Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren: 1b - Maskeret andengrandligning Følgende ligningn skal løses ved beregning: Udtrykket løses som en almindelig andengradsligning: (1.2.1) Vi kasserer den negative værdi da det ikke er muligt at tage kvadratroden af dette tal ( får: ). Vi Vi får løsningsmængden: (1.2.2) 1c - Trigonometri Vi har en trekant ABC hvor vi får opgivet følgende:
Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner siden c ved hjælp af den Pythagoræiske sætning: at 5 digits 34 (1.3.1) 5.83 Vinkel A beregnes ved hjælp af cosinus i en retvinklet trekant: (1.3.2) 59.04 Vinkel B beregnes ved hjælp af vinkelsummen i en trekant: 30.96 (1.3.3) (1.3.4) 1d - Logaritmefunktion Vi får opgivet funktionen: Vi bestemmer definitionsmængden udfra vores viden om, at der kun må optræde positve tal i logaritmen:
Vi får definitionsmængden: Den første afledede bestemmes ved at benytte kædereglen for sammensatte funktioner: 1e - Eksponentialfunktion Vi får opgivet en funktion med følgende regneforskrift, hvor a er en konstant: Vi skal bestemme a således at funktionen graf for en vandret tangent for : Vi bestemmer den første afledede: Da funktionen skal have en vandret tangent for indsætter denne værdi istedet for x: (1.5.1), sætter vi den første afledede lig nul samt Hvis a er lig med har grafen for f altså en vandret tangent i. Nedenstående er det skitseret
i GeoGebra: 1f - Logaritmisk ligning Ved beregning skal vi løse nedenstående ligning: Vi bestemmer først grundmængden udfra vores viden om at vi kun må indsætte positive tal i logaritmen: Grundmængden bliver da: Udfra nulreglen ved vi at blot den ene faktor skal være 0 for at udtrykket giver 0:
Vi får da løsningsmængden: (1.6.1) 1g - Andengradspolynomium Et andengradspolynomium optræder på formen: Udfra følgende graf skal vi bestemme konstanterne A, B og C: Vi ser skæringspunktet med y-aksen samt de to rødder. Vi får altså: Vi starter med at faktorisere udtrykket: Da vi udfra skæringspunktet med y-aksen har udtrykket, bruger vi dette på vores
faktoriserede udtryk: Da vi nu kender værdien for både A og C kan dette indsættes i det oprindelige udtryk sammen med som vi fandt udfra den ene af rødderne: Vi har nu bestemt konstanterne A, B og C til følgende: Hvilket giver os følgende regneforskrift: Opgave 2 En firkant ABCD er givet ved: Vi skitserer trekanten i GeoGebra:
2a - Vinkel B beregnes ved hjælp af cosinusrealtionen i trekant ABC: Vinkel B er altså. 111.80 (2.1.1) 2b - Siden CD For at beregne siden CD skal vi først finde ud af hvor stor en del af vinkel A som hører til trekant ACD. Først beregner vi størrelsen af vinkel A i trekant ABC ved hjælp af cosinusrelationen: Da vinkel A er 40.54 i firkant ABCD kan A beregnes i trekant ACD: (2.2.1) 49.46 (2.2.2) Da vi nu kender denne vinkel kan siden CD beregnes ved hjælp af cosinusrelationen i trekant ACD: 7.75 (2.2.3) Siden CD er altså 7.75. 2c -
Vinkel D bestemmes udfra cosinusrelationen i trekant ACD: Vinkel D er altså. 78.83 (2.3.1) 2d - Areal Firkantens areal beregnes som summen af arealet af de to trekant ABC og ACD. Vi ved at arealet af en trekant kan beregnes som: Vi får da: Arealet af firkantet er altså 46.65. (2.4.1) Opgave 3 Vi får opgivet en funktion med regneforskriften: 3a - Monotoniintervaller Funktionens monotoniintervaller bestemmes ved først at bestemme funktionens differentialkvotient: Vi beregner skæringspunkterne med x-aksen for den første afledede af f: (3.1.1) Hernæst bestemmes fortegnsvariationen for den første afledede, ved at beregne en værdi i hvert interval:
0 Fortegnsvariation Vi ser altså at funktionens monotoniforhold må være som følger: 0 Lok. maks. Lok. min. Monotoniforhold Funktionen er altså aftagende i intervallet: Og funktionen er voksende i intervallerne: 3b - Ekstrema Vi ser fra bestemmelse af monotoniforholdene, at funktionen har lokalt maksimum i lokalt minimum i. Funktionsværdierne og dermed koordinatsættet bestemmes udfra dette: og
Funktionen har altså lokalt maksimum i Og funktionen har lokalt minimum i 3c - Tangent Ved beregning skal vi finde en ligning for den tangent som går gennem punktet opstiller tangentligningen med den ønskede x-værdi:. Vi Vi beregner funktionsværdien : Hernæst beregner vi hældningskoeffecienten i punktet : Ovenstående indsættes i tangentlignignen:
3d - Parallelle tangenter Vi skal undersøge om funktionen har en tangent som er parallel med ovenstående. Vi sætter den første afledede lig hældningskoeffecienten på ovenstående tangent: Udover tangenten i fra ovenstående eksempel har vi også en tangent i. Vi opstiller tangentligningen med den ønskede x-værdi: Vi beregner funktionsværdien for :
Dette indsættes sammen med hældningskoeffecienten i tangentligningen: 3e - Skæringspunkter Vi skal beregne skæringspunkterne mellem grafen for f og linjen hinanden:. Vi sætter udtrykkene lig Udfra nulreglen ved vi at hvis den ene faktor er nul er hele udtrykket nul. Vi ser at den ene løsning må være: Den anden faktor regnes som en andengradsligning: Vi har altså x-koordinatorne til de tre skæringspunkter. Da skæringspunkterne alle ligger på linjen, kender vi allerede y-koordinaterne til skæringspunkterne. Vi får: