Opgave 1: Mikro (15 point)

Københavns Universitet Det Naturvidenskablige Fakultet Økonomi 1, Matematik-Økonomi Studiet 4 timers prøve uden hjælpemidler, 28. juni 2002. Alle opgaver skal besvares. Ved bedømmelsen vægtes alle spørgsmål lige meget. Opgave 1: Mikro (15 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1. Forenproducentgælderathvisderervoksendeskalaafkastsåermarginal omkostningerne voksende. 2. Under monopol er marginal omkostningerne lig med prisen i ligevægt. 3. For en forbruger gælder at hvis prisen på envare,somhunrentfaktisk forbruger, stiger så falder hendes nytte. Opgave 2: Mikro (35 point) Betragt en forbruger, Libertad, som er beskrevet ved indkomsten m L > 0og nyttefunktionen: u L (x 1,x 2 ) = x 1 +lnx 2, hvor x 1,x 2 > 0 er forbruget af henholdsvis cappuccino og cigarillos. Prisen på vare1erp 1 > 0ogprisenpåvare2erp 2 > 0. Det antages at p 1 <m L for at Lagrange kan bruges uden komplikationer. 1. Opstil Libertads problem. 1

2. Vis at Libertads efterspørgselsfunktioner er: f L (p 1,p 2,m L ) = (f L 1 (p 1,p 2,m L ),f 2 (p 1,p 2,m L )) = ( ml p 1 1, p 1 p 2 ). 3. Er varene normale eller inferiøre, ordinære eller Giffen og substitutter eller komplementer? Antag at Libertad har initial ressourcerne ω L =(ω1 L,ω2 L ), hvor ω1 L 1og ω2 L > 0. Libertads indkomst er altså m L = p 1 ω1 L + p 2 ω2 L. Desuden er der en anden forbruger, Carlos, som er beskrevet ved nyttefunktionen: u C (x 1,x 2 ) = x 1 +lnx 2 og initial ressourcerne ω C =(ω C 1,ω C 2 ), hvor ω C 1 1ogω C 2 > 0. I de følgende spørgsmål betragtes en økonomien med to varer cappuccino og cigarillos og to forbrugere Libertad og Carlos. 4. Definer en Walras ligevægt. 5. Find en Walras ligevægt. Hvad er Walras ligevægten for ω L =(3, 3) og ω C =(1, 1)? 6. Er ligevægtsallokationen for en Walras ligevægt Pareto optimal? Begrund dit svar. 2

Københavns Universitet Det Naturvidenskablige Fakultet Økonomi 1, Matematik-Økonomi Studiet 4 timers prøve med hjælpemidler, 29. januar 2003. Alle opgaver skal besvares. Ved bedømmelsen vægtes alle spørgsmål lige meget. Opgave 1: Mikro (20 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 På et marked med fuldkommen konkurrence er den samlede profit altid nul. 1.2 I en Walras ligevægt er ligevægtsallokationen altid Pareto optimal. 1.3 Under monopol er prisen lig med de variable gennemsnitsomkostninger. 1.4 For en forbruger gælder altid at hvis prisen på en vare stiger, så falder hendes forbrug af varen. Opgave 2: Mikro (20 point) Betragt en forbruger, Lucas, som er beskrevet ved indkomsten w L > 0og nyttefunktionen: u L (x 1,x 2 ) = min{5x 1,x 2 }, hvor x 1,x 2 > 0 er forbruget af henholdsvis bacon og chips. Prisen på bacon er p 1 > 0ogprisenpå chips er p 2 > 0. 2.1 Tegn indifferenskurvene, hvor nytten er henholdsvis 1 og 5. Opstil Lucas problem. 1

2.2 Vis at Lucas efterspørgselsfunktioner er: f L (p 1,p 2,w L ) = (f L 1 (p 1,p 2,w L ),f 2 (p 1,p 2,w L )) w L 5w L = (, ). p 1 +5p 2 p 1 +5p 2 2.3 Er bacon normal eller inferiør, ordinær eller Giffen og substitut eller komplement? Antag at der er m 1 andre forbrugere, så i alt er der m forbrugere. Den i te forbruger har nyttefunktionen: u i (x 1,x 2 ) = min{10x 1, 2x 2 }, og indkomsten w i > 0, hvor i {1,...,m 1}. 2.4 Vis at den aggregerede efterspørgselsfunktion for bacon er: w D(p 1,p 2,w) =, p 1 +5p 2 hvor w = w L + P m 1 i=1 wi. Opgave 3: Mikro (20 point) Der er n virksomheder, der producerer bacon. Den j te virksomhed har omkostningsfunktionen: 0 for y =0 c j (y) = 1 2 y2 + 1 2, for y>0 hvor j {1,...,n}. Prisen på bacon er p 1 > 0ogderantagesatvære fuldkommen konkurrence på markedet for bacon. 3.1 For den j te virksomhed, find de variable omkostninger, de faste omkostninger, de samlede gennemsnitsomkostninger, de variable gennemsnitsomkostninger, de faste gennemsnitsomkostninger og de marginale omkostninger. 2

