Sandsynlighedsteori

Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori 1.1 + 1.2 Svend Erik Graversen August 2005 1

Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige absolut kontinuerte fordelinger. Endvidere omtales Multinomialfordelingen samt den to-dimensionale normalfordeling. Til slut indføres ganske kort begrebet uniformt fordelt over en given mængde. De en-dimensionale fordelingers egenskaber er listet i henhold til flg.skabelon (A) Parametrenes variationsområde. Sandsynlighedsfunktionen p hhv. tæthedsfunktionen f. Funktionerne angives kun, hvor de er strengt større end 0. Endvidere specificeres eventuelle relationer til andre kendte fordelingstyper. (C) Monotoniforhold for sandsynlighedsfunktionen/tæthedsfunktionen. (D) FordelingsfunktionenF. Angives kun i punkter x hvor 0 < F(x) < 1, og kun i de tilfælde hvor den kan opskrives på en lukket form, der er simplere end den rene definitionsligning. (E) Momentforhold. I denne forbindelse skrives x (k) = x (x 1) (x k + 1) omtalt som x i k nedstigende for x R og k N. (F) Frembringende funktion q på intervallet [0, 1]. Kun for diskrete fordelinger. Karakteristisk funktion ϕ. (H) Laplace transforml med angivelse af definitionsområde D(L). Additionsforhold(foldning).(Dvs.sum af uafhænige variable, se nedenfor.) (J) Konvergenssætninger. (K) Diverse fordelingsresultater og andre relevante oplysninger. Lad mig vedrørende og (H) minde om, at hvis X er en stokastisk variabel, så er den karakteristiske funktion og Laplace transformen for X defineret som ϕ X (t) = E[e itx ] t R og L X (z) = E[e zx ] z D(L X ) := {z C E[e RzX ] < } Laplace transformen er ikke pensum, men er medtaget for fuldstændighedens skyld. I forbindelse med skrives kort F 1 F 2 = F 3 betydende, at hvis X og Y er uafhængige variable, så at X F 1 og Y F 2, så er X + Y F 3. Tilsvarende skrives i (J) F n F, hvis X n X, hvor X n F n og X F. Behandlingen af de to eksempler på flerdimensionale fordelinger foregår efter samme skabelon, men er mindre grundig. Punkt er dog udvidet med angivelse af de marginale fordelinger. 2

Binomialfordelingen bi(n, p) (A) n N, 0 p 1. p(k) = bi(k, n, p) = ( n k ) p k (1 p) n k k = 0, 1,..., n. (C) Hvis k := [ (n + 1)p ] er j bi(j, n, p) voksende for 0 j k, aftagende for k j n og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X bi(n, p) er E[X] = np, V ar(x) = np (1 p), E[X (k) ] = n (k) p k k 2. (F) (H) (J.1) (J.2) q(t) = (1 + p (t 1)) n. ϕ(t) = (1 + p (e it 1)) n. L(z) = (1 + p (e z 1)) n z C. bi(n 1, p) bi(n 2, p) = bi(n 1 + n 2, p). bi(n, p n ) po(λ) for n, hvis np n λ. bi(n, p) n np (1 p) N(0, 1) for n. (K) Hvis A 1,...,A n er uafhængige hændelser med samme sandsynlighed p, er n X bi(n, p), hvor X := 1 Ak. k=1 Eller: et forsøg med udfaldene A og B med sandsynligheder hhv.p og 1 p, udføres n gange. Lad X betegne antallet af gange A kommer ud, da er X bi(n, p). 3

Den hypergeometriske fordeling h(n, r, N) (A) N, n N og 1 n N, r N 0 og 0 r N. p(k) = h(k, n, r, N) = ( r k ) ( N r n k ) ( N n ) 1 k = 0, 1,..., min(r, n). (C) Hvis k := [ (rn N + r + n 1)/(N + 2) ] er j h(j, n, r, N) voksende for 0 j k, aftagende for k j min(r, n) og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X h(n, r, N) er E[X] = nr N nr (N r) (N n), V ar(x) =, E[X (k) ] = n(k) r (k) k 2. N 2 (N 1) N (k) (J) h(n 1, r, N) h(n 2, r, N) = h(n 1 + n 2, r, N). h(n, r N, N) bi(n, p) for N, hvis r N /N λ. (K) Af en kasse med r røde og N r sorte kugler trækkes n kugler tilfældigt uden tilbagelægning. Hvis X er antallet af udtrukne røde kugler, er X h(n, r, N). 4

