Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn ovenfor. S.3.2 Sæt for t R A t = {(, y) R 2 y t 2 2t( t)} Bestem mængden t R A t, og illustrer med en figur i planen. S.3.3 Sæt for ethvert positivt r R C r = {(, y) R 2 ( r) 2 + y 2 < r 2 } Bestem mængden r>0 C r, og illustrer med en figur i planen. S.3.4 Lad f n være en følge af reelle funktioner på R. Antag at f() := sup n f n () < for ethvert R. For a R sættes A n = { f n () a}. Vis at A n = { f() a} n Hvad kan siges om mængderne { f n () < a} og { f() < a} n S.3.5 Lad f : X Y være en afbildning, og lad A X. Vis at f(ã) f(x) f(a). S.4. Lad A, B og C være delmængder af X( ). Sæt C = {A, B, C}, og lad A være mængdealgbraen frembragt af C. Vis at A består af højst 256 elementer. Giv et eksempel på at dette antal kan forekomme. Hvilke andre muligheder er der for antallet af mængder i A? S.4.2 Lad f : X Y være en funktion, og B en mængdealgebra på Y. Vis at {f (B) B B} er en mængdealgebra på X. S2.. Givet A R sættes B = A = { A}. Vis at sup B = inf A, og formuler og bevis en tilsvarende formel for inf B. S2..2 Vis at Lad f : R R R være en reel funktion af to variable. sup inf y f(, y) inf y sup f(, y)
2 og giv et eksempel på at skarp ulighed kan forekomme. S2.4. Definerer en reel talfølge ved = og 2 n+ = 2 n for n. Find lim n n og lim n n (Vink). S2.4.2 Lad n=0 a nz n være en kompleks potensrække. Sæt r := hvor l = lim n l n a n (incl. tilfældene 0 og ). Vis at rækken er konvergent for z < r og divergent for z > r. (Tekniske vink: Hvis z < r findes ε > 0 så z (l + ε) <. 2 Hvis z > r, findes ε > 0 så z (l ε) > ). S2.4.3 Sætning 4.3.9 i Lindstrøm udsiger ikke alt det der fremgår af beviset. Check at følgende vises: Hvis følgen (a n ) voksende og opad begrænset, eksisterer lim n a n og er lig med sup n a n. Overvej at dette også er rigtigt for voksende følger der ikke nødvendigvis er begrænsede opadtil ( + = + ). Formuler og bevis en tilsvarende sætning for aftagende følger. Indse herved at for en vilkårlig reel følge (b n ) gælder at inf b k = lim b k, sup n k n sup n k n altså at definitionerne af lim sup n b n i Mat-noterne og HLR stemmer overens. Vis til sidst det tilsvarende for lim inf n b n. S2.5. Lad a være et reelt tal, og antag at A [a, ) er en mængde som opfylder (i) a A (ii) [a, ) A A (iii) A ε > 0 : [, + ε) A Vis at A = [a, ). S2.5.2 Lad f og g være kontinuerte reelle funktioner på R. Antag at f() = g() for alle Q (de rationale tal). Vis at f = g. S3.2. Antag at A B R. Vis at m A m B. Antag yderligere at m A <. Vis at m (B Ã) m B m A S3.3. Lad A og B være delmængder af R med A [0, ) og B (, 0). Vis at m (A B) = m (A) + m (B) S3.3.2 Lad (E n ) være en følge af målelige delmængder af R med E E 2 E n. Vis at (Vink) m( n E n ) = lim n m(e n ) = sup m(e n ) n S3.3.3 Betragt for hvert reelt tal a mængden { R n N : n < < n + a n } Vis at mængden er målelig (endda åben) og beregn dens mål.
