Penge og in ation på længere sigt: Sidrauskimodellen

Advanced Macroeconomics. 05.11.2004. Christian Groth Note 15 (in Dansih) Penge og in ation på længere sigt: Sidrauskimodellen 1 Indledning Nogle af de centrale spørgsmål i monetær makroøkonomisk teori er: 1. Hvorledes indvirker dels pengemængden på et givet tidspunkt, dels pengemængdens vækstrate over tid: (a) på de reale variable, (b) på prisniveau og in ationsrate (c) på samfundsmedlemmernes velfærd. 2. Hvad kan man forstå ved optimal pengepolitik eller ved the optimum quantity of money 1? Vi vil benytte en model af Sidrauski (1967) til at belyse disse spørgsmål, for så vidt angår i det mindste det længere sigt. Der er tale om en Ramseymodel (i kontinuert tid), der er udvidet med penge i nyttefunktionen. Modellen ignorerer den private banksektor, så penge i modellen svarer til pengebasen. Bl. a. fører modellen frem til Milton Friedmans nulrenteregel (Friedman 1969). 2 Husholdningen Der er et fast antal husholdninger - eller familier - med uendelig tidshorisont. Familierne er ens, og hver familie har L t medlemmer på tidspunkt t, og L t vokser med konstant rate n 0: Hvert familiemedlem udbyder uelastisk én enhed arbejde pr. tidsenhed. Der er fuldkommen konkurrence og clearing på alle markeder. Familien er så heldig at være udstyret med perfekt forudseenhed. For enkelheds skyld normerer vi antallet af husholdninger til 1, så L t også måler det aggregerede arbejdsudbud. 1 Dette er Milton Friedmans udtryk (Friedman 1969). 1

2.1 Husholdningens beslutningsproblem Øjebliksnytten er givet ved elementarnyttefunktionen u(c t ; m t ); u c > 0; u m > 0; u cc < 0; u mm < 0; (1) hvor c t er forbrug pr. hoved på tidspunkt t, og m t er real pengebeholdning ( realkasse ) pr. hoved på tidspunkt t. 2 At den reale pengebeholdning indgår i øjebliksnytten kan fortolkes som, at folk ønsker en vis likviditet for at mindske transaktionsbesvær og -omkostninger (der dog ikke er eksplicit med i modellen). forbrug kaldes C t og dens samlede pengebeholdning kaldes M t ; har vi c t C t L t ; hvor P t er prisniveauet (i løbende penge). m t M t P t L t ; Hvis familiens samlede Den enkelte families kriteriefunktion er R 1 0 u(c t ; m t )e ( n)t dt; hvor e er den naturlige logaritmes grundtal, og > n er tidspræferenceraten, dvs. den rate hvormed øjebliksnytte diskonteres (et mål for utålmodighed ). Da forudsættes positiv, er diskonteringsfaktoren e mindre end 1; dvs. den nærmere fremtid vægtes mere end den fjernere fremtid. Samtidig får familierne ere og ere medlemmer, hvilket trækker den anden vej, jf. at diskonteringsfaktoren e n større end 1; når n > 0: For at sikre, at nytteintegralet kan konvergere for t! 1, forudsætter vi, at den e ektive diskonteringsrate ~ n > 0: 3 For enkelheds skyld nøjes vi her med et specialtilælde af elementarnyttefunktionen, nemlig u(c t ; m t ) = c1 t 1 + m1 t 1 1 1 ; hvor ; og > 0 er givne positive parametre. Nyttebidraget af hhv. forbrug og pengehold indgår additivt separabelt i form af to CRRA-funktioner med hhv. grænsenytteelasticiten og grænsenytteelasticiten. Jo større hhv. og er, jo større er ønsket om udjævning af hhv. forbrug og pengehold over tid. Parameteren udtrykker den relative vægtning af pengehold i forhold til forbrug. Den tilbagediskonterede nytte er altså Z 1 0 c 1 t 1 + m1 1 1 t 1 e ( n)t dt: (2) 2 Udover de anførte egenskaber for u er det bekvemt at tilføje et krav om, at u er konkav (og dermed u cc u mm u 2 cm 0), hvilket også er opfyldt af det eksempel, vil skal koncentrere os om. 3 Undertiden kaldes ~ n den e ektive tidspræferencerate, mens kaldes den rene tidspræferencerate. Parameteren hos Blanchard & Fischer (1989, p. 188) svarer til vores n: 2

