Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer

Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder i systemet > gns tid en enhed bruger i køen > gns tid en enhed bruger i systemet > ssh for at en ankommende enhed skal vente Sandsynlighedsfordelinger for ankomstmønstre og betjeningstider må introduceres Skelnen mellem single og multiple channel systemer Skelnen mellem endelig og uendelig underliggende population Bemærk: Lærebogens gennemgang sigter primært imod at gøre Jer bekendt med ideerne bag karakteristik af et køsystem og herunder specielt de formler, der typisk bruges til det formål I dette notesæt gives også en introduktion til den bagvedliggende statistik, og denne bruges til udledning af relevante formler for en enkelt kømodel Den del af notesættet er kursorisk læsning Fordeling af ankomster: Ankomster antages tilfældige og uafhængigt fordelte Ofte antages ankomstmønsteret approximeret ved en Poisson fordeling karakteriseret ved sandsynlighedsfunktionen: x / x! P(x) for x0,, 2, x: # ankomster i given tidsperiode : gns # ankomster per tidsperiode /: basistal for naturlig logaritme (2724) Hvis kendes, så kan P(x) altså beregnes for ethvert heltalligt x Antag at erfaringen viser, at der i løbet af en time i gennemsnit ankommer 45 kunder til et køsystem Så er 075 kunde/minut 45 kunder 60 minutter

Ssh for ankomst af 0,, 2, kunder per minut kan nu beregnes ved indsættelse i formlen for P(x) Fordeling af serviceringstider: Den tid, det tager at servicere en enkelt kunde, antages typisk exponentialfordelt: P(seviceringstid Ÿ> ) / > : gns # enheder, der kan serviceres per tidsenhed Hvis kendes, så kan P(seviceringstid Ÿ> ) beregnes for ethver > Kø disciplin: Typisk antages first come first served princippet SteadyState tilstand: Systemets opstartsperiode betegnes dets transient period Opstartsperioden ender, når systemet når dets normaltilstand eller steadystate tilstand Notation: Kømodeller beskrives ofte ÎÎ Den første streg angiver fordelingen af tider mellem to på hinanden følgende ankomster, den anden fordelingen af serviceringstider, og den tredie antal channels i systemet M: Exponentialfordeling (Markovian) D: Degenereret fordeling (konstante tider) E: 5 Erlang's fordeling med parameter 5 G: Generel fordeling Eksempel: MMs Î Î > interarrival times exponential > serviceringstider exponential > s channels Little's formler: Generelle resultater for ethvert køsystem uanset fordelingsantagelser vedr ankomster serviceringstider og uanset # channels: L: ; gns # enheder i køen L: gns # enheder i systemet W: ; gns tid i køen per enhed W: gns tid i systemet per enhed : gns # ankomster per tidsperiode (eller ankomstraten) : gns # enheder, der kan serviceres per tidsenhed (eller serviceringsraten)

Nu gælder: L W L W ; ; WW ; Disse relationer er vigtige, fordi de giver mulighed for at bestemme samtlige 4 fundamentale størrelser W, W, L ogl når blot den ene er kendt ; ; Hver af disse størrelser definerer et væsentligt karakteristika for systemet Exponentialfordlingens rolle (kursorisk læsning): Lad T betegne en random variable, som repræsenterer enten 3>/<+<<3@+6 eller =/<@3/ times T siges at være exponentialfordelt med parameter! hvis dens tæthedsfunktion er / for > 0 0 T() >!!> 0 for > 0 De modsvarende kumulerede sandsynligheder er i den situation: P(T Ÿ> ) /!> for > 0 og den forventede værdi og varians for T er E(T) "! var(t) "! # Hvad er nu implikationerne af at antage T exponentialfordelt? Det spørgsmål kan besvares ved fordelingens følgende egenskaber (listen er bestemt ikke udtømmende!): ) 0 T() > er strengt aftagende i >ß > 0 Heraf følger specielt P(0 Ÿ T Ÿ? > ) P( >Ÿ T Ÿ>? > ) for ethver >ß? > 0 fordi pågældende sandsynligheder er arealerne under tæthedsfunktionen i respektive intervaller Det betyder, at det ikke blot er muligt men også sandsynligt, at T vil antage en lille værdi nær 0 Faktisk gælder " " #! #! # 3! P(0 ŸT Ÿ ) 0393 033 P( ŸT Ÿ )

