Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1)

Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes til ikkekommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se www.tug.org og www.miktex.org. De anvendte skrifttyper er Utopia Regular og Paratype Sans Narrow. Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se www.ctan.org/pkg/pgf. Disse og andre noter kan downloades fra www.mathematicus.dk. cbna

Forord Disse noter er skrevet til undervisning i grundforløbet på stx. Indholdet dækker lineære og eksponentielle funktioner samt grundlæggende matematiske redskaber (brøkregning, ligningsløsning, osv.) som appendices. Noterne er opbygget således, at i. definitioner og sætninger er fremhævet i grå kasser, ii. blå tekst er klikbare henvisninger, iii. afslutningen på et bevis er markeret med, og iv. afslutningen på et eksempel er markeret med. Mike Auerbach Odense, 2015 3

Indhold 1 Grafer og funktioner 7 1.1 Variable og sammenhænge.... 7 1.2 Proportionalitet........... 8 1.3 Grafisk afbildning.......... 9 1.4 Funktioner.............. 10 1.5 Skæringspunkter........... 11 1.6 Grafisk løsning af ligninger..... 12 2 Lineære funktioner 13 2.1 Hældning og skæring med akserne 13 2.2 Beregning af forskriften....... 15 2.3 Lineær vækst............. 16 2.4 Lineær regression.......... 18 3 Rentesregning 19 3.1 Indledende procentregning.... 19 3.2 Procentvis vækst........... 20 3.3 Forskellige tidsperioder....... 24 3.4 Gennemsnitlig rente........ 26 4 Eksponentielle funktioner 29 4.1 Eksponentiel vækst......... 29 4.2 Beregning af forskriften....... 31 4.3 Fordoblings- og halveringskonstant 32 4.4 Eksponentiel regression...... 33 A Tal og regningsarter 35 A.1 Addition................ 35 A.2 Subtraktion og negative tal..... 35 A.3 Multiplikation............ 36 A.4 Division................ 37 A.5 Potenser og rødder......... 39 A.6 Regningsarternes hierarki..... 40 B Brøkregning 43 B.1 At forkorte og forlænge....... 43 B.2 Addition og subtraktion....... 44 B.3 Multiplikation og division..... 45 B.4 Hele tal og brøker.......... 47 B.5 Lidt om fortegn........... 47 C Potenser og rødder 49 C.1 Heltallige eksponenter....... 49 C.2 Det udvidede potensbegreb.... 50 D Algebra 53 D.1 Ensbenævnte størrelser....... 54 D.2 Parenteser............... 54 D.3 Toleddede størrelser......... 57 E Ligninger 59 E.1 Ligningsløsning........... 59 E.2 Nulreglen............... 62 E.3 Eksponentielle ligninger...... 63 E.4 To ligninger med to ubekendte.. 63 Bibliografi 67 Indeks 68 Formeloversigt 70 5

Grafer og funktioner 1 1.1 Variable og sammenhænge En variabel er som navnet måske antyder en størrelse, der varierer. 1 Det er altså en størrelse, som ikke har en fast værdi. En variabel i matematik betegnes altid med ét bogstav, 2 f.eks. x. Et af de steder, hvor man ofte støder på variable, er i formler. En formel er et regneudtryk til at bestemme en given størrelse, når man kender én eller flere andre størrelser. Arealet af et rektangel kan f.eks. bestemmes ved formlen 1 En størrelse, der ikke varierer, men har én fast værdi, kaldes en konstant. 2 I denne sammenhæng er det vigtigt at pointere, at der i matematik er forskel på store og små bogstaver x og X er altså to forskellige variable. A = l b, (1.1) hvor A betegner arealet, l længden og b bredden af rektanglet. I dette eksempel er både A, l og b variable. Dvs. A, l og b har ikke nogen fast værdi. Men der er dog en sammenhæng mellem værdierne af de tre variable det er denne sammenhæng man udtrykker vha. formlen. En af de ting, som matematik er særlig anvendeligt til, er netop at beskrive sammenhænge. Det kan som ovenfor være sammenhængen mellem arealer og bestemte længder. Det kan også i økonomi være sammenhængen mellem en vares pris og efterspørgslen på varen eller i fysik sammenhængen mellem tid og tilbagelagt strækning. Eksempel 1.1 Hvis man er tilsluttet bygas-forsyningen koster det 937,50 kr. om året i abonnement og 7,26 kr. pr. m 3 gas, der bliver brugt. Denne sammenhæng kan beskrives matematisk som P = 7,26 V + 937,50, hvor P er den pris, man skal betale om året, og V er det forbrugte antal m 3 gas. Eksempel 1.2 Hvis man lader en genstand falde, vil sammenhængen mellem den tid, der går, og den strækning, genstanden er faldet, være givet ved s = 4,91 t 2, hvor t er den forbrugte tid, og s er den tilbagelagte strækning. 3 Den måde, man normalt vil læse formel (1.1) på, er, at arealet af et rektangel afhænger af dets længde og bredde. l og b kaldes derfor for uafhængige variable, idet deres værdier kan variere frit, mens A kaldes for 3 Denne sammenhæng blev fundet eksperimentelt af Galileo Galilei i slutningen af 1500-tallet.[5] 7

8 1 Grafer og funktioner den afhængige variabel, idet dens værdi afhænger af de to andre variables værdier. 4 I matematiske sammenhænge, betragter man den variabel, der står isoleret på den ene side af lighedstegnet som den afhængige variable, mens de andre er uafhængige. Vil man i stedet betragte l som afhængig variabel, kan formlen (1.1) omskrives til 4 1.2 Proportionalitet l = A b. En af de typer af sammenhænge, der kan være mellem variable, er proportionalitet. Det defineres på følgende måde. Definition 1.1 (Proportionalitet) Hvis man lader k være en konstant (k 0) har man: 1) y er direkte proportional med x betyder, at y = k x. 2) y er omvendt proportional med x betyder, at y = k x. Konstanten k kaldes proportionalitetskonstanten. 5 Af og til kalder man også direkte proportionalitet for ligefrem proportionalitet. Når man taler om direkte proportionalitet, udelader man ofte ordet»direkte«. Hvis der i en tekst står»y er proportional med x«, menes der altså»... direkte proportional med... «. 5 Hvis man bytter lidt rundt på formlerne i definition 1.1 kan de to proportionalitetsformer også udtrykkes på denne måde: 1) y er direkte proportional med x, hvis y x = k. 2) y er omvendt proportional med x, hvis y x = k. Desuden kan man se, at hvis y = k x, er x = 1 k y. Dvs. at hvis y er direkte proportional med x (med proportionalitetskonstant k) er x også direkte proportional med y (med proportionalitetskonstant 1 k ). For omvendt proportionalitet har man, at hvis y = k x gælder også x = k y. Dvs. hvis y er omvendt proportional med x, er x også omvendt proportional med y (med den samme proportionalitetskonstant). Eksempel 1.3 Har man et mobiltelefonabonnement med fri SMS, hvor man kun betaler for opkald, og minutprisen er 0,70 kr., vil den samlede udgift være direkte proportional med antallet af talte minutter. Kalder man udgiften for U og antallet af talte minutter for M har man nemlig: U = 0,70 M. Her er proportionalitetskonstanten 0,70. Eksempel 1.4 Hvis man kører fra Odense til København (en strækning på ca. 160 km), vil rejsetiden være omvendt proportional med hastigheden, man kører med.

1.3 Grafisk afbildning 9 Hvis tiden t måles i timer og hastigheden v måles i km h, vil proportionalitetskonstanten være 160, og man får t = 160 v. Af denne sammenhæng ses det (som man skulle forvente), at hvis man kører 80 km h tager det 2 timer at køre fra Odense til København, og hvis man kører 160 km h, tager det kun 1 time. Eksempel 1.5»T er proportional med kvadratet på p og omvendt proportional med s.«denne sammenhæng kan under ét udtrykkes som T = k p2 s, hvor k er proportionalitetskonstanten. 6 1.3 Grafisk afbildning 6 Bemærk her, at»kvadratet på p«altså betyder p 2. Hvis man har to variable, der afhænger af hinanden, er det muligt at tegne et billede, der illustrerer sammenhængen. Et sådant billede kaldes en graf, og den tegnes i et koordinatsystem. Koordinatsystemer Et koordinatsystem kan forstås som en slags net, der lægges ud over planen, og som man bruger til at beskrive, hvor punkter befinder sig. Man starter med at tegne to akser, første- og andenaksen (ofte kaldet x- og y-aksen), der står vinkelret på hinanden. De to akser er tallinjer, der skærer hinanden i deres nulpunkter, jf. figur 1.1. Skæringspunktet mellem de to akser kaldes origo. A(2, 4) Ethvert punkt kan nu beskrives ud fra, hvilken værdi på førsteaksen og 4 hvilken værdi på andenaksen, punktet befinder sig ud for. Disse to værdier kaldes punktets første- og andenkoordinat. Et punkt består altså af B( 3, 2) 2 1 et såkaldt koordinatsæt (x, y), der fortæller, hvor punktet befinder sig i koordinatsystemet (jf. figur 1.1). Origo har f.eks. koordinaterne (0,0). 3 1 2 4 Grafer 2 (2) C (4, 2) (1) Har man en sammenhæng mellem to variable (f.eks. x og y) kan man tegne en graf over sammenhængen ved at markere de punkter, hvor førsteog andenkoordinaten passer ind i sammenhængen. Figur 1.1: De tre punkter A(2, 4), B( 3, 2) og C (4, 2) indtegnet i et koordinatsystem. Taleksempel Her ses på variabelsammenhængen y = 5 x 2. Man kan nu lave en tabel over værdier af x og de tilhørende værdier af y. Hvis man f.eks. vælger x = 3 får man: x = 3 y = 5 3 2 = 4.

10 1 Grafer og funktioner Tabel 1.1: En tabel for sammenhængen y = 5 x 2. x y 2 1 1 4 0 5 1 4 2 1 3 4 (2) En tabel kan derfor se ud som tabel 1.1. Denne tabel viser, at de punkter, der ligger på grafen, vil være ( 2,1), ( 1,4), (0,5), osv. Disse punkter kan nu sættes ind i et koordinatsystem, og grafen for sammenhængen fås ved at tegne en blød kurve gennem punkterne (se figur 1.2). På grafen vil man nu kunne aflæse, hvilke x- og y-værdier, der»hører sammen«. Dette kan man selvfølgelig også finde ud af, ved at regne på sammenhængen y = 5 x 2. 1.4 Funktioner ( 1, 4) (0,5) (1,4) I en variabelsammenhæng som f.eks. y = 5 x 2, er den højre side af formlen et regneudtryk, hvis værdi kun afhænger af værdien af x. Man siger derfor, at højre side er en funktion af x. ( 2, 1) 1 1 (3, 4) Figur 1.2: Grafen for y = 5 x 2. (2) (1) Funktioner navngiver man vha. et bogstav, her kan man f.eks. vælge f. For at vise, at f er en funktion af x kan man skrive sammenhængen på denne måde: f (x) = 5 x 2. Dette betyder, at f er et symbol for regneoperationen»sæt tallet i anden og træk det fra fem«. f (x) læses»f af x«, og parentesen skal ikke forstås som en regneparentes, men en angivelse af, at det er variablen x som funktionsværdien afhænger af. Sammenhængen f (x) = 5 x 2 kaldes funktionens forskrift. Forskriften for en funktion er altså en formel, der angiver, hvordan man beregner funktionsværdien, når man har valgt en værdi for den uafhængige variabel. 6 (2,6) Taleksempel Her ses på en funktion f (x) = 3 x + 2. Grafen for funktionen kan ses på figur 1.3. 1 (1) 1 2 Figur 1.3: Grafen for f (x) = 3 x + 2. Som det kan ses på figuren går funktionens graf igennem punktet (2,6). Dette kan man udtrykke på følgende måde: f (2) = 6. Det skal forstås sådan, at hvis man sætter x = 2 vil funktionens værdi blive 6. Dette kan man regne ud ved at erstatte x i funktionen forskrift med 2: f (2) = 3 2 + 2 = 3 4 = 3 2 = 6. Funktionsværdien kan selvfølgelig også aflæses på grafen, som det er gjort på figur 1.3. Eksempel 1.6 Her ses på funktionen h(t) = t 2 3.

1.5 Skæringspunkter 11 Funktionsværdierne h( 1) og h(4) beregnes således: h( 1) = ( 1) 2 3 = 1 3 = 2 h(4) = 4 2 3 = 16 3 = 13 Dette betyder så, at grafen for funktionen h går gennem de to punkter ( 1, 2) og (4,13). Hvis man kender funktionsværdien, kan man også finde ud af, hvilken værdi af den uafhængige variabel, der giver denne funktionsværdi. Dette kan gøres ved aflæsning, men problemet kan også løses ved udregning, som i følgende eksempel. Eksempel 1.7 Hvornår antager funktionen g (x) = 2x + 1 værdien 17? Svaret på dette spørgsmål finder man frem til ved at løse ligningen g (x) = 17. Det gøres på følgende måde: g (x) = 17 2x + 1 = 17 2x = 16 x = 8 Svaret på spørgsmålet er altså, at g (x) = 17, når x = 8. 1.5 Skæringspunkter Hvis to grafer skærer hinanden, kan man finde deres skæringspunkt ved at løse den ligning, der fremkommer ved at sætte de to funktionsudtryk lig hinanden. Dette skyldes, at der hvor graferne skærer hinanden, må både funktionsværdien og den uafhængige variabel have samme værdi for begge funktioner. Fremgangsmåden illustreres nemmest ved et eksempel. Eksempel 1.8 De to funktioner f (x) = x 5 og g (x) = 2x + 1 har grafer, der skærer hinanden (se figur 1.4). Koordinaterne til skæringspunktet bestemmer man ved at løse ligningen f (x) = g (x), hvorved man får x 5 = 2x + 1 3x = 6 x = 2.

