Integration. Frank Nasser. 15. april 2011

Transkript

1 Integration Frank Nasser 15. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion En sproglig detalje En upræcis definition Integrabilitet Begrænsede funktioner Undersummer og oversummer Integrabilitet Eksempler Gymnastik med grænserne Indskudssætningen Kontinuerte funktioner Nummererede over og undersummer En forklaring af integraltegnet Integrationsvariablen Middelværdisætningen Analysens fundamentalsætning De fleste funktioner er integrable Stamfunktioner ved hjælp af bestemte integraler Bestemte integraler ved hjælp af stamfunktioner... 35

3 Resumé Dette dokument handler om integration. Eller mere præcist: Bestemt integration. Vi definerer hvad det vil sige at en funktion kan integreres og formulerer nogle vigtige resultater om integration. 1 Introduktion Du har måske allerede hørt at der findes to begreber med navnet integration: ubestemt og bestemt integration. Sådan burde det ikke være, for på mange måder er bestemt integration den rigtige form for integration, mens ubestemt integration bare er et (temmeligt uheldigt 1 ) navn til den proces at finde stamfunktioner. Derfor har jeg valgt simpelt hen at kalde dette dokument for integration, selvom det næsten udelukkende handler om bestemt integration altså den proces hvor man ønsker at beregne arealet under grafen for en funktion. Forudsætninger Før du læser dette dokument, er du nødt til at kende til følgende tre egenskaber som en funktion kan have: begrænsethed 2, monotoni 3 og kontinuitet 4. For at forstå det sidste afsnit er du også nødt til at være meget fortrolig med differentiation 5 og med stamfunktionsbegrebet 6. 1 Navnet er ganske udmærket, og det giver perfekt mening når man først indser hvad stamfunktioner og (bestemt) integration har med hinanden at gøre. Men indtil man opnår denne indsigt kan det være mere forvirrende end fornuftigt. 2 Du kan læse om begrænsede funktioner her 3 Du kan læse om monotone funktioner her 4 Du kan læse om kontinuerte funktioner her 5 Læs om differentiation her 6 Læs om stamfunktioner her side 1

4 Hvis du er god til at lære ting uden at ane hvorfor, så behøver du ikke andet. Men slutteligt kan det være en god ide at vide hvorfor arealer under grafer er så pokkers interessante En sproglig detalje Hele dette dokument handler om en funktion, f, og et lukket interval, [a; b] i dens definitionsmængde. Funktionen kan sagtens tænkes at være defineret på en større mængde end det betragtede interval (det første eksempel du kommer i tanker om vil sikkert være defineret i alle reelle tal), men det er funktionens opførsel inden for intervallet som er vigtig. Derfor vil vi ofte bruge udtryk som f.eks. f er kontinuert på [a; b]. Dette betyder så at f er en kontinuert funktion, hvis man begrænser definitionsmængden til dette interval. (Vi er nemlig ligeglade med om f skulle have diskontinuiteter i punkter uden for intervallet). På samme måde vil vi tale om at en funktion kan være begrænset eller monoton på et givet interval. Vi vil endda tale om globale ekstremer for f på intervallet. Det betyder i så fald ekstremer der er globale hvis man begrænser f s definitionsmængde til dette interval. (Så det kan altså godt være at de ikke er rigtigt globale, fordi f antager mere ekstreme værdier uden for intervallet.) 1.2 En upræcis definition Definition 1 (Snydedefinition) Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket interval [a; b], så defineres det bestemte integral af f fra a til b: b a f(x)dx 7 Læs om den fysiske betydning af differentiation og integration her side 2

5 til at betyde arealet, målt med fortegn af det område som ligger mellem grafen for f og x-aksen, i intervallet [a; b] på x-aksen. (Se figur 1) At arealet måles med fortegn betyder at arealer som ligger under x-aksen tæller som negative arealer. y=f(x) a b Figur 1: Det bestemte integral af en funktion, f, fra et punkt, a til et punkt b. Eksempel 1 Her er nogle eksempler på bestemte integraler. Hvis du tegner graferne for de nævnte funktioner, så burde det være klart hvorfor integralet giver det som jeg påstår: 1. Hvis f er den konstante funktion, givet ved: f(x) = 5, så er 4 2 f(x)dx = 10 side 3

6 2. Hvis f er den konstante funktion, givet ved: f(x) = 5, så er 4 f(x) = Hvis f er funktionen givet ved: f(x) = 3x, så er f(x)dx = Hvis f er funktionen givet ved: f(x) = sin(x), så er 2π 0 f(x)dx = 0 Desværre er definitionen ikke god nok til at vi kan udregne ret mange integraler præcist. Og den er helt ubrugelig hvis man vil bevise sætninger om integraler. Problemet er at nogle grafer bliver så komplicerede at det overhovedet ikke er klart hvad vi mener med arealet 8 mellem grafen og x-aksen. Til gengæld er snydedefinitionen god at have i baghovedet hele tiden når man læser dette dokument, fordi det giver en fornemmelse af hvad det er vi prøver at definere. Det viser sig nemlig at være meget sværere end man skulle tro at finde en definition som giver mening for alle mulige funktioner. 8 Hvis du tænker endnu mere over det, så risikerer du at opdage at du faktisk aldrig har fået defineret hvad ordet areal betyder. Og at alle formler for beregning af arealer af f.eks. cirkler blot er påstande som du har været nødt til at tro på uden argumenter. Uhyggeligt, ikke? side 4