Poissonfordelingen po(λ) (A) 0 < λ <. p(k) = po(k, λ) = λk k! e λ k = 0, 1, 2,.... (C) Hvis k := [ λ ] er j po(j, λ) voksende for 0 j k, aftagende for k j < og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X po(λ) er E[X] = λ, V ar(x) = λ, E[X (k) ] = λ k k 2. (F) (H) (J.1) q(t) = exp( λ (t 1) ). ϕ(t) = exp( λ (e it 1) ). L(z) = exp( λ(e z 1) ) z C. po(λ 1 ) po(λ 2 ) = po(λ 1 + λ 2 ). po(λ) λ λ N(0, 1) for λ. (J.2) Hvis (X n ) n 1 er stokastiske variable, så at X n = X 1n + + X nn, hvor X 1n,..., X nn iid heltallige og da vil lim n n P(X 1n = 1) = λ > 0 samt lim n n P(X 1n 2) = 0, X n po(λ) for λ. (K) Hvis (T n ) n 1 er en iid-følge af E(λ)-fordelte stokastiske variable, så er for alle t > 0 N t po(tλ) hvor N t := #{n 1 T 1 + + T n t}. 5

Den negative Binomialfordeling b (κ, p) (A) 0 < κ <, 0 p 1. ( k + κ 1 p(k) = b (k, κ, p) = k ) p k (1 p) κ = ( κ k ) ( p) k (1 p) κ k = 0, 1, 2,.... (C) Hvis k := [ (κp 1)/(1 p) ] + 1 er j b (j, κ, p) voksende for 0 j k, aftagende for k j < og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X b (κ, p) er E[X] = κp 1 p, V ar(x) = κp (1 p) 2, E[X(k) ] = (k+κ 1) (k) p k (1 p) k k 2. (F) (H) (J.1) q(t) = (1 p) κ (1 tp) κ. ϕ(t) = (1 p) κ (1 e it p) 1κ. L(z) = (1 p) κ (1 e z p) κ Rz < log p. b (κ 1, p) b (κ 2, p) = b (κ 1 + κ 2, p). bi (κ n, p n ) po(λ) for n, hvis p n 0 og p n κ n /(1 p n ) λ > 0. (J.2) (1 p) b (κ, p) κp κp N(0, 1) for κ. 6

Den geometriske fordeling ge(p) (A) 0 p 1. ge(p) = b (1, p) og derfor p(k) = ge(k, p) = p k (1 p) k = 0, 1, 2,.... (C) k ge(k, p) er aftagende og antager sit maksimum i 0. (D) F(x) = G(x, p) = 1 p [x]+1 x 0. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X ge(p) er (F) (H) (J) E[X] = p 1 p, V ar(x) = p (1 p), p k 2 E[X(k) ] = k! k 2. (1 p) k q(t) = (1 p) (1 tp) 1. ϕ(t) = (1 p) (1 e it p) 1. L(z) = (1 p) (1 e z p) 1 Rz < log p. ge(p) ge(p)) = b (2, p). ge(p n )/n E(λ) for n, hvis n(1 p n ) λ > 0. (K.1) Den geometriske fordeling har ingen hukommelse, dvs. X ge(p) P(X n + k X n) = P(X k) k, n 0. Denne egenskab karakteriserer den geometriske fordeling blandt de diskrete fordelinger med støtte N 0. I denne sammenhæng gælder endvidere X E(λ) [X] ge(e λ ). (K.2) Et forsøg med udfaldene A og B, med sandsynligheder hhv.p og 1 p, udføres uendelig mange gange. Lad X betegne antallet af gange B kommer ud, før end A kommer ud første gang, da er X ge(p). X + 1 svarer derfor til ventetiden på, at A kommer ud første gang, dvs.variablen inf{k 1 1 Ak = 1 }. 7