12 1 Grafer og funktioner (2) Nu er førstekoordinaten x bestemt. For at finde punktet, skal man også kende andenkoordinaten y. Den bestemmes ved at sætte den fundne førstekoordinat ind i ét af funktionsudtrykkene 1 1 f (1) y = f (5) = 2 5 = 3 De to grafer skærer altså hinanden i (2, 3), som det også fremgår af figur 1.4. (2, 3) g 1.6 Grafisk løsning af ligninger Figur 1.4: Skæringspunktet for graferne for de to funktioner f (x) = x 5 og g (x) = 2x + 1. Man kan finde skæringspunkter mellem grafer ved at løse en ligning. Omvendt kan man også løse en ligning ved at aflæse skæringspunkter. Har man en ligning, kan man nemlig opfatte venstre og højre side som to funktionsudtryk. Der hvor de to er lig hinanden (dvs. der hvor graferne skærer hinanden) finder man ligningens løsning(er). Eksempel 1.9 Ligningen x 2 3 = 2x ( 3, 6) (2) kan løses ved at tegne graferne for f (x) = x 2 3 og g (x) = 2x. På figur 1.5 kan man se, at de to grafer skærer hinanden i ( 3,6) og (1, 2). Ligningen har derfor de to løsninger 1 1 (1) x = 3 x = 1. (1, 2) Figur 1.5: Løsningen til x 2 3 = 2x kan aflæses som førstekoordinaten til skæringspunkterne.

Lineære funktioner 2 Funktioner kan grupperes efter, hvordan deres forskrifter ser ud. 1 F.eks. har funktionerne f (x) = 3x + 2, g (x) = 7x 5 og h(x) = 4x + 3 1 De kan også grupperes efter, hvordan deres grafer ser ud, men det er to sider af samme sag. forskrifter, som følger samme mønster. Funktioner, der ser ud som f, g og h ovenfor, kalder man lineære funktioner. Definition 2.1 En lineær funktion er en funktion af typen f (x) = ax + b, (2) hvor a og b er to tal. h Det viser sig, at når man tegner grafen for en lineær funktion i et koordinatsystem, får man en ret linje; det er derfor funktionerne kaldes lineære (se figur 2.1). f 5 1 (1) 2.1 Hældning og skæring med akserne Ud fra figur 2.1 er det i princippet muligt at aflæse værdierne af tallene a og b i funktionernes forskrifter. Der gælder nemlig følgende sætning. g Figur 2.1: Graferne for de tre lineære funktioner f, g og h. Sætning 2.2 For en lineær funktion f (x) = ax + b gælder: 1) Hvis x stiger med 1, vil funktionsværdien stige med a. 2) Funktionens graf skærer andenaksen i b. Bevis Når x stiger med 1 stiger funktionsværdien fra f (x) til f (x+1). Funktionsværdien stiger derfor med f (x + 1) f (x) = (a(x + 1) + b) (ax + b) = ax + a + b ax b = a På andenaksen er x = 0, dvs. skæringen med andenaksen er f (0) = a 0 + b = b. 13

14 2 Lineære funktioner 2 Husk, at en koefficient er en konstant, som er ganget på en variabel. 1 g 2 f (2) 1 a = 3 a = 1 Figur 2.2: Aflæsning af tallene a og b. (1) For lineære funktioner gælder altså, at funktionsværdien stiger med et fast tal (a), hver gang x stiger med 1. Dette er årsagen til, at grafen bliver en ret linje. Jo større a er, jo hurtigere vokser f (x), og linjen bliver så mere stejl. Tallet a kalder man derfor for linjens hældning eller hældningskoefficient. 2 Hvis a er et negativt tal, falder f (x), når x stiger, og linjen vil derfor hælde den anden vej; funktionen er aftagende. Sætning 2.3 For en lineær funktion f (x) = ax + b fortæller hældningskoefficienten a følgende: 1) Hvis a > 0 er funktionen voksende. 2) Hvis a < 0 er funktionen aftagende. Eksempel 2.1 På figur 2.2 ses graferne for to lineære funktioner f og g. Grafen for f skærer andenaksen i 2, og når man går 1 til højre, skal man gå 1 op for at finde grafen igen, dvs. hældningskoefficienten er a = 1. f har derfor forskriften f (x) = 1 x + ( 2), hvilket reduceres til f (x) = x 2. Grafen for g skærer andenaksen i 1, og går man 1 ud langs førsteaksen, skal man gå 3 ned ad andenaksen, dvs. hældningen er 3. Forskriften er så g (x) = 3x + 1. 3 Med mindre linjen falder sammen med førsteaksen, så har den uendeligt mange punkter fælles med denne. I det specielle tilfælde, hvor hældningskoefficienten for en lineær funktion er 0, er funktionen konstant; dvs. grafen er en linje parallel med førsteaksen. En sådan linje har af gode grunde ingen skæringspunkter med førsteaksen. 3 En lineær funktion med en hældningskoefficient, der ikke er 0, har til gengæld en graf, der skærer førsteaksen. Dette skæringspunkt kan man regne sig frem til ud fra forskriften. Sætning 2.4 Grafen for den lineære funktion f (x) = ax + b skærer førsteaksen i ) punktet ( ba,0. 4 Husk, at alle punkter på førsteaksen har formen (x,0), og alle punkter på andenaksen har formen (0, y). Bevis På førsteaksen er andenkoordinaten 0. 4 Grafen for f skærer derfor førsteaksen, hvor f (x) = 0, dvs. ax + b = 0 ax = b x = b a.

2.2 Beregning af forskriften 15 ) Grafen skærer altså førsteaksen ( ba,0. Eksempel 2.2 Den lineære funktion f (x) = 4x 12 skærer andenaksen i b = 12 og har hældningen a = 4. Den skærer derfor førsteaksen i x = b a = 12 4 = 3. Funktionens graf skærer altså førsteaksen i punktet (3,0) og andenaksen i punktet (0, 12). 2.2 Beregning af forskriften Hvis man har to punkter på grafen for en lineær funktion, er funktionen entydigt bestemt. 5 Der er altså en sammenhæng mellem de to punkters koordinater og de to a og b. Det viser sig, at denne sammenhæng er givet ved to simple formler. 5 Der går nemlig kun én bestemt ret linje gennem to givne punkter. (2) Sætning 2.5 Hvis grafen for f (x) = ax + b går gennem de to punkter P(x 1, y 1 ) og Q(x 2, y 2 ), er a = y 2 y 1 x 2 x 1 og b = y 1 ax 1. Bevis På figur 2.3 ses grafen for funktionen f (x) = ax + b og de to punkter P(x 1, y 1 ) og Q(x 2, y 2 ). y 2 y 1 b P Q x 1 x 2 1 a (1) Da punktet P ligger på linjen, er f (x 1 ) = y 1, og da Q ligger på linjen, er f (x 2 ) = y 2. Dette giver de to ligninger Figur 2.3: De to punkter P og Q på grafen for f (x) = ax + b. y 2 = ax 2 + b y 1 = ax 1 + b (2.1) Trækker man den nederste ligning fra den øverste, får man som kan reduceres til y 2 y 1 = (ax 2 + b) (ax 1 + b), y 2 y 1 = ax 2 ax 1. Nu sættes a uden for parentes, og man får y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) og formlen for a er så bevist. y 2 y 1 x 2 x 1 = a, For at komme frem til formlen for b, ser man igen på ligningen (2.1): Isolerer man b i denne ligning fås y 1 = ax 1 + b. y 1 ax 1 = b, og formlen for b er dermed også vist.

16 2 Lineære funktioner Eksempel 2.3 En lineær funktion f har en graf, der går gennem punkterne P(3,5) og Q(6, 7). Hvad er funktionens forskrift? For at svare på dette spørgsmål, ser man på de to punkter. Heraf fremgår det, at x 1 = 3, y 1 = 5, x 2 = 6 og y 2 = 7. Nu kan man bruge formlerne i sætning 2.5, og man får og a = y 2 y 1 x 2 x 1 = 7 5 6 3 = 12 3 = 4, b = y 1 ax 1 = 5 ( 4) 3 = 5 + 12 = 17. Funktionens forskrift er altså f (x) = 4x + 17. 2.3 Lineær vækst 6 Denne sætning kan man også argumentere for ud fra sætning 2.2. Lineære funktioner vokser på følgende måde 6 Sætning 2.6 For en lineær funktion f (x) = ax +b gælder, at når x vokser med x, så vokser funktionsværdien med a x. Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, hvor x 2 = x 1 + x, så vil funktionsværdien vokse fra y 1 = f (x 1 ) = ax 1 + b til y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + x) = a(x 1 + x) + b = ax 1 + a x + b. Funktionsværdien er så vokset med y 2 y 1 = (ax 1 + a x + b) (ax 1 + b) = a x. Tabel 2.1: Vækst af f (x) = 3x + 7. +2 +2 +2 x y 2 1 0 7 2 13 4 19 +3 2 +3 2 +3 2 Hermed er sætningen bevist. Eksempel 2.4 I tabel 2.1 ses et eksempel på væksten af en lineær funktion. Funktionen f (x) = 3x + 7 vokser således, at hver gang x vokser med 2, vokser funktionsværdien med 3 2. Eksempel 2.5 Her ses på funktionen f (x) = 3x 4, som har hældningskoefficienten a = 3. Hvis x vokser med x = 5, vil funktionsværdien vokse med a x = 3 5 = 15. Hver gang, x stiger med 3, stiger funktionsværdien altså med 15. Omvendt kan man spørge, hvor meget x skal stige, for at funktionsværdien stiger med 60? I dette tilfælde er a x = 60, dvs. 3 x = 60 x = 20. x skal altså stige med 20, for at funktionsværdien stiger med 60.

2.3 Lineær vækst 17 Eksempel 2.6 For funktionen f (x) = 2x + 7 gælder, at når x stiger med x = 3, stiger funktionsværdien med a x = 2 3 = 6. At funktionsværdien stiger med 6 betyder, at funktionsværdien falder med 6, hver gang x stiger med 3. 7 Her følger et par eksempler på, hvordan en matematisk beskrivelse af lineær vækst kan give svar på forskellige spørgsmål. Eksempel 2.7 I en bestemt by er antallet af indbyggere givet ved 7 En negativ stigning svarer altid til et fald. I mange matematiske modeller, hvor man regner på vækst, kan det betale sig at regne med fortegn hele vejen igennem og først til sidst angive, om der er tale om stigning eller fald, afhængig af om resultatet er positivt eller negativt. N (x) = 213x + 14.752, hvor N (x) er antallet af indbyggere x år efter år 2000. I forskriften er der to konstanter, 8 213 og 14.752. 8 Husk, at en konstant er et fast tal. Funktionen N (x) er en lineær funktion, dvs. tallet 213 kan betragtes som en hældningskoefficient: Hver gang x stiger med 1, stiger funktionsværdien med 213. Da x måles i år, og funktionsværdien beskriver antallet af indbyggere, kan man altså sige, at antallet af indbyggere stiger med 213, hver gang x stiger med 1 år. Væksten i indbyggertallet er altså på 213 indbyggere om året. 14.752 er skæringen med andenaksen. Den opnås, når x = 0. Dette sker i år 2000, 9 og man kan derfor udlede, at indbyggertallet i byen var på 9 Idet år 2000 er 0 år efter år 2000. 14.752 i år 2000. Eksempel 2.8 Her ses på samme udvikling som i eksempel 2.7, N (x) = 213x + 14.752. Hvor meget vokser byens indbyggertal over en 10-års periode? Ud fra forskriften kan man se, at indbyggertallet vokser med 213 om året. Over en 10-års periode kommer der derfor nye indbyggere. 10 213 = 2130 Eksempel 2.9 Et firma producerer et antal varer. Omkostningerne ved produktionen er 2.000 kr. i startomkostninger og 17 kr. pr. produceret vare. Omkostningerne er altså en funktion af antallet af producerede varer. Denne funktion har forskriften o(x) = 17x + 2.000, hvor x er antallet af varer, og o(x) er de samlede omkostninger.

d 1 d 2 18 2 Lineære funktioner Eksempel 2.10 Det viser sig, at middeltemperaturen i Vestgrønland er afhængig af breddegraden,[3] sådan at T (x) = 0,732x + 46,1, hvor T er middeltemperaturen (i C) og x er breddegraden. Dvs. at middeltemperaturen i Vestgrønland falder med 0,732 C, hver gang breddegraden stiger med 1 grad. Den umiddelbare fortolkning af tallet 46,1 er, at det er temperaturen ved breddegraden 0, dvs. ækvator. Denne fortolkning giver dog ikke mening, idet modellen kun gælder for Vestgrønland. 100 (2) 1 y = 39,8x + 266,4 (1) Figur 2.4: En række målepunkter samt den bedste rette linje gennem punkterne. Det er således ikke muligt at give en fysisk fortolkning af tallet 46,1. 2.4 Lineær regression Når man beskriver vækst ud fra målte data, kan man komme ud for, at man har en række målepunkter, som ikke ligger præcist på en ret linje, men dog gør det med god tilnærmelse. Et eksempel kan ses på figur 2.4. Da punkterne ikke ligger præcist på en linje, vil det være forkert at bruge sætning 2.5 til at beregne en forskrift. Afhængig af, hvilke to punkter, man sætter ind i formlerne, vil man nemlig få vidt forskellige resultater for forskriften. (2) d 3 d 4 I stedet bruger man en metode, der kaldes lineær regression til at bestemme den rette linje, der ligger tættest muligt på alle punkterne. Denne metode er indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer, således at man blot skal indskrive punkterne i programmet, så får man at vide hvilken ligning, linjen har. Ligningen på figur 2.4 er fundet på denne måde. Metoden fungerer i praksis på den måde, at man finder den linje, der har den mindste afstand til alle punkterne. Afstanden defineres her som kvadratsummen D af den lodrette afstand fra linjen til punkterne. På figur 2.5 er afstanden f.eks. givet ved D = d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4. (1) Figur 2.5: Man minimerer kvadratsummen D = d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4. Denne sum indeholder flere led, jo flere målepunkter der er. Den søgte linje er så den, der gør D mindst mulig. Man kan udlede nogle formler til at beregne denne forskrift, men da disse formler er besværlige at regne på, overlades arbejdet til computeren.