7 2 Integrabilitet Vi starter med at fastlægge hvad det vil sige at en funktion er integrabel altså at den kan overhovedet kan integreres og lige bagefter definerer hvad det i så fald skal betyde at integrere den. Allerførst skal vi dog starte med at smide en hel masse funktioner væk som vi overhovedet ikke har lyst til at snakke om. 2.1 Begrænsede funktioner Du vil hurtigt opdage at alle definitionerne i dette dokument starter med at antage at funktionen er begrænset på det interval vi snakker om. Derfor minder vi lige om hvad det vil sige at en funktion er begrænset: Definition 2 Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i dens definitionsmængde, så siges f at være begrænset på [a; b] hvis man kan finde to tal, m og M, sådan at for alle x i intervallet. m f(x) M Eksempel 2 Følgende funktion, f, er et eksempel på en funktion som ikke er begrænset: f(x) = { x 1, x 0 0, x = 0 Denne funktion er defineret i alle reelle tal, men den er ikke begrænset på f.eks. intervallet [ 1; 1], fordi den kan antage lige side 5

8 så store og små funktionsværdier det skal være, bare man går tæt nok på nul Figur 2: Grafen for en ubegrænset funktion. Bemærkning 1. (Denne kasse kan du godt springe over hvis du har travlt. Den er udelukkende for de folk som tænker hvorfor nu det? hele tiden.) I hele resten af dokumentet vil vi kun tale om begrænsede funktioner. Men man kan godt synes at det er fjollet at vi overhovedet ikke vil integrere funktionen fra eksempel 2. F.eks. er det ret logisk (og fuldkommen korrekt!), at hvis man ville integrere denne funktion fra -1 til 1 (altså bestemme arealet målt med fortegn mellem grafen og x-aksen i intervallet [ 1; 1]) så må det give præcis nul på grund af symmetrien. Desværre er det ikke alle ubegrænsede funktioner der opfører sig så symmetrisk, og eftersom man ikke gider at nusse med hvilke ubegrænsede funktioner der er logiske nok, så smider man bare dem allesammen i skraldespanden 9 når det handler om at integrere. 9 Dette er selvfølgelig løgn. Der findes andre (mere komplicerede) definitioner af side 6

9 2.2 Undersummer og oversummer Nu bliver det lidt svært, fordi definitionerne som vi skal lave er ret komplicerede. Det hjælper hvis man hele tiden tænker på hvad det er vi prøver på, nemlig at definere begrebet arealet under grafen, målt med fortegn så præcist at man kan bevise sætninger om det. Vi starter med et teknisk begreb: Definition 3 Hvis I = [a; b] er et lukket interval på den reelle akse, så består en inddeling af I i delintervaller af at man vælger et naturligt tal n og derefter n + 1 forskellige elementer i intervallet: hvor x 0 = a og x n = b, og hvor x 0, x 1, x 2,... x n x 0 < x 1 < x 2 < x 3... < x n Med selve inddelingen mener man så de n lukkede intervaller: I 1 = [x 0 ; x 1 ] I 2 = [x 1 ; x 2 ] I 3 = [x 2 ; x 3 ]. I n = [x n 1 ; x n ] Eksempel 3 Lad os lave en inddeling af intervallet [5, 18] i delintervaller. Vi integration som netop forsøger at få det til at give mening når f.eks. funktionerne er ubegrænsede. side 7

10 sætter n til at være 3 (svarende til at vi vil dele intervallet i 3 dele) og vælger: x 0 = 5, x 1 = 7, x 2 = 12, x 3 = 18 og dermed har vi inddelt intervallet i lukkede delintervaller: I 1 = [5; 7] og I 2 = [7; 12] I 3 = [12; 18] Nu er vi klar til at definere nogle lidt sære hjælpestørrelser, nemlig de såkaldte undersummer og oversummer. Man bør tænke på at de er nogle udregninger som helt sikkert bliver henholdsvist mindre og større end det som vi egentlig gerne ville beregne. Definition 4 (Undersum) Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset, så definerer vi at en undersum for f på intervallet [a; b] består af et tal der beregnes på følgende måde: 1. Inddel intervallet [a; b] i et antal lukkede delintervaller, I 1, I 2, I 3,... I n (hvor n er et naturligt tal). 2. Lad 1, 2, 3,... n betegne bredden af hvert af disse intervaller. side 8