Dette beskriver mange (men bestemt ikke alle!) køsituationer, feks på et hospital, et posthus, eller i en bank 2) Lack of memory P(T >? > T? > ) P(T > ) for ethver >ß? > 0 Sandsynlighedsfordelingen for den resterende tid til ankomst eller afslutning af service er upåvirket af den tid, der allerede er gået; systemet 'glemmer' således sin egen historie Dette er rimeligt for interarrival tider (men vanskeligere at begrunde for serviceringstider!) 3) Minimum af flere uafhængigt exponentialfordelte random variables er exponentialfordelt med fordelingsparameter!!! Þ Dette resultat er specielt vigtigt for serviceringstider i systemer med flere channels Betragt feks situationen, hvor alle channels er karakteriseret ved samme exponentialfordeling med parameter Lad betegne antal pt aktive channels og lad T3 betegne den resterende serviceringstid for channel 3, som i følge egenskab 2) også er exponentialfordelt med parameter! 3 Det følger nu, at Ymin{T" ß T# ßÞÞÞÞß T }, dvs tiden indtil næste afslutning af en servicering fra en af de aktive channels, er exponentiualfordelt med parameter Multi channel systemet agerer således aktuelt som et single channel system 4) Hvis interarrival times er exponentialfordelte, så er antal ankomster per tidsenhed Poissonfordelte med parameter! t Lad x( > ) betegne antal ankomster tidspunkt > Så gælder (! t) /!t! P(x( > ) ) for 0,, 2, Poissonfordelingens middelværdi er E(x( > ))! t så det forventede antal ankomster pr tidsenhed er! Denne egenskab er vigtig for beskrivelsen af den følgende BirthandDeath Process! 3 3 The BirthandDeathProcess

I de fleste simple køsystemer antages, at inputs (ankomster til systemet) og outputs (kunder der forlader systemet) sker i overensstemmelse med den såkaldte BirthandDeath Process I et køsystem refererer birth til ankomst af en kunde og death til afgang af en kunde Systemets tilstand tidspunkt > betegnes N( > ) og angiver antal kunder i systemet til tidspunkt > The BirthandDeathProcess giver en probabilistisk beskrivelse af, hvordan N( > ) ændres som tiden går (dvs > vokser) Intuitivt beskriver denne proces, at individuelle 'births' og 'deaths' sker tilfældigt med deres gennemsnitlige forekomstrate alene afhængig af aktuel tilstand N( > ) Følgende 3 antagelser gøres: ) For givet n( > ) er den aktuelle sandsynlighedsfordeling for den resterende tid til næste birth exponential med parameter, 0,, 2, 2) For givet n( > ) er den aktuelle sandsynlighedsfordeling for den resterende tid til næste death exponential med parameter, 0,, 2, 3) På ethvert givet tidspunkt kan kun 3 hændelser forekomme: a) netop en birth, b) netop en death, eller c) systemet ændrer ikke tilstand Egenskab 4) for exponentialfodelingen (se ovenfor) betyder, at og, 0,, 2, er gennemsnitsrater Þ Antagelserne kan derfor sammenfattes i følgende såkaldte ratediagram:! " # " Ä Ä Ä Ä Ä 0 Ã " Ã # Ã ÞÞÞÞÞÞÞ " Ã Ã " tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand " " # $ Pilene i diagrammet viser jvf 3) de eneste mulige overgange i systemets tilstand, og Î værdierne for hver pil angiver jvf ) & 2) den gennemsnitlige rate for pågældende overgang givet systemet er i tilstanden specificeret ved pilens startpunkt Antag at der med start i >0er foretaget en optælling af det antal gange, systemet er gået ind i tilstand ß, 2, og af det antal gange systemet har forladt denne tilstand: E(): > antal gange systemet er gået ind i tilstand L (): > antal gange systemet har forladt tilstand Indgang til og udgang fra en bestemt tilstand må alternere Det betyder E() > L () > Ÿ"

Divider nu med > på begge sider og tag grænseværdien for > gående mod uendelig (steady state tilstand): E() >Î> L() >Î> Ÿ"Î> lime() >Î> L() >Î> 0 >Ä lim E() >Î> : gnsn rate for hvilken systemet går ind i tilstand >Ä lim L() >Î> : gnsn rate for hvilken systemet forlader tilstand >Ä Heraf følger det helt basale princip: Rate in Rate out princippet: For enhver systemtilstand rate mean leaving rate 0,, 2,, gælder mean entering Dette princip kan udtrykkes i den såkaldte balance ligning for tilstand 0,, 2, Konstruktion af balance ligninger for enhver tilstand i termer af steady state sandsynligheder P, 0,, 2,, dvs ligevægtssandsynligheder for at systemet befinder sig i tilstand, gør det muligt at beregne disse sandsynligheder Og kendskab til disse sandsynligheder gør det efterfølgende muligt at beregne systemets operative karakteristika, feks L: ; gns # enheder i køen L: gns # enheder i systemet W: ; gns tid i køen per enhed W: gns tid i systemet per enhed ssh for at systemet er tomt ssh for at køen er tom Det følgende afsnit er kursorisk læsning: Lad os først se på tilstand 0 Systemet kan kun bevæge sig ind i denne tilstand fra tilstand Sandsynligheden for at være i tilstand er P ", og mean rate of entering tilstand 0 givet systemet er i tilstand er Mean entering rate til tilstand 0 er derfor P " Tilsvarende, Steady state sandsynligheden for at være i tilstand 0 er P! og mean rate of leaving tilstand 0 er! Þ Mean leaving rate fra tilstand 0 er derfor P!! Balanceligningen for tilstand 0 siger nu P P!! " Betragt nu tilstand Vi kan kun komme til tilstand enten fra tilstand 0 (hvis der kommer en kunde og systemet er i tilstand 0) eller fra tilstand 2 (hvis en kunde færdigbetjenes og

