Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og udeladte varable Varase på OLS estmatore Multkollartet Varase msspecfcerede modeller Estmat af varase på felleddet Gauss-Markov teoremet regressosmodel regressosmodel For mage varable modelle For få varable Irrelevate varable regressosmodelle: Eksempel: De sade model (som opfylder MLR -MLR4) y = β0 + βx+ βx + u Regressosmodelle som estmeres med OLS: yˆ = ˆ β + ˆ β x + ˆ β x + ˆ β x =,..., 0 3 3 Har det betydg for estmatere af β 0, β og β? Estmatere er stadg mddelrette: E( ˆ β0) = β0, E( ˆ β) = β ˆ ˆ, E( β) = β, E( β3) = 0 Me kluso af rrelevate varable påvrker varase af estmatere regressosmodel 3 Udeladte relevate varable OLS estmatere er based (kke mddelrette) Eksempel: De sade model (som opfylder MLR - 4) y = β + β x + β x + u 0 Regressosmodelle som estmeres ved OLS yˆ ˆ ˆ = β0 + βx =,..., Mddelværde af OLS estmatet ( x x)( x x) ˆ E( β) = β+ β = ( x x ) = regressosmodel 4
For få varable Varase af OLS estmatore Bas β >0 β <0 Corr(x,x ) postv Postv bas Negatv bas Corr(x,x ) egatv Negatv Bas Postv bas Atagelse MLR 5 (homoskedastctet): Var( u x,..., x ) = σ Hvs atagelse kke er opfyldt, sges at felleddet er heteroskedastsk Atagelse er kke opfyldt hvs varase f.eks. er gvet ved k Vu ( x,..., x) = σ x k regressosmodel 5 regressosmodel 6 Varase på OLS estmatore Atagelse MLR 5 ka også formuleres ved brug af matrcer (se appedx E.): Vu ( X) = σ I hvor I er e x dettetsmatrx hvor X er e x(k+) matrx, som deholder de forklarede varable Varase på OLS estmatore Atagelsere MLR -MLR 5 kaldes Gauss-Markov atagelsere Teorem 3. Uder atagelsere MLR -MLR 5 er varase af OLS estmatore gvet ved Var( ˆ β X ) = σ ( X ' X ) X er e x(k+) matrx Parametere $ er e (k+)x matrx (vektor) regressosmodel 7 regressosmodel 8
Varase af OLS estmatore Varase af OLS estmatore Bevs (se appedx E.) (tavlegeemgag) regressosmodel 9 Matrxforme for varase er som regel lettest at arbede med Tl at fortolke varase ka det være lettere at beytte følgede opskrvg af varase ˆ σ var( β ) = SST( R ) hvor SST = ( x x ) = og R stammer fra regressoe af x på de øvrge forklarede varable Bevs for oveståede opskrvg af varase se appedx kap. 3 regressosmodel 0 Varase.. Multkollartet De tre kompoeter varase Varase af felleddet: Jo større varas på felleddet o større varas på alle estmatere Varatoe x Jo større varato x o mdre varas på estmatet β Varato R Jo tættere R er på 0 o mdre er varase på estmatet β Mdst varas opås ved R =0 hvlket svarer tl at x ukorreleret med de øvrge forklarede varable er Jo tættere R er på o større er varase på estmatet β Multkollartet optræder, år R er tæt på Følgere af multkollartet: Varase på estmatet β vl være stor (se fgur 3.) Hvorår optræder multkollaretet: Når ogle af de forklarede varable er høt korreleret Når der er få observatoer Hvs atagelse MLR 4 er opfyldt er R altd forskellg fra regressosmodel regressosmodel 3
Multkollaret Varase msspecfcerede modeller Er det et problem, at der er multkollartet? Det afhæger af hvor stor varase på estmatere blver Det afhæger af hvad aalyse skal bruges tl Hø korrelato mellem ogle af de forklarede varable betyder kke så meget, hvs det kke er estmatere tl dsse parametre, ma prmært er teresseret Hvad stller ma op med multkollartet Idsaml mere data Drop e eller flere varable fra modelle. Dette er dog lagt fra altd e god de (problemer med udeladte varable) regressosmodel 3 Varase msspecfcerede modeller llustreres ved et eksempel Atag følgede model opfylder Gauss-Markov atagelsere: y = β + β x + β x + u V har to estmator af β : OLS estmatet fra MLR: OLS estmatet fra SLR: Varase: 0 Var( ˆ β x, x) = σ /( SST( R ) Var( β x, x ) = σ /( SST ) ŷ = ˆ β + ˆ β x + ˆ β x y = β + β x 0 0 regressosmodel 4 Varase msspecfcerede modeller De betgede varas af β er altd mdre ed (eller lg med) varase af ˆβ Hvs x og x er ukorreleret er varase de samme og begge estmater mddelrette Hvs β =0 er begge estmater mddelrette og β har mdst varas. Altså β foretrækkes Hvs β 0 er mddelret mes er based. Varase af ˆβ β β er mdst. Det er kke oplagt hvlke estmator som foretrækkes. Estmatet på varase af felleddet Estmatet på felleddet udreges stort set som de smple regressosmodel Ud fra OLS estmatere ka resdualere bereges: uˆ ˆ ˆ ˆ = y β0 βx... βkxk ( uˆ ) = Estmatet bereges tl: ˆ σ = k Nævere er bestemt tl at være atallet af frhedsgrader (atal obs.) (atal estmerede parametre) regressosmodel 5 regressosmodel 6 4
Estmatet af varase på felleddet Teorem 3.3 Hvs Gauss-Markov atagelsere (MLR - MLR 5) er opfyldt, er estmatet på varase af felleddet mddelret: ˆ E( σ ) = σ Gauss-Markov teoremet Hvs Gauss-Markov atagelsere er opfyldt, ka ma vse, at OLS estmatore er de estmator, som har de mdste varas bladt leære mddelrette estmatorer Hvorfor er det at vgtgt at bruge e estmator med mdst mulg varas? OLS kaldes også BLUE for Best (mdst varas) Lear Ubased Estmator regressosmodel 7 regressosmodel 8 Gauss-Markov teoremet Teorem 3.4 Uder Gauss-Markov atagelsere (MLR - MLR 5) gælder der, at OLS estmatere for β 0, β,β,,β k er BLUE Bevs (se appedx E.) (tavlegeemgag) regressosmodel 9 5