Lad Vi har A t familiens nansielle formue, V t A t M t P t familiens rentebærende nettoaktiver. (3) _ A t = w t L t + X t + r t (A t M t =P t ) t M t =P t L t c t + evt. uddelt ren (4) pro t; A 0 er given. Her er w t reallønnen og t in ationsraten ( _ P t =P t ). Dermed er t den reale afkastrate på at holde penge 4. Sagt på en anden måde er t M t =P t formuetabet ved at holde en del af formuen likvid og dermed udsat for værdiforringelse som følge af in ation. Den rene pro t bliver nul i den generelle ligevægt pga. fuldkommen konkurrence og konstant skalaafkast. (4) udtrykker, at opsparingen eller tilvæksten pr. tidsenhed i formue er lig indkomst minus forbrug. Indkomsten udgøres af lønindkomsten w t L t plus indkomstoverførslen X t fra regeringen plus formueafkastet, der består dels af afkastet r t (A t M t =P t ) på den ikke-likvide del af formuen, dels af afkastet t M t =P t på den likvide del. 5 Indsættes M t =P t L t m t, får (4) formen _A t = w t L t + X t + r t (A t L t m t ) t L t m t L t c t ; A 0 given: (5) Først når denne dynamiske bogholderiligninging suppleres med et krav om solvens, bliver der tale om en restriktion på forbrugsmulighederne. En nødvendig betingelse for solvens er i denne model, at No-Ponzi-Game betingelsen lim A te R t 0 rsds 0 (6) t!1 er opfyldt. No-Ponzi-Game betingelsen siger, at i det lange løb må husholdningen ikke have en gæld (gæld A), der vokser med en rate mindst lige så stor som realrenten. Husholdningens optimeringsproblem kan nu formuleres som: Vælg en plan (c t ; m t ) 1 t=0, hvor c t, m t 0 8t 0, således at der opnås maksimum af (2) under bibetingelserne (5) og (6) 6. 4 Denne afkastrate må jo pr. de nition være [d(1=p t )=dt]=(1=p t ) = Pt 2 P_ t =(1=P t ) = P _ t =P t : En anden måde at indse (4) på er følgende: Ved di erentiation mht. t i (3) fås _A t = V _ t + _M t =P t ( P _ t =P t )M t =P t. Da V _ t + M _ t =P t netop må være det samme som den ikke-forbrugte del af rådighedsbeløbet, altså det samme som w t L t + X t + r t V t L t c t = w t L t + X t + r t (A t M t =P t ) L t c t, fås nu (4). 6 Matematisk præcisering: Hvis 1, må kræves c t > 0 8t 0, og hvis 1, må kræves m t > 0 8t 0; da øjebliksnyttefunktionen ellers ikke er de neret. 3

Alternativt kan man oversætte bibetingelserne til pr. capita-størrelser, hvilket vi nu vil gøre. Med de nitionen a t A t =L t får vi ved di erentiation mht. t _a t = L t _ A t L 2 t A t _ Lt A = _ t a t n: L t Indsætning af (5) samt de nitionen x t X t =L t giver nu _a t = (r t n)a t + w t + x t (r t + t )m t c t ; a 0 given. (7) Pr. de nition er r t lig den nominelle rente minus in ationsraten (egentlig den forventede in ationsrate, men forventningerne er hele tiden korrekte, er det jo antaget). Vi kan altså skrive r t + t i t ; hvor i t er den nominelle rente. I (7) repræsenterer leddet (r t + t )m t derfor alternativomkostningen ved, at en del af husholdningens formue er placeret i penge frem for et rentebærende aktiv. Indsættes A t a t L t = a t L 0 e nt i No-Ponzi-Game betingelsen (6), kan denne skrives lim L 0a t e R t 0 (rs n)ds 0; (8) t!1 hvor L 0 kan forkortes ud. Vi ser, at både i (7) og (8) optræder den vækstkorrigerede realrente r t n; udskydelse af forbrug giver ganske vist en direkte realrente på r t, men til gengæld er der også ere familiemedlemmer at fordele afkastet ud på. Husholdningens problem kan nu formuleres sådan: Vælg en plan (c t ; m t ) 1 t=0, hvor c t, m t 0 (med samme forbehold som i fodnote 6), således at der opnås maksimum af (2) under bibetingelserne (7) og (8). 2.2 Løsning af problemet Løbende værdi-hamitonfunktionen (for den sidste problemformulering) er 7 H = c1 1 1 + m1 1 1 hvilket giver 1. ordens betingelserne: + [(r n)a + w + x (r + )m c]; @H @c = c = 0 ) c = ; (9) @H @m = m (r + ) = 0 ) m = (r + ); (10) @H @a = (r n) = _ + ( n) ) = _ = r : (11) 7 Hvis integranden i kriteriefunktionen (i generel matematisk notation) hedder f(x t ; c t )e ( n)t, og højresiden i den dynamiske bibetingelse hedder g(x t ; c t ; t), så er Hamiltonfunktionen (i løbende værdi) H(x t ; c t ; t ; t) = f(x t ; c t ) + t g(x t ; c t,t). Dette gælder også, hvis kontrolvariablen c t og tilstandsvariablen x t er vektorer. 4