systemet er i tilstand 2) Mean entering rate til tilstand er derfor! P! 2 P 2 Vi kan kun forlade tilstand enten til tilstand 0 (hvis en kunde færdigbetjenes og systemet er i tilstand ) eller til tilstand 2 (hvis der ankommer en kunde og systemet er i tilstand ) Mean leaving rate fra tilstand er derfor ( )P Balanceligningen for tilstand siger nu P P ( )P!! 2 2 " " Tilsvarende ræsonnementer for alle øvrige tilstande indebærer nu følgende balanceligninger: tilstand rate in rate out 0 P"! P!! P! 2P 2 ( )P" 2 P 3P 3 ( 2 2)P2 ã n 2P 2 P n ( )P P " P " ( )P ã " Bemærk strukturen i dette ligningssystem Ligningen for tilstand 0 omfatter som den eneste kun to steady state sandsynligheder, P! og P Ligningen for tilstand omfatter P 0, P og P, 2 ligningen for tilstand 2 P, P 2 og P 3,, ligningen for tilstand P #, P og P, og ligningen for tilstand P ", P og P Ved bevægelse fra en ligning til den efterfølgende introduceres altså en ny P variabel, og en anden elimineres Det betyder, at steady state sandsynlighederne P, P ß, P ß P kan udtrykkes som funktion af P À 0: P "! P! # "! P P! 2 2 P 0P!) 2 2 2 "! 2P2 2P2 3 3 2P2 P) 3 3 2! 3 2 P "! "À P ( P #À P ( ã " P " " P ( P P ) " " # # " P " " # ÞÞÞ2! " ÞÞÞ P 3 2 "! P " P " ÞÞÞ2! P " " " P " ) " " ÞÞÞ "! 3 2 P ( P ã Lad os nu forenkle notationen på følgende måde: " ÞÞÞ2! ÞÞÞ 3 2 " C for, 2, Så kan steady state sandsynlighederne skrives P C P for, 2,!

Men steady state sandsynlighederne skal summere til :! P Det betyder at eller der medfører P C P C P ÞÞÞÞ C P C P "! "! #!!! (! C )P! P!! C Vi kan herefter i princippet bergne samtlige steady state sandsynligheder Kendskab til disse gør det muligt at beregne det forventede antal kunder i systemet som L! P Idet = angiver antal channels, dvs antal kunder der kan serviceres ad gangen og altså ikke er i køen, kan det forventede antal kunder i køen beregnes som L ;! Ð =ÑP = Brug af Little's relationer gør det endelig muligt at bestemme den forventede ventetid i systemet (W) og den forventede ventetid i køen (W ), idet ; Her angiver L L ; ; W og W! den gennemsnitlige steady state ankomstrate, dvs P Bemærk at en række af de ovenfor udledte relationer indebærer summation over et uendeligt antal led Disse summationer har i en række praktisk relevante tilfælde analytiske

løsninger, dvs de kan beregnes exakt Den analytiske løsning er baseret på de følgende resultater for summen af en vilkårlig geometrisk serie: R R " x! x x for ethvert x " " x! x hvis x De kan alternativt approximeres ved summation af et endeligt antal led Steady state resultaterne forudsætter selvsagt, at og parametrene har værdier, så systemet faktisk kan nå en steady state tilstand Denne forudsætning er altid opfyldt hvis 0 for en værdi af større end den initiale tilstand, så at kun et endeligt antal tilstande (nemlig dem mindre end dette ) er mulige Den holder også altid, hvis og er defineret så Forudsætningen er ikke opfyldt, hvis! C = " De køsystemer, der herefter beskrives i lærebogen, er alle specialtilfælde af den beskrevne birthanddeath proces De ovenfor udledte generelle steady state resultater kan derfor bruges til karakteristik af specifikke steady state resultater for de efterfølgende modeller Jeg vil alene gøre dette for den mest simple (MÎM)model Î Men de resultater, der er rapporteret i bogen for de mere komplicerede modeller kan udledes analogt MÎMÎsmodellen I denne modeltype antages ) interarrival tider er uafhængigt og identisk exponentialfordelte, 2) serviceringstider er uafhængigt og identisk exponentialfordelte, 3) # channels s, s, 2, 3, Det betyder, at denne model er specialtilfældet af birthanddeath processen, hvor køsystemets gns ankomstrate og gns serviceringsrate pr optaget channel er konstant uanset systemets tilstand, dvs " # " " # "