Rentesregning 3 3.1 Indledende procentregning Procent kommer af det latinske pro centum, der betyder»pr. hundrede«. F.eks. betyder 3% tre pr. hundrede, dvs. tre hundrededele, eller sagt på en anden måde 3% = 3 100 = 0,03. I udregninger kan man altså altid erstatte tegnet % med en division med hundrede. 1 Vil man regne et givent tal om til procent, regner man den anden vej. F.eks. er 0,72 = 0,72 100 0,72 100 = = 72 100 100 100 = 72%. 1 Dette er som regel smart at gøre, idet man så slipper for evt. forvirring omkring, hvad % betyder i den givne situation. I denne udregning ganger man tallet 0,72 med 100 100, som er lig 1.2 Udreg- 2 Man ændrer ikke et tal ved at gange med ningen er dog en smule besværlig, og man kan spare lidt på dette besvær 1, heller ikke selv om 1-tallet er skrevet som ved at bemærke, at 100 100 100. 100 også kan skrives som 100%: 0,72 = 0,72 100% = 72%. Her ganger man tallet 0,72 med 100%, som er en anden måde at skrive tallet 1 på. Ofte drejer procentregning sig om at finde ud af, hvor meget en procentdel af en given størrelse er, dette gøres som i følgende sætning. Sætning 3.1 p% af en given størrelse K 0 udregnes som p% K 0 = p 100 K 0. Eksempel 3.1 Hvor meget sparer man, hvis en jakke til 800 kr. bliver sat 30% ned? Besparelsen svarer til 30% af 800 kr., dvs. 30% 800 kr. = 30 800 kr. = 0,3 800 kr. = 240 kr. 100 Man kan også være interesseret i at finde ud af, hvor mange procent en given størrelse udgør af en anden. Dette gøres således: 19

20 3 Rentesregning Sætning 3.2 For at finde ud af, hvor mange procent K 1 udgør af K 0 beregnes K 1 K 0 100%. Eksempel 3.2 Hvor stor en procentdel udgør 23 mennesker af 362 mennesker? Svaret fås vha. følgende udregning: 23 = 0,0635 = 0,0635 100% = 6,35%. 362 Eksempel 3.3 Hvor mange procent er 465 af 276? 3 Det er vigtigt at huske på, at det altså ikke er tallenes størrelse, der bestemmer, hvilket tal, der skal divideres med; men at man altid dividerer med det tal, der sammenlignes med. Svaret er: 465 = 1,6848 = 1,6848 100% = 168,48%. 276 Her giver udregningen et resultat, der ligger over 100%, men det skal det også, idet 465 er større end 276, så det må derfor udgøre mere end 100%. 3 3.2 Procentvis vækst I foregående afsnit så man på, hvordan man finder en bestemt procentdel af en størrelse, og hvordan man beregner, hvor mange procent en størrelse udgør af en anden. Det sker dog ofte, at man har brug for at beregne, hvad en størrelse vokser til, når man lægger en procentdel til, eller hvor mange procent en størrelse er større (eller mindre) end en anden. Taleksempel måde: Skal man lægge 12% til 140 kan man gøre det på følgende 1) Først finder man 12% af 140: 12% 140 = 0,12 140 = 16,8. 2) Dernæst lægger man den fundne værdi til de oprindelige 140, og man får resultatet: 140 + 16,8 = 156,8. I praksis viser det sig, at denne fremgangsmåde er noget besværlig. Især hvis man skal lægge en procentdel til flere gange det kunne f.eks. være, hvis man skulle finde ud af, hvor mange penge, der står på en konto efter 1, 2, 3 eller flere år. Heldigvis kan den ovenstående udregning forsimples en del. Skriver man de to trin sammen, kan man se, at for at lægge 12% til 140 skal man udregne: 140 + 12% 140 = 140 + 0,12 140.

3.2 Procentvis vækst 21 Her kan man sætte 140 uden for parentes, og man får 140 + 0,12 140 = 140 (1 + 0,12). Herudfra ses, at man altså skal gange de 140 med 1 + 0,12 = 1,12 for at lægge 12% til. Dette giver anledning til følgende definition: Definition 3.3 1) Vækstraten er tallet r, som angiver den brøkdel, en størrelse vokser med (regnet med fortegn). 2) Fremskrivningsfaktoren er tallet a givet ved a = 1 + r. Her følger to eksempler på, hvordan man beregner vækstraten og fremskrivningsfaktoren. Eksempel 3.4 Hvis en størrelse vokser med 7,5% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 7,5% = 0,075, a = 1 + r = 1 + 0,075 = 1,075. Eksempel 3.5 Hvis en størrelse aftager med 11% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 11% = 0,11, a = 1 + ( 0,11) = 0,89. Hvis man nu skal lægge 12% til 140, ses som før, at man skal udregne 140 + 12% 140 = 140 1,12. Men det vil sige, at 140 i virkeligheden ganges med fremskrivningsfaktoren som i dette tilfælde er a = 1,12. Heraf følger Sætning 3.4 Skal man lægge en procentdel til en størrelse K 0 får man den nye værdi K 1 = K 0 a, hvor a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren.

22 3 Rentesregning r +1 1 Figur 3.1: Omregning mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor. a I udregninger, hvor man taler om vækst i procent eller skal se hvor mange procent større/mindre en given størrelse er i forhold til en anden regner man altså ikke direkte med vækstraten r, men med fremskrivningsfaktoren a. Man vil normalt i en given sammenhæng få opgivet vækstraten r. Ud fra denne skal man beregne fremskrivningsfaktoren a, før man regner videre. Hvis det resultat, man leder efter, er den procentvise vækst, får man også en fremskrivningsfaktor som resultat, så denne skal igen regnes om til en vækstrate (se figur 3.1). Her følger et eksempel på, hvorledes man vha. formlen ovenfor lægger en procentdel til en størrelse: Eksempel 3.6 Der skal lægges 25% moms på en vare til 399,96 kr. Hvor meget kommer varen til at koste? Her er vækstraten r = 25% = 0,25. Fremskrivningsfaktoren beregnes: a = 1 + r = 1 + 0,25 = 1,25. Varens pris er derfor 399,96 kr. 1,25 = 499,95 kr. Nu ses på, hvordan man udregner, hvor mange procent en størrelse afviger fra en anden: Eksempel 3.7 En vares pris falder fra 179,95 kr. til 139,95 kr. Hvor mange procent er prisen faldet? Det ses, at formlen K 1 = K 0 a kan omskrives til a = K 1 K 0. Herefter beregnes a = K 1 139,95 kr. = K 0 179,95 kr. = 0,7777. Da dette er en fremskrivningsfaktor beregner vi vækstraten således r = a 1 = 0,7777 1 = 0,2223 = 22,23%. 4 I dette eksempel ser man igen, at det er vækstraten man taler om, men fremskrivningsfaktoren man regner med. Varens pris er altså faldet 22,23%. 4 Renteformlen I foregående afsnit er beskrevet, hvordan man lægger en procentdel til en given størrelse. Men det kan ske, at man skal lægge en procentdel til flere gange. Hvis man f.eks. sætter penge ind på en konto, der giver renter, kan det være interessant at vide, hvor mange penge der står efter 2, 3 eller flere år.

3.2 Procentvis vækst 23 Taleksempel Hvis man sætter 10.000 kr. ind på en konto, der giver 2,5% i rente p.a., 5 hvor mange penge står der så efter 5 år? 5 pro anno, dvs. pr. år Bruger man sætning 3.4, ser man, at man skal gange de 10.000 kr. med fremskrivningsfaktoren a = 1+2,5% = 1,025 for at finde beløbet efter 1 år. Det beløb man udregner skal man så igen gange med 1,025 for at finde beløbet efter 2 år osv. I alt skal man altså gange 10.000 kr. med 1,025 fem gange: 10.000 kr. 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025. Som man ser, skal man altså udregne 10.000 kr. 1,025 5 = 11.314,08 kr., så efter 5 år står der 11.314,08 kr. på kontoen. Dette kan generaliseres til en formel, som kaldes renteformlen. Sætning 3.5 (Renteformlen) En størrelse K 0, der vokser med vækstraten r pr. termin, er efter n terminer vokset til K n = K 0 a n, hvor a = 1+r er fremskrivningsfaktoren. Formlen kan også skrives som K n = K 0 (1 + r ) n. Der findes flere forskellige spørgsmål, man kan få svar på ved at bruge renteformlen. Et par af dem gennemgås i følgende eksempler Eksempel 3.8 Hvis man sætter 10.000 kr. ind på en bankkonto, hvor stor skal renten så være p.a. for at beløbet er steget til 12.000 kr. på 10 år? I dette tilfælde kender man K 0 = 10.000 kr., K 10 = 12.000 kr. og n = 10. Indsættes disse tal i renteformlen fås K n = K 0 a n 12.000 = 10.000 a 10. Regner man videre på denne ligning, får man 12.000 = 10.000 a 10 12.000 12.000 10.000 = a10 10 10.000 = a. a kan altså nu beregnes: a = 10 12.000 10.000 = 1,0184. Da dette er en fremskrivningsfaktor, findes den tilsvarende vækstrate ved r = 1,0184 1 = 0,0184 = 1,84%. For at beløbet vokser til det ønskede, skal renten altså være 1,84% p.a.

24 3 Rentesregning Eksempel 3.9 I en bestemt by har der gennem de sidste 20 år været en konstant vækst i indbyggertallet på 3% om året. Hvis der på nuværende tidspunkt bor 27.541 mennesker i byen, hvor mange indbyggere var der så for 12 år siden? For at løse dette problem, kan man anvende renteformlen, hvor man sætter n = 12, idet man jo skal gå 12 år tilbage. Man har, at K 0 = 27.541, r = 3%, dvs. a = 1,03, samt at n = 12. Renteformlen giver da svaret K 12 = 27,541 1,03 12 = 19.317. For 12 år siden havde byen altså 19.317 indbyggere. Eksempel 3.10 I Danmark er der 5,6 mio. indbyggere. Vækstraten er på nuværende tidspunkt ca. 0,4% om året.[2] Hvis denne vækst holder sig konstant, hvor mange år går der så, før der er 6 mio. danskere? Regner man i mio. er K 0 = 5,6. Fremskrivningsfaktoren er a = 1 + 0,4% = 1,004 og K n = 6. n er derimod ukendt. De kendte størrelser indsættes i renteformlen, og man får K n = K 0 a n 6 = 5,6 1,004 n. 6 Her udnyttes, at ligningen a x = b har løsningen x = log(b) log(a). 6 = 5,6 1,004 n Denne ligning løses: 6 6 5,6 = 1,004n ( ) log 6 5,6 log(1,004) = n 17,3 = n Der går altså 17,3 år, før Danmarks befolkningstal overstiger 6 mio., hvis væksten holder sig konstant på 0,4%. 3.3 Forskellige tidsperioder I dette afsnit gennemgås, hvordan man omregner mellem fremskrivningsfaktorer (dvs. i princippet også vækstrater) for forskellige perioder. Taleksempel Hvis man starter med at se på en størrelse, der vokser med 0,5% pr. måned, hvordan finder man så ud af, hvor meget det svarer til om året? Renteformlen giver, at man for at fremskrive størrelsen K 0 én måned skal gange med fremskrivningsfaktoren a måned = 1 + 0,5% = 1,005.

3.3 Forskellige tidsperioder 25 Går man nu et år frem i tiden, svarer det til 12 måneder. Ifølge renteformlen skal man altså nu gange K 0 med a 12 måned = 1,00512. Den årlige fremskrivningsfaktor er derfor givet ved a år = 1,005 12 = 1,0617. Dette svarer til vækstraten r år = 1,0617 1 = 6,17%. En månedlig rente på 0,5% svarer således til en årlig rente på 6,17%. Generaliserer man ovenstående udregning, får man følgende Sætning 3.6 Hvis den årlige fremskrivningsfaktor betegnes med a år og den månedlige med a måned gælder a år = a 12 måned. Denne sætning kan sagtens udvides til også at gælde for omregninger mellem andre tidsperioder end måned og år, hvilket illustreres i eksemplerne nedenfor. Eksempel 3.11 Hvis en størrelse K 0 vokser med 4% om året, hvor mange procent vokser størrelsen så på 10 år? Den årlige fremskrivningsfaktor er a 1 år = 1 + 4% = 1,04. Herudfra beregnes fremskrivningsfaktoren for 10 år som a 10 år = a 10 1 år = 1,0410 = 1,4802. Denne fremskrivningsfaktor svarer til en vækstrate på r 10 år = 1,4802 1 = 0,4802 = 48,02%. Hvis en størrelse vokser med 4% om året, vokser den altså med 48,02% på 10 år. Man kan også anvende sætning 3.6 til at omregne fra år til måned dvs. den modsatte vej: Eksempel 3.12 Hvis en bank giver 2,1% i rente p.a., hvor mange procent svarer det så til i månedlig rente? Først bemærkes, at der jo går 12 måneder på et år, så omvendt må 1 måned svare til 1 12 af et år. Herefter anvendes sætning 3.6 således: a måned = a 1 12 år. Indsætter man nu den årlige fremskrivningsfaktor a år = 1+2,1% = 1,021, får man a måned = 1,021 1 12 = 1,00173. En årlig rente på 2,1% svarer således til en månedlig rente på 0,173%.

26 3 Rentesregning 3.4 Gennemsnitlig rente Tabel 3.1: Renten r i og fremskrivningsfaktoren a i på en konto over 3 år. År r i a i 1 2,7% 1,027 2 3,0% 1,030 3 1,5 % 1,015 I alle de foregående afsnit ses på en fremskrivning med en fast vækstrate. Hvis vækstraten forandrer sig undervejs, hvad kan man så sige om udviklingen? Taleksempel Man sætter 1000 kr. ind på en konto. Pengene får lov at stå i 3 år, og undervejs ændrer renten sig som vist i tabel 3.1. For at kunne bestemme, hvor mange penge, der står, efter de 3 år er gået, skal man kende de tilhørende fremskrivningsfaktorer. Disse er beregnet i sidste kolonne i tabel 3.1. Nu kan det indestående beløb beregnes som K 3 = K 0 a 1 a 2 a 3 = 1000 kr. 1,027 1,030 1,015 = 1073,68 kr. (3.1) Hvis man i stedet havde fået en fast rente, hvilken størrelse skulle denne så have, for at der står det samme beløb på kontoen efter 6 år? Her er man altså ude efter at finde en gennemsnitlig vækstrate. For at svare på dette spørgsmål, kan man igen se på renteformlen. Hvis man kalder den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor for a, har man nemlig K 3 = K 0 a 3. Da dette skal give det samme resultat som ovenfor, nemlig at K 3 = 1073,68 kr., kan man ved at sammenligne med (3.1) konstatere, at der må gælde a 3 = a 1 a 2 a 3. Herudfra ses, at a = 3 a 1 a 2 a 3. Den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor bliver altså i dette tilfælde a = 3 1,027 1,030 1,015 = 1,02398. Den tilsvarende gennemsnitlige vækstrate bliver så r = a 1 = 1,02398 1 = 2,398%. Mere generelt kan man sige, at der gælder følgende Sætning 3.7 (Gennemsnitlig rente) Hvis en størrelse vokser gennem n terminer med fremskrivningsfaktorerne a 1, a 2,..., a n, er den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor pr. termin givet ved a = n a 1 a 2 a n. Den gennemsnitlige vækstrate er derfor givet ved r = n (1 + r 1 ) (1 + r 2 ) (1 + r n ) 1.