3.2 Opstil den j te virksomheds problem og vis at dens udbudsfunktion er: 0 for p 1 < 1 y j = 0eller1 forp 1 =1 p 1 for p 1 > 1 Det antages at der er m forbrugere på markedet for bacon. Den aggregerede efterspørgselsfunktion er angivet i spørgsmål 4 i opgave 2 og prisen på chips er 1, altså p 2 = 1. Desuden antages at den samlede indkomst er 96, altså w = 96, og at der er 4 virksomheder, altså n =4. 3.3 Find ligevægtsprisen og ligevægtsmængden på markedet for bacon. 3.4 Der indføres en skat på 1på bacon. Forbrugerne betaler skatten, så forbrugerne betaler p 1 + 1 og virksomhederne modtager p 1. Vis at ligevægtsprisen er: p 1 = 3+ 33 2.7. Diskuter de velfærdsmæssige konsekvenser af skatten samt nogle mulige grunde til at opkræve skatten. Opgave 4: Makro (15 point) Udsagnene nedenfor ønskes besvaret dels ved at der anføres om udsagnet er rigtigt eller forkert, og dels ved at der anføres et økonomisk argument gerne illustreret grafisk herfor. 4.1 Den permanente indkomsthypotese forudsiger, at forbigående indkomststigninger spares op 1:1. 4.2 Pengeefterspørgslen afhænger af realrenten, idet denne repræsenterer alternativomkostningen ved at holde penge. 4.3 Indenfor rammerne af en AD/AS model vil en stigning i den nominelle pengemængde lede til den forudsigelse, at reallønnen bevæger sig modcyklisk. Dette er ikke i overensstemmelse med regulariteterne for konjunkturcykler. 3

Opgave 5: Makro (25 point) Betragt følgende statiske model for en lukket økonomi. Den repræsentative forbruger vælger mellem forbrug, C, og fritid, l, når hun maximerer nytten. Nyttefunktionen er givet ved U = min(c, al),a > 0,og forbrugeren er underlagt budgetrestriktionen C = wn s T,hvorw er reallønnen, N s det samlede arbejdsudbud, mens T er de samlede skatteindbetalinger. Fritiden er givet som forskellen mellem maximalt arbejdsudbud, h, (fx 24 timer) og det optimale arbejdsudbud: l = h N s > 0. Det optimale forbrugsniveau viser sig at være C = a (wh T ) a + w, (1) mens det optimale arbejdsudbud er givet ved N s = ah + T a + w. (2) Produktionen, Y, gennemføres ved brug af følgende produktionsfunktion: Y = zn, (3) hvor parameteren z > 0ogN er den samlede efterspurgte mængde arbejdskraft. Virksomheden maximimerer profitten. Reallønnen, w, modsvarer arbejdskraftens marginalproduktivitet, z, idet den repræsentative virksomhed maximerer profitten: dy = w z = w. (4) dn Endelig haves at den offentlige sektor balancerer sit budget G = T, (5) hvor G er det samlede offentlige forbrug, samt at der på alle tidspunkter er ligevægt på arbejdsmarkedet N s = N (6) 5.1. Forklar hvorfor det optimale forbrugsniveau afhænger af w, a og T som det fremgår af relation (1). 4

5.2. Vis, ved brug af (2), (4), (5) samt (6), at ligevægtsbeskæftigelsen er givet ved: N = ah + G a + z, og forklar hvorfor beskæftigelsen er stigende i G. 5.3. Brug dette resultat og relation (3) til at opskrive et udtryk for produktionen i ligevægt, Y. Undersøg hernæst effekten på ligevægtsproduktionen af (a) et fald i G, (b)etfaldia. Fortolk. 5.4. Vis at forbruget i ligevægt er givet ved C = a (zh G), a + z og undersøg hernæst effekten på C af(a)etfaldia, (b)etfaldig. Fortolk. 5.5. Erdegennemførteeksperimenter(dvs. ændringeria og G) ioverensstemmelse med den empirisk observerede samvariation mellem Y og C? 5