Singlechannel kømodel med Poisson ankomster og exponentialfordelte serviceringstider (MÎMÎ): Det resulterende ratediagram i MÎMÎ modellen er som følger: s: ß0,, 2, ß0,, 2, 0 " # ÞÞÞÞÞÞÞ " " Ä Ä Ä Ä Ä Ã Ã Ã Ã Ã tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand Husk fra det generelle system: " ÞÞÞ2! ÞÞÞ 3 2 " C for, 2, P C P for, 2,! ÞÞÞÞÞÞ P!! C Heraf fås for det aktuelle system C Ð Ñ,, 2,!!! "! Ð Ñ " Ê P P Ð Ñ,, 2, P Ð Ð Ñ Ñ Ð Ñ hvilket svarer til (24) i lærebogen og indebærer P Ð ÑÐ Ñ,, "ß 2, Herefter kan L (forventet antal kunder i systemet) bestemmes, idet det erindres L! P! Ð ÑÐÑ Ð" Ñ! Ð Ñ ( ) (her er leddet i summationstegnet den afledte af Ð Ñ mht Ð Ñ selv)

! ( Ð Ñ ) L ÐÑ ÐÑ " Ê Ð" Ñ Ð" Ñ Vi kan nu bruge Little's formler til beregning af W, W ; og L; À W L W; W L ; W ; Lad os konkretisere sidste lighed: L ; Ð Ñ # Ð Ñ Ð Ñ Ð ) Ð Ñ hvilket er (25) i lærebogen Lad os nu finde en sammenhæng mellem L med L ; À L # Ð Ñ ; Ð Ñ Ð Ñ L Dette er (26) i lærebogen (27) er ligesom (2) en af Little's relationer (29) følger af, at sandsynligheden for at vente P må være minus sandsynligheden for, at A der ikke er kunder i systemet, dvs PA P! Dette er lærebogens relation (29) Multiplechannel kømodel med Poisson ankomster og exponentialfordelte serviceringstider (MÎMÎs): Dette system kan også analyseres med udgangspunkt i birthanddeath processen Det resulterende ratediagram er som følger: s : ß0,, 2,

,, 2,, s s, s, s, Ä Ä Ä Ä Ä 0 à " à # à ÞÞÞÞÞÞÞ s " à s à s "ÞÞÞÞÞÞ 2 3 s s tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand Bemærk at gns serviceringsrater i denne model er lidt mere komplicerede end i MÎM Î modellen Årsagen er, at exponentialfordelingens egenskab 4) indebærer, at når den gennemsnitlige serviceringsrate pr optaget channel er, så er overall gns serviceringsrate for optagne channels Derfor er for Ÿs og s for s, idet alle s channels er optagne i den situation De resulterende relationer er (2) Singlechannel kømodel med Poisson ankomster og generelt fordelte/vilkårlige serviceringstider (MÎGÎs): Dette system kan analyseres tilsvarende De resulterende relationer er (22429) Multiplechannel kømodel med Poisson ankomster og generelt fordelte/vilkårlige serviceringstider (MÎGÎs) og ingen kø: Dette system er karakteriseret ved, at en kunde alene går ind i systemet, hvis mindst en channel er ledig, og kan analyseres tilsvarende De resulterende relationer er (2332) Singlechannel kømodel med Poisson ankomster og exponentialt fordelte serviceringstider (MÎMÎ), men med en endelig underliggende population: I denne situation bliver beregning af steady state sandsynligheder lidt mere besværlig, fordi sandsynligheden for ankomst af en ny kunde nu afhænger af antallet af kunder i systemet Men også dette system kan analyseres med udgangspunkt i birthanddeath processen Økonomisk analyse af kømodeller:

Notation: C A: ventetidsomkostninger pr tidsperiode pr enhed L: gns antal enheder i systemet C: = service omkostninger pr tidsenhed pr channel 5: #channels TC: total cost pr tidsperiode 5 TC C L C A =