Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner. Punkt 3) følger af 2) ved monoton konvergens. Slide 1/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.9) Lad ν = f µ på (X, E). For en funktion g M(X, E) gælder at g er ν-integrabel netop hvis g f dµ <, og i så fald er gdν = g f dµ Bevis: Først tjekker vi integrabilitet ved M + -integration af g m.h.t. f µ. Dernæst anvender vi M + -formulen til g + - og g -integration. Slide 2/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Momenter Definition Sandsynlighedsmålet ν på (R, B) har k te moment x k dν(x) under forudsætningen at x k dν(x) <. Hvis ν = f m kan k te moment beregnes som xf (x) dx hvis x k f (x) dx <. Første moment for exponentialfordelingen er Slide 3/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013 0 xe x dx = 1.

Successive tætheder Sætning (Eksempel 11.8) Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad f, g M + (X ). Så gælder g (f µ) = (f g) µ. Bevis: For A E har vi ( ) g (f µ) (A) = 1 A gd(f µ) = (1 A g) f dµ = (f g)dµ. A Slide 4/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Γ-integralet Lad ν = e x m (0, ) være exponentialfordelingen og lad g(x) = x λ 1 for λ, x > 0 (g M + ). (g ν)(r) = g dν Ex. 11.8 = 0 = Γ(λ). Integralet er kendt som Euler s Γ-funktion. x λ 1 e x dx Målet g ν har total masse Γ(λ) og tæthed x λ 1 e x m.h.t. lebesguemålet på (0, ). Slide 5/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Entydighed Sætning (EH 11.6) Lad (X, E, µ) være et σ-endeligt målrum, og lad f, g M +. Hvis f µ = g µ så er f = g µ-næsten overalt. Bevis: Definer A = { x f (x) < g(x) < }, B = { x g(x) < f (x) < }, C = { x f (x) < g(x) = }, D = { x g(x) < f (x) = }. og vis at alle mængderne har µ-mål 0. Slide 6/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Tæthedstransformationer Lad (X, E, µ) og (Y, K, ξ) være to målrum. Vi tænker på µ og ξ som naturlige grundmål. Lad t : X Y være E-K-målelig. Det centrale problem: Hvis ν = f µ er et mål med tæthed f på (X, E) 1) vil t(ν) have tæthed m.h.t. ξ? 2) I så fald, hvordan beregner vi denne tæthed? Slide 7/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Transformation af tætheder Sætning (EH 12.6) Lad ν = f m og h : R R være en borelmålelig funktion, der opfylder 1) h er bijektiv fra I til J 2) h 1 er en C 1 -funktion på J 3) ν(i c ) = 0 så gælder at h(ν) = g m J hvor g er g(y) = f h 1 (y) (h 1 ) (y), y J. Slide 8/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Substitution Sætning (EH 12.7) Hvis φ M + og h : R R er borelmålelige funktioner, og h opfylder at 1) h er bijektiv fra I til J, 2) h er en C 1 -funktion på I så gælder for alle borelmængder A I at φ(h(x)) h (x) dx = A h(a) φ(y)dy Bevis: Sæt ν = φ m J og se på transformationen h 1 (ν). For A I har vi φ(h(x)) h (x) dx = h 1 (ν)(a) = ν(h(a)) = φ(y)dy. A h(a) Slide 9/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Specialtilfælde Sætning (EH 12.4) Hvis ν = (g t) µ on (X, E), og hvis t : (X, E) (Y, K) er målelig, så gælder t(ν) = g t(µ). Korollar Hvis t : (X, E) (Y, K) er bijektiv og bi-målelig, og hvis ν = f µ er et mål på (X, E), så gælder t(ν) = f t 1 t(µ). Slide 10/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Pæne transformationer Nice transformations Betragt afbildninger h : R R og åbne intervaller I og J således at Consider a map h : R R and open intervals I and J with 1) h maps I bijectively on J, 1) h maps I bijectively on J, 2) h 1 is a C 1 -map on J. 2) h 1 is a C 1 -map on J. I h h 1 J. p.1/40 Slide 11/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Transformationer af lebesguemålet De generelle