S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.5 Antag at (E n ) er en følge af målelige mængder der alle er indeholdt i [0, ]. Antag at lim sup m(e n ) > 0. Opgaven går (bl.a.) ud på at vise der findes så E n for uendelig mange E n. Sæt først E = { E n for uendelig mange n}. (a) Vis at E = n= k n E k, specielt at E er målelig. (b) Vis dernæst m( k n E k) sup k n m(e k ). (c) Slut heraf at m(e) lim sup n m(e n ). (d) Vis det ønskede. (e) Hvor bruges at mængderne er indeholdt i samme begrænsede mængde (her [0, ]). S3.3.6 (Cantormængden). Fjern fra [0, ] den midterste åbne tredjedel (, 2). Restmængden C 3 3 = [0, ] [ 2, ] er en disjunkt forening 3 3 af to lukkede intervaller. Fjern igen den midterste tredjedel fra hvert af disse intervaller. Hver fremkommer C 2 som disjunkt forening af fire lukkede intervaller. Mængden C 3 konstrueres tilsvarende. Beskriv og tegn C 3, herunder beregn m(c 3 ). Således fortsættes. Undersøg C n. Fællesmængden C = C n (altså alle de punkter der ikke bliver fjernet) kaldes for Cantormængden. Vis at m(c) = 0 Det følgende går ud på at vise at C alligevel er stor : Den er utællelig. Først beskrives C i tretalssystemet. Ethvert [0, ] har en trialbrøksfremstilling = 0 (3), a a 2 a 3..., hvormed menes = a n n= 3 n hvor a n er et af cifrene 0, eller 2. Det at at visse tal har flere trialbrøksfremstillinger, f = 0 3 3, 000 = 0 3, 0222..., er grunden til de forsigtige formuleringer i det følgende. Overvej at C netop når har en trialbrøksfremstilling med a = 0 eller 2. Hvordan kan C 2 beskrives? Og C n? Indse herved at C netop når har en trialbrøksfremstilling med lutter 0 og 2 (altså ingen -taller). Til sidst defineres F : C [0, ] ved F () = a n/2 n= for = 2 n a n n= 3 n. Vis at F er surjektiv og dermed at C ikke er tællelig. Bemærkning. C er vistnok den først kendte fraktal. Den kan skrives som en disjunkt forening C = E E 2, hvor de to E er fremgår af C ved en multiplikation (ligedannethedstransformation) af C med faktor 3. Hvis det på nogen måde er muligt at tillægge mængden en dimension d, må den opfylde ( 3 )d + ( 3 )d =, hvoraf d = log 2 log 3 0.63 3
4 S3.3.7 Antag at E er en begrænset delmængde af R, f E [a, b] =: I. Antag at m (E) + m (I Ẽ) = m (I) Opgaven går ud på at vise at det sikrer måleligheden af E. Da størrelsen m (I) m (I Ẽ) kan fortolkes som det indre mål af E, ser vi at målelighed i dette tilfælde hænger på at indre mål = ydre mål. () Gør rede for at der findes målelige mængder G og G 2 så G E, G 2 I Ẽ og m (G ) + m (G 2 ) = m (I) (2) Vis at m(g G 2 ) = 0 (3) Vis at G E er en nulmængde (4) Vis at E er målelig. S3.5. Vis følgende n.o.-regler (a) f = f n.o. og g = g n.o f + g = f + g n.o. (b) f n 0 n.o. n f n 0 n.o. (mere præcist: Rækken er konvergent n.o. og... ) Find andre sådanne regler, og bevis dem. S3.5.2 Lad f : R R være kontinuert. Vis at f er målelig. S3.5.3 Lad f : D R være målelig. Vis at funktionen sin f() er målelig. S3.5.4 Lad f være en reel funktion på den målelige mængde E R. Vis at f er målelig hvis og kun hvis f (O) er målelig for alle åbne mængder O R S3.6. Betragt grænseovergangen f n () = n 0 på [0,). Lad ε > 0 og δ > 0 (og begge mindre end ). Prop. 3.23 sikrer så eksistensen af N N og A [0, ) så () m(a) < δ og (2) f n () < ε for n N og / A. Angiv N og A eksplicit (som funktioner af ε og δ). S4.2. Øverst s. 79 bruges at ϕ 0 hvis blot ϕ 0 n.o. på E E ( stadig med ϕ simpel og m(e) < ). Vis dette vha. den kanoniske fremstilling. S4.2.2 Lad f 0 være målelig og begrænset på E hvor m(e) <. Vis Markovs ulighed: E m({ f() δ}) f ( δ > 0) δ S4.2.3 Lad f være som ovenfor. Antag f = 0. Vis at f = 0 n.o. E (vink: sæt δ = ). n S4.2.4 Lad f være kontinuert på [0, ]. Beregn lim n 0 f(n )d (og vis eksistensen) vha. prop 4.6.