11 3. Vælg nogle tal, u 1, u 2, u 3,... u n som opfylder at u i f(x) for alle elementer x i delintervallet I i. 4. Udregn summen: n u i i i=1 med andre ord: Udregn summen: u u u n n Bemærkninger Denne definition (lige som resten af dokumentet) handler kun om funktioner som er begrænsede på de intervaller som vi betragter. Kan du se hvilket af de fire trin i udregningen som kunne gå galt hvis man tillod ubegrænsede funktioner? Man kan beregne mange forskellige undersummer for en bestemt funktion på et bestemt interval. Det afhænger af hvilke delintervaller man vælger under punkt 1, og hvilke tal man vælger under punkt 3. Den udregning som man laver under punkt 4 kan man bedst forstå hvis man tænker på at der beregnes et areal. Hvert led i summen er nemlig arealet af en kasse med bredde i og højde u i. (Med den detalje at hvis u i er negativ, så er kassens areal negativt.) (Se figur 3.) Bemærk at en undersum helt sikkert vil være mindre end eller lig med det som vi egentlig ønsker at definere (nemlig arealet side 9

12 mellem grafen og x-aksen, målt med fortegn). Den kan sagtens risikere at være meget mindre, men det gør ikke noget, fordi vi ikke bare vil nøjes med at kigge på en enkelt undersum, men derimod på dem alle sammen. Det er let at forestille sig hvad man ville gøre hvis man ønskede at få undersummen til at være tæt på det areal som vi egentlig er ude efter: Man ville gøre intervallerne meget små (og dermed antallet af dem, n, meget stort), og desuden vælge u i erne så store som muligt (dog sådan at de stadig er mindre end alle funktionens værdier på det relevante delinterval). Eksempel 4 Lad os beregne en undersum for den funktion f, hvis graf er tegnet på figur 3, på intervallet [a; b] = [0; 2]. Vi vælger n = 3 delintervaller, nemlig: I 1 = [0; 1], I 2 = [1; 3 2 ] og I 3 = [ 3 2 ; 2] Dermed bliver intervalbredderne: 1 = 1, 2 = 1 2 og 3 = 1 2. Desuden vælger vi tallene u 1 = 1 2, u 2 = 3 og u 3 = 4 Og på den måde får vi undersummen: 3 u i i = u u u 3 3 i=1 = ( 3) ( 4) 1 2 = 3 Dette svarer til arealet af de grønne kasser på figur 3, idet de to kasser som stikker under x-aksen tæller negativt. Det skulle gerne være klart at dette tal er mindre end det areal som vi egentlig er ude på at definere. side 10

13 Figur 3: Beregning af en undersum for en funktion på intervallet [a; b] = [0; 2]. Nu er den næste definition nok ikke så overraskende: Definition 5 (Oversum) Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset, så definerer vi at en oversum for f på intervallet [a; b] består af et tal der beregnes på følgende måde: 1. Inddel intervallet [a; b] i et antal lukkede delintervaller, (hvor n er et naturligt tal). 2. Lad I 1, I 2, I 3,... I n 1, 2, 3,... n betegne bredden af disse intervaller. 3. Vælg nogle tal, o 1, o 2, o 3,... o n som opfylder at o i er større end eller lig med alle funktionsværdier f(x) som f antager på delintervallet I i. side 11

14 4. Udregn summen: n o i i i=1 med andre ord: Udregn summen: o o o n n Der gælder præcis de samme bemærkninger om oversummer som undersummer. Den eneste forskel er at oversummerne beregner et tal som altid er større end eller lig med det som vi er ude på at definere. Øvelse 1 Beregn en oversum for funktionen f fra eksempel 4 på intervallet [0, 2]. Hvis du får noget som er større end 1 så har du sandsynligvis 2 gjort det rigtigt. Nu er vi næsten klar til at definere begrebet integrabilitet. Vi mangler kun et begreb mere, nemlig en måde at forbedre en undersum eller oversum på. Definition 6 (Forfining) Hvis f er en funktion og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset, og U er en undersum for f beregnet som beskrevet i definition 4, så består en forfining af U af følgende: 1. Inddel hvert af delintervallerne I i i endnu mindre delintervaller, sådan at intervallet [a; b] bliver delt i (mange flere) mindre delintervaller: J 1, J 2,... J m side 12

15 c MatBog.dk hvor hvert af disse delintervaller ligger inde i et af de oprindelige delintervaller. 2. Vælg nogle nye tal10, u 1, u 2, u 3,... u m som opfylder at u i er mindre end eller lig med alle funktionsværdier f (x) som f antager på delintervallet Ji, og sådan at hvis intervallet Ji ligger inde i et af de oprindelige intervaller Ik, så er u i større end eller lig det tal uk som hørte til den oprindelige undersum. 3. Undersummen hørende til den nye inddeling med de nye tal u i kaldes en forfining af den oprindelige undersum. Denne definition er simplere end den ser ud til. Det er illustreret på figur 4 hvad der foregår Figur 4: En forfining af undersummen fra eksempel 4. Man kan selvfølgelig også forfine en oversum. side 13