Pontryagins maksimumsprincip indebærer nu: En indre optimal bane (c t, m t ; a t ) opfylder, at der ndes en hjælpevariabel t således, at der for alle t 0 gælder (9), (10) og (11) samt transversalitetsbetingelsen lim a t t e ( n)t = 0: (12) t!1 Hjælpevariablen t kan fortolkes som skyggeprisen (målt i løbende nytte) på formue pr. hoved. 8 Det marginale substitutionsforhold mellem at forbruge og at holde realkasse er ifølge (9) og (10) MRS c ; m dc dm j u=u = u m (c; m) u c (c; m) = m c = r + i; (13) hvor som sagt i er den nominelle rente. Sidstnævnte udgør alternativomkostningen ved at holde penge og har altså rollen som pris på pengenes likviditetsydelse. Af (13) kan vi nde pengeefterspørgselsfunktionen (betinget af forbrugsniveauet c) : m = 1= c = i 1= m d (c; i) (14) Den reale pengeefterspørgsel pr. individ ses at være en voksende funktion af c, der kan opfattes som transaktionsomfanget. Dette indgår med elasticiteten =: Desuden er pengeefterspørgslen en aftagende funktion af den nominelle rente i med numerisk elasticitet 1=. 9 Fra sin almindelige børnelærdom ved man måske, at den førstnævnte elasticitet empirisk skønnes at ligge rimelig tæt på 1, mens den sidstnævnte ligger en del under 1 (herudfra kan man betragte som større end 1, hvilket får betydning senere). Ved at di erentiere mht. t i (9) og indsætte i (11) fås _c t c t = 1 (r t ) ; (15) der er den traditionelle Keynes-Ramsey regel. Hvis c og m i stedet ikke var separable i øjebliksnyttefunktionen u(c; m), dvs. u cm 6= 0, så ville man ikke få den simple Keynes-Ramsey regel, men den generaliserede: _c t c t = 1 (c t ; m t ) [r t + (c t ; m t ) _m t m t ]; (16) hvor (c; m) cu cc =u c > 0, og (c; m) mu cm =u c? 0 for hhv. u cm? 0: 8 Da Hamiltonfunktionen er konkav i (c t ; m t ; a t ) for hvert t, er de anførte betingelser også tilstrækkelige betingelser. 9 Da c er endogen for husholdningen, er der ikke tale om en rigtig walrasiansk efterspørgselsfunktion, men en funktion der angiver betinget efterspørgsel. 5

3 Den repræsentative virksomhed Den repræsentative virksomhed har en neoklassisk produktionsfunktion, Y t = F (Kt d ; L d t ); med konstant skalaafkast. Her er Y t output, Kt d kapitalinput, og L d t beskæftigelse. Der ses forenklende bort fra tekniske fremskridt og fra kapitaltilpasningsomkostninger. Pga. konstant skalaafkast har vi Y = F (K d ; L d ) = L d F (k d ; 1) L d f(k d ), hvor k d K d =L d, og f 0 > 0, f 00 < 0. Pro tmaksimering under fuldkommen konkurrence medfører F K (K d ; L d ) = r (idet vi forenklende ser bort fra kapitalnedslidning, dvs. vi har = 0) og F L (K d ; L d ) = w: Clearing på faktormarkederne medfører K d = K (= udbud af realkapital) og L d = L (= udbud af arbejdskraft), idet vi normerer både antal husholdninger og antal virksomheder til 1. Ved indsættelse i de to pro tmaksimeringsbetingelser og udnyttelse af konstant skalaafkast får vi, at markedets realrente og realløn er bestemt ved r t = f 0 (k t ); (17) w t = f(k t ) k t f 0 (k t ); (18) hvor k t K t =L t (kapitalintensiteten) er prædetermineret. 4 Regering/centralbank Det antages som sagt, at regeringen løbende giver lump sum-indkomstoverførsler til hver familie. Den reale indkomstoverførsel pr. familie er X t pr. tidsenhed. Idet antal husholdninger (familier) er normeret til 1, er regeringens samlede nominelle udgift til transfereringer P t X t pr. tidsenhed. Da der ikke opkræves skatter (og ikke er nogen statsgæld), er der et budgetunderskud lig denne udgift. Budgetunderskuddet nansieres 100 pct. ved, at centralbanken lader seddelpressen køre, altså ved forøgelse af pengeudbuddet. Der er ingen privat banksektor, så pengemængdemultiplikatoren er 1. I ligevægt er husholdningernes efterspørgsel efter penge, som vi hidtil har kaldt M t ; altså lig pengebasen = pengeudbuddet for alle t. Vi kan derfor uden problemer bruge symbolet M t også for pengeudbuddet. Budgetunderskuddet nansieres som sagt ved pengeudstedelse, _M t ; dvs. regeringens budgetbetingelse kan skrives _M t = P t X t : (19) 6