Københavns Universitet Det Naturvidenskablige Fakultet Økonomi 1, Matematik-Økonomi Studiet 4 timers prøve med hjælpemidler, 30. juni 2003. Alle opgaver skal besvares. Ved bedømmelsen vægtes alle spørgsmål lige meget. Opgave 1: Mikro (20 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 For en forbruger gælder at hvis hendes indkomster vokser, så vokser hendes forbrug af mindst en af de to varer også. 1.2 For en virksomhed gælder at gennemsnitsomkostningerne er mindre end marginalomkostningerne. 1.3 Under monopol er prisen højere end marginalomkostningerne. 1.4 I en bytteøkonomi med to varer og to forbrugere gælder at en forbruger kanstillesigselvbedrevedatforærenogetafdenenevaretildenanden forbruger inden de handler og ender i en Walrasligevægt. Opgave 2: Mikro (30 point) Betragt en bytteøkonomi med to varer og to forbrugere. De to varer er vanillekranse og bananlikør og de to forbrugere er Mutter og Fatter. Mutter er beskrevet ved initialressourcerne ω M =(ωv M,ωb M), hvor ωm v,ωb M > 0, og nyttefunktionen: u M (x v,x b ) = x v + x b, 1

hvor x v,x b > 0 er forbruget af henholdsvis vanillekranse og bananlikør. Fatter er beskrevet ved initialressourcerne ω F =(ωv F,ωb F ), hvor ωf v,ωb F > 0, og nyttefunktionen: u F (x v,x b ) = (x v 1) 2 (x b 1) 2, hvor ω M v + ω F v = ω M b + ω F b < 1. Prisen på vanillekranse er p v > 0ogprisenpå bananlikør er p b > 0. 2.1 Tegn to indifferenskurver for både Mutter og Fatter. 2.2 Afgør om deres præferencer er monotone og konvekser. 2.3 Opstil Mutters og Fatters problem og find deres efterspørgselsfunktioner. 2.4 Definer en Walrasligevægt for økonomien og kommenter definitionen. 2.5 Find en Walrasligevægt for økonomien. 2.6 Find de Paretooptimale allokationer for økonomien. 2

Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Økonomi 1, Matematik-Økonomi Studiet 4 timers prøve med hjælpemidler, Reeksamen 24. Jan 2004. Alle opgaver skal besvares. Ved bedømmelsen vægtes alle spørgsmål lige meget. 1 Opgave 1: Mikro (20 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 Hvis to nyttefunktioner repræsenterer samme præferencerelation, da må den ene nyttefunktion nødvendigvis være en lineær transformation af den anden. 1.2 Hvis en forbruger bruger hele sin indkomst på et enkelt gode, da må Engelkurven nødvendigvis være lineær. 1.3 Producer s surplus er identisk med pro tten. 1.4 Hvis en forbrugers præferencer for to goder kan repræsenteres ved en Cobb-Douglas nyttefunktion, da må goderne nødvendigvis være substitutter. 2 Opgave 2: Mikro (15 point) Forbruger A har nyttefunktionen u A (x 1 ; x 2 ) = maxfx 1 ; x 2 g; og forbruger B har nyttefunktionen u B (x 1 ; x 2 ) = x 1 + x 2 ; 1

hvor x 1 angiver forbruget af vare 1 og x 2 angiver forbruget af vare 2, x 1 ; x 2 0. Initialressourcerne er givet ved! A =! B = (1; 1), hvor! A er A s initialressourcer og! B er B s initialressourcer. 2.1 Illustrer præferencerne i en Edgeworthboks. Forklar hvad det vil sige at præferencer er konvekse henholdvis strengt konvekse, og angiv hvorvidt dette er tilfældet for de to forbrugere. 2.2 Giv en de nition af Pareto-optimalitet, og angiv de Pareto-optimale allokationer i Edgeworthboksen. 2.3 Redegør for at en Walras-ligevægt kan opnåes ved priserne (p 1 ; p 2 ) = (1; 1); og angiv den tilhørende ligevægtsallokation (hvis der er ere mulige ligevægtsallokationer ved disse priser så angiv dem alle). Kan der opnås en ligevægt ved priserne (p 1 ; p 2 ) = (2; 1)? 3 Opgave 3: Mikro (15 point) 3.1 En virksomheds omkostninger ved at producere en vare er givet ved C(y) = y 3 6y 2 + 20y + 25; hvor y 0 angiver den producerede mængde. Udregn AC, AVC og MC og redegør kort for betydningen af disse tre udtryk. 3.2 Antag at virksomheden opererer på et marked med fuldkommen konkurrence. Opstil virksomhedens udbudskurve. Angiv virksomhedens profitmaksimerende udbud hvis markedsprisen er p = 20 og udregn profitten. 3.3 Se nu bort fra 3.2 og antag i stedet at virksomheden er monopolist, og den inverse efterspørgselsfunktion er givet ved p(y) = 20 y: Angiv det pro tmaksimerende udbud og udregn pro tten. 2