Pascalfordelingen pas(n, p) (A) n N, 0 p 1. pas(n, p) = b (n, p) og derfor ( k + n 1 p(k) = pas(k, n, p) = k ) p k (1 p) n k = 0, 1, 2,.... (C) Hvis k := [ (np 1)/(1 p) ] + 1 er j pas(j, n, p) voksende for 0 j k, aftagende for k j < og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X pas(n, p) er E[X] = np np, V ar(x) = 1 p (1 p), 2 E[X(k) ] = (k+n 1) (k) p k k 2. (1 p) k (F) (H) (J.1) q(t) = (1 p) n (1 tp) n. ϕ(t) = (1 p) n (1 e it p) n. L(z) = (1 p) κ (1 e z p) n Rz < log p. pas(n 1, p) pas(n 2, p) = pas(n 1 + n 2, p). pas(n, p n ) po(λ) for n, hvis p n 0 og np n /(1 p n ) λ > 0. (J.2) (1 p) pas(n, p) np np N(0, 1) for n. (K) Et forsøg med udfaldene A og B, med sandsynligheder hhv.p og 1 p, udføres uendelig mange gange. Lad X betegne antallet af gange B kommer ud, før end A kommer ud n te gang, da er X pas(n, p). X + n svarer derfor til ventetiden på, at A kommer ud n te gang, dvs.variablen k inf{k 1 1 Aj n }. j=1 8

Den uniforme (rektangulære) fordeling over (a, b) U(a, b) (A) < a < b <. f(x) = r(x, a, b) = 1/(b a) x (a, b). (C) x r(x, a, b) er konstant på intervallerne (, a ], (a, b) og [ b, ). (D) F(x) = R(x, a, b) = x a b a x (a, b). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X U(a, b) er E[X] = a + b 2, V ar(x) = (b a)2 12, E[X k ] = bk+1 a k+1 (b a) (k + 1) k 2. (H) ϕ(t) = e it(a+b)/2 U(a, b) U(a, b) har tæthed sin td td L(z) = ezb e za z(b a) hvor d = (b a)/2. z C. x (b a) 1 x a b (b a) 2 x (2a, 2b). (K) X U(a, b) X U( b, a) og cx + d U(ca + d, cb + d) c > 0. 9

Gammafordelingen Γ(α, β) (A) 0 < α <, 0 < β <. f(x) = g(x, α, β) = xα 1 β α e βx x > 0. Γ(α) (C) Hvis 0 < α 1 er x g(x, α, β) aftagende på (0, ). Hvis α > 1 og k = (α 1)/β er x g(x, α, β) voksende i (0, k ] og aftagende i intervallet [ k, ) og antager sit maksimum i k. (D) For m N F(x) = G(x, m, 1) = 1 m 1 j=0 x j j! e x x > 0 (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X Γ(α, β) er E[X] = α/β, V ar(x) = α/β 2, E[X k ] = (α + k 1) (k) /β k k 2. (H) (J) (K) ϕ(t) = (1 it/β) α. L(z) = (1 z/β) α Rz < β. Γ(α 1, β) Γ(α 2, β) = Γ(α 1 + α 2, β). Γ(α, β) α/β α/β 2 N(0, 1) for α. X Γ(α, β) ax Γ(α, β/a) a > 0. Bemærkning. Det er værd at bemærke, at der i litteraturen ikke er enighed om, hvorvidt man skal parametrisere med β eller 1/β. Dvs.man skal være på vagt overfor, hvilken parametrisering der er valgt. α kaldes ofte formparameteren og 1/β hhv. β skalaparameteren. Navnet skalaparameter skyldes egenskaben (K). 10

χ 2 -fordelingen χ 2 (n) (A) n N. χ 2 (n) = Γ(n/2, 1/2) og derfor f(x) = χ 2 (x, n) = 1 Γ(n/2) 2 ( x 2 ) n/2 1 e x/2 x > 0. (C) Hvis n = 1, 2 er x χ 2 (x, n) aftagende på (0, ). Hvis n 3 og k = n 2 er x χ 2 (x, n) voksende i (0, k ] og aftagende i intervallet [ k, ) og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X χ 2 (n) er E[X] = n, V ar(x) = 2n, E[X k ] = 2 k (n/2 + k 1) (k) k 2. (H) (J) (K.1) (K.2) ϕ(t) = (1 2it) n/2. L(z) = (1 2z) n/2 Rz < 1/2. χ 2 (n 1 ) χ 2 (n 2 ) = χ(n 1 + n 2 ). χ 2 (n) n 2n N(0, 1) for n. X N(0, 1) X 2 χ 2 (1). X U(0, 1) 2 log X χ 2 (2) = E(1/2). 11

