enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære differentialligninger generelt Det er derfor en god idé at have læst den først Desuden bruges egenværdier og -vektorer i løsningsproceduren, se enote?? og enote 0 Version: 036 Vi vil her kigge på lineære koblede homogene differentialligninger af orden med konstante koefficienter (se eventuelt forklaring ) En sådan samling af koblede differentialligninger kaldes et differentialligningssystem Et differentialligningssystem af orden med n ligninger ser principielt således ud: (t) = a (t) + a (t) + + a n n (t) (t) = a (t) + a (t) + + a n n (t) n(t) = a n (t) + a n (t) + + a nn n (t) (-) I systemets venstreside er differentialkvotienterne af de n ukendte funktioner (t), (t),, n (t) linet op Mens hver højreside er en linearkombination af de n ukendte funktioner Koefficienterne (a erne) er reelle konstanter I matri-format kan systemet skrives således: (t) a a a n (t) (t) = a a a n (t) (-) n(t) a n a n a nn n (t) Endnu mere kompakt skrives det (t) = A(t) (-3)
enote A kaldes systemmatricen Det er nu målet at løse et sådant differentialligningssystem, altså bestemme (t) = ( (t), (t),, n (t)) Forklaring Hvad er et differentialligningssystem? Differentialligningssystemer er samlinger af differentialligninger Grunden til, at man ikke betragter differentialligningerne enkeltvis, er, at de ikke kan løses hver for sig, fordi de samme ukendte funktioner optræder i flere ligninger Altså er ligningerne koblede En enkelt differentialligning fra et system kan for eksempel se således ud: (t) = 4 (t) (t) (-4) Det er ikke muligt at bestemme hverken (t) eller (t), da der er to ukendte funktioner, men kun én differentialligning For at kunne løse et sådant system fuldt ud, skal man have lige så mange ligninger, som man har ukendte funktioner (med deres tilhørende afledede) Den anden ligning i systemet kunne derfor være: (t) = 6 (t) + (t) (-5) Vi har nu lige så mange ligninger (to), som vi har ukendte funktioner (to), og det er nu muligt at bestemme både (t) og (t) For overskuelighedens skyld skriver man differentialligningssystemer på matriform Systemet ovenfor ser således ud: [ (t) (t) = [ 4 6 [ (t) (t) (t) = [ 4 (t) = A(t) (-6) 6 Ser man bort fra, at det er vektorer og matricer, der opereres med, ligner ligningssystemet noget, vi har set før: (t) = A (t), som man allerede kunne løse i gymnasiet Løsningen til denne differentialligning er triviel: (t) = ce At, hvor c er en arbitrær konstant Nedenfor finder vi ud af, at løsningen til det tilsvarende system af differentialligninger er sammenlignelig med (t) = ce At Vi løser nu differentialligningssystemet i følgende sætning Sætningen indeholder forudsætninger, der ikke altid er opfyldte De særtilfælde hvor sætningen ikke gælder, undersøges senere Beviset for sætningen indeholder en meget kendt og brugt metode, kaldet diagonaliseringsmetoden
enote 3 Sætning Et lineært differentialligningssystem bestående af n ligninger med i alt n ukendte funktioner er givet ved (t) = A(t), t R (-7) Hvis A har n lineært uafhængige egenvektorer v, v,, v n tilhørende (ikke nødvendigvis forskellige) egenværdier, λ, λ,, λ n, er systemets fuldstændige løsningsmængde bestemt ved (t) = c e λ t v + c e λ t v + + c n e λ nt v n, t R, (-8) hvor c, c,, c n er vilkårlige komplekse konstanter: Læg mærke til, at det ikke altid er muligt, at finde n lineært uafhængige egenvektorer