Regeringen/centralbanken fastholder en konstant vækstrate,, i pengemængden, dvs. _M t =M t = : Transfereringen per person, x t X t =L t, er altså bestemt ved x t = M _ t =P t M = _ t M t = m t (20) L t M t P t L t Man kan betragte M 0 som given (prædetermineret), men ikke m 0, der afhænger af springvariablen P 0. At prisniveauet er en springvariabel er typisk i neoklassiske modeller, hvor priserne er fuldt eksible selv på kort sigt (et urealistisk træk, der medfører en misvisende beskrivelse af kortsigtsmekanismerne i økonomien). 5 Udviklingen over tid For at karakterisere udviklingen over tid opstilles modellens di erentialligninger. Fra m t M t =(P t L t ) fås _m t =m t = M _ t =M t P_ t P t Lt _ =L t, dvs. _m t = ( t n)m t : (21) Af k t K t =L t følger k _ t = Lt K _ t K t Lt _. Når heri indsættes K _ L 2 t = Y t t c t L t (idet = 0), fås _k t = f(k t ) c t nk t : (22) Indsætning af (17) i (15) giver _c t = 1 [f 0 (k t ) ]c t : (23) Da ifølge (13) = m c r = m c f 0 (k) (24) fra (17), er t en funktion af m t, c t og k t. Med (24) indsat i (21) udgør (21), (22) og (23) tre sammenhørende di erentialligninger i m, k og c: Udviklingen over tid er bestemt som den løsning (m t ; k t ; c t ) 1 t=0 af de tre di erentialligninger, der overholder initialbetingelsen k 0 > 0 (hvor k 0 er prædetermineret, dvs. historisk bestemt) samt transversalitetsbetingelsen (12) efter indsætning heri af a t = m t + k t og t = ct fra (9). 10 Det kan vises, at hvis såkaldte prisbobler (hyperin ation skabt af selvopfyldende 10 For den repræsentative husholdning gælder a t = m t + k t (økonomien er lukket, så husholdningernes eventuelle indbyrdes gæld og fordringer netter ud mod hinanden). Bemærk, at både c og m er springvariable. Ganske vist er M 0 prædetermineret, så m 0 M 0 =(P 0 L 0 ) er ikke, da P 0 er fuldt eksibel og tilpasser sig øjeblikkeligt, så realværdien af det initiale pengeudbud, M 0 =(P 0 L 0 ); bliver lig den initiale reale pengeefterspørgsel. Sidstnævnte er ifølge (14) 1= c = 0 i 1= 0 = 1= c = 0 (f 0 (k 0 )+ 0 ) 1= eller mere generelt m d (c 0 ; i 0 ) = m d (c 0 ; f 0 (k 0 ) + 0 ), hvor 0 er den forventede initiale in ationsrate. 7

in ationsforventninger) udelukkes, så er løsningen entydig og konvergerer mod steady state for t! 1: 11 6 Steady state I steady state er _m = _ k = _c = 0. Ved indsætning i (21), (22) og (23) fås steady state-værdierne = n; (25) r = f 0 (k ) = ; (26) k = f 0 1 (); (27) c = f(k ) nk : (28) Disse steady state-resultater gælder også i det generelle tilfælde, hvor der ikke er separabilitet i elementarnyttefunktionen, jf. (1). Kapitalintensiteten og forbrug pr. hoved i steady state ses at afhænge af tidspræferenceraten, men ikke af parametrene, og. Mere utålmodighed (højere ) medfører naturligt nok mindre kapitalakkumulation og dermed lavere k (idet @k =@ = 1=f 00 (k ) < 0). Konsekvensen er lavere c (da @c =@k = f 0 (k ) n = n > 0). Steady state-værdien af m fås ved at indsætte c og i = r + = + n i (14): m = 1= c = ( n + ) 1= : (29) Det ses for det første, at højere medfører lavere m ; dels fordi renten forøges, dels fordi c som nævnt bliver lavere. For det andet ser vi det vigtige resultat, at også højere pengemængdevækstrate medfører lavere m : Det skyldes, at den med den højere in ation forbundne højere nominelle rente, i = r + = + n medfører lavere pengeefterspørgsel, hvilket på udbudssiden modsvares af, at den højere in ation også udhuler pengemængdens købekraft. Parametrene, og har ikke betydning for kapitalintensitet og forbrug i steady state, men ses at være medbestemmende for m. Højere medfører større real pengeefterspørgsel; hvis vi forestiller os en model med eksplicit transaktionsteknologi, kunne dette fortolkes som udtryk for lavere e ektivitet af betalingssystemet og derfor større likviditetsbehov. Man kan ikke entydigt fortegnsbestemme e ekten på m af højere og højere : 11 Tilpasningsdynamikken er beskrevet i appendiks. Entydigheds- og stabilitetsresultatet gælder endda også i den generelle Sidrauskimodel, hvor der ikke er separabilitet mellem c og m i elementarnyttefunktionen. 8