S4.2.5 Sæt f n () = n for 0 < < n og 0 ellers. Vis at f n() 0 for alle, men at f n()d l 0. Strider det mod prop 4.6? π S4.2.6 Find lim n (cos 0 )2n d S4.2.7 Lad f være begrænset og målelig på E hvor m(e) <. Antag at E E 2 er en voksende følge af målelige mængder med n E n = E. Vis at lim E n f = f E S4.3. Find integralet over [, ) af funktionen f() = 2 ved at bruge sætningen om monoton konvergens på en passende følge (f n ) af begrænsede målelige funktioner med m({ f n () 0}) < S4.3.2 Her skal vises et par ubeviste delpåstande i to beviser i HLR. (i) Vis (i beviset for prop. 8 s. 86) at k() g(). (ii) Vis (i beviset for Fatou s Lemma s. 87) at h n sup h, og at h n = 0 uden for E. S4.4. (i) Lad f være en positiv målelig funktion på E. Antag f <. Vis at f < n.o. E (ii) (Beppo Levis sætning) Lad (u n ) være en følge af positive målelige funktioner på E. Antag at u E n <. Vis at rækken u n () er konvergent (med endelig sum) for n.a.. (iii) Lad (A n ) være en følge af målelige delmængder af R. Antag at m(a n ) <. Vis at for n.a gælder at tilhører højst endelig mange A n. S4.4.2 Find lim n 2π 0 (cos 4)n d S4.4.3 Find integralet over (0, ) af funktionen f() = ved at skære ned til (, ) (dvs. se på f n n() = f()χ [/n,] ()) og bruge en passende konvergenssætning. Slut at funktionen sin er integrabel på (0, ). S4.4.4 (Beppo Levis sætning med vilkårligt fortegn, cf. S4.4.) (i) Lad (u n ) være en følge af målelige funktioner på E. Antag at E u n <. Vis at rækken u n () er konvergent for n.a.. (ii) Lad f() := u n () være den n.o. definerede funktion på E. Vis at f er integrabel på E (uanset hvad f sættes til på undtagelsesmængden), og at E f = E u n. S5.2. Lad F : [a, b] R være en monotont voksende funktion med F ([a, b]) = [F (a), F (b)] (dvs. værdimængden er et interval). Vis at F er kontinuert (analyser eventuelle springs effekt på værdimængden vha. HLR opg. 7a). S5.2.2 Cantorfunktionen (fra opg. S3.3.6) kan udvides til hele [0, ] så den bliver monoton. Først en uformel beskrivelse: Sæt F = 2 på den først fjernede midterste åbne tredjedel. Herefter F = 4 hhv. 3 4 på de to åbne midterste der fjernes i anden omgang. Fortsæt således. Ovenstående kan beskrives med trialbrøker. Hvis [0, ] C, har 5
6 en fremstilling = a n n= 3 n hvor ikke alle a n er 0 eller 2. Lad N være det mindste k med a k = og indse at Vis at F er kontinuert. F () = N n= a n /2 + a N 2 n 2 N S5.3. Lad f være integrabel på [a, b], og antag at det ubestemte integral F () = f(t)dt er overalt differentiabel med begrænset differentialkvotient. Udnyt Sætningen i Notat 5 og en passende sætning a fra HLR Kap 5. til at vise F = f n.o. S5.4. Lad F være en funktion af begrænset variation på [a, b]. Vis at hvis F er kontinuert, er T (= T a ) det også (Vink). S5.5. Lad ϕ være konveks på et interval (c, d), og lad f være en integrabel funktion på [a, b] hvis værdier ligger i (c, d). Vis følgende udgave af Jensens ulighed: b a b a ϕ(f(t))dt ϕ( b a b a f(t)dt) S5.5.2. Lad ϕ være konveks på (0, ). Vis at funktionen ϕ( ) er konveks. (Det er ret tricket uden antagelse om differentiabilitet). Undersøg om ϕ( ) er konveks. S5.5.3 (a) Lad f være en konveks funktion. Vis at f( + 2 + 3 3 ) f( )+f( 2 )+f( 3 ) 3 (b) Lad