Derfor kan man ikke altid bruge sætning til løsning af differentialligningssystemer af orden I sætningen er angivet den fuldstændige komplekse løsningsængde for differentialligningssystemet Den fuldstændige reelle løsningsængde kan derefter findes som den reelle delmængde af den komplekse løsningsmængde Bevis Vi gætter på, at en løsning til differentialligningssystemet (t) = A(t) er en vektor v ganget på e λt, hvor λ er en konstant, så (t) = e λt v Vi har da den differentierede (t) = λe λt v (-9) Sættes dette udtryk for (t) ind i ligning (-7) sammen med udtrykket for (t) fås: λe λt v = Ae λt v Av λv = 0 (A λe)v = 0 (-0) e λt er forskellig for nul for ethvert t R, hvorfor det kan divideres ud Denne ligning er et egenværdiproblem λ er en egenværdi til A og v er den tilhørende egenvektor De kan begge bestemmes Det er nu lykkedes os at finde ud af, at e λt v er én løsning til differentialligningssystemet, når λ er en egenværdi og v den tilhørende egenvektor til A Til at bestemme den fuldstændige løsningsmængde bruges den såkaldte diagonaliseringsmetode: Vi antager, at A = A n n har n lineært uafhængige (reelle eller komplekse) egenvektorer v, v,, v n hørende til egenværdierne λ, λ,, λ n Vi indfører nu den regulære matri V, som indeholder alle egenvektorerne: V = [ v v v n (-)
enote 4 Endvidere indføres funktionen y, så y(t) = (y (t), y (t),, y n (t)), således at (t) = Vy(t) (-) Vi har da, at (t) = Vy (t) Indsættes disse udtryk for (t) og (t) i ligning (-7), fås Vy (t) = AVy(t) y (t) = V AVy(t) = Λy(t), (-3) hvor Λ = V AV = diag(λ, λ, λ n ) er en diagonalmatri med egenværdierne tilhørende A Vi har nu ligningen y (t) = Λy(t), der kan skrives på følgende måde: y (t) = λ y (t) y (t) = λ y (t) y n(t) = λ n y n (t) (-4) da Λ kun har elementer forskellig fra nul i diagonalen Dette ligningssystem er ikke koblet: I hver ligning optræder kun én funktion og dens afledede Derfor kan man løse dem enkeltvis, og den fuldstændige løsningsmængde til hver ligning er y(t) = ce λt for alle c C Samlet giver det den fuldstændige løsningsmængde bestående af nedenstående funktioner for alle c, c,, c n C: y(t) = y (t) y (t) y n (t) = c e λ t c e λ t c n e λ nt Da vi nu har løsningen y(t) kan vi også finde løsningen (t) = Vy(t): (t) = [ v v v n c e λ t c e λ t c n e λ nt = c e λ t v + c e λ t v + + c n e λ nt v n (-5) (-6) Vi har nu fundet den fuldstændige komplekse løsningsmængde til ligningssystemet i ligning (-7) som består af funktionerne (t) for alle c, c,, c n C
enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 5 Eksempel 3 Der er givet differentialligningssystemet (t) = (t) + (t) (t) = 3 (t) (-7) som på matriform skrives som (t) = [ (t) = A(t) (-8) 3 0 Det kan vises, at A har egenværdierne λ = 3 og λ = med de tilhørende egenvektorer v = (, ) og v = (, 3) (prøv selv!) Derfor er den fuldstændige reelle løsningsmængde til differentialligningssystemet givet ved nedenstående funktioner for alle c, c R: (t) = [ [ (t) = c (t) e 3t + c e t [ 3, t R (-9) Løsningen er fundet ved brug af sætning En anden måde at opskrive løsningsmængden på er ved at skille ligningssystemet ad, så udgør løsningsmængden, hvor t R, for alle c, c R (t) = c e 3t + c e t (t) = c e 3t 3c e t (-0) To koblede differentialligninger Givet et lineært homogent ordens differentialligningssystem med konstante koefficienter med n ligninger og n ukendte funktioner (t) = A(t) t R (-) Hvis