3.4 Gennemsnitlig rente 27 Eksempel 3.13 Indbyggertallet i en by vokser med en varierende procentdel over en 5- års periode. Væksten ses i tabel 3.2. At r 3 er negativ, betyder blot, at indbyggertallet falder i det pågældende år. For at finde frem til den gennemsnitlige vækst i procent i løbet af de 5 år, beregnes de 5 fremskrivningsfaktorer (se tabel 3.2). Nu kan den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor findes: Tabel 3.2: Vækstrate (r i ) og fremskrivningsfaktor (a i ) for indbyggertallet i en by i år i. i r i a i 1 2,2% 1,022 2 3,1% 1,031 3 1,2% 0,988 4 4,2% 1,042 5 6,0% 1,060 a = 5 1,022 1,031 0,988 1,042 1,060 = 1,02832. Den gennemsnitlige vækstrate i løbet af de 5 år er derfor r = 1,02832 1 = 0,02832 = 2,832%.

Eksponentielle funktioner 4 En eksponentiel funktion eller eksponentialfunktion defineres på følgende måde 1 Definition 4.1 En eksponentiel funktion er en funktion af typen f (x) = b a x, 1 I nogle beskrivelser er det kun funktioner af typen f (x) = a x, der kaldes eksponentielle funktioner, mens f (x) = b a x kaldes en eksponentiel udvikling. Her bruges»eksponentiel funktion«dog i begge tilfælde. hvor a og b er to positive tal. Tallet a i definition 4.1 kaldes fremskrivningsfaktoren 2 og b kaldes begyndelsesværdien. 2 Dette svarer fuldstændigt til fremskrivningsfaktoren i renteformlen K n = K 0 a n. At b kaldes begyndelsesværdien skyldes, at grafen for funktionen skærer andenaksen i punktet (0,b). Dette følger af, at g (2) f f (0) = b a 0 = b 1 = b. Et eksempel på grafer for eksponentielle funktioner kan ses på figur 4.1. For eksponentielle funktioner gælder der specielt, at deres grafer ikke skærer førsteaksen. Det skyldes, at funktionsværdierne ikke kan blive negative (eller 0), idet a x altid er positivt, så længe a er et positivt tal uanset værdien af x. 1 1 (1) 4.1 Eksponentiel vækst Hvis man sammenligner forskriften for en eksponentiel funktion f (x) = b a x med renteformlen K n = K 0 a n, kan man se, at der er tale om samme type vækst. Man kan derfor forvente, at eksponentielle funktioner vokser på den måde, at man ganger med fremskrivningsfaktoren a, for hver gang x stiger med 1. Dette er illustreret på figur 4.2. Generelt gælder følgende sætning Sætning 4.2 For en eksponentiel funktion gælder, at hver gang x vokser med x, ganges funktionsværdien med a x. Når x vokser med en fast værdi, vokser funktionsværdien altså med en fast procentdel. Figur 4.1: Graferne for de to eksponentielle funktioner f (x) = 2 1,4 x og g (x) = 4 0,8 x. y 0 a 3 y 0 a 2 y 0 a y 0 (2) 1 2 3 4 (1) Figur 4.2: Vækst af en eksponentiel funktion. 29

30 4 Eksponentielle funktioner Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, så vokser funktionsværdien fra y 1 = f (x 1 ) = b a x 1 til y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + x) = b a x 1+ x = b a x1 a x = y 1 a x. Den nye funktionsværdi y 2 er altså netop y 1 a x. Sætningen er hermed bevist. Tabel 4.1: Vækst af f (x) = 4 2 x. Eksempel 4.1 I tabel 4.1 ses, hvordan en eksponentiel funktion vokser. +3 +3 +3 x y 3 0,5 0 4 3 32 6 256 2 3 2 3 Her ses, at for funktionen f (x) = 4 2 x gælder der, at hver gang, x vokser med 3, ganges funktionsværdien med 2 3 = 8. 2 3 Hver gang x stiger med 1, vil funktionsværdien blive ganget med a 1 = a. Størrelsen af a afgør derfor, om en eksponentiel funktion er voksende eller aftagende, og man kan derfor argumentere for følgende 3 3 Argumentet er, at ganger man et hvilket som helst tal med et andet tal, som er større end 1, så vil resultatet blive større end det oprindelige tal. Hvis man omvendt ganger med et tal, som ligger mellem 0 og 1, får man et resultat, som er mindre end det oprindelige. Sætning 4.3 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder: 1) Hvis a > 1 er funktionen voksende. 2) Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Da en eksponentiel funktion er udtryk for procentvis vækst, giver det mening at definere vækstraten, som er r = a 1. Dette tal angives ofte i procent. For vækstraten gælder følgende, som følger af sætning 4.3. Sætning 4.4 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x defineres vækstraten Der gælder så, at r = a 1. 1) Hvis r > 0 er funktionen voksende. 2) Hvis r < 0 er funktionen aftagende. Når man ved, at procentvis vækst beskrives vha. eksponentielle funktioner, kan man udnytte dette til at opstille matematiske modeller for procentvis vækst.

4.2 Beregning af forskriften 31 Eksempel 4.2 I Honduras bor der 8,6 mio. mennesker i 2014, og befolkningsvæksten er på 1,7%.[6] Honduras befolkning kan altså beskrives ved en eksponentiel udvikling med begyndelsesværdi 8,6 og vækstrate 1,7%. Da vækstraten er 1,7% er fremskrivningsfaktoren a = 1 + 1,7% = 1 + 0,017 = 1,017. Befolkningstallet er altså givet ved funktionen f (x) = 8,6 1,017 x, hvor x er antal år efter 2014, og f (x) er befolkningstallet i mio. Eksempel 4.3 En bakteriekultur vokser eksponentielt, sådan at antallet af bakterier kan beskrives ved funktionen B(t) = 364 1,72 t, hvor t er tiden i timer, og B(t) er antallet af bakterier. Ud fra forskriften kan man udlede følgende: Til tiden t = 0 er der 364 bakterier. Fremskrivningsfaktoren er 1,72, hvilket vil sige at vækstraten er r = 1,72 1 = 0,72 = 72%. Antallet af bakterier vokser altså med 72% i timen. (2) 4.2 Beregning af forskriften Q(x 2, y 2 ) Hvis man har to punkter på grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x, kan man bestemme konstanterne a og b i forskriften (se figur 4.3). P(x 1, y 1 ) Sætning 4.5 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(x 1, y 1 ) og Q(x 2, y 2 ) er a = x 2 x 1 y2 og b = y 1 y 1 a x. 1 (1) Figur 4.3: Grafen for en eksponentiel funktion går gennem P og Q. Bevis Hvis P(x 1, y 1 ) ligger på grafen for f (x) = b a x, gælder der, at Da Q(x 2, y 2 ) også ligger på grafen for f, er y 1 = b a x 1. (4.1) y 2 = b a x 2. (4.2)

32 4 Eksponentielle funktioner Dividerer man nu ligning (4.2) med ligning (4.1) får man y 2 = b ax2 y 1 b a x 1 y 2 = ax2 y 1 a x 1 y 2 = a x 2 x 1 y 1 og formlen for a er så bevist. x 2 x 1 y2 y 1 = a, For at bevise formlen for b isolerer man b i ligning (4.1) og får y 1 = b a x 1 y 1 a x 1 = b. Formlen for b er dermed også bevist. Eksempel 4.4 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(2, 12) og Q(5, 96) er x 1 = 2, y 1 = 12, x 2 = 5 og y 2 = 96. Benytter man nu formlerne fra sætning 4.5 fås a = x 2 x 1 y2 96 = 5 2 y 1 12 = 3 8 = 2, b = y 1 a x = 12 1 2 2 = 12 4 = 3. Funktionens forskrift er så f (x) = 3 2 x. 4.3 Fordoblings- og halveringskonstant Funktionsværdien af en eksponentiel funktion vokser ifølge sætning 4.2 med en fast procentdel, når x vokser med et fast tal. Hvis en eksponentiel funktion er voksende, giver det derfor mening at undersøge, hvor meget x skal vokse, for at funktionsværdien vokser med 100% dvs. fordobles. Dette tal kalder man fordoblingskonstanten T 2. 4 Idet en fordobling (som er det samme som at lægge 100% til) svarer til at gange med 2. 5 Husk, at ligningen a x = c har løsningen x = log(c) log(a). Ifølge sætning 4.2 ganges funktionsværdien med a x, når x stiger med x. For at bestemme T 2 skal man derfor finde ud af, hvornår a x = 2. 4 T 2 er altså løsningen til ligningen Løsningen til denne ligning er 5 a T 2 = 2. T 2 = log(2) log(a).

4.4 Eksponentiel regression 33 (2) På figur 4.4 er fordoblingskonstanten illustreret. En vigtig pointe er her, at funktionsværdien fordobles hver gang man lægger T 2 til x. At funktionsværdien fordobles, hver gang man går et bestemt stykke ud ad førsteaksen, gælder kun for eksponentielle funktioner. For aftagende eksponentielle funktioner giver det i øvrigt ikke så meget mening at tale om en fordobling; her bestemmer man i stedet en halveringskonstant. Halveringskonstanten T 1 defineres helt analogt til fordoblingskonstanten, sådan at der gælder 2 følgende. 2 y 0 y 0 T 2 (1) x 0 x 0 + T 2 Sætning 4.6 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder Figur 4.4: Når man lægger T 2 til x 0, fordobles funktionsværdien. 1) Hvis f er voksende er fordoblingskonstanten T 2 = log(2) 2) Hvis f er aftagende er halveringskonstanten T 1 2 log(a). = log( ) 1 2 log(a). Eksempel 4.5 Den eksponentielle funktion f (x) = 3 1,7 x har fremskrivningsfaktoren a = 1,7. Fordoblingskonstanten er derfor T 2 = log(2) log(a) = log(2) log(1,7) = 1,31. Dvs. at hver gang x stiger med 1,31 fordobles funktionsværdien. En stigning fra x = 5 til x = 6,31 vil således give en fordobling af funktionsværdien, og det vil en stigning fra x = 100 til x = 101,31 også. 4.4 Eksponentiel regression Hvis man har en række målepunkter, der tilnærmelsesvist følger en eksponentiel udvikling, er det muligt at bestemme den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest muligt på alle punkterne, vha. en metode, der kaldes eksponentiel regression. Metoden er ligesom lineær regression indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer. Man indtaster her sine målepunkter, og får programmet til at beregne forskriften for den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest på alle målepunkterne. Ligningen på figur 4.5 er fundet på denne måde. 10 (2) y = 5,37 1,68 x 1 (1) Figur 4.5: En eksponentiel udvikling fundet vha. eksponentiel regression.

Tal og regningsarter A En af grundstenene i matematikken er tallene. Tal bruges til mange forskellige formål: til at tælle med, til at måle størrelser, til at opregne overskud og gæld. I de næste par afsnit ses på forskellige typer af tal samt de fire regningsarter: addition (at lægge sammen), subtraktion (at trække fra), multiplikation (at gange) og division (at dele/dividere). De første tal, man lærer at kende, er de tal, man kalder de naturlige tal. Det er de tal man bruger til at tælle med, dvs. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... Hvis man vha. et tal skal udtrykke, at der intet er, bruger man tallet 0, som dog ikke regnes med til de naturlige tal. A.1 Addition Den simpleste af de fire regningsarter er addition, at lægge sammen. Denne regneoperation udtrykker på sin vis det samme, som man kan sige med ordet»og«. 1 Har man f.eks. en bunke med 7 stk. og en bunke med 11 stk. har man i alt»7 stk. og 11 stk.«, dvs. 18 stk. I matematikken skrives dette 1 Selve symbolet + kommer med al sandsynlighed fra ordet et, som betyder»og«på latin.[1] 7 + 11 = 18. De to tal 7 og 11 kaldes led og resultatet 18 kaldes en sum. Da tegnet + udtrykker, at man lægger to værdier oven i hinanden, må det forventes, at rækkefølgen er ligegyldig, altså at Dette er også tilfældet. 7 + 11 = 11 + 7. A.2 Subtraktion og negative tal Én ting, man ikke kan udtrykke vha. af de naturlige tal, er ideen om mangel eller gæld. Hertil kan man bruge de negative tal. 2 I første omgang kan man nøjes med at se på de negative hele tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 2 De negative tal er en forholdsvis ny opfindelse inden for matematikken. Helt op i det 18. århundrede, var der matematikere, der mente, at de negative tal ikke eksisterede.[4] 35

36 A Tal og regningsarter 3 I regnestykket er der sat parentes om 3. Det gør man for at vise, at er et fortegn, dvs. det hører til tallet 3; en anden god grund er, at når man sætter parentesen, er det nemmere at se, at der både står et + og et. Helt generelt må man ikke skrive et fortegn lige efter et regnetegn uden at sætte en parentes. Man kan på sin vis sige, at ethvert negativt tal er et»modsat tal«til et positivt tal. Lægger man sammen får man f.eks. 3 3 + ( 3) = 0 og ( 3) + 3 = 0. Man kan argumentere for, at ( 3) er det modsatte tal til 3, og at der derfor må gælde, at ( 3) + ( 3) = 0. Men fordi 3 + ( 3) = 0, må man have, at ( 3) = 3. Dette må gælde for alle tal (og ikke kun tallet 3). Vha. de negative tal kan man definere subtraktion som addition med det modsatte tal. Et eksempel kunne være 8 2 = 8 + ( 2). Dette kan også forklare hvorfor man ikke bare kan bytte rundt på tallene. 2 8 er ikke det samme som 8 2, da tegnet faktisk hører til 2-tallet. Når man lægger sammen er rækkefølgen til gengæld ligegyldig, så man kan gøre følgende 8 2 = 8 + ( 2) = 2 + 8. Som man kan se, bliver tegnet ved med at stå foran 2-tallet. De to tal 8 og 2 i regnestykket kaldes ligesom ved addition for led, mens resultatet (6) kaldes en differens. A.3 Multiplikation At gange to tal (multiplicere dem) er faktisk en udvidelse af at lægge sammen, idet f.eks. 7 gange { }} { 7 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28. Heraf ser man også, hvorfor tegnet» «kaldes»gange«. 7 4 7 4 Hvor man ved addition nemt kan argumentere for, at rækkefølgen er ligegyldig, er det måske lidt sværere umiddelbart at se, hvorfor 7 4 = 4 7, men det skyldes at tallet 4 7 kan betragtes som arealet af et rektangel, der er 4 på den ene led og 7 på den anden. Figur A.1 giver et billede af denne ide. Figur A.1: Man kan ud fra billedet argumentere for, at 7 4 = 4 7. Tallene, der ganges sammen (her 7 og 4) kaldes faktorer, og resultatet (28) kaldes produktet af de to tal. Fortegn Det er simpelt at argumentere for, hvordan man ganger positive tal sammen; men hvad sker der, når man blander negative tal ind i regnestykkerne?