7 Pengeneutralitet og superneutralitet Penge siges at være neutrale, hvis niveauet for og udviklingen i de reale variable k og c er uafhængig af pengemængdeniveauet. Eller mere præcist: Lad banen ( k t ; c t ) 1 t=0 være modellens løsning for k og c s udvikling, givet M 0 = M 0 > 0. Betragt så et alternativt M 0 0 = M 0, > 0, 6= 1; arbitrær. Hvis banen ( k t ; c t ) 1 t=0 også er modellens løsning for k og c, når M 0 = M 0 0, så er penge neutrale. Dette er oplagt tilfældet, da k og c bestemmes alene af (22) og (23) samt transversalitetsbetingelsen (12). Der dannes blot et nyt prisniveau P 0 t = P t for alle t, så m t og t er uændrede. Penge siges at være superneutrale, hvis de reale variable k og c i steady state er uafhængige af pengemængdevækstraten. Af (27) og (28) ses, at dette er opfyldt. 12 Mekanismen kan anskueliggøres således. På den ene side har vi, at ") ") k " (som tendens); fordi alternativomkostningen ved at holde penge er større, når in ationsraten og dermed den nominelle rente er større; dette tilskynder til, at realkapital får en større plads i den nansielle formue (denne e ekt kaldes Tobin-e ekten). På den anden side har vi også, at k ") r #) c ") k # (som tendens), idet en tendens til større kapitalintensitet vil resultere i lavere realrente (lavere marginalprodukt af kapital), og formuee ekten herfra vil stimulere forbruget og altså mindske opsparingen og kapitaldannelsen. Således ophæver tendensen til stigning i kapitalintensitet sig selv. Resultatet skyldes, at vi har at gøre med en representative agent model (Ramseymodelklassen), og da gælder Keynes-Ramseyreglen ikke blot på individniveau, men også på aggregeret niveau. Dette binder realrenten til at være lig utålmodighedsraten på langt sigt (og fastlægger derved kapitalintensiteten). Penge siges at være super-superneutrale, hvis løsningsbanen for (k t ; c t ) også uden for steady state er uafhængig af pengemængdevækstraten. Dette er opfyldt i denne udgave af Sidrauskimodellen (pga. separabiliteten mellem forbrug og penge i øjebliksnyttefunktionen), hvilket ses af, at (22) og (23), uafhængigt af (21), udgør et selvstændigt system (identisk med Ramseymodellen uden penge, jf. appendiks). Men mens egenskaberne pengeneutralitet og penge-superneutralitet gælder, hvad enten u cm = 0 (som her) eller u cm 6= 0; så gælder super-superneutralitet kun når u cm = 0: 12 Men pengemængdevækstraten spiller en rolle for bestemmelsen af realværdien af pengebeholdningen m, jf. (29). Dette vender vi tilbage til nedenfor. 9