systemmatricen A har n lineært uafhængige egenvektorer, kan systemets reelle løsningsmængde findes ved hjælp af sætning Hvis egenværdierne er reelle, kan den reelle løsningsmængde umiddelbart opskrives efter sætningens formel (-8), hvor de de n tilhørende lineært uafhængigge egenvektorer er reelle, og de arbitrære konstanter angives som reelle Hvis systemmatricen har egenværdier som ikke er reelle, kan den reelle løsningsmænde finde ved at uddrage den reelle delmængde af den komplekse løsningsmængde Også i dette tilfælde vil løsningsmængden kunne opskrives som en linearkombination af n lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystem
enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 6 Tilbage har vi særtilfældet, hvor systemmatricen ikke har n lineært uafhængige egenvektorer Også her vil den reelle løsningsmængde være en linearkombination af n lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystemet Her kan diagonaliseringsmetoden af gode grunde ikke benyttes, og man må bruge andre metoder I dette afsnit gennemgår vi de nævnte tre tilfælde for systemer der består af n = koblede differentialligninger med ukendte funktioner Metode 4 Den fuldstændige reelle løsningsmængde til differentialligningssystemet (t) = A(t), t R, (-) bestående af n = ligninger med ukendte funktioner, kan opskrives som (t) = c u (t) + c u (t), t R, (-3) hvor u og u er reelle lineært uafhængige partikulære løsninger og c, c R Bestem først egenværdierne til A For rødderne i det karakteristiske polynomium A foreligger der tre muligheder: To reelle enkeltrødder I så fald har begge egenværdier λ og λ algebraisk multiplicitet og geometrisk multiplicitet, og vi kan sætte u (t) = e λ t v og u (t) = e λ t v, (-4) hvor v og v er egentlige egenvektorer tilhørende λ og λ respektivt To komplekse rødder De to egenværdier λ og λ er da hinandens konjugerede komplekse tal Vi bestemmer da u og u ved hjælp af metode 5 En dobbeltrod Her har egenværdien λ algebraisk multiplicitet Hvis den geometriske multiplicitet af λ er, bestemmes u og u ved hjælp af metode 7 Ved den første mulighed i metode 4 med to forskellige reelle egenværdier, kan man udmiddelbart benytte sætning, idet de arbitrære konstanter vælges som reelle, se eksempel 3 Nu følger metoden, der tager sig af tilfældet med to komplekse egenværdier
enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 7 Metode 5 To lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystemet (t) = A(t), t R, (-5) hvor A har det komplekse egenværdipar λ = α + βi og λ = α βi med tilhørende egenvektorer v og v, er ( ) u (t) = Re e λt v = e αt (cos(βt)re(v) sin(βt)im(v)) ( ) (-6) u (t) = Im e λt v = e αt (sin(βt)re(v) + cos(βt)im(v)) Beviset medtages i næste version af denne enote Eksempel 6 Givet differentialligningssystemet (t) = Vi ønsker at bestemme den fuldstændige reelle løsningsmængde [ (t) = A(t) (-7) Egenværdierne er bestemt til λ = + i henholdsvis λ = i med de tilhørende egenvektorer v = ( i, ) henholdsvis v = (i, ) Det ses, at der er to komplekse egenværdier og dertil to komplekse egenvektorer Med λ = + i haves v = [ i = [ 0 + i [ 0 Bruges metode 5 har vi da de to løsninger: [ [ ) u (t) = e (cos(t) t 0 sin(t) 0 [ u (t) = e (sin(t) t 0 + cos(t) = Re(v) + iim(v) (-8) [ ) 0 [ sin(t) = e t cos(t) [ cos(t) = e t sin(t) (-9) (-30) Den fuldstændige reelle løsningsmængde til differentialligningssystemet (-7) er da givet ved følgende funktioner for alle c, c R: ( [ [ ) sin(t) cos(t) (t) = c u (t) + c u (t) = e t c + c cos(t), t R (-3) sin(t) fundet ved hjælp af metode 4
enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 8 Endelig beskrives metoden der kan bruges, hvis systemmatricen har egenværdien λ med am(λ) = og gm(λ) =, dvs hvor diagonalisering ikke mulig Metode 7 Hvis systemmatricen A til differentialligningssystemet (t) = A(t), t R, (-3) har en egenværdi λ med algebraisk multiplicitet, men det tilhørende egenvektorrum kun har geometrisk multiplicitet, findes to lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet af formen: u (t) = e λt v u (t) = te λt v + e λt b, (-33) hvor v er egenvektoren tilhørende egenværdien λ, og b er løsning til nedenstående lineære ligningssystem: (A λe)b = v (-34) Bevis Det er åbenlyst, at den ene løsning til differentialligningssystemet er u (t) = e λt v Det svære er at finde endnu en løsning Vi gætter på en løsning af formen hvor v er en egenvektor tilhørende λ Vi har da u (t) = te λt v + e λt b = e λt (tv + b), (-35) u (t) = (e λt + λte λt )v + λe λt b = e λt (( + λt)v + λb) (-36) Vi kontrollerer, om u (t) er en løsning ved at indsætte det i (t) = A(t): u (t) = Au (t) ( + λt)v + λb = A(tv + b) t(λv Av) + (v + λb Ab) = 0 λv Av = 0 v + λb Ab = 0 (-37) Den første ligning kan nemt omformes til Av = λv, og den ses at være sand, da v er en egenvektor tilhørende λ Den anden ligning omformes: v + λb Ab = 0 Ab λb = v (A λe)b = v (-38)
enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 9 Hvis b opfylder det foreskrevne ligningssystem, vil u (t) også være en løsning til differentialligningssystemet Vi har nu fundet to løsninger, og vi skal finde ud af, om de er lineært uafhængige Dette gøres ved et normalt linearitetskriterium: Hvis ligningen k u + k u = 0 kun har løsningen k = k = 0 er u og u lineært uafhængige k u + k u = 0 k e λt v + k (te λt v + be λt ) = 0 t(k v) + (k v + k b) = 0 k v = 0 k v + k b = 0 (-39) Da v er en egenvektor, er den forskellig fra nulvektoren, og derfor er k = 0 ifølge den første ligning Den anden ligning er derved blevet reduceret til k v = 0, og med samme argument haves k = 0 Derfor er de løsninger lineært uafhængige, og metoden er nu bevist Eksempel 8 Givet differentialligningssystemet (t) = [ 6 (t) = A(t) (-40) 4 Egenværdierne bestemmes for A: det(a λe) = 6 λ 4 λ = (6 λ)( λ) + 4 = λ 8λ + 96 = (λ 4) = 0 (-4) Der er altså kun én egenværdi, nemlig λ = 4, selvom det er et -system Egenvektorerne bestemmes: [ [ [ 6 4 A 4E = = (-4) 4 4 4 0 0 Man har da egenvektoren (, ), eller v = (, ) Vi må altså konstatere, at egenværdien λ har algebraisk multiplicitet, men at det tilhørende vektorrum har geometrisk multiplicitet For at bestemme to uafhængige løsninger til differentialligningsystemet kan metode 7 bruges Først løses følgende ligningssystem: (A λe)b = v [ [ b = 4 [ [ 4 0 0 0 (-43) (-44)