16 Øvelse 2 Prøv at formulere en definition af hvad det vil sige at forfine en oversum. Prøv at forfine den oversum du beregnede i opgave 1. Den vigtigste egenskab ved forfining af både under og oversummer er følgende: Lemma 1 Når man forfiner en undersum, så bliver den større, og når man forfiner en oversum, så bliver den mindre. Denne egenskab skal vi nu bruge til at bevise følgende sætning: Sætning 2 Hvis f er en funktion som er begrænset på et interval, [a; b] i definitionsmængden, så er enhver undersum for f mindre end eller lig med enhver oversum for f på dette interval. Bevis. Lad U og O være en under og en oversum for f på intervallet [a; b]. Vi vil vise at uanset hvordan U og O er beregnet, så er U O. Hvis det nu var så heldigt at U og O var beregnet ved hjælp af præcis den samme inddeling af intervallet: I 1, I 2,... I n så er ret nemt at se at U O. Man kan nemlig vælge et element x 1 i det første delinterval, og så vil u 1 og o 1 opfylde at: u 1 f(x 1 ) o 1 side 14

17 og derfor er u 1 o 1. Det samme kan man gøre i alle de andre intervaller. Eftersom intervalbredderne, i er de samme (og positive) for under og oversummen, kan vi se at hvert led i undersummen: u i i er mindre end eller lig med det tilsvarende led i oversummen: o i i og derfor bliver U O i dette tilfælde. Men det kan jo godt være at U og O ikke er beregnet ved hjælp af den samme inddeling af intervallet. I så fald er vi nødt til at lave et lille trick: Tag alle de delepunkter x 0, x 1,... x n som definerer den inddeling som U er beregnet med. Tilføj alle de delepunkter som definerer den inddeling som O er beregnet med. Dette definerer en ny inddeling som både er en videreinddeling af inddelingen fra U og inddelingen fra O. Ved at forfine både U og O til denne nye inddeling, får vi en ny undersum, Ũ og en ny oversum, Õ, som ifølge lemma 1 opfylder at: og U Ũ Õ O Men eftersom Ũ og Õ er beregnet med den samme inddeling er: Ũ Õ De tre uligheder kan skrives på en gang som: U Ũ Õ O Og dermed viser de at: U O side 15

18 Figur 5: Forskellige undersummer (med grønt) og oversummer (med blåt) for funktionen fra figur 3. Denne sætning gør det muligt at forestille sig alle undersummerne og alle oversummerne på en gang. En ting er ihvertfald helt sikkert: Hvis man markerer alle tænkelige undersummer (med grønt) og alle tænkelige oversummer (med blåt) på den reelle akse (se figur 5), så vil alle de grønne markeringer ligge til venstre for alle de blå. Det eneste spørgsmål er om der ligger noget ind imellem og i givet fald, hvor meget Integrabilitet Nu er det heldigvis ret let at definere hvad vi skal mene med at en funktion er integrabel. Definition 7 Lad f være en funktion, og lad [a; b] være et lukket interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset. Hvis der findes ét eneste tal, I med den egenskab at U I O for enhver undersum, U og enhver oversum, O, så siges f at være integrabel på intervallet [a; b]. I så fald siger vi at tallet I er integralet af f fra a til b, eller skrevet med symboler: I = b a f(x)dx side 16

19 Bemærkninger På grund af sætning 2 og en ret dyb egenskab ved de reelle tal 11 vil der altid ligge mindst et tal mellem under og oversummerne. Det væsentlige krav i definitionen er altså at der ikke ligger mere end et enkelt tal. Hvis man kan finde en eneste oversum og en eneste undersum som giver det samme tal, så har man fundet et sted hvor de grønne og de blå krydser når sammen (se figur 5), og dermed er dette tal det eneste som kan ligge mellem alle under og oversummer. Det betyder at funktionen er integrabel og at integralet er lig den fælles værdi af over og undersummen. Det er desværre sjældent at man finder en oversum og en undersum som giver det samme. Ofte vil man (på en anden måde) indse at der kun er et tal som kan være integralet, og så argumentere for at der ligger under og oversummer (grønne og blå krydser) lige så tæt på dette tal som det skal være. Fordi så kan der jo ikke være andre tal som ligger midt i. Nogle gange har man kun brug for at vide at en funktion er integrabel, mens man er ligeglad med hvad integralet er. I så fald er det tilstrækkeligt at argumentere for at der findes oversummer og undersummer som ligger lige så tæt på hinanden som det skal være, uden at man egentlig behøver at beregne en eneste af disse. 2.4 Eksempler 11 Denne egenskab kaldes at de reelle tal er et fuldstændigt tallegeme. side 17