Konklusionen er altså, at uden for steady state vil pengemængdevækstraten i almindelighed in uere på kapitalakkumulationen. Simulering af modellen med realistiske parameterværdier tyder dog på, at disse virkninger er beskedne (jf. Blanchard & Fischer, 1989, p. 193). 8 Friedmans nulrenteregel Hvad kan den pengepolitiske myndighed (regeringen/centralbanken) gøre for, at økonomiens steady state er (tilnærmelsesvis) bedst mulig set ud fra den repræsentative husholdnings synsvinkel? Inden for modellens rammer har den pengepolitiske myndighed kontrol over pengemængdevækstraten. En formindskelse af vil som nævnt ikke have ind ydelse på k og c, men alene på realkassen m, der ifølge (29) vil blive forøget. Lavere (evt. negativ) vækst i den nominelle pengemængde medfører større realværdi af pengemængden. Denne større likviditet vil i Sidrauskimodellen øge den repræsentative husholdnings tilbagediskonterede nytte. Man opnår en steady state med tilnærmelsesvis maksimal velfærd ved at sætte tæt ved minus den e ektive tidspræferencerate ( n), men dog en anelse større, da der ellers ikke kan være steady state ifølge (29). Dette indebærer, at alternativomkostningen ved at holde penge, den nominelle rente, bliver tilnærmelsesvis nul (i = r + = +( n) = 0 for = ( n), dvs. grænsenytten af m er tilnærmelsesvis nul, jf. (13) og (29). Som nævnt ovenfor er det empirisk realistisk at antage > 1. Da har nyttebidraget fra m en mindste øvre grænse 1=(1 ), jf. gur 1. Ved at vælge tæt på ( n) kan regeringen komme vilkårligt tæt på denne øvre grænse. Dette indebærer < 0, dvs. _M < 0. Der er tale om Milton Friedmans regel (fra hans artikel The Optimum Quantity of Money, 1969) om, at det er optimalt at mætte befolkningen med likviditet dvs. reale penge. Den nominelle pengemængde skal gradvis aftage. Dette kræver negative transfereringer, hvilket indebærer, at der skal opkræves lump sumskatter for at gradvis indskrænke pengemængden. 9 Diskussion Dette resultat om, at optimal pengepolitik er en de ationspolitik, er stærkt omdiskuteret. Ikke blot kræver en sådan politik en forudgående troværdig annoncering kombineret med et éngangsløft i pengemængden som indledning til skiftet til negativ pengemængde- 10

1 1 γ 1 m γ 1 γ 1 1 m *( µ ) m Figure 1: Tilnærmelsesvis mætning med likviditet ved lavt (tilfældet > 1): vækst (for at undgå, at den private sektor rammes af et uforudset drop i prisniveauet, når de ationspolitikken implementeres, jf. (14)). Der må også forventes tilpasningsproblemer af kortere eller længere varighed pga. virkelighedens nominelle og reale stivheder af forskellig art. Dette er jo noget modellen helt ser bort fra, og som i samspil med en reduktion af pengemængdevækstraten kan frembringe en lavkonjunktur med arbejdsløshed. 13 Sagen er at den kortsigtstilpasningsmekanisme, som modellen bygger på (pengeneutralitet), må siges at være temmelig urealistisk. Mekanismen er, at et skift til et større pengeudbud (lad os sige ved et helikopter-drop af pengesedler 14 ) bevirker øjeblikkelig stigning i prisniveauet. Betragt således efterspørgsel og udbud på pengemarkedet : ( M P )d = M P ; dvs. m d (c; r + e )L = M P ; hvor vi har indsat i r + e i pr. capita-pengeefterspørgselsfunktionen givet i (14) (toptegnet e står for expected ). Modellen bygger på, at et skift til højere M lader 13 Desuden er der mange makroøkonomer, der mener, at også på længere sigt tilsiger ønsket om stabilitet og eksibilitet en positiv, omend lav in ationsrate (hvilket vi vender tilbage til i forelæsningsnote 15). 14 Alternativt kunne vi forestille os, at centralbanken opkøber private obligationer, men så ville den private sektor få gæld til den o entlige sektor, og det ville føre os uden for modellen. 11