enote N-DIMENSIONALT LØSNINGSRUM 0 Dette giver b = (, ), hvis den frie variabel sættes til De to løsninger er da u (t) = e 4t [ u (t) = te 4t [ [ + e 4t (-45) Ved hjælp af metode 4 kan den fuldstændige løsningsmængde bestemmes til at være følgende funktioner for alle c, c R: (t) = c u (t) + c u (t) = c e 4t [ + c e 4t ( t [ + [ ) (-46) n-dimensionalt løsningsrum I det foregående afsnit har vi betragtet koblede systemer bestående af to lineære ligningssystemer med to ukendte funktioner Løsningsrummet er to-dimensionalt, idet det kan opskrives som en linearkombination af to lineært uafhængige løsninger Dette kan generaliseres til vilkårlige systemer med n koblede lineære differentialligninger med n ukendte funtioner: Løsningsmængden er en linearkombination af netop n lineært uafhængige løsninger Dette formuleres i generel form i følgende sætning Sætning 9 Givet det lineære homogene ordens differentialligningssystem med konstante reelle koefficienter (t) = A(t), t R, (-47) bestående af n ligninger og med i alt n ukendte funktioner Den fuldstændige reelle løsningsmængde til systemet er n-dimensionalt kan opskrives ved (t) = c u (t) + c u (t) + + c n u n (t), (-48) hvor u (t), u (t),, u n (t) er lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystemet, og c, c,, c n R Herunder er et eksempel med et koblet system af tre differentiallinger, der eksemplificerer sætning 9
enote N-DIMENSIONALT LØSNINGSRUM Eksempel 0 Advanced Givet differentialligningssystemet 9 0 0 (t) = 3 5 (t) = A(t) (-49) 4 6 Vi ønsker at bestemme den fuldstændige reelle løsningsmængde til differentialligningssystemet Egenværdierne og egenvektorene kan bestemmes og er som følger: λ = 4 : v = (0, 5, ) λ = : v = (5, 5, 3) Desuden har λ algebraisk multiplicitet, men det tilhørende egenvektorrum har geometrisk multiplicitet Fordi n = 3 skal vi bruge 3 lineært uafhængige løsninger til at danne den fuldstændige løsningsmængde, som set i sætning 9 Egenværdierne betragtes hver for sig: ) Den første egenværdi, λ = 4, har både geometrisk og algebraisk multiplicitet lig Det giver netop én løsning 0 u (t) = e λt v = e 4t 5 (-50) ) Den anden egenværdi, λ =, har algebraisk multiplicitet, men geometrisk multiplicitet Derfor kan vi bruge metode 7 til at finde to løsninger Først bestemmes b: 0 0 0 5 (A λ E)b = v 3 0 5 b = 5 (-5) 4 5 3 En partikulær løsning til dette ligningssystem er b = (0,, ) Med denne viden har vi yderligere to lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet: 5 u (t) = e λt v = e t 5 u 3 (t) = te λt v + e λt b = te t 5 + e t 3 5 3 0 Det er op til læseren at vise, at de tre løsninger er lineært uafhængige (-5) Ifølge metode 9 er den fuldstændige reelle løsningsmængde udgjort af følgende linearkombination for alle c, c, c 3 R: (t) = c u (t) + c u (t) + c 3 u 3 (t) (-53)
enote 3 EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER Dette giver altså 0 5 5 0 (t) = c e 4t 5 + c e t 5 + c 3 te t 5 + e t (-54) 3 3 hvor t R og alle c, c, c 3 R 3 Eksistens og entydighed af løsninger Ifølge struktursætningen 9 indeholder den fuldstændige løsningsmængde til et differentialligningssystem med n ligninger n arbitrære konstanter Hvis man har n begyndelsesværdibetingelser, så kan konstanterne bestemmes, og vi får da en entydig løsning Dette formuleres i følgende eksistens- og entydighedssætning Sætning Et ordens differentialligningssystem bestående af n ligninger og n ukendte funktioner med konstante koefficienter er givet ved (t) = A(t), t I (-55) For ethvert t 0 I og ethvert talsæt y 0 = (y, y,, y n ) findes der netop én løsning (t) = ( (t), (t), n (t) ) der opfylder begyndelsesværdibetingelsen hvilket vil sige at (t 0 ) = y 0, (-56) (t 0 ) = y, (t 0 ) = y,, n (t 0 ) = y n (-57) Beviset udelades Eksempel I eksempel 3 fandt vi den fuldstændige løsningsmængde til differentialligningssystemet [ (t) = (t), t R, (-58) 3 0 nemlig (t) = [ [ (t) = c (t) e 3t + c e t [ 3, t R (-59)