A, B og C være vinklerne i en plan trekant. Vis at sin A + sin B + sin C 3 2 3 (c) (for dem der har sinusrelationerne present) Vis at a+b+c 3 3R, hvor a, b og c er siderne i trekanten og R radius i den omskrevne cirkel. S6.. Lad f() = for 0 < For hvilke p gælder f L p? S6..2 Find en funktion f på (0, ) såf / L 3, men f L p for p < 3. S6..3 Vis at L r (0, ) L p (0, ) for r p. S6..4 Lad f() = ln for 0 <. Vis at f / L, og at f L p for alle p med p <. S6.2. Antag at f n f og g n g, begge i p-middel. Vis at f n + g n f + g, også i p-middel. Vis også at f n p f p. S6.2.2 Antag at f n f i p-middel, og at g n g i q-middel, hvor p og q opfylder p + q =. Vis at f n g n fg i -middel. S6.3. Antag om følgen (f n ) i L p at f n f n.o, og at der findes h L p så f n h for alle n. Vis at f n f i p-middel.
S6.3.2 Lad f n være en følge i L (0, ) givet ved f n () = n for 0 n. Undersøg om følgen er konvergent i -middel, og om den er konvergent n.o. S6.3.3 (a) Lad y og y 2 være reelle tal. Vis at y + y + 2 y y 2. (b) Lad (f n ) være en følge i L p med lim n f n = f i p-middel. Vis at f + n er i L p, og at lim n f + n = f + i p-middel. S.2. Denne opgave går ud på at vise at for målelige (overalt endelige) funktioner f og g på (X, B, µ) og h kontinuert på R 2 er den sammensatte funktion h(f(), g()) også målelig på X (a) Lad O R 2 være en åben mængde. Vis at O er en højst tællelig forening af åbne rektangler: O = I n J n hvor I n og J n er åbne intervaller (b) Lad I og J være åbne intervaller. Vis at { (f(), g() I J} er målelig. (c) Gør rede for at { h(f(), g()) > α} = { (f(), g() h (α, )}, og slut vha. (a) og (b) det ønskede resultat. S.2.2 Lad (X, B, µ) være et målrum, og lad f og g være målelige funktioner som opfylder at de er nul uden for en mængde med endeligt mål. Vis at mængden er målelig med endeligt mål. { X f() + g() 0} S.3. Betragt målrummet (N, P(N), ν) hvor ν er tællemålet på (N, P(N)), altså ν(a) = antal elementer i A = n A for alle A N. (a) Vis at en reel funktion på N er integrabel hvis og kun hvis n f(n) <, og at fdν = n f(n) i bekræftende fald. (b) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal. Antag om den at () a mn b n med n b n < (2) lim m a mn = a n findes for alle n Vis (Vink) at lim m n a mn = n a n S.3.2 (a) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal med a mn 0 for alle m og n. Antag at lim m a mn = a n findes for alle n. Vis at n a n lim m n a mn (b) Lad b n være en følge af reelle tal med b n 0. Vis at n b n = lim m n b n( m )n S.7. Vis at L (0, ) L 2 (0, ) og L 2 (0, ) L (0, ). S2.. Lad X være en mængde, og definerer µ ved µ (A) = for = A X og µ ( ) = 0. Vis at µ er et ydre mål. Find alle de µ -målelige delmængder. S2..2 Lad for hvert n N µ n være et ydre mål på X. Vis at der ved µ (A) = n µ n(a) defineres et ydre mål på X. Vis at hvis E er µ n-målelig for alle n, er E også µ -målelig. 7