transformations- og substitutionsresultater følger ved først at se, hvordan pæne funktioner transformerer lebesguemålet. Sætning For h : R R en borelmålelig funktion, der opfylder 1) h er bijektiv fra I til J gælder at h(m I ) = g m J, hvor 2) h 1 er en C 1 -funktion på J g(y) = (h 1 ) (y), y J Slide 12/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Eksponentialfordelingen Lad X være eksponentialfordelt, hvad er fordelingen af Y = X 2? Fordelingen af X har tæthed e x m.h.t. m (0, ). Transformationen af X s fordeling ved h(x) = x 2 er et sandsynlighedsmål med tæthed for y > 0 m.h.t. m (0, ). g(y) = 1 2 y y e Slide 13/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

En integralidentitet Vi kan nu beregne middelværdien af Y = X 2 på to forskellige måder. 0 x 2 e x dx = EX 2 = EY = = 1 2 0 0 y 1 2 y e y dy ye y dy. Den resulterede integralidentitet fås også direkte ved substitutionen x = y i det sidste integral. Slide 14/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Nyttige regneregler f µ + g µ = (f + g) µ µ A + µ B = µ A B if A B = h(µ) + h(ν) = h(µ + ν) Bevis: f µ(c)+g µ(c) = For A B = er 1 A + 1 B = 1 A B, dvs. C f dµ+ gdµ = f +gdµ = (f +g) µ(c). C C µ A + µ B = 1 A µ + 1 B µ = (1 A + 1 B ) µ = 1 A B µ = µ A B. h(µ)(c) + h(ν)(c) = µ(h 1 (C)) + ν(h 1 (C)) = (µ + ν)(h 1 (C)) = h(µ + ν)(c). Slide 15/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Transformation af tætheder Sætning Lad ν = f m og h : R R være en borelmålelig funktion. Lad I 1,..., I n være disjunkte åbne intervaller, J 1,..., J n åbne intervaller og antag at h i = h Ii opfylder 1) h i er bijektiv fra I i til J i 2) h 1 i så gælder h(ν) = g m med er en C 1 -funktion på J i 3) ν ( ( n i=1 I i) c) = 0 g(y) = n i=1 1 Ji (y)f h 1 i (y) (h 1 i ) (y). Slide 16/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Positions- og skalatransformationer Se på transformationen h(x) = βx + α for α R en positionsparameter og β > 0 en skalaparameter. Hvis ν = f m er et mål med tæthed f m.h.t. lebesguemålet m på R hvad er så h(ν)? h 1 (y) = y α β og (h 1 ) = 1 β. Det transformerede mål t(ν) har tæthed f h 1 (y) (h 1 ) (y) = 1 ( ) y α β f β m.h.t. m. Slide 17/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Tætheder på R m.h.t. m Tætheder for sandsynlighedsmål har generelt formen f (x) = 1 c(θ) f θ(x), x R med f θ M + og θ en såkaldt formparameter. En udvidet form er f θ,α,β (x) = 1 ( ) x α c(θ) β f θ, x R β hvor α R og β > 0 er positions- og skalaparametre. c(θ) = f θ (x)dx (0, ) kaldes (normeringskonstanten). Slide 18/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Normalfordelingen Vi viser først at c := e x2 2 dx <. Observer at x 1 + x 2, hvoraf e x2 2 e 1 2 e x 2 og e x 2 dx Øvelse 10.12 = 2 0 e x 2 dx = 4 < Det følger at f = 1 c e x2 2 er en tæthed for et sandsynlighedsmål. Slide 19/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Normalfordelingen Sandsynlighedsmålet ν = f m på R med f (x) = 1 c e x2 2 kaldes normalfordelingen. Målet h(ν) hvor h(x) = x 2 /2 har tæthed g(y) = 1 (0, ) (y) 1 ( 2y) 2 c (e 2 + e ( 2y) 2 = 1 (0, ) (y) 2 c y 1 2 e y 2 ) m.h.t. m. Observer at h(ν) er et sandsynlighedsmål ( 2 1 = c y 1 2Γ 1 2 e y dy = 2) c eller Γ ( 1 2) = c 2. Slide 20/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013 0 1 2y