enote 4 OMFORMNING AF N-TE ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGER 3 Vi ønsker nu at bestemme den entydige løsning (t) = ( (t), (t)) som opfylder begyndelsesværdibetingelsen (0) = ( (0), (0)) = (6, 6) Dette giver ligningssystemet [ [ 6 = c 6 e 0 + c e 0 [ 3 = [ [ c 3 c (-60) Med sædvanlig GaussJordan-elimination fås [ 6 3 6 [ 6 0 5 0 [ 0 6 0 0 (-6) Man får altså løsningen (c, c ) = (6, 0), og den entydige og betingede løsning er derfor (t) = 6e 3t [, t R, (-6) hvilket er det samme som at I dette særtilfælde er de to funktioner altså identiske (t) = 6e 3t (t) = 6e 3t (-63) 4 Omformning af lineære n-te ordens homogene differentialligninger til et ordens differentialligningssystem Med lidt snilde er det muligt at omforme en vilkårlig homogen n-te ordens differentialligning med konstante koefficienter til et differentialligningssystem, som kan løses ved hjælp af denne note
enote 4 OMFORMNING AF N-TE ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGER 4 Metode 3 En n-te ordens lineær differentialligning, (n) (t) + a n (n ) (t) + a n (n ) (t) + + a (t) + a 0 (t) = 0 (-64) for t R, kan omformes til et ordens differentialligningssystem, og systemet vil se således ud: og (t) = (t) (t) (t) n (t) n(t) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 a a a n (t) (t) n (t) n (t) (-65) Beviset for denne omskrivning er simpelt og giver god forståelse for omformningen Bevis Lad der være givet en n-te ordens differentialligning som i ligning (-64) Vi indfører n funktioner på denne måde: (t) = (t) (t) = (t) 3 (t) = (t) = (t) = (t) n (t) = n (t) = (n ) (t) n (t) = n (t) = (n ) (t) Disse nye udtryk indsættes i differentialligningen (-64): (-66) n(t) + a n n (t) + a n n (t) + + a (t) + a 0 (t) = 0 (-67) Denne ligning kan sammen nu med ligningerne (-66) skrives op på matriform (t) 0 0 0 (t) (t) 0 0 0 (t) = n (t) 0 0 0 n (t) n(t) a 0 a a a n n (t) Metoden er nu bevist (-68)
enote 4 OMFORMNING AF N-TE ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGER 5 Eksempel 4 Givet en lineær differentialligning af 3 orden med konstante koefficienter: (t) 4 (t) 7 (t) + 0(t) = 0, t R (-69) Vi ønsker at bestemme den fuldstændige løsningsmængde Derfor indføres funktionerne (t) = (t) (t) = (t) = (t) 3 (t) = (t) = (t) (-70) På denne måde kan vi omskrive differentialligningen til 3(t) 4 3 (t) 7 (t) + 0 (t) = 0 (-7) Og vi kan da samle de tre sidste ligninger i et ligningssystem (t) = (t) (t) = 3(t) 3 (t) = 0 (t) + 7 (t) + 4 3 (t) (-7) Det skrives på matriform på denne måde: (t) = 0 0 (t) (-73) 0 0 0 7 4 Egenværdierne bestemmes til at være λ =, λ = og λ 3 = 5 Den fuldstændige løsningsmængde til differentialligningssystemet er ifølge sætning givet ved følgende funktioner for alle de arbitrære konstanter c, c, c 3 R: hvor v, v, v 3 er respektive egenvektorer (t) = c e t v + c e t v + c 3 e 5t v 3, t R, (-74) Vi skal imidlertid kun bruge løsningsmængden til (t) = (t), hvorfor den tages ud af systemet Desuden indfører vi nu tre nye arbitrære konstanter k, k, k 3 R, der skal gøre det ud for produkterne mellem c erne og egenvektorernes førstekoordinat Resultatet bliver således (t) = (t) = k e t + k e t + k 3 e 5t, t R (-75) Dette udgør den fuldstændige løsningsmængde til differentialligningen (-69) Hvis førstekoordinaten i v er 0 sættes k = 0, i modsat fald kan k være et vilkårligt reelt tal På samme måde med k og k 3