Københavns Universitet Det Naturvidenskablige Fakultet Økonomi 1, Matematik-Økonomi Studiet 4 timers prøve med hjælpemidler, 30. juni 2004. Alle opgaver skal besvares. Ved bedømmelsen vægtes alle spørgsmål lige meget. 1 Opgave 1: Mikro (20 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 Et naturligt monopol vil altid opnå positiv pro t ved et Pareto-optimalt output. 1.2 I Stackelberg-modellen er det virksomheden der sidst fastsætter output som opnår højest pro t. 1.3 På et marked hvor en vare produceres med konstante marginalomkostninger er en Bertrand ligevægt Pareto-optimal. 1.4 En given nyttefunktion kan repræsentere ere forskellige præferencerelationer. 2 Opgave 2: Mikro (15 point) To forbrugere Allan og Bente har identiske nyttefunktioner: u A (x 1 ; x 2 ) = u B (x 1 ; x 2 ) = maxfx 1 ; x 2 g; hvor x 1 angiver forbruget af vare 1 og x 2 angiver forbruget af vare 2. De samlede initialressourcer er (2; 4), altså! =! A +! B = (2; 4), hvor! A er Allans initialressourcer og! B er Bentes initialressourcer. 1

2.1 Skitser præferencer i en Edgeworthbox og angiv om disse er konvekse og/eller monotone. Giv en mulig fortolkning af nyttefunktionerne. 2.2 Giv en de nition af, og angiv, de Pareto-optimale allokationer. 2.3 De ner en Walras-ligevægt, og afgør om en Pareto-optimal tilstand kan fås i en Walras-ligevægt ved følgende initialbeholdninger. 1.! A = (2; 0),! B = (0; 4): 2.! A = (1; 2),! B = (1; 2): 3.! A = (0; 0),! B = (2; 4): 3 Opgave 3: Mikro (15 point) Efterspørgslen på markedet for dieselolie kan udtrykkes ved D(p) = 2500 500p; hvor p er literprisen og D(p) er efterspørgslen målt i liter. Udbuddet kan udtrykkes ved S(p) = 250p 50; hvor S(p) er udbud målt i liter ved literprisen p. 3.1 Find et udtryk for den inverse efterspørgselskurve og den inverse udbudskurve, og angiv ligevægtsprisen og ligevægtsmængden på markedet for dieselolie. 3.2 Der pålægges nu en skat på 1 kr. per liter dieselolie. Find ligevægten ved denne skat, og angiv den relative fordeling af skattebyrden mellem købere og sælgere. 3.3 Angiv dødvægtstabet ved denne form for beskatning. 2

Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet ØkIntro, Matematik-Økonomi Studiet 3 timers prøve med hjælpemidler, 28. januar 2005. Eksamenssættet består af 3 sider. Alle opgaver skal besvares. Ved bedømmelsen vægtes alle spørgsmål lige meget. 1 Opgave 1 (35 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 Nyttefunktionerne u 1 (x 1 ; x 2 ) = x 1 x 2 og u 2 (x 1 ; x 2 ) = p x 1 p x2 repræsenterer samme præferencer. 1.2 Virksomhedens udbudskurve er lig med de variable gennemsnitsomkostninger. 1.3 Velfærdsteoriens 2. hovedsætning viser at enhver allokation i Edgeworthboksen kan opnås i en ligevægt ved en passende omfordeling af initialbeholdningerne. 1.4 For en forbruger må det gælde, at alle goder kan ikke være inferiøre. 1.5 I en Cournot-Nash ligevægt er det samlede output for højt i forhold til hvad der er samfundsmæssigt ønskeligt. 1.6 WARP er en betingelse som sikrer at forbrugeren har en nyttefunktion. 1.7 Under fuldkommen konkurrence har det ingen økonomisk betydning hvorvidt en fast afgift per solgt enhed (= quantity tax) pålægges køberne eller sælgerne. 1