20 Eksempel 5 (En integrabel funktion) Betragt den konstante funktion, f, givet ved f(x) = 5 og betragt intervallet [a; b] = [2; 4]. Det er meget let at lave en undersum for denne funktion på dette interval. Vi kan nøjes med et enkelt interval, nemlig hele intervallet: I 1 = [2; 4] og på dette interval kan vi bruge tallet u 1 = 5 fordi dette tal er mindre end eller lig med (faktisk er det lig med) f s funktionsværdier på hele intervallet. Dette giver en undersum på: u 1 1 = 5 2 = 10 Sjovt nok kan denne udregning også bruges som oversum, idet u 1 også er større end eller lig med (faktisk lig med) alle f s funktionsværdier på intervallet. (Man skulle måske bare kalde den o 1 i stedet for... ) Dermed har vi en undersum og en oversum som giver samme resultat, nemlig 10. Så kan der jo kun være et eneste tal som ligger mellem alle over og undersummer, nemlig: Vi har altså vist at: 4 2 I = 10 f(x)dx = 10 side 18

21 Det næste eksempel er måske lidt mere interessant: Eksempel 6 Betragt funktionen f, givet ved f(x) = x og betragt intervallet [0; 1]. Hvis man tegner grafen (se figur 6), så er det vist rimeligt klart at integralet: 1 f(x)dx 0 giver 1, nemlig arealet af den retvinklede trekant. 2 Men det er jo ikke noget argument! Hvis vi skal argumentere for at f er integrabel på [0; 1], og at integralet giver 1, så kan 2 vi desværre ikke finde nogen undersummer eller oversummer som giver præcis 1. (Prøv selv, og se hvad der går galt.) 2 I stedet kan vi prøve at argumentere for at der ligger undersummer og oversummer lige så tæt på 1 som det skal være. 2 Lad os f.eks. prøve at finde nogen som ligger inden for intervallet [ ; ] 1000 Inddel intervallet i 1000 lige store delintervaller. Disse delindervaller har således en bredde på: 1 = 2 =... = 1000 = Hvis vi skal beregne en undersum, så kan vi i det første delinterval sætte u 1 = 0 I det andet delinterval kan vi sætte u 2 = Og så videre, indtil det sidste delinterval, hvor vi kan sætte: u 1000 = side 19

22 Dette giver en undersum på: 1 U = = ( ) 1000 = = = 1 2 ( ) = Prøv selv at udregne en oversum på samme måde og se at den giver: O = Dermed har vi fundet en undersum og en oversum som er tættere på 1 end en tusindenedel. Men hvis man kigger nøje efter kunne 2 vi jo også have delt intervallet i en million dele, og mon så ikke undersummen og oversummen ville komme tættere på 1 end en 2 milliontendedel? Eftersom vi kan finde undersummer og oversummer vilkårligt tæt på 1, er der kun plads til et eneste tal mellem alle under og 2 oversummer. Dermed er f integrabel, og integralet giver faktisk præcis som det burde. 1 2 side 20

23 1 1 Figur 6: Grafen for funktionen i eksempel 6 Eksempel 7 (En funktion som ikke er integrabel) Betragt funktionen f, givet ved: f(x) = { 1, hvis x Q 0, hvis x / Q (Altså: f giver værdien 1 i rationelle tal, og værdien 0 i irrationelle tal.) Lad os se hvad der sker hvis vi prøver at beregne under og oversummer for denne funktion på f.eks. intervallet [0; 1]: Hver eneste gang vi laver en inddeling i lukkede delintervaller, så vil der både være rationelle og irrationelle tal i hvert af delintervallerne. (Det siger Archimedes princip.) Derfor vil hvert eneste u i være nødt til at være mindre end eller lig 0, og hvert eneste o i skal være større end eller lig 1. Dermed bliver enhver undersum, U: n n U = u i i 0 i = 0 i=1 i=1 og hver eneste oversum, O, bliver: n n n O = o i i 1 i = i = 1 i=1 i=1 i=1 side 21

24 (Fordi intervallernes bredder tilsammen giver bredden af hele intervallet, nemlig 1.) Det betyder at ethvert tal mellem 0 og 1 vil være større end alle undersummerne og mindre end alle oversummerne. Derfor er f ikke integrabel på intervallet [0; 1] (eller nogen som helst andre intervaller). 3 Gymnastik med grænserne Nu har vi en præcis definition af hvad det vil sige at integrere en (begrænset) funktion. Dermed kan vi begynde at bevise nogle egenskaber ved integralet. De første kommer her, og det handler om hvad der sker når man ændrer det interval som vi integrerer på altså når integralets grænser ændres. Sætning 3 Hvis f er en funktion som er integrabel på et lukket interval [a; b], og hvis [c; d] er et lukket interval som ligger inden for [a; b] (med andre ord: hvis a < c < d < b), så er f også integrabel på [c; d]. Bevis. Kommer senere. (Lidt gymnastik med at forfine undersummer og oversummer.) Ideen er: En under eller oversum på det store interval kan forfines sådan at c og d er inddelingspunkter for den. Dermed bliver den en under eller oversum på det lille interval ved at man smider nogle af leddene væk. På den måde kan man lave oversummer og undersummer på det lille interval som er vilkårligt tæt på hinanden, fordi man kan gøre det på det store interval. Ovenstående sætning siger at hvis en funktion er integrabel på et bestemt interval, så er den også integrabel på ethvert delinterval af side 22