A.4 Division 37 Hvis man ser på de negative tal som gæld, er det naturligt at fortolke et regnestykke som 6 3 på den måde, at man gør en gæld på 6 stk. 3 gange så stor, hvilket giver en gæld på 18. Dvs. 6 3 = 18. Da rækkefølgen, man ganger i, er ligegyldig, gælder der så også, at 4 3 ( 6) = 18. 4 Bemærk parentesen om 6; den sætter man for at vise at fortegnet hører til 6- tallet (og den er ikke valgfri). Hvis man ganger et positivt tal med et negativt (eller omvendt) bliver resultatet altså negativt. For at finde ud af, hvad der sker, når man ganger to negative tal med hinanden, kan man bruge følgende argument: 2 ( 4) må være det modsatte tal til 2 ( 4). Og da 2 ( 4) = 8, må 2 ( 4) = ( 8) = 8. Når man ganger to negative tal med hinanden, bliver resultatet altså positivt. Fortegnsreglerne for multiplikation kan ses samlet i tabel A.1. A.4 Division Hvis 2 venner skal dele 6 colaer får de 3 hver. Regnestykket man udfører, er en division: 6 2 = 3. Tallet, som bliver delt (her 6), kaldes en dividend, mens tallet der deles med (2) kaldes en divisor. Resultatet af divisionen kaldes en kvotient. At dividere (eller dele) er det modsatte af at gange. Det, man finder svaret på, er i virkeligheden spørgsmålet: Hvilket tal skal man gange med 2 for at få 6? 5 Division resulterer ikke altid i et helt tal. Det er derfor nødvendigt at indføre nogle flere tal, nemlig brøkerne, dvs. tal som f.eks. 1 2, 5 3 og 7 13. Brøker er ikke helt så nemme at arbejde med som hele tal; hvordan lægger man f.eks. 1 2 og 2 3 sammen? De metoder, man anvender til det, kan faktisk udledes af alt det ovenstående. Da der er en del at argumentere for, følger det dog først i et senere afsnit. Tabel A.1: Fortegnsregler for multiplikation. Regler Eksempler (+) (+) = (+) 2 3 = 6 (+) ( ) = ( ) 2 ( 4) = 8 ( ) (+) = ( ) ( 3) 5 = 15 ( ) ( ) = (+) ( 5) ( 2) = 10 5 Det forklarer også, hvorfor man ikke kan dividere med 0. Resultatet af regnestykket 4 0 er svaret på spørgsmålet: Hvad skal jeg gange med 0 for at få 4? Men da et tal ganget med 0 altid giver 0, kan et tal ganget med 0 aldrig give 4. Det giver derfor slet ikke mening at dividere med 0. Fortegn Man kan se division som en skjult multiplikation. Regnestykket 6 2 = 3 kan også skrives på følgende måde 6 1 2 = 3. Men hvis division kan laves om til multiplikation, så må der gælde de samme fortegnsregler ved division som ved multiplikation.

38 A Tal og regningsarter Altså må f.eks. Tabel A.2: Fortegnsregler for division Regler (+) Eksempler (+) = (+) 6 2 = 3 (+) ( ) = ( ) 10 5 = 2 ( ) (+) = ( ) 14 2 = 7 ( ) ( ) = (+) 18 3 = 6 20 5 = 4, 14 2 = 7 og 18 6 = 3. Fortegnsreglerne for division kan ses samlet i tabel A.2. Decimaltal Ofte bliver tal, som ikke er hele, skrevet som decimaltal i stedet for som brøker. Et eksempel på et decimaltal kunne være 1,472. Dette tal kunne f.eks. være længden af et bord målt i meter. I princippet er et decimaltal en slags sum af brøker, idet 1,472 = 1 + 4 10 + 7 100 + 2 1000. Dette behøver man dog ikke tænke på, hver gang man anvender decimaltal. I praksis kan ethvert tal skrives som decimaltal, f.eks. er 1 2 = 0,5 1 3 = 0,333333333... 10 = 1,42857 142857 142857... 7 6 Dette gælder også f.eks. for 1 2. Selv om dette kan skrives som 0,5 er det mere præcist at skrive 1 2. Skriver man 0,5 kan læseren ikke se, om tallet rent faktisk har uendeligt mange 0 er efter 5-tallet, eller man har rundet af fra f.eks. 0,496. Som man kan se af de nederste to tal i eksemplet, har man dog nogle gange brug for at skrive uendeligt mange decimaler for at skrive tallet præcist som decimaltal. En brøk kan altså regnes for at være mere præcist end et decimaltal. 6 En anden ting, man kan se af eksemplet, er, at selvom f.eks. 10 7 ikke kan skrives præcist som decimaltal, så er der dog et mønster i decimalerne. Det er den samme række af tal, der bliver gentaget. Det gælder for alle tal, der kan skrives som en brøk, at når man skriver dem som decimaltal, vil de enten have et endeligt antal decimaler eller de vil gentage det samme mønster i det uendelige. Sådanne tal kaldes rationale tal. Irrationelle tal Hvis man skriver en brøk om til et decimaltal, så får man enten et endeligt antal decimaler, eller et uendeligt antal decimaler med et gentagende mønster. Heraf følger, at hvis man har et decimaltal med et uendeligt antal decimaler, som ikke har et mønster i decimalerne, så kan det pågældende tal ikke skrives som en brøk. Men kan man overhovedet forestille sig, at der findes tal, som ikke kan skrives som en brøk? Det viser sig, at der faktisk findes uendeligt mange af sådanne tal.

A.5 Potenser og rødder 39 Et meget kendt eksempel er tallet π, der er forholdet mellem diameteren og omkredsen i en cirkel. 7 Med 20 decimaler er π = 3,14159265358979323846... Her ses intet mønster i decimalerne, og det kommer der heller ikke, uanset hvor mange decimaler, man regner ud. 7 Det er en udbredt misforståelse, at tallet π er lig 22 7. Men 22 7 er blot en tilnærmelse; faktisk er π og 22 7 forskellige allerede efter 3. decimal. De tal, som ikke kan skrives som brøker, kaldes for de irrationale tal. De rationale og de irrationale tal udgør tilsammen de tal, man kalder de reelle tal. Hvis man forestiller sig tallene som punkter på en tallinje, så udgår de reelle tal alle tallene på linjen. Ud fra ovenstående gennemgang kan man nu inddele tallene i forskellige grupper: De naturlige tal tælletallene, 1, 2, 3, 4,... De hele tal som også inkluderer de negative:..., 3, 2, 1,0,1,2,... De rationale tal alle de tal, der kan skrives som brøker også negative. 8 De reelle tal alle tal. 8 De hele tal er også rationale, idet ethvert helt tal kan skrives som en brøk; f.eks. er 4 = 2 8 15 og 5 = 3. A.5 Potenser og rødder Ligesom 4 3 kan ses som en kort måde at skrive 4 + 4 + 4 på, har man en måde at skrive f.eks. 5 5 5 5 på. Da der er fire 5-taller, der ganges sammen, skriver man i stedet 5 4. Altså 9 4 gange { }} { 5 4 = 5 5 5 5. 9 Tallet 5 kaldes her grundtallet og 4 kaldes eksponenten. 5 4 kaldes»5 i fjerde«eller»den 4. potens af 5«. Den modsatte regneoperation kaldes roduddragning. Man kan f.eks. beregne 10 4 81 den fjerde rod af 81, 3 125 den tredje rod af 125, 10 Bemærk, at det ikke hedder den anden rod men kvadratroden, og at man her ikke skriver 2-tallet. Man skriver altså 49 og ikke 2 49. 5 32 den femte rod af 32, 49 kvadratroden af 49. Resultatet af regnestykkerne er 4 81 = 3 fordi 3 4 = 81 3 125 = 5 fordi 5 3 = 125 5 32 = 2 fordi 2 5 = 32 49 = 7 fordi 7 2 = 49. Der er en masse regneregler, man kan bruge, når man regner med potenser og rødder; disse gemmes til et senere afsnit.

40 A Tal og regningsarter A.6 Regningsarternes hierarki Når man skal udføre et regnestykke som f.eks. 7 + 5 3 2, bliver man nødt til at vide i hvilken rækkefølge, man skal udføre de forskellige trin. Skal man f.eks. lægge 7 og 5 sammen først, eller skal man udregne 3 2 først? 11 Rækkefølgen af regneoperationer følger af, at udregninger skal give logisk mening. At man skal gange, før man lægger sammen, kan man f.eks. se ved at huske, at 4 3 = 4 + 4 + 4. Derfor må 2 + 4 3 = 2 + 4 + 4 + 4, og derfor bliver man nødt til at gange sammen først (med mindre man vil skrive alle gangestykkerne om til plusstykker). Derfor har man nogle regler for, hvilken rækkefølge man skal regne i, sådan at man kan sikre sig, at alle får samme (og rigtige) resultat ud af et regnestykke. 11 Sætning A.1 (Regningsarternes hierarki) Når man skal udføre et regnestykke, skal udregningerne foregå i denne rækkefølge: 1) Først udføres potensopløftning og roduddragning. 2) Dernæst udføres multiplikation (gange) og division. 3) Til sidst lægger man sammen og trækker fra. Denne rækkefølge kan kun ændres ved brug af parenteser. Står en del af en udregning i parentes, skal den betragtes som et lille regnestykke for sig selv, som altid skal udregnes først. Et par eksempler på udregninger kunne være, Eksempel A.1 Et eksempel på anvendelse af regningsarternes hierarki: 2 17 4 2 3 = 2 17 4 8 Først beregnes potensopløfning. = 34 32 Så ganges der. = 2 Til sidst trækkes der fra. Eksempel A.2 Et eksempel, hvor der indgår parenteser: (6 + 2) 5 + 3 16 = 8 5 + 3 16 Parentesen udregnes først. = 8 5 + 3 4 Så uddrages rødder. = 40 + 12 Dernæst ganger man. = 52 Til sidst lægger man sammen. Man kan altså komme igennem et regnestykke ved at følge hierarkiet fra øverst til nederst og tage hensyn til eventuelle parenteser. Skjulte parenteser Når der i foregående afsnit tales om parenteser, gælder det også i de tilfælde, hvor man måske ikke umiddelbart tænker over, at der faktisk står en parentes.

A.6 Regningsarternes hierarki 41 I et regnestykke som 3+17 10 er det givet, at man skal udregne 3 + 17 først. Når en division er skrevet vha. en brøkstreg bliver der altså på sin vis introduceret parenteser, som man skal tage hensyn til, når man gennemfører udregningen. Det samme står man overfor, når man uddrager rødder. F.eks. skal man i regnestykket 17 8 beregne 17 8, før man tager kvadratroden. Eksempel A.3 I de følgende fire regnestykker er det vist eksplicit, hvor man skal sætte de parenteser, som er underforståede: 3 + 9 (3 + 9) = 4 4 50 7 2 = 50 (7 2) 7 2+1 = 7 (2+1) 7 + 9 = (7 + 9) 5 2 8 = (5 2) 8 Det er vigtigt at huske disse parenteser, når man regner; især hvis man taster regnestykket ind på en lommeregner. Eksemplet er ikke udtømmende, der kan sagtens findes andre typer af regnestykker, hvor der er en underforstået parentes. Som hovedregel gælder, at hvis noget ligner en afgrænset del af en udregning, så er det det nok også.