2 Opgave 2: 25 point Forbruger A har nyttefunktionen og forbruger B har nyttefunktionen u A (x 1 ; x 2 ) = x 3 4 1 x 1 4 2 ; u B (x 1 ; x 2 ) = x 1 + 3x 2 ; hvor x 1 angiver forbruget af vare 1 og x 2 angiver forbruget af vare 2, x 1 ; x 2 0. Initialressourcerne er givet ved! A = (6; 4) og! B = (6; 0) hvor! A er A s initialressourcer og! B er B s initialressourcer. 2.1 Skitser indi erenskurverne for de to forbrugere i Edgeworthboksen. 2.2 Angiv alle Pareto-optimale allokationer i Edgeworthboksen. 2.3 Angiv forbrugernes efterspørgselsfunktioner. 2.4 Find en Walras-ligevægt. 2.5 Diskutér forudsætningerne for det benyttede ligevægtsbegreb. Ved de givne initialbeholdninger og præferencer, vil rationelle forbrugere altid forhandle sig frem til ligevægts-allokationen? 3 Opgave 3: 25 point En monopolist kan sælge en vare i to forskellige geogra ske områder, Region 1 og Region 2. Den inverse efterspørgselsfunktion i Region 1 er givet ved p 1 = 400 0:5y 1 ; hvor p 1 er prisen og y 1 0 den afsatte mængde. Den inverse efterspørgselsfunktion i Region 2 er givet ved p 2 = 300 y 2 ; hvor p 2 er prisen og y 2 0 den afsatte mængde. Monopolistens omkostninger er givet ved c(y) = 0:5y 2 ; hvor y = y 1 + y 2. 2

3.1 Find pro tmaksimerende priser p 1, p 2 og mængder y 1 ; y 2. Antag nu at en regulerende myndighed griber ind over for prisdiskriminering mellem regionerne, dvs vi skal have p 1 = p 2. 3.2 Find et udtryk for den aggregerede inverse efterspørgelsfunktion p(y) hvor p er prisen der tages på begge markeder. 3.3 Beregn pro tmaximerende pris p og mængder y 1 ; y 2. 3.4 Sammenlign resultaterne i 3.1 og 3.3. Kommentér på velfærdskonsekvenserne af prisdiskriminering (i denne model). 3.5 Forklar hvilken type prisdiskriminering der her er tale om, og redegør for hvilke overvejelser en o entlig myndighed generelt bør tage i forbindelse med regulering af monopolistens frihed til denne form for prisdiskriminering. 4 Opgave 4: 15 point En monopolist har følgende omkostningsfunktion c(y) = 16 + y 2 ; hvor y er output. Den inverse efterspørgsel er givet ved p(y) = 100 y; hvor p er markedsprisen, og y er den afsatte mængde. 4.1 Udregn monopolprisen, den afsatte mængde og pro tten. Illustrér i en gur. 4.2 Forklar hvorfor monopoloutput er samfundsmæssigt ine cient og angiv det samfundsmæssigt e ciente output. En regulerende myndighed har besluttet at give et fast tilskud per solgt enhed til monopolisten for at reducere dødsvægtstabet og gavne forbrugerne. 4.3 Bestem det samfundsmæssigt optimale tilskud og angiv myndighedens samlede udgifter. Diskuter de fordelingsmæssige konsekvenser og hvordan en sådan ordning kunne nansieres. 3

Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet ØkIntro, Matematik-Økonomi Studiet 3 timers prøve med hjælpemidler, Reeksamen 20. April 2005. Eksamenssættet består af re sider. Alle opgaver skal besvares. Blyant er tilladt skriveredskab. Ved bedømmelsen vægtes alle underspørgsmål lige meget. 1 Opgave 1 (35 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 Hvis en monopolist tilbyder mængerabatter kaldes det prisdiskriminering af 3. grad. 1.2 På en Engelsk auktion nedsættes prisen gradvist, indtil en køber accepterer. 1.3 I en Walras-ligevægt er alle forbrugere mindst lige så godt stillet, som hvis de forbrugte deres initialbeholdning. 1.4 For en producent gælder at hvis der er voksende skalaafkast så er gennemsnitsomkostningerne voksende. 1.5 På et marked med fuldkommen konkurrence er der intet dødvægtstab. 1.6 Hvis en forbruger har konvekse preferencer, så er det optimale forbrug indenfor budgetmængden entydigt bestemt. 1.7 I en Bertrand ligevægt er det samlede output for lavt i forhold til hvad der er samfundsmæssigt ønskeligt. 1

2 Opgave 2: 25 point Forbruger A har nyttefunktionen og forbruger B har nyttefunktionen u A (x 1 ; x 2 ) = minfx 1 ; x 2 g; u B (x 1 ; x 2 ) = minfx 1 ; 2x 2 g; hvor x 1 angiver forbruget af vare 1 og x 2 angiver forbruget af vare 2, x 1 ; x 2 0. Initialressourcerne er givet ved (! 1 A;! 2 A) = (1; 4); og (! 1 B;! 2 B) = (4; 0): 2.1 Tegn en Edgeworthboks og skitser forbrugernes indi erenskurver. 2.2 Angiv forbruger A s efterspørgselsfunktion. Er de to goder perfekte substitutter eller perfekte komplementer? 2.3 Vis at en Walras-ligevægt kan opnåes ved priserne (p 1 ; p 2 ) = ( 1; 1). 2 Find ligevægtsallokationen. NB du kan bruge at forbruger B s efterspørgsel er givet ved x 1 mb B = 2 2p 1 + p 2 x 2 mb B = : 2p 1 + p 2 2.4 Illustrér Walras-ligevægten i Edgeworthboksen, dvs. angiv ligevægtsallokationen og tegn budgetlinjen. 2.5 Angiv de Pareto-optimale forbrug i Edgeworthboksen. 2