8 S2..3 Betragt betingelserne der optræder for ydre mål. Udgave nr. 2 af betingelse iii (på s. 289) kaldes herefter iv. Vis at betingelse i og iii sammen medfører ii. Vis (som hævdet) at i, ii og iv medfører iii. S2.4. (det todimensionale Lebesgue mål). Det todimensionale Lebesguemål m 2 (på R 2 ) defineres ved m 2 = m m (a) Vis at åbne mængder i R 2 er målelige (brug opg. S.2.(a)). (b) Vis at enhver kontinuert funktion er målelig. (c) Gør rede for at hvis E R er målelig, er E R R 2 det også. (d) Lad f være målelig på R. Vis at funktionen (, y) f() på R 2 er målelig. (e) Lad f og g være målelige funktioner på R. Vis at funktionen f()g(y) på R 2 er målelig. S2.4.2 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { ( + y) α hvis + y > 0 f(, y) = 0 hvis + y = 0 hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.3 Lad f være defineret på R 2 ved f(, y) = e y 2e 2y. Vis at de to itererede integraler 0 f(, y)ddy og 0 f(, y)dyd eksisterer, men er forskellige (Vink). Strider det mod Fubinis sætning? S2.4.4 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { y α hvis y f(, y) = 0 hvis = y hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.5 Vis at HLR Prop. 2.8 (Fubini for mængder) gælder hvis ) antagelsen om λ(e) < stryges, men 2) X og Y antages at være σ-endelige. FN. Vis at l p l s for p s (l er mængden af begrænsede følger = ( n ) med normen = sup n n ). Vis også p s FN.2 Antag at l p for et p <. Vis at lim s,s p s = FN.3 Lad der for hvert r N være givet r l p (hvert r har formen r = ( r n) n=). Antag at lim r = 0 i l p. Vis at lim r r n = 0 for hvert n. Gælder det omvendte? FN.4 Vis at mængden af punkter = ( n ) i (det reelle) l p med mindst én positiv koordinat er en åben mængde.
Er mængden åben i l p? { = (, 2,..., n,... ) n > 0 for alle n} FN.5 Lad (V, ) være et normeret rum. Vis at enhedskuglen { V } er en lukket konveks mængde. Vis at hvis to normer på V har samme enhedskugle, da stemmer de to normer overens. FN.6 Lad f være en kontinuert funktion på [0, ], og antag 0 f()n d = 0 for alle n = 0,, 2, 3,... Vis at f = 0 (Vink). FN.7 Lad C ([a, b]) være vektorrummet af komplekse, kontinuert differentiable funktioner på [a, b]. Vis at der ved f = ma t er defineret en norm på C ([a, b]). Vis at rummet er et Banachrum. f(t) + ma f (t) t FN.8 Betragt mængden P af (restriktioner af) polynomier på [0, ]. Vis at P er tæt i L (0, ) ved at udnytte at mængden af kontinuerte funktioner er tæt i L (0, ) (jf. HLR Prop. 5.8 anden påstand som vi ikke har vist). FN3.. Lad f L 2 (0, ), og sæt g(t) = tf(t). Vis at g 2 f 2. Vis herved at operatoren T : L 2 (0, ) L 2 (0, ) givet ved (T f)(t) = tf(t) opfylder T. Vis at for ε > 0 findes f L 2 (0, ) med f 2 så g 2 ε. Slut heraf T =. S0.2. Lad S : X Y og T : Y Z være lineære operatorer på normerede rum. Vis at T S er lineær og T S T S. Vink S2.4. Undersøg polynomiet ( ( 2 ) 2 på intervallet [0, ], og vis herved at 2 4 6... og 3 5... S3.3.2 E n = (E n E n ) (E 2 E ) er en disjunkt forening. S5.4. For at vise at Ta er højrekontinuert i c vælges til ε > 0 dels ) et δ > 0 så F () F (c) ε for c < δ og 2) dels en inddeling af [c, b] med t Tc b ε. Ved at videreinddele kan vi antage at første delepunkt z opfylder z c < δ Herefter fås at Ta z Ta c = Tc b Tz b t + ε Tz b F (z) F (c) + Tz b + ε Tz b F (z) F (c) + ε 2ε S.3. Betragt funktionsfølgen (f m ) m= givet ved f m (n) = a mn S2.4.3 Forsøg ikke at udregne integralerne, men kun deres fortegn. FN.6 Slut i rækkefølge: f()g()d = 0 for ) g et polynomium, 2) g kontinuert og 3) et specielt valg af g 0. 9