Normalfordelingen hvad er c? Man kan bruge spejlingsformlen for Eulers Γ-funktion Γ(z)Γ(1 z) = π sin(πz) (Ikke-trivielt!) til at vise at Γ(1/2) = π. Vi kan også bruge Beta-integral identiteten Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) = = 2 1 t x 1 (1 t) y 1 dt (Example 12.16) 0 π/2 0 (sin θ) 2x 1 (cos θ) 2y 1 dθ for x = y = 1/2 til at vise at Γ(1/2) = π. Vi kan vise direkte at c = 2π, og dermed at Γ(1/2) = π (Eksempel 12.18). Slide 21/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Normalfordelingen Normalfordelingen med positionsparameter ξ og skalaparameter σ > 0 har tæthed f (x) = 1 (x ξ)2 e 2σ 2 for x R, 2π σ 2 Vi siger at X er N (ξ, σ 2 )-fordelt og skriver X N (ξ, σ 2 ), hvis tætheden for fordelingen af X er f. Slide 22/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Ventetider og overlevelse Tid til en begivenhed en ventetide modelleres ved en fordeling på (0, ). Hvis X er eksponentialfordelt har fordelingen af X /λ for λ > 0 tæthed f (x) = λe λx. Hvis λ > 1 bliver ventetiden mindre, og hvis λ < 1 bliver ventetiden større. Modeller for tid til død eller overlevelsestid bruges indenfor medicin, demografi og livsforsikring. Er eksponentialfordelingen en god model? Slide 23/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Rater og intensiteter Ud af brøkdelen P(X > x) af individer, der overlever til tid x, hvad er brøkdelen af individer, der dør i intervallet (x, x + δ]? p x (δ) := P(X (x, x + δ]) P(X > x) = x+δ x f (y) dy P(X > x). Observer at p x (0) = 0 og (antag at f er kontinuert) Dvs. for δ > 0 lille er λ(x) := p x(0) = p x (δ) δλ(x). f (x) P(X > x). Denne argumentation er baseret på frekvensfortolkningen. Slide 24/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Rater og intensiteter Raten eller intensiteten for en begivenhed umiddelbart efter x defineres som λ(x) = f (x) P(X > x). For eksponentialfordelingen er Dvs. P(X > x) = x λe λy dy = e λx. λ(x) = λe λx e λx = λ. For eksponentialfordelingen er raten konstant: Det faktum at vi er blevet gamle ændrer ikke vores risiko for at dø? Slide 25/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Alternative overlevelsesfordelinger Weibullfordelingen med formparameter c > 0 har tæthed intensitet f (x) = cx c 1 e xc, x > 0 λ(x) = cx c 1. Gompertzfordelingen med formparametre a > 0 og c > 1 har tæthed f (x) = a log c e a c x e acx, x > 0 og intensitet λ(x) = a log c c x. Begge fordelinger kan også udstyres med en skalaparameter. Slide 26/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 (tjek) målet µ er kendt som standard normalfordelingen på R 2. Slide 27/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Differentiation i R k Lad U R k være åben og h : U R m differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m(x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m(x) x 2... h 1 (x) x k h 2 (x) x k.... h m(x) x k Intuition: Hvis h er differentiabel i x, så er h approksimativt affin h(y) h(x) + Dh(x)(y x) Vi siger at h er en C 1 -funktion hvis alle partielle afledte er kontinuerte.. Slide 28/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Kædereglen Antag at 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f (x), Så er sammensætningen g f : R k R p differentiabel i x og D(g f )(x) = Dg ( f (x) ) Df (x) matrixprodukt bemærk rækkefølgen! Slide 29/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Pæne transformationer Vi ser på h : R k R k og åbne mænder U og V således at 1) h er bijektiv fra U til V, 2) h er en C 1 -afbildning på U, 3) og h 1 er C 1 på V. Bemærk: Kædereglen medfører at for x U og y = h(x) er Dh 1 (y) = ( Dh(x)) 1. Slide 30/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Bijektive transformationer af tætheder Hvis ν = f m k og ν(u c ) = 0 så følger af den abstrakte integraltransformationssætning at h(ν) = 1 V f h 1 h(m k ) for alle borelmålelige afbildninger h : R k R k der er bijektive fra U til V. Slide 