3 Opgave 3: 20 point En virksomheds omkostninger ved at producere en vare er givet ved c(y) = y 3 6y 2 + 20y + 25; hvor y 0 angiver den producerede mængde. 3.1 Udregn AC, AVC og MC og redegør kort for betydningen af disse tre udtryk. 3.2 Skitser AVC og MC. Antag nu at virksomheden opererer på et marked med fuldkommen konkurrence. 3.3 Opstil virksomhedens udbudskurve. 3.4 Angiv virksomhedens pro tmaksimerende udbud hvis markedsprisen er p = 20 og udregn pro tten. 4 Opgave 4: 20 point En monopolist har følgende omkostningsfunktion c(y) = 32 + 1 2 y2 ; hvor y er output. Den inverse efterspørgsel er givet ved p(y) = 90 y; 4.1 Find monopolprisen, den afsatte mængde og pro tten. Illustrér i en gur. Antag nu at de faste omkostninger fordobles så at vi i stedet har c(y) = 64 + 1 2 y2 : 4.2 Find monopolprisen, den afsatte mængde og pro tten. Kommentér. 3

Antag nu at de variable omkostninger også fordobles så at vi nu i stedet har c(y) = 64 + y 2 : 4.3 Find monopolprisen, den afsatte mængde og pro tten. Kommentér. Antag nu at monopolisten har mulighed for perfekt prisdiskriminering (dvs. pris-diskriminering af 1. grad). 4.4 Find den afsatte mængde ved omkostningsfunktionen c(y) = 64 + y 2, og redegør for om dødvægtstabet stiger eller falder (i forhold til 4.3). 4

KØBENHAVNS UNIVERSITET Introduktion til økonomi 3-timers eksamen Januar 2006 Alle spørgsmål ønskes besvaret. Alle hjælpemidler er tilladt. Antal sider i opgaven: 3. Ved bedømmelsen lægges vægt på, at besvarelsen viser tydelig forståelse af økonomisk teori. 1. Korte spørgsmål Det ønskes afgjort, hvorvidt følgende udsagn er korrekte. Alle svar skal begrundes. 1. Lad nyttefunktionen f(u) være en monoton transformation af nyttefunktionen u. Da er de præferencer, der er repræsenteret ved f(u), monotone. 2. En produktionsfunktion, der kendetegnes ved aftagende marginalprodukt, har nødvendigvis også aftagende skalaafkast. 3. Kvasi-faste omkostninger forekommer kun på kort sigt. 4. Virksomhedens udbudskurve er den del af MC-kurven, der overstiger AC-kurven og vokser i takt med output. 2. Profitmaksimering Betragt en profitmaksimerende virksomhed, som befinder sig på et kompetitivt marked. Virksomheden benytter én inputfaktor i mængden x til produktion af output. Det oplyses, at produktionsfunktionen kan skrives som y=f(x), hvorom gælder, at (f x, -f xx )>0. Virksomheden kan sælge sin produktion til prisen p pr. produceret enhed, mens input koster w pr. anvendt enhed. Lad MP(x) være udtryk for virksomhedens marginalprodukt ved en vilkårlig inputmængde. Det oplyses, at virksomheden for øjeblikket anvender en inputmængde, hvorved p MP(x)>w. Hvad bør virksomheden fortage sig: i) øge input, ii) sænke input eller iii) ingen af delene? Begrund svaret.

