MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO
Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner
Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Åben kugle Den åbne kugle med centrum a R n og radius r > 0 er B(a; r) = {x R n x a < r} Åben mængde A R n er åben hvis A er en forening af åbne kugler afsluttet hvis komplementet R n A er åben U er åben x U r > 0: B(x; r) U F er afsluttet x R n F r > 0: B(x; r) R n F
Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Åben kasse En åben kasse i R m er en delmængde af formen U 1 U m hvor U 1,..., U m er åbne delmængder af R. Eksempel Enhver åben kasse er en forening af åbne kugler og enhver åben kugle er en forening af åbne kasser. Korollar Følgende betingelser er ækvivalente for A R n : A er åben A er en forening af åbne kugler A er en forening af åbne kasser
Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Det indre, ydre, afslutningen og randen af A int(a) = {U U åben, U A} (det indre af A) int(r n A) = {U U åben, U R n A} (det ydre af A) (A) = R n (int(a) int(r n A)) (randen af A) cl(a) = {F F afsluttet, F A} (afslutningen af A) 1 R n = int(a) (A) int(r n A) (disjunkt forening) 2 int(r n A) = R n cl(a) (det indre af komplementet) 3 cl(r n A) = R n int(a) (afslutningen af komplementet) 4 (R n A) = (A) (randen af komplementet) 5 int(a) A cl(a) 6 int(a) er åben (en forening af åbne kugler) 7 cl(a) og (A) er afsluttede (komplementerne er åbne) 8 (A) = cl(a) int(a) = cl(a) cl(r n A) 9 cl(a) = int(a) (A) beviser
Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) afslutningen af A cl(a) cl(r n A) afslutningen af R n A R n = int(a) (A) int(r n A) det indre af A randen af A det ydre af A x int(a) r > 0: B(x, r) A x int(r n A) r > 0: B(x, r) A = x (A) x (int(a) int(r n A)) r > 0: B(x, r) A, B(x, r) A x cl(a) x int(r n A) r > 0: B(x, r) A
Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Regneregler for åbne og afsluttede mængder 1 A B = int(a) int(b), cl(a) cl(b) 2 A afsluttet A = cl(a) A cl(a) A (A) 3 A åben A = int(a) R n A afsluttet R n A (A) A (A) = 4 Foreningsmængder af åbne mængder er åbne 5 Endelige fællesmængder af åbne mængder er åbne 6 Fællesmængder af afsluttede mængder er afsluttede 7 Endelige foreningsmængder af afsluttede mængder er afsluttede
Begrænset mængde A R n er begrænset hvis A er indeholdt i en kugle Kompakt mængde K R n er kompakt hvis K er afsluttet og begrænset. Regneregler for kompakte mængder Fællesmængden af kompakte mængder er kompakt Foreningsmængden af endeligt mange kompakte mængder er kompakt Enhver afsluttet delmængde af en kompakt mængde er kompakt
Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Kontinuert funktion En funktion f : R n R m er kontinuert hvis løsningsmængden f 1 (U) R n er åben for enhver åben delmængde U R m. Ækvivalente betingelser for kontinuitet af f : R n R m 1 f er kontinuert 2 f 1 (U) R n er åben når U R m er åben 3 f 1 (F) R n er afsluttet når F R m er afsluttet 4 f 1 B(y; r) er åben for enhver åben kugle B(y; r) i R m 5 f 1 (U 1 U m ) er åben for enhver åben kasse U 1 U m i R m. 6 For alle x 0 R n og for alle ε > 0 findes et δ > 0 så f (x) f (x 0 ) < ε når x x 0 < δ for alle x R n 7 x 0 R n ε > 0 δ > 0: f (B(x 0 ; δ)) B(f (x 0 ); ε)
Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Kontinuitet ε > 0 δ > 0: f (B(x 0, δ)) B(f (x 0 ), ε)) x 0 δ f f (x 0 ) ε B(x 0, δ) B(f (x 0 ), ε)
Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Regneregler for kontinuerte funktioner Sammensætningen af kontinuerte funktioner er kontinuert cf, f + g, f g er kontinuerte hvis f, g : R n R m er det f g, f /g er kontinuerte hvis f, g : R n R er det Eksempel Projektionerne π 1,..., π n : R n R er kontinuerte. Proposition f = (f 1,..., f m ): R n R m er kontinuert hvis og kun hvis alle koordinatfunktionerne f 1,..., f m : R n R er kontinuerte. Brug f j = π j f og f 1 (U 1 U m ) = m j=1 f 1 j (U j ).
Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Eksempel på en kontinuert funktion Funktionen f (x 1,..., x n ) = n i=1 x 2 i er kontinuert. Løsningsmængden til et punkt, f 1 (1) = {(x 1,..., x n ) R n x 2 1 + + x 2 n = 1} = B(0; 1), er afsluttet. Løsningsmængden til en åben mængde, f 1 (], 1[) = {(x 1,..., x n ) R n x 2 1 + +x2 n < 1} = B(0; 1), er åben.
Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Eksempler på åbne og afsluttede mængder i R n Hvis f 1,..., f m er kontinuerte funktioner R n R og b 1,..., b m er reelle tal, så er {x R n f 1 (x) < b 1,..., f m (x) < b m } = en åben delmængde af R n og {x R n f 1 (x) b 1,..., f m (x) b m } = en afsluttet delmængde af R n. m i=1 m i=1 f 1 i (], b i [) f 1 i (], b i ])
Supremum og infimum af en funktion Indre, rand, afslutning Løsningsmængde Supremum og infimum af en funktion f : A R sup f (x) = sup f (A) = sup{f (x) x A} x A f (x) = inf f (A) = inf{f (x) x A} inf x A Regneregler. Se F1 A B = sup f (A) sup f (B) sup(f + g)(a) sup f (A) + sup g(a) inf(f + g)(a) inf f (A) + inf g(a) { λ sup f (A) λ > 0 sup(λf )(A) = λ inf f (A) λ < 0 sup f (A) = sup i I sup f (A i ) hvis A = i I A i sup f (A) = sup{sup f (A (x R n )) x R m }, A R m R n.
Supremum og infimum af en funktion Indre, rand, afslutning Løsningsmængde 1 Klart 2 R n cl(a) = {R n F R n F åben, R n F R n A} = int(r n A) 3 R n int(a) = {R n U R n U afsluttet, R n U R n A} = cl(r n A) 4 Både (R n A) og (A) er R n (int(a) int(r n A)) 5 int(a) A cl(a) er klart 6 int(a) er en foreningsmængde af åbne mængder 7 cl(a) er en fællesmængde af afsluttede mængder 8 (A) def = R n (int(a) int(r n A)) (3) = R n (int(a) (R n cl(a))) = cl(a) int(a)) 9 cl(a) = int(a) (cl(a) int(a)) (8) = int(a) (A) tilbage til definition
Supremum og infimum af en funktion Indre, rand, afslutning Løsningsmængde Løsningsmængder af B Y under funktion f : X Y f 1 (B) = {x X f (x) B} Regneregler: f 1( ) U j = f 1 (U j ) f 1( ) U j = f 1 (U j ) f 1 (Y B) = X f 1 (B) Hvis f : R n R m kontinuert: f 1 (int(a)) int(f 1 (A)) cl(f 1 (A)) f 1 (cl(a)) (f 1 (A)) f 1 ( (A)) Regneregler for billedmængder f ( ) U j = f (Uj ) f ( ) U j f (Uj ) f (X A) f (X) f (A) tilbage til kont fkt