Eksponentialfordelingen E(λ) (A) 0 < λ <. E(λ) = Γ(1, λ) og derfor (C) x e(x, λ) aftagende på (0, ). (D) F(x) = E(x, λ) = 1 e λx x > 0. f(x) = e(x, λ) = λ e λx x > 0. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X E(λ) er (H) (K.1) E[X] = 1/λ, V ar(x) = 1/λ 2, E[X k ] = k!/λ k k 2. L(z) = ϕ(t) = λ λ z λ λ it. Rz < λ. E(λ) E(λ) = Γ(2, λ). X E(λ) ax E(λ/a) a > 0. (K.2) Eksponentialfordelingen er karakteriseret ved, at den er hukommelsesløs, dvs. X E(λ) for et λ > 0 P(X > s + t X > s) = P(X > t) for alle s, t > 0, specielt er [X] og X [X] uafhængige, hvis X er eksponentialfordelt. Endvidere gælder X E(λ) [X] ge(e λ ) og X [X] P X ( X 1). (K.3) Hvis T 1 og T 2 er uafhængige og T i E(λ i ) for i = 1, 2, er og hvis 0 < λ 1 < λ 2 gælder T 1 T 2 E(λ 1 + λ 2 ), dvs. P T1 = λ 2 λ 1 λ 2 P T1 +T 2 + λ 1 λ 2 P T2, P(T 1 B) = λ 2 λ 1 λ 2 P(T 1 + T 2 B) + λ 1 λ 2 P(T 2 B) for B B(R). 12

Normalfordelingen N(µ, σ 2 ) (A) < µ <, 0 < σ <. f(x) = n(x, µ, σ 2 ) = 1 µ)2 exp( (x ) x (, ). 2π σ 2 2σ 2 (C) x n(x, µ, σ 2 ) er voksende i (, µ ], aftagende i [ µ, ) og antager sit maksimum i µ. (D) Hvis X N(µ, σ 2 ) er (X µ)/σ N(0, 1), dvs. F(x) = N(x, µ, σ 2 ) = N( x µ σ, 0, 1) = Φ( x µ σ ) x (, ). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X N(µ, σ 2 ) er E[X] = µ, V ar(x) = σ 2, E[(X µ) k ] = 0 k 1 ulige og (H) E[(X µ) k ] = 1 3 5 (2l 3) (2l 1) σ 2l ϕ(t) = exp( iµt σ 2 t 2 /2 ). L(z) = exp( zµ + σ 2 z 2 /2 ) z C. k = 2l lige. N(µ 1, σ 2 1) N(µ 2, σ 2 2) = N(µ 1 + µ 2, σ 2 ) hvor σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2. (J) Hvis (X n ) n 1 er en iid-følge af stokastiske varable med endelig middelværdi µ og varians σ 2 konvergerer 1 n (X k µ) N(0, σ 2 ) for n. n k=1 (K) X N(0, 1) X 2 Γ(1/2, 1/2) = χ 2 (1). 13

Betafordelingen B(s, t) (A) 0 < s <, 0 < t <. B(1, 1) = U(0, 1) og generelt f(x) = β(x, s, t) = xs 1 (1 x) 1 t B(s, t) x (0, 1) hvor B(s, t) = Γ(s) Γ(s) Γ(s + t). (D) For m N F(x) = B(x, m, t) = 1 m 1 j=0 ( m + t 1 j ) x j (1 x) m+t+j 1 x (0, 1). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X B(s, t) er og E[X] = s s + t, V ar(x) = st (s + t) 2 (s + t + 1) E[X k ] = Γ(s + t) Γ(s + k) Γ(s + t + k) Γ(s) k 2. (K) X og Y er uafhængige og X Γ(s, β) og Y Γ(t, β), så er X X + Y B(s, t). 14