25 dette. Den næste sætning er en slags omvendt udgave, og den kan være ret nyttig i praksis hvis man skal argumentere for at en funktion er integrabel. Sætning 4 Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket interval [a; b], og hvis m [a; b], opfylder at f er integrabel på både [a; m] og [m; b], så er f integrabel på hele intervallet [a; b] Bevis. Mere summegymnastik, gemt til senere. Ide: Hvis man har f.eks. en oversum på både [a; c] og på [c; b] så er summen af disse to oversummer en oversum på [a; b]. Ligeledes med undersummer. På den måde kan man lave undersummer og oversummer på det store interval som er vilkårligt tæt på hinanden, fordi man kan gøre det på hvert af de små intervaller. Eksempel 8 Funktionen, f, givet ved gaffelforskriften: f(x) = { x, x 0 x 2 + 1, x > 0 er integrabel på f.eks. intervallerne [ 1; 0] og [0; 1] (fordi den er monoton på disse intervaller se sætning 11). Derfor er den også integrabel på intervallet [ 1; 1]. 3.1 Indskudssætningen Den følgende sætning hænger meget tæt sammen med de to foregående. Den er totalt indlysende hvis man tænker på snydedefinitionen side 23

26 af integralet (se figur 7), men nu hvor vi skal være mere præcise er det en anelse sværere. Sætning 5 (Indskudssætningen) Hvis f er en funktion som er integrabel på et lukket interval [a; b] og hvis m [a; b] så er: b a f(x)dx = m a f(x)dx + b m f(x)dx a m b Figur 7: Indskudssætningen siger at integralet fra a til b kan beregnes som summen af integralet fra a til m og integralet fra m til b. Indskudssætningen giver os nogle gange lyst til at kunne integrere baglæns også. Hvis man f.eks. først integrerede fra a til b, og bagefter baglæns fra b til m (se figur 7), så skulle vi jo gerne have integralet fra a til m tilbage. Det giver ideen til følgende definition. Definition 8 (Ombytning af grænserne) Hvis f er en funktion som er integrabel på et lukket interval [a; b], så definerer vi at: a b f(x)dx = f(x)dx b a side 24

27 4 Kontinuerte funktioner Når den funktion som vi ser på er kontinuert så kan begreberne fra det sidste afsnit formuleres på en mere simpel måde. Det hele skyldes følgende egenskab ved kontinuerte funktioner: Sætning 6 (Ekstremalværdisætningen) Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket interval, [a; b], og som er kontinuert, så vil f have både et globalt minimums og et globalt maksimumssted i dette interval. Endvidere vil f antage alle funktionsværdier mellem den globale minums og maksimumsværdi mindst en gang, sådan at værdimængden bliver et interval: Vm(f) = [m; M] hvor m og M betegner henholdsvist minimums og maksimumsværdien. Bemærk at denne egenskab sikrer at en kontinuert funktion f automatisk er begrænset på ethvert lukket interval. Vi vil nu bruge egenskaben til at konstruere nogle helt specielle over og undersummer for en kontinuert funktion. 4.1 Nummererede over og undersummer Definition 9 Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden hvorpå f er kontinuert, så defineres de såkaldte nummererede side 25

28 undersummer, på følgende måde: U 1, U 2, U 3, Lad n være et naturligt tal. Inddel intervallet [a; b] i n lige store delintervaller, I 1, I 2,..., I n 2. Lad x være bredden af disse intervaller, altså: x = b a n 3. Find i hvert af intervallerne et element, x i, som er et minimumssted for f på dette interval. Dvs. sådan at f(x i ) f(x) for alle andre x i det pågældende delinterval. (Dermed fungerer f(x i ) som et u i hvis man sammenligner med definition 4.) 4. Beregn nu summen: n U n = f(x i ) x i=1 På præcis samme måde definerer man de nummererede oversummer: O 1, O 2, O 3,... De nummererede over og undersummer er supersmarte når man skal bevise at en (kontinuert) funktion er integrabel. side 26

29 Hvis det viser sig at oversummerne nærmer sig en eller anden grænseværdi, og undersummerne nærmer sig den samme grænseværdi Eller sagt på en anden måde: Hvis forskellen på de nummererede over og undersummer: U n O n nærmer sig nul, så har vi allerede fundet over og undersummer som ligger lige så tæt på hinanden som det skal være, og dermed er der kun plads til én enkelt mellemværdi som ligger mellem alle over og undersummerne. (Og det betyder jo at funktionen er integrabel.) Denne indsigt skriver vi lige som en sætning: Sætning 7 Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert, og de nummererede undersummer, U n og oversummer, O n opfører sig sådan at: så er f integrabel på [a; b]. (U n O n ) 0 når n 4.2 En forklaring af integraltegnet De nummererede over og undersummer giver en forklaring på hvorfor integraltegnet ser ud sådan som det gør. Hvorfor er det funktionens værdi (f(x)) der står inde i tegnet, og ikke bare funktionens navn (f)? Og ikke mindst: Hvad laver det sære lille dx (som man altid kommer til at glemme) ude til højre hver gang? Ingredienserne i et integral består af en funktion og en nedre og øvre grænse for det interval den skal integreres på. Derfor kunne man med rette foreslå at det færdige resultat altså integralet skulle skrives sådan at afhængigheden af disse tre ingredienser fremgår. Et fint forslag kunne være at skrive integralet af funktionen f fra a til b side 27