Brøkregning B En brøk er et tal, der betegner et antal dele af en enhed. En brøk skrives som to hele tal med en vandret streg imellem: 2 3, 7 4, 13 29. Den vandrette streg kaldes en brøkstreg, det øverste tal kaldes tælleren, og tallet under brøkstregen kaldes nævneren. 1 Brøken 2 3 er den størrelse, man får, når man deler 1 hel i 3 dele, og tager 2 af dem. En brøk kan også fortolkes som det præcise resultat, man får, når man dividerer tælleren med nævneren. Hvis man skal visualisere størrelsen af en brøk i forhold til de hele tal, kan det gøres vha. tallinjen (se figur B.1). B.1 At forkorte og forlænge Hvis en brøk kan fortolkes som det resultat, man får, når man dividerer tæller med nævner, så kan man jo forestille sig, at regnestykket går op, dvs. resultatet bliver et helt tal. Nogle brøker kan altså skrives om til hele tal, f.eks. 2 10 5 = 2, 36 9 = 4, 27 3 = 9. 1 Tæller og nævner kan være hvilke som helst hele tal, også negative; dog må nævneren ikke være 0. 2 3 0 1 2 3 5 2 0 1 2 3 Figur B.1: De to tal 3 2 og 5 2 placeret på tallinjen. 2 Omvendt kan de hele tal forstås som de brøker, der har den underforståede nævner 1, f.eks 8 = 8 1. Selvom regnestykket ikke går op, så er det nogle gange muligt at gøre tæller og nævner mindre; det kalder man at forkorte brøken. Det kan man, når der findes et tal, som går op i både brøkens tæller og nævner. Situationen er illustreret på figur B.2. Her kan man se, at 4 6 = 2 3. Det kan man også regne sig frem til, hvis man opdager, at tallet 2 går op i både tæller og nævner i brøken 4 6. Da en brøk er et udtryk for forholdet mellem tæller og nævner, ændrer den ikke størrelse, hvis tæller og nævner deles med samme tal. Altså er 4 6 = 4 / 2 6 / 2 = 2 3. 0 1 Man ændrer ikke brøkens værdi ved at forkorte. Tallet har præcis samme størrelse som før, man har blot gjort det mere læsevenligt og nemmere at regne med, idet tæller og nævner er blevet mindre. 4 6 2 3 0 1 Figur B.2: Man kan se ud af de to tallinjer, at 4 6 = 2 3. 43

44 B Brøkregning Eksempel B.1 Et par yderligere eksempler på, hvordan man forkorter brøker: 15 36 = 15 / 3 36 / 3 = 5 12, 24 56 = 24 / 8 56 / 8 = 3 7, 27 18 = 27 / 9 18 / 9 = 3 2. 3 Det er vigtigt at huske, at man skal dividere eller gange med samme tal i både tæller og nævner. Ellers ændrer man brøkens værdi. Når man kan dividere med samme tal i tæller og nævner uden at ændre brøkens værdi, så kan man også gange. 3 Herved bliver både tæller og nævner større, og det virker ikke umiddelbart smart; men det viser sig at være brugbart, når man skal lægge brøker sammen mere om det i næste afsnit. Her vises blot et par eksempler på, hvordan man forlænger en brøk. Eksempel B.2 Hvis man forlænger 3 4 med 5, får man Forlænger man 8 5 med 3, får man 3 4 = 3 5 4 5 = 15 20. 8 5 = 8 3 5 3 = 24 15. B.2 Addition og subtraktion 0 1 2 5 Figur B.3: Regnestykket 2 5 + 4 5 = 6 5 illustreret på tallinjen. 4 5 6 5 Det viser sig, at man kun kan lægge brøker sammen, hvis de har samme nævner. Hvis det er tilfældet, lægger man blot tællerne sammen. F.eks. er 2 5 + 4 5 = 2 + 4 = 6 5 5. Dette regnestykke er illustreret på figur B.3. Uanset hvor meget man gerne vil, kan man ikke lægge brøker sammen, der har forskellige nævnere. Ikke desto mindre ville det være rart at kunne beregne f.eks. 1 4 + 2 3. Hvis man kun kan lægge brøker sammen, der har samme nævner, må man derfor på en eller anden måde sørge for, at de to brøker får samme nævner. kan man for- Dette gør man ved at forlænge brøkerne. I tilfældet 1 4 + 2 3 længe 1 4 med 3 og 2 3 med 4; så får man 1 4 + 2 3 = 1 3 4 3 + 2 4 3 4 = 3 12 + 8 12 = 11 12. Når man forlænger på denne måde, får begge brøkerne nævneren 12, og man kan så lægge dem sammen. 4 Men det er ikke altid nødvendigt. Nogle gange kan man nøjes med at forlænge med to mindre tal og stadig få samme nævner på de to brøker. I regnestykket ser man, at man forlænger den ene brøk med den andens nævner (og omvendt). Denne teknik virker altid. 4

B.3 Multiplikation og division 45 Eksempel B.3 Et par eksempler på, hvordan man lægger brøker sammen: 1 3 + 1 2 = 1 2 3 2 + 1 3 2 3 = 2 6 + 3 6 = 5 6, 7 4 + 2 11 = 7 11 4 11 + 2 4 11 4 = 77 44 + 8 44 = 85 44, 3 5 + 1 10 = 3 2 5 2 + 1 10 = 6 10 + 1 10 = 7 10. I den sidste udregning ses, at det ikke altid er nødvendigt at forlænge begge brøker for at få fælles nævner. 5 Hvis man skal trække brøker fra hinanden, så fungerer det på samme måde, som når man lægger sammen. Man kan kun trække en brøk fra en anden brøk, hvis de har samme nævner. F.eks. 8 13 3 13 = 8 3 13 = 5 13. 5 Det er ofte en fordel at forlænge med så små tal, som overhovedet muligt, fordi små tal simpelthen er nemmere at regne med. Har de to brøker ikke samme nævner, så må man forlænge, sådan at de får den samme nævner. Eksempel B.4 Her er tre eksempler på, hvordan man trækker brøker fra hinanden. 4 3 2 5 = 4 5 3 5 2 3 5 3 = 20 15 6 15 = 14 15, 7 8 1 2 = 7 8 1 4 2 4 = 7 8 4 8 = 3 8, 2 3 4 5 = 2 5 3 5 4 3 5 3 = 10 15 12 15 = 2 15. Det er i øvrigt god stil at forkorte resultatet så meget som muligt (hvis det kan forkortes). B.3 Multiplikation og division En af de måder, man kan finde ud af, hvordan man ganger tal sammen på, er ved at betragte produktet som et areal. Man finder som bekendt arealet af et rektangel ved at gange længden med bredden. Resultatet af et regnestykke som 4 5 2 3 vil altså være arealet af et rektangel, som er 4 5 langt og 2 3 bredt. På figur B.4 kan man se resultatet af regnestykket illustreret. Her ses, at 4 5 2 3 = 8 15. 1 2 3 Hvis man ser nærmere på figuren, kan man se, at antallet af fyldte rektangler (resultatets tæller) fås ved at gange de to tællere (4 og 2) sammen. Antallet af små rektangler som 1 hel deles op i finder man ved at gange de to nævnere (5 og 3). Samlet set er altså 4 5 2 3 = 4 2 5 3 = 8 15. 4 5 Figur B.4: Illustration af 4 5 23 = 8 15. 1

46 B Brøkregning Brøker bliver altså ganget sammen, ved at man ganger tæller med tæller og nævner med nævner. Eksempel B.5 Et par eksempler på gangestykker: 3 2 5 7 = 3 5 2 7 = 15 14, 4 9 7 11 = 4 7 9 11 = 28 99, 1 3 5 2 13 7 = 1 5 13 3 2 7 = 65 42. Den sidste type regnestykke, der gennemgås i dette kapitel er division. Som eksempel kan man se på regnestykket 6 Dette regnestykke er udtryk for en generel regel: Når man ganger en brøk med dens omvendte, bliver resultatet 1. 4 / 2 7 5. For at finde ud af, hvad dette giver er det nødvendigt først at konstatere, at 6 2 5 5 2 = 2 5 5 2 = 10 10 = 1. Hvis man tager det oprindelige regnestykke 4 2 7/ 5 og ganger det med 1, så ændrer man ikke noget ved resultatet, dvs. man kunne lige så godt have skrevet 4 / 2 7 5 1. Men når man ved, at 2 5 5 2 = 1, så kan man også skrive det som 4 / ( 2 2 7 5 5 5 ). 2 Rækkefølgen, man ganger og dividerer i, er uden betydning. Så man kan uden videre flytte parentesen, så der i stedet står ( 4 / 2 7 5 2 ) 5 5 2. Nu står der inde i parentesen, at 4 7 skal divideres med 2 5, hvorefter man skal gange med 2 5. Da division og multiplikation virker modsat hinanden, gør det i virkeligheden intet ved tallet 4 7. Man kan derfor i virkeligheden fjerne det, og nøjes med at skrive ( ) 4 5 7 2, som er det samme som 4 7 5 2. Hele vejen igennem er der regnet på det samme regnestykke. Derfor må man kunne konkludere, at 4 7 / 2 5 = 4 7 5 2. Man dividerer altså med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.

B.4 Hele tal og brøker 47 Eksempel B.6 Et par eksempler: 3 / 7 8 5 = 3 8 5 7 = 15 56, 1 / 11 5 = 1 2 5 11 = 5 22, 2 7 6 / 3 13 = 7 6 13 3 = 91 18. B.4 Hele tal og brøker Hvis der indgår hele tal i en udregning med brøker, så er den nemmeste måde at regne videre på simpelthen at lave de hele tal om til brøker. Dette kan man gøre ved at give dem nævneren 1. F.eks. er 8 = 8 1, 12 = 12 1 og 3 = 3 1. Herefter bliver regnestykkerne nemmere, idet man jo nu kun har brøker. Eksempel B.7 Som eksempel kan man se på regnestykket 2 + 3 4. Laver man 2-tallet om til en brøk, får man 2 1 + 3 4. For at man kan lægge de to brøker sammen, skal de have fælles nævner. Det kan man få ved at forlænge 2 1 med 4: 2 1 + 3 4 = 2 4 1 4 + 3 4 = 8 4 + 3 4 = 11 4. Resultatet er altså 11 4. Eksempel B.8 Hvis man skal udføre divisionen 4 3 er 4 3 / 5, så laves 5-tallet om til brøken 5 1. Så / 5 1 = 4 3 1 5 = 4 15. B.5 Lidt om fortegn Hvis man skal regne med fortegn i brøkregnestykker, foregår det på nøjagtigt samme måde, som når man dividerer, idet en brøk kan fortolkes som en division. Når man dividerer et positivt tal med et negativt eller et negativt med et positivt, er resultatet negativt. Derfor er f.eks. 6 11 = 6 11.

48 B Brøkregning Man skriver derfor som regel fortegnet uden for brøken, dvs. 6 11 Når der står et minus uden for brøken, betyder det altså blot, at resultatet er negativt; og da man får samme resultat, hvad enten minusset sættes på tælleren eller nævneren, er det i princippet ligegyldigt, hvor minusset står, så længe der kun er ét. Er der placeret et minus på både tæller og nævner, dividerer man to negative tal med hinanden, og så bliver resultatet positivt. Altså 13 7 = 13 7. Hvis man har et længere gange- og divisionsstykke, kan man afgøre fortegnet for resultatet ved at huske, at alle par af minusser»forsvinder«. Hvis der er et lige antal minusser i regnestykket, bliver resultatet positivt, er antallet af minusser ulige, bliver resultatet negativt.

Potenser og rødder C I dette kapitel beskrives nogle af de regneregler, der gælder for potenser og rødder. Først gennemgås potenser med heltallig eksponent, derefter ses på, hvordan dette kan udvides til også at omfatte eksponenter, som er brøker eller negative tal. C.1 Heltallige eksponenter Potensopløftning virker som bekendt på følgende måde: 1 5 gange { }} { 3 5 = 3 3 3 3 3. 1 I regnestykket 3 5 kaldes 3 for grundtallet og 5 kaldes eksponenten. Roduddragning er den modsatte regneoperation, så f.eks. er 4 16 = 2, fordi 2 4 = 16. Hvis man ganger to potenser med samme grundtal, kan man f.eks. gøre følgende: 2 + 4 = 6 gange { }} { 7 2 7 4 = }{{} 7 7 7 } 7 {{ 7 7 } = 7 6. 2 gange 4 gange Dividerer man to potenser med samme grundtal, kan man lave en udregning som denne: dvs. 4 5 4 3 = 4 4 4 4 4 = 4 4 = 4 2, 4 4 4 4 5 4 3 = 45 3. Har man to potensopløftninger efter hinanden, får man: 3 gange à 4 { }} { (2 4 ) 3 = (2 } 2 {{ 2 2 } ) (2 } 2 {{ 2 2 } ) (2 } 2 {{ 2 2 } ) = 2 4 3 = 2 12. 4 gange 4 gange 4 gange Når man har set på, hvad der sker, når man regner på to potenser med samme grundtal, er det næste, man kan se på, hvad der sker, når man har to potenser med samme eksponent. Ganger man to potenser med samme eksponent, kan man f.eks. få følgende: 5 3 2 3 = 5 5 5 2 2 2 = 5 2 5 2 5 2 = (5 2) (5 2) (5 2) = (5 2) 3. 49

50 C Potenser og rødder Ved division, sker dette: 7 4 3 4 = 7 7 7 7 3 3 3 3 = 7 3 7 3 7 3 7 ( ) 7 4 3 =. 3 Alle disse udregninger kan generaliseres til 5 regneregler for potenser. Sætning C.1 Hvis m og n er to naturlige tal og a og b er to vilkårlige tal, gælder følgende 1) a m a n = a m+n. 2) Hvis a er forskellig fra 0 og m > n er am a n = a m n. 3) (a m ) n = a m n. 4) a n b n = (a b) n. 5) Hvis b er forskellig fra 0 er an b = ( ) a n. n b C.2 Det udvidede potensbegreb I dette afsnit udvides potensbegrebet til også at omfatte eksponenter, som ikke er hele, positive tal. Her opstår der et interessant spørgsmål: Hvad der menes med 5 4 er til at forstå; men hvordan skal man fortolke f.eks. 2 7 eller 3 1 4? Det, man gør i praksis for at definere, hvordan disse»skæve«eksponenter skal forstås, er at kræve, at regnereglerne i sætning C.1 skal gælde, uanset hvilke værdier eksponenterne har. Ud fra dette finder man, at potensopløftning, hvor eksponenten er et negativt tal eller en brøk, kun kan fortolkes på én måde. Regner man f.eks. på 5 0, finder man vha. regel 2 i sætning C.1, at 2 Bortset fra 0, da man ikke må dividere med 0. 3 Her udnytter man, at det lige er vist, at 5 0 = 1, 6 0 = 1, 43 0 = 1, osv. 5 0 = 5 2 2 = 52 5 2 = 1. Man kunne her lige så godt have set på et andet grundtal end 5; vha. samme type udregning kan man f.eks. vise, at 7 0 = 1. Udregningen vil altså kunne generaliseres til alle tal. 2 Har man en potensopløftning med en negativ eksponent, kan man igen udnytte samme regneregel og få 3 6 3 = 6 0 3 = 60 6 3 = 1 6 3. Dette regnestykke kan også gennemføres med andre tal, så man f.eks. finder, at 13 7 = 1 13 7. Argumentet går godt for alle grundtal bortset fra 0. For at man kan sige noget om potensopløftning med brøker som eksponent, kan man bruge regel 3 i sætning C.1, til at beregne f.eks. (8 1 3 ) 3. Det giver (8 1 3 ) 3 = 8 1 3 3 = 8 1 = 8.