3. Edgeworth-boksen Betragt en økonomi med to forbrugere, A og B, og to varer, 1 og 2. Der er ingen produktion i økonomien, men forbrugerne er udrustet med følgende initialressourcer: 1 2 ( A, A) (1,0) ω ω = og oplyses, at begge forbrugere opfatter de to varetyper som perfekte substitutter. 1 2 ( B, B) (1,1) ω ω =. Det i) Illustrer økonomien i en Edgeworth-boks. Kald den initiale fordeling W, og afmærk fordelingen i Edgeworth-boksen. Tegn for hver af forbrugerne den indifferenskurver, der går gennem W. ii) Afgør om W er en Pareto-efficient fordeling (begrund svaret). Hvis W ikke er Pareto-efficient, illustrer da de fordelinger, der i forhold til W er Pareto-forbedrende. Betragt fordelingen 1 2 1 2 ( A, A, B, B) (0,1,2,0) x x x x = kaldet M. iii) Afmærk fordeling M i Edgeworth-boksen. Er M en mulig fordeling (begrund)? Er M en Paretoefficient fordeling (begrund)? Der indføres nu et sæt af priser, ( p1, p 2). Det oplyses, at begge forbrugere tager priserne for givet. iv) Findes der et sæt af priser ( p1, p 2) > 0, således at M kan fås som markedsligevægt, givet at den initiale fordeling er W? Hvad er i så fald kravet til prisernes indbyrdes forhold? Begge svar skal begrundes. 4. Dødvægtstab Betragt et kompetitivt marked, hvor der handles én varetype. Udbud og efterspørgsel efter varen er illustreret i figur 1. Vil der opstå et samfundsmæssigt dødvægtstab, hvis staten subsidierer vareproduktionen med et subsidium af størrelsen s>0 pr. produceret vareenhed? Begrund svaret; begrundelsen bør understøttes af en illustration, der tager udgangspunkt i figur 1.

Figur 1 pris efterspørgsel udbud p* q* mængde

Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Introduktion til Økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 24. Jan. 2007. Eksamenssættet består af 3 sider Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Blyant er tilladt skriveredskab Opgave 1 (35 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 Perfekte komplementer er et eksempel på homotetiske præferencer. 1.2 Hvis en monopolist tilbyder mængderabatter kaldes det prisdiskriminering af 1. grad. 1.3 Velfærdsteoriens anden hovedsætning viser at der eksisterer en Walrasligevægt i enhver bytteøkonomi. 1.4 Virksomhedens udbudskurve er identisk med MC kurven. 1.5 Prisdiskriminering af 3. grad reducerer dødvægtstabet, i forhold til en situation med uniform (ensartet) monopolpris. 1.6 For en producent gælder det at hvis der er voksende skalaafkast så er marginalomkostningerne aftagende. 1.7 Præferencer skal være monotone for at WARP kan være opfyldt. Opgave 2 (30 point) Forbruger A har nyttefunktionen u A q x 1 A; x 2 A = x 1 A + x2 A; 1

og forbruger B har nyttefunktionen u B x 1 B; x 2 B = x 1 B ; hvor x 1 A angiver A s forbrug af vare 1, osv. Initialbeholdningerne er givet ved 1! 1 A;! 2 A = 2 ; 1 2 1! 1 B;! 2 B = 2 ; 1 : 2 2.1 Giv en fortolkning af forbrugernes nyttefunktioner. Brug gerne eksempler. 2.2 Vis forbrugernes præferencer i en Edgeworthboks. 2.3 Angiv om forbrugernes præferencer er konvekse og/eller strengt konvekse. 2.4 Find forbruger B s efterspørgsel, og vis at forbruger A s efterspørgsel er givet ved 1 (x 1 A; x 2 A) = 4 (p 2 ) 2 ; 1 p 1 1 p 2 + 1 : p 1 2 p 2 4 p 1 2 2.5 Angiv de Pareto-optimale allokationer i Edgeworthboksen. 2.6 Undersøg om en Walras-ligevægt ndes ved prisforholdet p 2 p 1 = p 3 1: Opgave 3 (10 point) 3.1 Diskutér, i relation til nyttefunktioner, hvad forskellen er på ordinal nytte og kardinal nytte. 3.2 Forklar hvordan en nyttefunktion kan konstrueres ud fra givne indi erenskurver, og redegør for om den konstruerede nyttefunktion er kardinal eller ordinal. 2

Opgave 4 (25 point) En virksomhed er karakteriseret ved følgende sammenhæng mellem output y og de samlede produktionsomkostninger: c(y) = 1 3 y3 4y 2 + 20y + 100: Virksomheden har monopol på hjemmemarkedet, hvor den inverse efterspørgsel er givet ved p(y) = 160 6y; hvor p er prisen, og y er den afsatte mængde. 4.1 Forklar hvorledes en monopolvirksomhed bestemmer det pro tmaksimerende pris-mængde valg. Illustrér virksomhedens pris-mængde valg i et diagram. 4.2 Beregn monopolistens optimale valg af produktion og pris samt den hertil svarende pro t. 4.3 Forklar hvorfor monopolvirksomhedens pro tmaksimerende pris-mængde valg er samfundsmæssigt ine cient. Angiv det samfundsmæssigt e - ciente pris-mængde valg samt den hertil svarende pro t. Antag nu at monopolisten gives mulighed for at sælge sin vare også i udlandet. På verdensmarkedet opererer virksomheden under fuldkommen konkurrence. Verdensmarkedsprisen er givet og er lig med 85. Hjemmemarkedet kan separeres (adskilles) fra det internationale marked, således at monopolisten kan prisdiskriminere mellem ind- og udland. 4.4 Beregn hvor meget monopolisten under disse omstændigheder vil producere og sælge ialt, samt hvorledes virksomheden vil fordele sit salg på hjemmemarkedet og eksportmarkedet. Hvad bliver hjemmemarkedsprisen? Beregn virksomhedens pro t under disse omstændigheder. Forklar overalt ræsonnementerne bag resultaterne. 4.5 Overvej om en afgift på eksporten vil være til gavn for forbrugerne på hjemmemarkedet. 3

Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Introduktion til Økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, reeksamen d. 20. April, 2007. Eksamenssættet består af 3 sider Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Blyant er tilladt skriveredskab Opgave 1 (35 point) Tag stilling til følgende udsagn og begrund dit svar. 1.1 Naturlige monopoler bør beskattes for at sikre at output er samfundsmæssigt efficient. 1.2 Hvis to nyttefunktioner repræsenterer samme præferencer, da må de to nyttefunktioner nødvendigvis være identiske. 1.3 For en forbruger må det nødvendigvis gælde, at hvis alle priser stiger (men indkomsten forbliver uændret) så falder forbruget af alle goder. 1.4 I en Stackelberg-ligevægt er det samlede output for højt i forhold til hvad der er samfundsmæssigt ønskeligt. 1.5 Hvis en forbruger har homotetiske præferencer, da er det udelukket at to goder kan være perfekte substitutter. 1.6 Hvis en forbruger maksimerer nytte, så er forbrugerens valg konsistent med WARP. 1.7 Under fuldkommen konkurrence har det ingen betydning for consumers surplus, hvorvidt en fast afgift per solgt enhed (=quantity tax) pålægges køberne eller sælgerne. 1

Opgave 2 (30 point) Forbruger A har nyttefunktionen u A x A 1,x A 2 = x A 1 + x A 2, og forbruger B har nyttefunktionen u B x B 1,x B 2 =min{x B 1,x B 2 }, hvor x A 1 ved angiver A s forbrug af gode 1, osv. Initialbeholdningerne er givet ω A 1,ω A 2 = (3, 2) ω B 1,ω B 2 = (4, 1). 2.1 Giv en fortolkning af forbrugernes nyttefunktioner. Brug gerne eksempler. 2.2 Vis forbrugernes præferencer i en Edgeworthboks. 2.3 Angiv om forbrugernes præferencer er konvekse og/eller strengt konvekse. 2.4 Opskriv forbrugernes efterspørgsler som funktion af priserne (p 1,p 2 ). 2.5 Undersøg om en Walras-ligevægt kan opnås ved priserne (p 1,p 2 ) = (1, 1). Overvej om en Walras-ligevægt kan opnås ved andre priser. 2.6 Angiv de Pareto-optimale allokationer i Edgeworthboksen. Overvej hvilke af disse allokationer der er stærkt Pareto-optimale og hvilke der er svagt Pareto-optimale. Opgave 3 (15 point) Betragt et marked med 10 identiske købere, hver med en efterspørgsel givet ved følgende inverse efterspørgselsfunktion: P (Q i )=101 10Q i, hvor P angiver prisen og Q i angiver den i te købers efterspørgsel, i =1,..., 10. 2

3.1 Vis den individuelle efterspørgsel i en figur. 3.2 Find markedsefterspørgslen. Vis markedsefterspørgslen i en figur. 3.3 Angiv den markedspris som maksimerer omsætningen. Hvad er priselasticiteten på efterspørgslen ved denne pris? Opgave 4 (20 point) En virksomheds omkostninger ved at producere en vare er givet ved c(y) = 1 3 y3 + y, hvor y 0 angiver den producerede mængde. 4.1 Udregn AC, AVC og MC og redegør kort for betydningen af disse tre udtryk. Illustrér i en figur. Antag at virksomheden opererer på et marked med fuldkommen konkurrence. 4.2 Opstil virksomhedens udbudskurve. Illustrér. 4.3 Angiv virksomhedens profitmaksimerende udbud hvis markedsprisen er p = 2 og udregn profitten. Angiv på tilsvarende vis virksomhedens profitmaksimerende udbud hvis markedsprisen er p =3og udregn profitten. Se nu bort fra antagelsen om at virksomheden opererer på et marked med fuldkommen konkurrence, og antag i stedet at virksomheden er monopolist på markedet. Den inverse efterspørgselsfunktion er givet ved p(y) =4 y. 4.4 Angiv profitmaksimerende udbud og pris og udregn profitten. Illustrér og sammenlign med resultaterne i 4.3. 3