31/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Transformation af lebesguemålet Sætning (EH 12.13) Lad h : R k R k være en borelmålelig afbildning, som opfylder 1) h er bijektive fra U til V, 2) h er C 1 på U. 3) h 1 er C 1 på V. Så er h(m U ) = g m k hvor g er givet ved g(y) = 1 V (y) det Dh 1 (y) { det Dh 1 (y) for y V, = 0 for y / V. Slide 32/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Transformation af lebesguemålet Bevis: Målet 1 C h(m U ) for en lille omegn C af y 0 er approksimativt lig 1 C h(m U ), hvor og h(x 0 ) = y 0. h(x) = y 0 + Dh(x 0 )(x x 0 ) 1 C h(m U ) = 1 C det Dh 1 (y 0 ) m U Men det er ikke-trivielt at få argumentet helt stringent i særdeleshed at få kontrol over approksimationen. EH giver et fuldstændigt bevis i afsnit 12.4. Slide 33/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Pæne transformationer af tætheder Sætning (EH 12.14) Lad h : R k R k være en borelmålelig afbildning, som opfylder 1) h er bijektiv fra U til V, 2) h er C 1 på U, 3) og h 1 er C 1 på V. Hvis ν = f m k er et mål på (R k, B k ) med tæthed f m.h.t. lebesguemålet m k og ν(u c ) = 0, så er h(ν) = f m k hvor f (y) = 1 V (y)f (h 1 (y)) det Dh 1 (y) = { f (h 1 (y)) det Dh 1 (y) for y V, 0 for y / V. Slide 34/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Substitution Sætning (EH 12.15) Lad h : R k R k være en borelmålelig afbildning, som opfylder 1) h er bijektiv fra U til V, 2) h er C 1 på U, 3) og h 1 er C 1 på V. For φ M + (R k, B k ) og enhver borelmålelig delmængde A U gælder at φ(h(x)) det Dh(x) dm k (x) = φ(y)dm k (y). A h(a) Bevis: Sæt ν = 1 V φ m k og se på det transformerede mål h 1 (ν). For A U har vi at φ(h(x)) det Dh(x) dm k (x) = h 1 (ν)(a) = ν(h(a)) = φ(y)dm k (y). A Slide 35/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013 h(a)

Polær integration Betragt afbildningen h : (0, 2π) (0, ) R 2 defineret ved h(θ, r) = (r cos θ, r sin θ). Observer at h er bijektive på den åbne mængde (0, 2π) (0, ) og ( ) V = h (0, 2π) (0, ) = R 2 \ {(x, y) x 0, y = 0}. er åben og lige hele R 2 pånær en m 2 -nulmængde. Desuden er ( r sin θ ) cos θ det Dh(θ, r) = det r cos θ sin θ = r. Og for en M + (R 2, B 2 )-funktion f har vi integrationsformlen 2π f (x, y)dm 2 (x, y) = f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ. 0 0 Slide 36/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Normaliseringen af normalfordelingen Polær integration og Tonellis sætning giver at og derfor er ( 2 e dx) x2 /2 = = e (x2 +y 2 )/2 dm 2 (x, y) 2π 0 = 2π = 2π. 0 0 e x2 /2 dx = 2 π. e r 2 /2 rdrdθ e r 2 /2 rdr Polær integration viser også, at sandsynlighedsmålet fra den første obligatoriske opgave er standard normalfordelingen på R 2. Slide 37/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Betaintegraler Vi viser identiteten B(λ 1, λ 2 ) = Γ(λ 1) Γ(λ 2 ) Γ(λ 1 + λ 2 ) for λ 1, λ 2 > 0. Betragt afbildningen h : (0, ) (0, 1) (0, ) (0, ) defineret ved ( ) h(x, y) = (xy, x(1 y)) with h 1 u (u, v) = u + v,. u + v Ved brug af Tonellis sætning og substitution følger at Γ(λ 1 ) Γ(λ 2 ) = 0 0 u λ 1 1 e u v λ 2 1 e v dvdu =... = Γ(λ 1 + λ 2 )B(λ 1, λ 2 ). Slide 38/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013

Sfæriske koordinater Der er en bijektiv afbildning h : U V = (0, ) (0, π) ( π, π) hvor U R 3 er åben med m 3 (U c ) = 0, med inverse h 1 (r, θ, φ) = (r cos(φ) sin(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(θ)) T og med det Dh 1 = r 2 sin(θ). Heraf følger at h(m 3 ) = f m 3 V med f (r, θ, φ) = r 2 sin(θ). Bemærk at resultatet igen er et produktmål. Slide 39/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013