30 som: Int(f, a, b) Når man alligevel vælger den mere komplicerede skrivemåde: b a f(x)dx så er det for at signalere hvordan dette integral (teoretisk set) udregnes. Man tager simpelt hen en sum af typen: n f(x i ) x i=1 og lader x være ekstremt lille. På den måde får man ekstremt mange led i summen, og x i erne kommer til at gennemløbe næsten alle værdier mellem a og b. Man skal således forestille sig at summationstegnet bliver til integraltegnet, fordi der kommer rigtigt mange led. Samtidigt bliver x til dx for at markere at den bliver uendeligt lille. Og i stedet for at nummerere x i erne, så siger man bare at x skal antage alle værdier mellem a og b. Det er meget vigtigt at man vænner sig til at tænke på (bestemte) integraler som summer med uendeligt mange led af typen f(x i ) x. Det er fordi sådanne summer ofte opstår helt af sig selv, og så kan det være meget praktisk at genkende dem som et integral i forklædning. Det sker f.eks. når vi skal beregne rumfang af de såkaldte omdrejningslegemer Integrationsvariablen Det x som vi lader løbe fra a til b i integralet: b 12 Læs om omdrejningslegemer her a f(x)dx side 28

31 kaldes for integrationsvariablen. Det har ikke nogen værdi i sig selv, og som vi nævte ovenfor kunne vi sagtens have undværet det i notationen. Det betyder at vi kunne bruge ethvert andet tegn i stedet for x hvis vi havde lyst. F.eks. betyder: og b a b a f(t)dt f(ξ)dξ præcis det samme 13. Vi bliver snart nødt til at bruge andre symboler som integrationsvariabel, fordi bogstavet x skal bruges til noget andet. 4.4 Middelværdisætningen Her er en lille praktisk hjælpesætning som skal bruges når vi kaster os ud i at bevise analysens fundamentalsætning (se næste afsnit). Lemma 8 Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er både kontinuert og integrabel 14, så findes der (mindst) et element, c [a; b] med den egenskab at: b a f(x)dx = f(c) (b a) Bevis. Det handler om at bruge sætning 6 på en snedig måde. 13 I det sidste integral brugte vi det græske bogstav, xi som integrationsvariabel. Bare fordi det er så flot. side 29

32 a -1 c b -2-3 Figur 8: En illustration af middelværdisætningen. De to arealer (målt med fortegn) er lige store. Eftersom f er kontinuert på intervallet [a; b] vil den have både et minimumssted, x 1 og et maksimumssted, x 2, som altså opfylder at: f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) for alle andre x [a; b]. Betragt nu den kontinuerte funktion g, defineret ved: Dens funktionsværdier i x 1 og x 2 : og g(x) = f(x) (b a) g(x 1 ) = f(x 1 ) (b a) g(x 2 ) = f(x 2 ) (b a) er henholdsvis en undersum og en oversum for f på intervallet 15. Derfor er: g(x 1 ) b a f(x)dx g(x 2 ) 15 Vel at mærke nogle meget simple nogen af slagsen, hvor vi har lavet en inddeling af intervallet i en enkelt del, nemlig det hele. side 30

33 Nu siger sætning 6 (brugt på den kontinuerte funktion, g) at g skal antage alle værdier mellem g(x 1 ) og g(x 2 ), så der må findes et element, c [a; b] som opfylder at: g(c) = b a f(x)dx 5 Analysens fundamentalsætning Analysens fundamentalsætning er (som navnet antyder) den mest fundamentale (og i en vis forstand den vigtigste) sætning i hele den gren af matematikken som hedder analyse altså den gren som beskæftiger sig med (blandt andet) differentiation og integration af funktioner. En bemærkning om navnet Kært barn har som bekendt mange navne. Men nogle gange kan man møde en hel masse kære børn med det samme navn. Det vil du hurtigt opdage er tilfældet med Analysens fundamentalsætning. Der findes nemlig en masse sætninger med dette navn, og de kan se temmeligt forskellige ud. Hvis man ser nøje efter vil man dog opdage at de alle er præciseringer af følgende (meget upræcise) påstande: Sætning 9 (Analysens fundamentalsætning på sloganform) 1. De fleste funktioner er integrable. 2. Man kan finde stamfunktioner ved hjælp af bestemte integraler. side 31