Arcussinusfordelingen Arc(α) (A) 0 < α < 1. Arc(α) = B(α, 1 α) og derfor f(x) = arc(x, α) = sin(πα) π x α 1 (1 x) α x (0, 1). (C) x arc(x, α) er aftagende i (0, 1 α ], voksende i [ 1 α, 1) og antager sit minimum i 1 α. (D) F(x) = Arc(x, 1/2) = 1 π arcsin x x (0, 1). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X Arc(α) er E[X] = α, V ar(x) = α(1 α) (2, E[X k ] = ( α + k 1 k ) k 2. J) Lad (X n ) n 1 betegne en iid-følge af stokastiske varable og sæt for n 1 S n = n X k. k=1 Da gælder hvor P(S n > 0) n α (0, 1) N n /n Arc(α) N n := #{1 k n S k > 0} n 1. 15

F-fordelingen (v 2 -fordelingen) F(s, t) (A) 0 < s <, 0 < t <. f(x) = v 2 (x, s, t) = s s/2 t t/2 x s/2 1 B(s/2, t/2) (t + sx) (s+t)/2 x (0, ). (C) Hvis s > 2 og k = (s 2) t /(s (t + s)) er x v 2 (x, s, t) voksende i (0, k ], aftagende i [ k, ) og antager sit maksimum i k. Hvis s 2 er x f(x, s, t) aftagende på (0, ). (E) Hvis X F(s, t) er E[X α ] = hvis 2α t. Endvidere er og (K.1) E[X] = t/(t 2) hvis t > 2, V ar(x) = 2t2 (s + t 2) s (t 2) 2 (t 4) hvis t > 4 E[X k ] = ( t s ) k Γ(s/2 + k) Γ(t/2 k) Γ(s/2) Γ(t/2) hvis t > 2k, k 2. X F(s, t) t t + sx B(t/2, s/2) og sx t + sx B(s/2.t/2). (K.2) X B(s/2, t/2) t s X 1 X F(s, t) (K.3) Hvis X og Y er uafhængige og X χ 2 (n 1 ) og Y χ 2 (n 2 ) er X/n 1 Y/n 2 ) F(n 1, n 2 ). 16

t-fordelingen (Student fordelingen) t(λ) (A) 0 < λ <. f(x) = t(x, λ) = 1 λ B(1/2, λ/2) (1 + x 2 /λ) (λ+2)/2 x (, ). (C) x t(x, λ) er voksende i (, 0 ], aftagende i [ 0, ) og antager sit maksimum i 0. (E) Hvis X t(λ) er E[X α ] = hvis α λ. Endvidere er E[X] = 0 hvis λ > 1, V ar(x) = λ λ 1 hvis t > 4 og E[X k ] = 0 hvis k er ulige og λ > k, og hvis k er lige og λ > 2k er E[X 2k ] = Γ(k + 1/2) Γ(λ k) (2λ)k. Γ(1/2) Γ(λ) (J) t(λ) N(0, 1) λ. (K.1) Hvis X og Y er uafhængige og X N(0, 1) og Y χ 2 (n) er X Y/n t(n). (K.2) X t(λ) (1 + X2 λ ) 1 B(λ/2, 1/2). 17

Log-normalfordelingen log N(µ, σ 2 ) (A) < µ <, 0 < σ 2 <. f(x) = log n(x, µ, σ 2 ) = 1 x x µ)2 exp( (log ) x (0, ). 2πσ2 2σ 2 (C) Hvis k = exp(µ σ 2 ) er x log n(x, µ, σ 2 ) voksende i (0, k ], aftagende i [ k, ) og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, men de bestemmer ikke fordelingen entydigt. Hvis X log N(µ, σ 2 ) er E[X] = exp( µ + σ 2 /2 ), V ar(x) = exp( 2µ + σ 2 ) (exp( σ 2 ) 1), og (K) E[X k ] = exp( k (µ + kσ 2 /2) ) k 2. X log N(µ, σ 2 ) log X N(µ, σ 2 ) 18

Cauchyfordelingen C(a, b) (A) < a <, 0 < b <. f(x) = c(x, a, b) = b π (b 2 + (x a) 2 ) x (, ). (C) x c(x, a, b) er voksende i (, a ], aftagende i [ a, ) og antager sit maksimum i a. (D) F(x) = C(x, a, b) = 1/2 + 1 π arctan( x a b ) x (, ). (E) Hvis X C(a, b) og α 1 er E[X α ] =, dvs.x har ikke endelig middelværdi. (K.1) ϕ(t) = exp( iat b t ). C(a 1, b 1 ) C(a 2, b 2 ) = C(a 1 + a 2, b 1 + b 2 ). X C(a, b) cx + d C(d + ca, c b). (K.2) Hvis X og Y er uafhængige og X N(0, σ 2 ) og Y N(0, 1), så er (K.3) X/Y C(0, σ). X C(0, 1) 1 2 ( X 1 X ) C(0, 1) og 1 + X 1 X C(0, 1). (K.4) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X k C(a, b) for 1 k n, er 1 n n X k C(a, b). k=1 19

