentiation har jeg allerede: = ( ) ln(x) e(x3) sin(cos(sin(x))) ( ) ln(x) 2 Her mangler vi bare at udfylde den grønne parentes (med den afledte af brøkens tæller) og den brune parentes (med den afledte af brøkens nævner). Det sidste er klart det nemmeste, så det gør vi først. Det er bare om at slå op i en tabel og konstatere at: ( ) = 1 x Den grønne parentes er lidt værre. Her er tale om et produkt af to funktioner som skal differentieres, så produktreglen giver os at: ( ) = [ ] sin(cos(sin(x))) + e (x3) [ ] side 18
De to kantede parenteser skal udfyldes med de afledede af hver af de to funktioner som var ganget sammen. De er begge sammensatte funktioner, så her skal vi have fat i kædereglen. Den lyseblå parentes er den nemmeste: [ ] = e (x3) 3x 2 (Den ydre funktion er eksponentialfunktionen, så når vi differentierer den sker der ingenting. Bagefter skal den indre funktions afledede ganges på, hvilket giver de 3x 2.) Den grå parentes er lidt sværere, fordi den indre funktion i sammensætningen selv er en sammensat funktion. Hvis man starter med det yderste lag, er det dog nemt nok: [ ] = cos(cos(sin(x))) ( ) Her har vi differentieret den yderste funktion. Inde i parentesen mangler vi at skrive den afledede af cos(sin(x)). Derfor starter vi kædereglen op igen: [ ] = cos(cos(sin(x))) ( sin(sin(x)) ( )) Her differentierede vi den yderste funktion i udtrykket cos(sin(x)), så nu mangler vi kun at udfylde den tomme parentes med den afledede af sin(x), altså: [ ] = cos(cos(sin(x))) ( sin(sin(x)) (cos(x))) Her er en del overflødige parenteser som kan fjernes og et fortegn som kan flyttes ud til venstre, så vi omskriver lige: [ ] = cos(cos(sin(x))) sin(sin(x)) cos(x) Nu er vi faktisk færdige med den røde linje! Den blå linje er faktisk lidt nemmere. Her er der igen tale om en brøk som skal differentieres, så i første omgang får vi: = ( ) x2 ex sin(x) ( ) (x 2 ) 2 side 19
Den gule parentes skal indeholde den afledede af brøkens nævner. Det er så let at vi kunne have gjort det med det samme: ( ) = 2x Den orange parentes skal indeholde den afledede af tælleren. Det er endnu en brøk som skal differentieres, så derfor: ( ) = [ ] sin(x) ex [ ] (sin(x)) 2 Nu er jeg løbet tør for farver, men heldigvis er det meget let at udfylde de to kantede parenteser. De skal jo bare indeholde den afledede af henholdsvist tælleren og nævneren i den brøk som vi er i gang med at differentiere. Derfor er: ( ) = ex sin(x) e x cos(x) (sin(x)) 2 Så nu er det bare et spørgsmål om at samle det hele sammen: f (x) = ( e (x 3) 3x 2 sin(cos(sin(x))) + e (x3) [ ] ) ln(x) ln(x) 2 e(x3) sin(cos(sin(x))) 1 x ln(x) 2 + ex sin(x) ex cos(x) x 2 ex 2x (sin(x)) 2 sin(x) (x 2 ) 2 Der var ikke plads til at indsætte den kantede, grå parentes i første omgang. Og jeg har været nødt til at dele brøken (fra den røde linje) i to led. Til gengæld giver dette en mulighed for at forkorte den første af de tre brøker med ln(x), og så bliver der lige præcis plads til den grå parentes: side 20
f (x) = e(x3) 3x 2 sin(cos(sin(x))) ln(x) + e(x3) ( cos(cos(sin(x))) sin(sin(x)) cos(x)) ln(x) e(x3) sin(cos(sin(x))) 1 x ln(x) 2 + ex sin(x) ex cos(x) x 2 ex 2x (sin(x)) 2 sin(x) (x 2 ) 2 Tadaa! Hvis du kunne følge med til dette eksempel, så vil du aldrig få problemer med at holde overblik over dine egne differentiationer. 6 Logaritmisk differentiation Til slut skal vi lige se hvor grænsen for gymnasiematematik går (og lidt af hvad der er på den anden side). Det er nemlig fristende at tro at regnereglerne for differentiation løser alle problemer for os. Det kan (og bør!) føles som om man kan differentiere en hvilken som helst funktion, hvis bare man er tålmodig og forsigtig nok. Men virkeligheden er en smule mere kompliceret end som så. For det første er det slet ikke alle funktioner som kan differentieres. Når du læser den teoretiske fremstilling af emnet, vil du opdage at man taler om at nogle funktioner er differentiable, mens andre ikke er det. Et vigtigt eksempel på en funktion som ikke er differentiabel er numerisk værdi funktionen, altså funktionen f givet ved forskriften: f(x) = x side 21