C.2 Det udvidede potensbegreb 51 Men der gælder også, at 4 ( 3 8) 3 = 8. Derfor må 8 1 3 3 = 8. Dette kan forklare, hvordan man skal fortolke situationen, hvis eksponenten er 1 2, 1 7 eller 1 73 ; men det siger intet om, hvad der sker, hvis eksponenten er en brøk, hvor tælleren ikke er 1. 4 Fordi roduddragning er det modsatte af potensopløftning. Her kan man i stedet se på følgende udregning 4 5 7 = 4 5 1 7 = (4 5 ) 1 7 = 7 4 5. Hvis potensregnereglerne skal gælde for alle tal, har man derfor følgende definition. Definition C.2 Der gælder følgende definitioner. 1) a 0 = 1 (hvis a 0). 2) a n = 1 a n (hvis a 0). 3) a p q = q a p. For de udvidede potenser gælder i øvrigt samme regneregler, som for de heltallige potenser, 5 så man har følgende sætning. Sætning C.3 Der gælder følgende regneregler 5 Det var netop dette krav, der førte til definition C.2. 1) a x a y = a x+y. 2) (a x ) y = a x y. 3) ax a y = ax y. 4) a x b x = (a b) x. 5) ax ( a ) x. b x = b Da roduddragning i virkeligheden er et specialtilfælde af potensopløftning, kan man også udlede følgende sætning. 6 6 De to regneregler følger af, at f.eks. Sætning C.4 Hvis a > 0 og b > 0, gælder der 1) x a x b = x a b. 2) x a x b = x a b. 3 5 3 2 = 5 1 3 2 1 3 = (5 2) 1 3 = 3 5 2 7 4 7 11 = 4 1 7 11 1 7 ( ) 1 4 7 7 4 = = 11 11. I sætning C.4 er der ingen regneregel for de to udtryk x a y a og x a y a. Det skyldes, at det i dette tilfælde altid er nemmest at omskrive til potensopløftning, før man reducerer. Hvis man vil, er det dog muligt at reducere de to udtryk og udlede en formel. Dette overlades som en øvelse til læseren.

Algebra D Algebra er en samlet betegnelse for de regler, der gælder, når man regner med tal. I matematikken har man nogle gange brug for at regne med tal, hvis værdi man ikke kender. Sådanne tal kaldes»ubekendte«. I stedet for det ukendte tal skriver man et bogstav, f.eks. x, y, a eller A. 1 Hvis man har et regnestykke, hvori der indgår tal, man ikke kender, kan man af gode grunde ikke beregne et endeligt resultat. Men man kan nogle gange forsimple regnestykket, så man ikke skal regne nær så meget, når man endelig får det ukendte tals værdi at vide. 1 I matematikken skelner man mellem store og små bogstaver a og A er altså ikke det samme tal. Idet f.eks. ved man, at 5 + 5 + 5 = 3 5, x + x + x = 3 x, uanset hvilken værdi, x har. Ud fra samme betragtning giver f.eks. 8 8 8 8 = 8 4, at x x x x = x 4. Så det, man anvender de algebraiske regler til, er at forsimple regneudtryk og formler, sådan at de bliver nemmere at arbejde med. De regneregler, man anvender, er som sagt de sædvanlige regneregler for, hvordan man regner med tal. Dette skyldes, at bogstaverne jo netop også er tal. Der er dog en enkelt lille detalje i notationen, som er vigtig at vide: I algebraiske udtryk er det normalt, at man ikke skriver gangetegn mellem størrelser, hvis man kan undlade dem og stadig forstå regnestykket. 2 Derfor er 4p = 4 p 3x y = 3 x y 5w 2 = 5 w 2 2y 3 z = 2 y 3 z 7ab 2 = 7 a b 2 2(x + y) = 2 (x + y) (5 x)(2 x) = (5 x) (2 x) 2 Når man regner med tal, er det nødvendigt at skrive gangetegnene, sådan at man kan skelne 73 fra 7 3. Dette er ikke nødvendigt med f.eks. 7x. 53

54 D Algebra D.1 Ensbenævnte størrelser Hvis x og x kan lægges sammen til 2x kan man også gøre følgende: 3 stk. 4 stk. { }} { { }} { 3x + 4x = x + x + x + x + x + x + x = 7x. Er bogstaverne ens, kan man altså lægge tallene sammen (eller trække dem fra hinanden). Eksempel D.1 Et par andre eksempler på, hvordan man lægger størrelser sammen kunne være 2x + 5x = 7x 5p 2 + 11p 2 = 16p 2 4y + 7y + 2y = 13y 8x y 3x y = 5x y 7w 3 15w 3 = 8w 3 3 Når man trækker fra, gælder der en tilsvarende regel. Størrelser som 2x og 5x kaldes ensbenævnte. Hvis man har to ensbenævnte størrelser, som er lagt sammen, lægger man dem altså sammen ved at lægge tallene sammen. 3 For at man kan gøre dette, skal bogstaverne være fuldstændigt ens. Man kan altså f.eks. ikke lægge 2a og 4b sammen. Eksempel D.2 Da man kun kan lægge led med ensbenævnte størrelser sammen er 3x 8y + 6x = 3x + 6x 8y = 9x 8y 4w + 7u w + 5uw = 4w w + 7u + 5uw = 3w + 7u + 5uw 3y + 4z + 5y z = 3y + 5y + 4z z = 2y + 3z 4x + 3x 2 + 2x = 4x + 2x + 3x 2 = 6x + 3x 2 4 Til gengæld er 3ab og ba ensbenævnte størrelser, idet rækkefølgen, man ganger i, er ligegyldig. Dvs. at ba = ab. Det samme gælder for eksempel for x y 2 og y 2 x; men ikke for y x 2, da det her er det forkerte tal der står i anden potens. Som det fremgår af ovenstående eksempel er 4x og 3x 2 ikke ensbenævnte størrelser. Det er altså vigtigt, at bogstaverne er fuldstændig ens, også mht. en evt. potensopløftning. 4 D.2 Parenteser For at forsimple udtryk anvender man ofte de følgende 3 love, der gælder for addition og multiplikation. Den kommutative lov: a + b = b + a og a b = b a. Den associative lov : a + (b + c) = (a + b) + c og a (b c) = (a b) c. Den distributive lov: a (b + c) = a b + a c Den kommutative lov siger blot, at rækkefølgen er underordnet, når man lægger sammen eller ganger. Den associative lov viser, at nogle parenteser er ligegyldige. F.eks. er 8x + (3x + 6x) = (8x + 3x) + 6x.

D.2 Parenteser 55 Parentesen er derfor ligegyldig, og man kunne lige så godt skrive 8x + 3x + 6x. Summen af disse tre led er i øvrigt 17x. Står der et»+«foran en parentes, kan parentesen altså uden videre fjernes. Det samme gælder ikke, hvis der står et» «. Hvis man vil vide, hvad man skal gøre i denne situation, får man brug for den distributive lov. a b c Den distributive lov kan man argumentere for vha. figur D.1, og den viser altså, hvordan man skal gange et tal med en sum. Hvis man husker, at x = ( 1)x, kan man udlede, at a (b + c) = a + ( 1)(b + c) = a + ( 1)b + ( 1)c = a b c. Når der står foran en parentes, så kan man altså fjerne parentesen ved at ændre fortegn på alle leddene inde i parentesen. b + c Figur D.1: Hele arealet af rektanglet er a (b+ c), men man kan også beregne arealet som summen af de to små rektangler, dvs. a b+ a c. Dette betyder, at der må gælde a (b + c) = a b + a c. Eksempel D.3 Et par eksempler på, hvordan man hæver parenteser kunne være x + (8 2x) = x + 8 2x 8y (y + 3) = 8y y 3 5t + (6 + 2t) = 5t + 6 + 2t 7p (1 6p) = 7p 1 + 6p Hvis man skal gange en størrelse på en sum anvender man også den distributive lov. Eksempel D.4 Et par eksempler på, hvordan man ganger et tal med en sum eller en differens er 2(x + 5) = 2x + 2 5 = 2x + 10 x 8(5 + x) = x + ( 8) 5 + ( 8)x = x 40 8x y(3 + y) = 3y + y 2 Et lidt mere avanceret eksempel er 5 ab(3b + a) = 5 + ( ab) 3b + ( ab)a = 5 ab 3b aba = 5 3abb aab = 5 3ab 2 a 2 b En sidste ting, der kunne være interessant at vide, er, hvad der sker, når man ganger to summer sammen; som f.eks. (a + b)(c + d). Her anvendes den distributive lov to gange, så man får (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Som man kan se ganges alle led i den første parentes altså med alle led i næste parentes. Dette kan også illustreres på følgende måde:

56 D Algebra (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Alle disse regneregler for parenteser kan sammenfattes i følgende sætning. Sætning D.1 For udregninger med parenteser gælder følgende: 1) a + (b + c) = a + b + c. 2) a (b + c) = a b c. 3) a(b + c) = ab + ac. 4) (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. At sætte uden for parentes Nogle gange kan det være en fordel at læse den distributive lov»baglæns«, dvs. foretage omskrivningen ab + ac = a(b + c). Det man gør, for at omskrive udtrykkene på denne måde er at identificere en størrelse, der går op i alle led. F.eks. er 12x + 18y = 6 2x + 6 3y = 6(2x + 3y). Eksempel D.5 Flere eksempler på at»sætte uden for parentes«er 5x + 15z = 5x + 5 3y = 5(x + 3y) 7a + ab = a(7 + b) 3pq 5pq 2 = 3pq 5pq q = pq(3 5q) Det avancerede eksempel, hvor det viser sig, at man kan sætte 2x y uden for parentes, er 2x 2 y + 4x y 2 6x y = 2xx y + 2 2x y y 3 2x y = 2x y x + 2x y y 2x y 3 = 2x y(x + 2y 3) En af de grunde, der kan være til at lave sådan en omskrivning, kan f.eks. være, at man vil forkorte en brøk. Et eksempel er 6x + 9 3(2x + 3) = 12 12 = 3(2x + 3)/ 3 12 / 3 = 2x + 3. 4

D.3 Toleddede størrelser 57 D.3 Toleddede størrelser Når man ganger to parenteser sammen, ganger man alle led i den ene parentes med alle leddene i den anden. Hvis nogle af leddene er de samme er der mulighed for at reducere udtrykket. F.eks. er 5 (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + b 2 + 2ab, 5 I de følgende udregninger bliver det udnyttet flere steder, at ab = ba. og (a b) 2 = (a b)(a b) = aa + a( b) + ( b)a + ( b)( b) = a 2 + b 2 2ab. Hvis fortegnene i de to parenteser er forskellige, får man (a + b)(a b) = aa + ( b)a + ba + ( b)b = a 2 b 2. Disse udregninger kan samles til de 3 formler i følgende sætning. Sætning D.2 Man kan lave følgende omskrivning til et kvadrat på en toleddet størrelse: 1) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2. 2) a 2 + b 2 2ab = (a b) 2. En differens mellem to kvadrater kan skrives om til et produkt: 3) a 2 b 2 = (a + b)(a b). Eksempel D.6 Nogle eksempler på anvendelser af disse formler er: (x + 4) 2 = x 2 + 4 2 + 2x 4 = x 2 + 16 + 8x (6 p) 2 = 6 2 + p 2 2 6p = 36 + p 2 12p (t 3)(t + 3) = t 2 3 2 = t 2 9 (8x 2y) 2 = (8x) 2 + (2y) 2 2 8x 2y = 64x 2 + 4y 2 32x y Nogle gange kan der også være en fordel i at regne den modsatte vej. Her afsluttes med to eksempler. Eksempel D.7 x 2 + 49 + 14x = x 2 + 7 2 + 2 7x = (x + 7) 2 4p 2 25q 2 = (2p) 2 (5q) 2 = (2p + 5q)(2p 5q) 9a 2 + 36 36a = (3a) 2 + 6 2 2 3a 6 = (3a 6) 2 Eksempel D.8 Af og til kan man forkorte brøker, der ikke ser umiddelbart forkortelige ud. F.eks. er x 2 + 25 10x (x 5)2 = 4x 20 4(x 5) = x 5 4.

Ligninger E En ligning består af to regnestykker adskilt af et lighedstegn. Lighedstegnet kan forstås som en påstand om, at de to regnestykker giver samme resultat. I mindst ét af de to regnestykker indgår et ukendt tal (den ubekendte). 1 En løsning til ligningen er et tal, som gør påstanden sand, når det står på den ubekendtes plads. 1 Der kan godt være flere ubekendte i en ligning; men i det simpleste tilfælde er der kun én. Eksempel E.1 Et eksempel på en ligning er 5x 9 = 2x. Ligningen består af de to regnestykker 5x 9 og 2x. Påstanden er, at disse to giver samme resultat. x = 3 er en løsning til ligningen, idet de to sider af ligningen giver 5 3 9 = 6 (venstre side, 5x 9), 2 3 = 6 (højre side, 2x), når man sætter 3 ind på x s plads. De to regnestykker giver altså samme resultat, når x = 3. x = 7 er derimod ikke en løsning, fordi 5 7 9 = 36, 2 7 = 14. Her giver de to sider altså ikke samme resultat. E.1 Ligningsløsning At løse en ligning består i at finde frem til de tal, som er løsninger til ligningen. 2 Dette findes der forskellige teknikker til. De to sider af ligningen er to regnestykker, som giver samme resultat, hvis man indsætter en løsning på den ubekendtes plads. 2 Man kan sagtens have ligninger, som har mere end én løsning; ligesom man også kan have ligninger, som slet ikke har løsninger. F.eks. er 2 4 + 3 = 11 og 5 4 9 = 11, hvilket vil sige, at x = 4 er en løsning til ligningen 3 2x + 3 = 5x 9. (E.1) 3 Begge sider giver 11, når man sætter 4 ind på x s plads. 59

60 E Ligninger Men ligningen 2x + 3 + 9 = 5x 9 + 9 må have den samme løsning. Det er godt nok ikke de samme to regnestykker som før, så resultatet på hver side er ikke længere 11; men det er stadig det samme på begge sider, da det er det samme tal, der er blevet lagt til på begge sider. Når man sætter x = 4 får man 2 4 + 3 + 9 = 20 og 5 4 9 + 9 = 20. Hvis man lægger det samme tal til på begge sider af en ligning, får man altså en ny ligning; men det er én, der har den samme løsning som den gamle. Generelt gælder der følgende sætning. Sætning E.1 Hvis man udfører den samme regneoperation på begge sider af en ligning, får man en ny ligning med samme løsning. Ligningen (E.1) kan f.eks. løses ved at udføre følgende omformninger: 2x + 3 = 5x 9 Ligning (E.1) 2x + 3 + 9 = 5x 9 + 9 Der er lagt 9 til på begge sider. 2x + 12 = 5x Begge sider er reduceret 2x + 12 2x = 5x 2x 2x er trukket fra på begge sider 12 = 3x Begge sider er reduceret 12 3 = 3x 3 Der er delt med 3 på begge sider 4 = x Begge sider er reduceret 4 Hele pointen med omformningerne er altså at komme frem til en ligning, der giver løsningerne direkte. 5 Man må dog ikke gange med 0, idet ligningen så reduceres til 0 = 0, hvilket altid er rigtigt og dermed er muligheden for at finde løsninger til den oprindelige ligning forsvundet. Den sidste linje er i princippet også en ligning; men det er en ligning som det er nemt at finde løsningen til. Løsningen til ligningen 4 = x er nemlig x = 4 og dette er så også løsningen til den oprindelige ligning. 4 Man må udføre præcis den regneoperation, man har lyst til; man skal blot huske at gøre det samme på begge sider. 5 Når man udfører en regneoperation på begge sider af en ligning, er det vigtigt at huske, at man skal udføre regneoperationen på hele siden, og ikke kun på en del af den. Et par eksempler følger: Eksempel E.2 Hvis ligningen 1 2 x + 3 = 8 skal ganges med 2 på begge sider, skal man huske at sætte en parentes: 1 2 x + 3 = 8 6 2 ( 1 2 x + 3) = 2 8 x + 6 = 16. Regner man færdig, finder man løsningen x = 10.

