STATISTIK Skrtlg evaluerg, 3. emeter, madag de 3. jauar 5 kl. 9.-3.. Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløge orye med av og CPR-r. OPGAVE De tokatke varabel agver levetde tmer or e elektrk kompoet. Tætheduktoe or de tokatke varabel er gvet ved [ [ ( ).ep(.),, Spørgmål ( %) Betem adylghede or at kompoete vgter de der er gået tmer. Spørgmål ( %) Betem orvetgværd og varae a. OPGAVE Ved e traktællg tælle der bler løbet a e tme. Spørgmål (5 %) Betem adylghede or at der blev talt, eller 3 bler de or mut. OPGAVE 3 I e materaleprøve på 5 tk. er der 5 tk. der er deekte og tk. der er ok. Spørgmål (5 %) Betem adylghede or at der vælge mdt 3 tk. der er deekte, hv der udtage 7 tk. ra materaleprøve betåede a 5 tk. Sde a 9
OPGAVE 4 Følgede data er udet ved obervatoer: 4 33 6 45 5 46 3 Det atage at de data tlpae ølgede rekveukto: ( ) ep, > 3 θ θ hvor θ er e kotat. Spørgmål ( %) Betem kotate θ ved hjælp a Mamum Lkelhood metode, det de oberverede data beytte. OPGAVE 5 For e beto med e deklareret tryktyrke på 3 MPa er der målt ølgede betotryk-tyrker MPa på tlældgt udtage prøver: 34.8 39.9 38. 35. 34. 3.8 35.4 36.8 37.9 34.5 Spørgmål (5 %) Betem mddelværd og ample predg a oveævte orøgværder. Spørgmål ( %) Idet der beytte e Kolmogorov-Smrov tet, øke uderøgt på et gkaveau på 95% om det ka acceptere, at tyrke er Normal ordelt med mddelværd og predg betemt pørgmål. Spørgmål 3 (5 %) Betem 9 % dobbeltdede kodetervaller or mddelværd og predg a tyrke. Spørgmål 4 (5 %) På ba a ovetåede data øke betemt de værd, der etop med et gkaveau på 5% ka acceptere ølgede hypotee tet: mddelværde a tyrke er mdt. Sde a 9
OPGAVE 6 E y bereggmodel or bæreeve a e kotruktodel uderøge ved at beregede bæreever ammelge med bæreever målt ved orøg. Reultater er vt edetåede tabel. Oberveret bæreeve [knm] Bereget bæreeve Y [knm]..4.8.3 3.8 9. 4 8.5 7.6 5 37.3 34.9 6 34.5 33.7 7 3.6 3.8 8 33. 3.5 9 63.8 68. Spørgmål ( %) Betem ved leær regreo e ammehæg or beregede bæreever om ukto a oberverede bæreever. Kommeter reultatet. Spørgmål 3 (5 %) Betem 95% kodetervaller or beregede bæreever betemt vha. de leære regreo gvet ye værder or de oberverede bæreeve lg 3, 4 og 5 MPa. Kommeter reultatet. Sde 3 a 9
LØSNINGER OPGAVE Spørgmål Sadylghede or at kompoete vgter de der er gået tmer er ( ) d.ep(.) P ( < ) d Spørgmål Forvetgværd µ og varae σ µ σ ( ) d.ep(.) d.63 ( µ ) ( ) d ( µ ).ep(.) d 6 OPGAVE Spørgmål Sadylghede or at der tælle, eller 3 bler løbet a mut er gvet ved P ( 3) P( ) + P( ) + P( 3).7 det blere ordelg ved traktællge modellere med e Poo ordelg med parametere λ/6 bler/m, om medører at λt*. ep( ) P ().77! ep( ) P ().77! 3 ep( ) P (3).84 3! OPGAVE 3 Spørgmål Sadylghede or at der vælge mdt 3 tk. der er deekte, hv der udtage 7 tk. ra materaleprøve betåede a 5 tk er gvet ved ( P() + P() + P() ). 467 P ( 3) P( ) Sde 4 a 9