34 3. Man kan beregne bestemte integraler ved hjælp af stamfunktioner. De to sidste punkter kan eventuelt slås sammen til: 4. Differentiation og (bestemt) integration er omvendte operationer. Vi vil nu formulere nogle mere præcise versioner af analysens fundamentalsætning. Du kan du finde beviserne for dem i et andet dokument De fleste funktioner er integrable Den første del af analysens fundamentalsætning udtaler sig om hvor mange integrable funktioner der findes. Her er nok den mest kendte version: Sætning 10 (Analysens fundamentalsætning, del 1) Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert, så er f integrabel på [a; b]. Dermed har vi garanteret at alle de kontinuerte funktioner kan integreres. Det er dog meget vigtigt at understrege at en funktion sagtens kan være integrabel uden at være kontinuert. Faktisk udgør de kontinuerte funktioner kun en forsvindende lille del af de integrable funktioner (det var derfor det var så svært at finde på et eksempel på en funktion der ikke var integrabel i eksempel 7). Men eftersom næsten alle vores hverdagsfunktioner er kontinuerte, er det fint nok for os. 16 Læs beviset for (en version af) analysens fundamentalsætning her side 32

35 Sætningen er desværre meget svær at bevise 17 så vi vil nøjes med at bevise en light udgave. Denne udgave ligner ganske meget, idet den også siger at en bestemt egenskab garanterer at en funktion er integrabel. Men selve egenskaben er noget andet, nemlig monotoni. Sætning 11 (Analysens fundamentalsætning, del 1, Light udgave ) Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er monoton, så er f integrabel på [a; b]. Det er vigtigt at understrege at disse sætninger fortæller at en bestemt egenskab sikrer at en funktion er integrabel. Det er på ingen måde nødvendigt at funktionen skal have disse egenskaber for at kunne integreres. Hvis f.eks. man kan dele definitionsmængden for f op i nogle intervaller, hvorpå f er enten kontinuert eller monoton, så vil sætning 3 og 4 sikre at funktionen er integrabel på alle lukkede intervaller i definitionsmængden. 5.2 Stamfunktioner ved hjælp af bestemte integraler Den næste del af analysens fundamentalsætning fortæller hvordan man ved hjælp af bestemt integration kan skaffe sig en stamfunktion til en given funktion. Sætning 12 (Analysens fundamentalsætning, del 2) Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, 17 Det kræver en lidt dybere forståelse af begrebet kontinuitet end vi arbejder med. side 33

36 hvorpå f er kontinuert (og dermed integrabel), så er funktionen A defineret ved: A(x) = differentiabel i alle x ]a; b[ og x a f(t)dt A (x) = f(x) Dvs. A er en stamfunktion til f. Bemærkninger Det kan være ret svært at gennemskue hvordan funktionen A er lavet. Læg godt mærke til at variablen, x, som vi tager A på, står oppe i den øvre intralgrænse! Det kan virke mystisk, fordi vi indtil nu har integreret på et interval som var fastlagt helt fra starten. Men funktionen A laver altså et integral som starter i a og slutter i det x som man tager A på. Af ovenstående grund har vi været nødt til at bruge et andet bogstav (nemlig t) til at være integrationsvariabel i integralet. Man kan forstå betydningen af funktionen A som at den måler arealet under grafen for f, indtil det x som man angiver (se figur 9). Man kalder den nogle gange for f s arealfunktion. Bemærk at sætningen viser at enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Det kan godt være lidt overraskende når man tænker på hvor svært det er i praksis at finde en stamfunktion til en given funktion. side 34

37 3 Areal: A(x) 2 1 x Figur 9: En illustration af funktionen A fra sætning Bestemte integraler ved hjælp af stamfunktioner Til sidst kan man vende del 2 på hovedet, og så siger analysens fundamentalsætning at bestemte integraler kan udregnes ved hjælp af stamfunktioner. Dette giver en fantastisk let måde at beregne bestemte integraler på (forudsat at man kan finde en stamfunktion til den funktion som skal integreres), og samtidigt udtrykker det meget præcist hvad stamfunktioner og bestemte integraler har med hinanden at gøre. Sætning 13 (Analysens fundamentalsætning, del 3) Hvis F er en stamfunktion til f, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert (og dermed integrabel), så er: b f(x)dx = F (b) F (a) a side 35

38 Eksempel 9 Eftersom F givet ved: F (x) = 1 3 x3 er en stamfunktion til f givet ved: f(x) = x 2 kan vi f.eks. beregne integralet: 3 0 f(x)dx = 3 0 x 2 dx = F (3) F (0) = = 9 Nogle gange kan det være rart at have en symbol som betyder funktionens værdi i b minus funktionens værdi i a : Definition 10 Hvis F er en funktion, og a og b er to tal i dens definitionsmængde, så kan differensen: F (b) F (a) skrives på følgende måde: [F (x)] b a Denne notation gør det meget nemmere at skrive en beregning af et integral ned uden at man behøver navngive funktionen og dens stamfunktion. side 36

39 Eksempel 10 F.eks. er: og: 3 0 [ ] 1 3 x 2 dx = 3 x3 = 9 0 π 0 sin(x)dx = [ cos(x)] π 0 = cos(π) ( cos(0)) = = 2 side 37