transaktionsomfanget c; realrenten r og in ationsforventningen e være uændrede, men bevirker højere prisniveau P: Hvis vi går lidt uden for modellen (der jo forudsætter kontinuert markedsclearing), kan vi forestille os, at det højere pengeudbud på ultrakort sigt indebærer overudbud af penge, da den reale pengeefterspørgsel er uændret. Overudbuddet af penge fører så til fald i penges realværdi 1=P, dvs. stigning i P: Dette sker ved, at folk forsøger at omlægge deres portefølje til en højere andel af reale aktiver, men da udbuddet af disse er givet på kort sigt, stiger deres pris P: Men dette forudsætter, at prisniveauet P er eksibelt på kort sigt (på linie med en aktiekurs eller en valutakurs). De este makroøkonomer synes at mene, at dette er helt urealistisk, og at det i stedet er den nominelle rente i; der tilpasser sig på kort sigt, dvs. her falder, indtil der er etableret ligevægt igen. Da in ationsforventningerne er træge på kort sigt, bliver konsekvensen et fald i realrenten r i e (det er naturligvis i denne tankegang underforstået, at realrenten ikke på kort sigt er bundet til kapitalens grænseprodukt). Denne keynesiansk orienterede kortsigtsteori vender vi tilbage til senere i dette kursus. 10 Appendiks: Tilpasningsdynamikken I afsnit 5 påstod vi, at hvis såkaldte prisbobler (hyperin ation skabt af selvopfyldende in ationsforventninger) udelukkes, så er modellens løsning i k; c og m entydig og konvergerer mod steady state-punktet (k ; c ; m ) for t! 1. Dette skal nu vises. Modellens dynamiske system er ifølge afsnit 5 _k = f(k) c nk; (30) _c = 1 [f 0 (k) ]c; (31) _m = ( m c + f 0 (k) n)m; (32) hvor k 0 > 0 er given (prædetermineret), mens c og m er springvariable (dvs. variable, hvis værdi øjeblikkeligt kan springe til et andet niveau, hvis der kommer ny information til de økonomiske aktører, og deres fremadskuende forventninger derfor ændres). Til fastlæggelse af udviklingen over tid har vi udover den givne k 0 kravet om overholdelse af husholdningens transversalitetsbetingelse lim (m t + k t )ct e ( n)t = 0: (33) t!1 Det dynamiske system er dekomponerbart, idet de to første di erentialligninger udgør et autonomt system i k og c; der kan løses for sig. Denne dekomponerbarhed 12

kan vi udnytte i fasediagramanalysen. 15 10.1 Fasediagrammer Det autonome delsystem (30) - (31) er identisk med den almindelige Ramseymodel uden penge, og dynamikken er illustreret i nederste diagram i gur 2. Figuren repræsenterer tilfældet n > 0: Ø verste diagram i guren viser, hvordan de forskellige kritiske værdier af kapitalintensiteten fremkommer; fx er golden rule-kapitalintensiteten, k GR ; karakteriseret ved kravet f 0 (k GR ) = n. Hvis initialværdien af k er mindre end steady state-værdien k som angivet på guren, så er initialværdien af c givet som ordinaten til punktet D II, der er skæringspunktet mellem saddelbanen og den lodrette punkterede linie svarende til abscissen k 0 : Over tid vil økonomien bevæge sig langs saddelbanen II hen mod steady state. Dette er det eneste forløb, der er i overensstemmelse med alle modellens betingelser. Således kan initialpunkter à la D III udelukkes, da de fører til udviklingsbaner som III på guren og dermed ikke overholder husholdningens transversalitetsbetingelse, men indebærer overopsparing. Og initialpunkter à la D I kan udelukkes, fordi de fører til udviklingsbaner som I på guren og dermed ikke overholder husholdningens NPG-betingelse (og altså slet ikke dens transversalitetsbetingelse). (Hvis i stedet k 0 > k ; vil økonomien bevæge sig langs saddelbanen ovenfra, mens baner à la IV og V kan udelukkes på grund af modstrid med hhv. transversalitetsbetingelsen og NPG-betingelsen.) Den resulterende dynamik for den reale pengemængde m er givet ved (21) efter indsætning af t = m t c t f 0 (k t ): Man kan som sagt vise, at også m konvergerer mod en steady state-værdi. Da udviklingen foregår i tre dimensioner, er det ikke helt enkelt at illustrere m s tilpasningsproces gra sk. Men hvis man forestiller sig, at økonomiens kapital- og forbrugsniveau allerede har nået deres respektive steady state-værdier, følger m den én-dimensionale di erentialligning _m t = ( m t c + f 0 (k ) n)m t = ( + f 0 (k ) n)m t m 1 t c : (34) Denne dynamik er illustreret i gur 3 for tilfældet > 1: Det ses, at når økonomiens kapital- og forbrugsniveau allerede har nået deres steady state-værdier, så er eneste mulige værdi for m steady state-værdien m : For hvis vi antager, at på et eller andet tidspunkt er m > m ; så vil m t! 1 for t! 1; og en sådan eksplosiv 15 En algebraisk analyse af modellens tilpasningsdynamik, baseret på bestemmelse af egenværdiernes fortegn, gives i det sidste afsnit af appendiks. 13

) y f( V B I E IV II III A 0 Figure 2: Fasediagram for k og c (tilfældet n > 0): 14

m& Figure 3: m s dynamik, når k = k og c = c (tilfældet > 1): udvikling i realværdien af pengebeholdningen strider imod husholdningens transversalitetsbetingelse. Intuitivt: En sådan udvikling i m ville afspejle tiltagende de ation, dvs. < 0 og aftagende, jf. (24). Stående over for denne de ation og stigende realformue ville husholdningen ønske at øge sit forbrug (for ikke bare at spare op for opsparingens skyld). Men det ville give tendens til overefterspørgsel på outputmarkedet, presse prisniveauet op og dermed modsige den antagne de ation, der altså ikke rationelt kan forventes. Og hvis vi omvendt antog, at på et eller tidspunkt er m < m ; så ville m t nå værdien 0 i endelig tid og stadig være aftagende (idet ifølge (34) _m! 1; når m! 0): Dette ville afspejle en in ationsproces, der eksploderede så kraftigt, at den reale pengemængde passerer nul i endelig tid. Men en negativ pengemængde er ikke mulig, så dette resultat kan ikke rationelt forventes. Den eneste udvikling, der i den betragtede situation rationelt kan forventes, er, at in ationen er konstant på niveauet = n; dermed vil det initiale prisniveau P 0 indstille sig sådan, at m 0 M 0 =(P 0 L 0 ) = m, og m vil forblive konstant på niveauet 15

m& Figure 4: m s dynamik, når k = k og c = c (tilfældet < 1): 16

m : Det samme ræsonnement kan bruges, hvis = 1 (logaritmisk nytte af penge). Hvis derimod < 1; vil grafen for (34) blive (kvalitativt) som i gur 4. Det følger af, at højresiden af (34) går mod 0 (uden nogensinde at nå 0) for m! 0; når 0 < < 1: Selv om in ationen også i dette tilfælde vokser ud over alle grænser, jf. (24), er den ikke så eksplosiv, at den reale pengemængde bliver nul i endelig tid. Denne in ationsproces kan rationelt forventes; hvis den forventes, er denne forventning selvopfyldende. Jo højere in ationsrate, der forventes, jo hurtigere vil man ygte over i værdifaste aktiver, her det reale gode. Udbuddet af dette er på kort sigt givet, hvorfor prisniveauet stiger og stiger og derved netop bekræfter in ationsforventningerne. Bemærk, at processen er rent forventningsbetinget og ikke skyldes, at M vokser hurtigere og hurtigere ( M=M _ er jo hele tiden lig konstanten ): I analogi med spekulative bobler på aktiemarkeder taler man i denne forbindelse om (negative) bobler i realværdien af penge. I tilfældet < 1 kan altså sådanne bobler rationelt forventes, og det er kun, hvis man ser bort fra disse boblers teoretiske mulighed, at Sidrauskimodellens samlede løsning er entydig og konvergerer mod steady state-punktet (k ; c ; m ). 10.2 Algebraisk analyse af dynamikken omkring steady state For at supplere ovenstående gra ske tilgang med en eksakt analyse af modellens tilpasningsdynamik udregnes Jacobimatricen for di erentialligningssystemet: J(k; c; m) = 2 4 2 4 @ k _ @k @ _c @k @ _m @k @ k _ @c @ _c @c @ _m @c @ k _ @m @ _c @m @ _m @m f 0 (k) n 1 0 1 f 00 1 (k)c [f 0 (k) ] 0 f 00 (k)m m 1 c 1 m c + f 0 (k) n + m c 3 5 3 5 Evalueret i steady state bliver Jacobimatricen 2 3 n 1 0 J(k ; c ; m ) = 4 1 f 00 (k )c 0 0 5 f 00 (k )m m 1 c 1 m c Matricen er blok-diagonal, og 22-matricen i øverste venstre hjørne har determinanten 1 f 00 (k )c < 0: 17

Da determinanten altid er lig produktet af matricens egenværdier, er egenværdierne af denne 2 2-matrix reelle og har modsat fortegn. Jacobimatricens tredje egenværdi er diagonalelementet m c > 0: Ialt er der således én negativ og to positive egenværdier. Steady state er altså et saddelpunkt. 16 Og da antallet af springvariable (c og m) er lig antallet af positive egenværdier, er steady state saddelpunktstabil 17. Saddelpunktstabilitet gælder også i det generelle tilfælde, hvor elementarnyttefunktionen ikke er additivt separabel og di erentialligningssystemet derfor ikke er dekomponerbart. Se fx Blanchard & Fischer, 1989, kapitel 4, appendiks B. 16 Et steady state-punkt kaldes et saddelpunkt, hvis de tilhørende egenværdier har forskelligt fortegn. 17 Et steady state-punkt siges at være (lokalt) saddelpunktstabilt, hvis: a) det er et saddelpunkt, og b) for vilkårlige initialværdier af den eller de prædeterminerede variable (i en omegn af disses steady state-værdi) ndes der et entydigt sæt initialværdier af springvariablene således, at løsningen af di erentialligningssystemet konvergerer mod steady state for t! 1: 18