hvor P(), P() og P() betemme ved at avede e hypergeometrk ordelg, om ølger 5 7 P ( ).86 5 7 5 6 P ( ).63 5 7 5 5 P ( ).396 5 7 OPGAVE 4 Spørgmål Makmum Lkelhood ukto: L( θ ) ( ) 3 θ ep θ og dermed LogLkelhood uktoe l ( L( θ )) ( l + 3lθ ) + l d l L( θ ) Parametere θ de om løg tl dθ θ ( ) : d l dθ ( L( θ )) 3 + θ θ θ 3 Beytte data å θ 68. 3 8 Sde 5 a 9
OPGAVE 5 Spørgmål Mddelværd og predg betemme tl: 35.94.9 Spørgmål Kolmogorv-Smrov tet: F S ( ) F ( ) Φ( z ) F ( ) FS ( ) F ( ) FS ( ) z, 3,8, -,4349464,7688,7688,37 34, -,8838879,884,884,6 3 34,5,3 -,6563,5595,5595,4495 4 34,8,4 -,593556,3758,758,984 5 35,,5 -,38689,35978,49,49 6 35,4,6 -,46863,4838,976,976 7 36,8,7,397956,65394,5394,4766 8 37,9,8,899,845,45,45 9 38,,9,959684,848399,48399,56 39,9,846334,964389,64389,356 KS ma( F ( ) FS ( ), F ( ) FS ( ) ),,.97 Fra tabel A-7 de med α.5 og rhedgrader: KS ma.4 Da KS < KS ma ka hypotee på et 5% gkaveau acceptere, at tyrke er Normal ordelt med orvetgværd 35.94 og predg.9. Spørgmål 3 9% dobbeltdet kodeterval or mddelværde: tα /, µ + tα /,.9.9 35.94.833 µ 35.94 +.833 Sde 6 a 9
34.7 µ 37. [MPa] 9% dobbeltdet kodeterval or predge: ( ) χ α / σ ( ) χ ( α ) / ( ).9 6.95 ( ).9 σ 3.6.6 σ 3.6 [MPa] Spørgmål 4 Hypoteetet på 5% gkaveau: accept a at orvetgværde a tyrke er mdt : Hypotee: H : µ H : µ < Hypotee acceptere hv t < tα,( ) S / 35.94 t <.833.9 / > 37. MPa Sde 7 a 9
OPGAVE 6 Spørgmål Leær regreo: y b + b hvor b og b de vha.: y e y b + b ) y ( e,4 44 8,6 4,8 -,69,38369,8,3 475,4 453,69 464,34 -,8,387 3,8 9, 59,84 846,8 663,48 6,6 43,83993 4 8,5 7,6 8,5 76,76 786,6 -,97,8594 5 37,3 34,9 39,9 8, 3,77 -,964 8,78687 6 34,5 33,7 9,5 35,69 6,65 -,93,43673 7 3,6 3,8 998,56 948,64 973,8 -,6,3493 8 33 3,5 89 99,5 39,5 -,8 3,45743 9 63,8 68 47,44 464 4338,4,8 4,7894 85,3 87,3 69,87 89, 854,8 63,6564 y y b.6 b y b -.7 Dv. leær regreo gver: y.7+. 6 Det e, at Bereggmodelle er koervatv t. de oberverede data, da b.6 > Sammehæge er meget tæt på at være leær, da korrelatokoecete ka betemme tl y y R.98 y y Sde 8 a 9
Y: bereget 8 7 6 5 4 3 y,6 -,73 R,9668 4 6 8 : oberveret Sere Leær (Sere) Spørgmål 95% kodetervaller or ye, remtdge oberverede værder betemme a: YØ Y YN hvor Y ( ) ( ) ± tα /,( ) Se + + Y ± δ.7+. 6 y t α.365 /,( ) S ( ˆ e y y ) e 3. 3.7 Kode tervaller [knm]: Y δ Y N Y Ø 3 3, 7,5,6 37,6 4 4,7 7,66 33, 48,4 5 5,3 8,8 43, 59,5 Det e, at Vdde a kodetervallet øge jo lægere kommer væk ra mddelværde 3.7 Sde 9 a 9