Multinomialfordelingen mn(n, p 1,...,p m ) (A) n N, 0 p i 1 i = 1,..., m og p 1 + + p m = 1. ( ) n m p(k) = mn(k, n, p 1,..., p m ) = k 1,...,k m i+1 for k = (k 1,...,k m ) : 0 k i n i = 1,...,n og k 1 + + k m = n. X = (X 1,...,X m ) mn(n, p 1,...,p m ) X i bi(n, p i ) i = 1,...,m. (E) Hvis X = (X 1,...,X m ) mn(n, p 1,...,p m ) er E[X i ] = np i, V ar(x i ) = np i (1 p i ), Cov(X i, X j ) = np i p j i j. mn(n 1, p 1,...,p m ) mn(n 2, p 1,..., p m ) = mn(n 1 + n 2, p 1,...,p m ). (J) Hvis X n = (X 1n,...,X mn ) mn(n, p 1,...,p m ) for alle n 1 konvergerer p k i i m i=1 (X in np i ) 2 np i χ 2 (m 1) for n. (K) Et forsøg med m mulige udfald A 1,...A m med sandsynligheder p 1,...,p m udføres n-gange. Hvis X i for i = 1,..., m betegner antallet af gange A i kommer ud, så er (X 1n,...,X mn ) mn(n, p 1,...,p m ). 20

Den to-dimensionale normalfordeling N 2 (µ, σ) (A) ( σ µ = (µ 1, µ 2 ) R 2 2, σ = 1 c c σ2 2 ) hvor σ 1, σ 2 > 0 og c < σ 1 σ 2. f(x) = n 2 (x, µ, σ) = 1 2π σ 1 σ 2 1 ρ 2 exp( Q(x 1 µ 1, x 2 µ 2 ) ) x R 2, hvor ρ = c/σ 1 σ 2, og Q er den kvadratiske form Q(x) = 1 2(1 ρ 2 ) ( ) x 2 1 /σ2 1 + x2 2 /σ2 2 2ρ x 1 x 2 σ 1 σ 2 1 ρ 2 x R 2. X = (X 1, X 2 ) N 2 (µ, σ) X i N(µ i, σi 2 ) i = 1, 2. (E) Hvis X = (X 1, X 2 ) N 2 (µ, σ) er E[X i ] = µ i og V ar(x i ) = σ 2 i og Cov(X 1, X 2 ) = c. ϕ(t) = exp( i µ t 1 2 t σ tt ). (K) Hvis X = (X 1, X 2 ) N 2 (µ, σ) og T er en lineær bijektion i R 2, er T(X) N 2 ( T(µ), T σ T t ), hvor T er matricen hørende til T udregnet mht.den kanoniske basis i R 2 og T t den transponerede. Formlen er angivet under forudsætningen, at vektorerne i R 2 opfattes som søjlevektorer. Skiftes til rækkevektor-notation er formlen for Kovariansmatricen i stedet T t σ T. For alle a, b R gælder derfor hvor σ 2 = a 2 σ 2 1 + b2 σ 2 2 + 2 abc. ax 1 + bx 2 N(aµ 1 + bµ 2, σ 2 ) 21

Generelle uniforme fordelinger Lad A B(R n ) have positivt endeligt Lebesgue mål, dvs.0 < λ n (A) <. Definition En n-dimensional stokastisk vektor X siges da at være uniformt fordelt over A hvis P(X B) = λ 2 (B A)/λ 2 (A) B B(R n ). Flg.punkter er åbenbart opfyldte, hvis X er uniformt fordelt over A. 1) P X λ n med tæthed x 1 A (x)/λ n (A). 2) X + x er uniformt fordelt over A + x for alle x R n. 3) T(X) er uniformt fordelt over T(A) for enhver lineær bijektion i R n. 22