E.1 Ligningsløsning 61 Eksempel E.3 Vil man løse ligningen x 2 + 4 = 13 kunne man fristes til at forsøge at tage kvadratroden først. Herved får man x 2 + 4 = 13 x 2 + 4 = 13. 6 Tegnet hedder en biimplikationspil. Den viser, at de to påstande, som står på hver side af pilen, betyder det samme; dvs. at det ene er sandt, hvis det andet er sand, og omvendt. Her kan man ikke reducere venstre side, idet man skal lægge sammen, inden man tager kvadratroden og det kan man ikke, fordi man jo ikke kender x. I stedet er det god idé at trække 4 fra først, så man får: x 2 + 4 = 13 x 2 = 9. Denne ligning kan nemmere løses. Den har de to løsninger x = 3 og x = 3. 7 At gøre prøve 7 Husk, at ( 3) 2 = 9, idet produktet af to negative tal er positivt. Derfor er x = 3 også en løsning til ligningen. Hvis man får en løsning til en ligning serveret, eller man har løst en ligning og gerne vil checke, om der nu også er tale om en løsning, kan man»gøre prøve«. At gøre prøve består i al sin enkelhed i at indsætte den løsning, man vil efterprøve, på hver side af ligningen og se, om man får samme resultat. Eksempel E.4 Er x = 2 en løsning til x 3 3 = 2 x + 1? Venstre side af ligningen giver 2 3 3 = 8 3 = 5. Højre side giver 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Da de to sider giver samme resultat, når x = 2, er det en løsning til ligningen. Eksempel E.5 Er x = 3 en løsning til ligningen 4x x+1 = 5? Venstre side giver 4 3 3 + 1 = 12 4 = 3. Da dette ikke er lig 5, som er højre side, er x = 3 ikke en løsning. Hvad så med x = 5? Her giver venstre side 4 ( 5) 5 + 1 = 20 4 = 5. Dette er lig med højre side, så x = 5 er en løsning til ligningen.

62 E Ligninger E.2 Nulreglen Hvis man ganger med 0 bliver resultatet altid 0. Men man kan omvendt ikke gange to tal, som begge er forskellige fra 0, med hinanden og få 0 som resultat. Er resultatet af et gangestykke 0, må mindst et af tallene, der indgår i gangestykket, derfor være 0. Dette kan formuleres som en sætning. Sætning E.2 (Nulreglen) Hvis et produkt giver 0, er mindst én af faktorerne 0: a b = 0 a = 0 b = 0. Hvis den ene side af en ligning er 0, og den anden er produktet af to størrelser, kan man bruge nulreglen til at løse ligningen. Eksempel E.6 Hvad er løsningerne til ligningen (x 3) (x + 2) = 0? På højre side står der 0, og på venstre side produktet af de to størrelser x 3 og x + 2. Ifølge nulreglen er mindst én af disse to størrelser 0, dvs. hvilket giver de to løsninger x 3 = 0 eller x + 2 = 0, x = 3 eller x = 2. Eksempel E.7 Ligningen (x + 2)(x 4)(x + 1) = 0 løses på følgende måde: 8 (x + 2)(x 4)(x + 1) = 0 x + 2 = 0 x 4 = 0 x + 1 = 0 x = 2 x = 4 x = 1. 8 Tegnet, som benyttes herunder, betyder»eller«. Med lidt øvelse kan man hurtigt finde disse løsninger ud fra den oprindelige ligning. Det er nogle gange muligt at bruge nulreglen, hvis man kan skrive den ene side af ligningen om til et produkt. Eksempel E.8 Ligningen x 2 5x = 0 kan løses på følgende måde: Først sættes x uden for en parentes x (x 5) = 0, og derefter bruger man nulreglen x = 0 x 5 = 0. Ligningen har altså de to løsninger x = 0 x = 5.

E.3 Eksponentielle ligninger 63 E.3 Eksponentielle ligninger En eksponentiel ligning er en ligning, hvor den ubekendte står som eksponent. F.eks. er 3 x = 7 (E.2) en eksponentiel ligning. Denne type ligning løses ved hjælp af funktionen log. 9 Ligningen E.2 har f.eks. løsningen 10 x = log(7) log(3) = 1,771. 9»log«står for logaritme. log(3) kaldes derfor for logaritmen af 3. 10Resultatet af udregningen log(7) log(3) finder man vha. en lommeregner. Generelt gælder der følgende sætning. Sætning E.3 Den eksponentielle ligning a x = c, hvor a og c er to positive tal, har løsningen x = log(c) log(a). Eksempel E.9 Ligningen har løsningen 4 x = 15 x = log(15) log(4) = 1,953. Eksempel E.10 For at løse ligningen 5 6 x + 13 = 138, bliver man nødt til at omforme ligningen: 5 6 x + 13 = 138 5 6 x = 125 6 x = 25. Nu kan ligningen løses vha. sætning E.3: x = log(25) log(6) = 1,796. E.4 To ligninger med to ubekendte I de foregående to afsnit er der kun set på ligninger, der indeholder én ubekendt. Et eksempel på en ligning, der indeholder flere ubekendte, kunne være 3x y = 4.

64 E Ligninger Her er der to ubekendte, x og y. Hvis man har én ligning med to ubekendte, er der i princippet uendeligt mange par (x, y) af løsninger til ligningen. F.eks. x = 5, y = 11 : 3 5 11 = 4 x = 1, y = 1 : 3 1 ( 1) = 4 11 Der er enkelte undtagelser, disse er beskrevet nedenfor. Hvis man har to ligninger med to ubekendte, er der derimod ét talpar som løser begge ligninger. 11 Eksempel E.11 De to ligninger 5x y = 3 og 2x + 4y = 10 har løsningen x = 1 og y = 2, fordi 5 1 2 = 3 og 2 1 + 4 2 = 10. Der findes ingen andre værdier af x og y, der løser begge ligninger. To ligninger med to ubekendte kaldes også et ligningssystem. Ligningssystemet i eksemplet ovenfor havde én løsning. Man kan godt komme ud for ligningssystemer, som har flere løsninger. Eksempel E.12 De to ligninger x + y = 2 og 3x + 3y = 6, har ikke én løsning. Det skyldes, at man kan komme fra den første ligning til den anden ved at gange med 3 på begge sider. De to ligninger har derfor præcis de samme løsninger, og et par (x, y), der opfylder første ligning, opfylder derfor også den anden. I eksemplet sås et ligningssystem, som havde uendeligt mange løsninger. Man kan også have et ligningssystem, hvor der ingen løsninger er. At løse to ligninger med to ubekendte består i at finde frem til de(t) talpar, der løser ligningssystemet. Her findes der to metoder. Substitutionsmetoden At løse to ligninger med to ubekendte vha. substitutionsmetoden består i det følgende: Man finder et udtryk for den ene ubekendte vha. den ene ligning, som man derpå indsætter i den anden ligning. Herved opstår der en ligning med kun én ubekendt. Eksempel E.13 For at løse dette ligningssystem 2x + y = 7 og 5x 3y = 12,

E.4 To ligninger med to ubekendte 65 kan man isolere y i den første ligning. Det giver 2x + y = 7 y = 7 2x. (E.3) Dette udtryk indsætter man i den anden ligning Den ligning kan man nu løse: 5x 3y = 12 5x 3 ( 7 2x ) = 12. 5x 3(7 2x) = 12 5x 21 + 6x = 12 Fra (E.3) har man, at y = 7 2x, dvs. 11x 21 = 12 11x = 12 + 21 11x = 33 x = 3 y = 7 2 3 = 1. Løsningen til ligningssystemet er altså x = 3 og y = 1. Eksempel E.14 Ligningssystemet 12 x + y = 5 y 2 = 9, kan løses ved først at løse den sidste ligning: y 2 = 9 y = 3 y = 3. Til hver af disse værdier af y hører en værdi af x. Den første ligning i ligningssystemet kan omskrives til x = 5 y, hvilket giver disse to x-værdier: y = 3 x = 5 ( 3) = 8 y = 3 x = 5 3 = 2. Ligningssystemet har altså løsningerne ( x = 2 y = 3 ) ( x = 8 y = 3 ). Lige store koefficienters metode En anden metode til at løse to ligninger med to ubekendte er»lige store koefficienters metode«. Denne metode virker kun, hvis de to ligninger kan skrives på formen ax + by = c, hvor a, b og c er tre tal. 13 Ideen i metoden er at omskrive ligningssystemet, sådan at enten x eller y har samme koefficient i de to ligninger. Herefter kan man trække ligningerne fra hinanden og få en ny ligning, hvori kun den ene ubekendte optræder. 12 Tegnet, som bruges nedenfor, betyder»og«. Dette skal forstås som»både og«, dvs. de to ligninger på hver side af skal gælde på samme tid. 13 Tallene a og b kaldes koefficienter til x og y deraf navnet på metoden. Metoden illustreres bedst med et eksempel.

66 E Ligninger Eksempel E.15 Her ses på ligningssystemet { 3x + y = 11 2x + 5y = 21. For at finde en løsning ganger man først den øverste ligning med 5 på begge sider. Så får man { 15x + 5y = 55 2x + 5y = 21. Trækker man disse to ligninger fra hinanden 14 fås den nye ligning som kan reduceres til Løsningen til denne ligning er x = 2. (15x + 5y) ( 2x + 5y) = 55 21, 17x = 34. Når man kender x, kan dette indsættes i én af ligningerne fra det oprindelige ligningssystem, her vælges 3x + y = 11: 3 2 + y = 11 y = 5. 14 Grunden til, at man må trække to ligninger fra hinanden, er, at højre og venstre side af en ligning er samme tal. Man trækker derfor det samme tal fra på begge sider. Løsningen til ligningssystemet er derfor x = 2 og y = 5. I ovenstående eksempel var det nok at omskrive den ene ligning. Nogle gange er det nødvendigt at omskrive begge. Eksempel E.16 Ligningssystemet { 5x 4y = 22 2x + 8y = 4 omskrives ved at forlænge den øverste ligning med 2 og den nederste med 5: 15 { 10x 8y = 44 10x + 40y = 20. Her har koefficienterne til x forskelligt fortegn, så derfor lægger man ligningerne sammen i stedet for at trække fra: Ligningen reduceres og løses: (10x 8y) + ( 10x + 40y) = 44 + 20. 32y = 64 y = 2. Dette indsættes i den første af de oprindelige ligninger, 5x 4y = 22: 5x 4 2 = 22 5x = 30 x = 6. 15 Bemærk, at man forlænger hver ligning med koefficienten til x fra den anden ligning. Løsningen til ligningssystemet er altså x = 6 og y = 2.

Bibliografi [1] Florian Cajori. A History of Mathematical Notation. Bd. I: Notations in Elementary Mathematics. La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company, 1974. [2] Danmarks Statistik. Folketal den 1. i kvartalet efter kommune, køn, alder, civilstand, herkomst, oprindelsesland og statsborgerskab. URL: http : / / statistikbanken. dk / statbank5a / default.asp?w=1920 (sidst set 05.03.2014). [3] Jesper Ruggaard Mehus og Svend Erik Nielsen. Klimaforandringer i arktis. Biofag nr. 6/2012. Særnummer. Forlaget Nucleus, 2012. [4] Leo Rogers. The History of Negative Numbers. University of Cambridge. URL: http:// nrich. maths.org/5961 (sidst set 24.06.2014). [5] Morton M. Sternheim og Joseph W. Kane. General Physics. 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc., 1991. [6] United States Census Bureau. Demographic Overview Custom Region Honduras. URL: http : / / www. census. gov / population / international / data / idb / region. php? N = %20Results%20&T=13&A=separate&RT=0&Y=2014&R=-1&C=HO (sidst set 05.03.2014). 67

Indeks A Addition, 35, 54 Aftagende funktion, 14, 29 Algebra, 53 Andenakse, 9 Associative lov, 54 B Begyndelsesværdi, 29 Brøk Division, 46 Brøk, 37, 43 Addition, 44 Fortegn, 47 Multiplikation, 45 Subtraktion, 45 D Decimaltal, 38 Differens, 36 Distributive lov, 54 Dividend, 37 Division, 35, 37 Fortegn, 37 Divisor, 37 E Eksponent, 39, 49 Eksponentiel Funktion, 29 Ligning, 63 Regression, 33 Vækst, 29 Ensbenævnte størrelser, 54 F Faktor, 36, 62 Fordoblingskonstant, 32 Forkorte, 43 Forlænge, 43 Fremskrivningsfaktor, 21, 22, 29 Funktion, 10 Eksponentiel, 29 Lineær, 13 Funktionsværdi, 10 Førsteakse, 9 G Graf, 9 Skæringspunkt, 11 Grundtal, 39, 49 Gøre prøve, 61 H Halveringskonstant, 33 Hele tal, 39 Hældningskoefficient, 14 I Irrationale tal, 39 K Koefficient, 14, 65 Kommutative lov, 54 Koordinatsystem, 9 Kvadratsum, 18 Kvotient, 37 L Led, 35, 36 Ligning, 59 Grafisk løsning, 12 Ligningssystem, 64, 65 Lineær Funktion, 13 Regression, 18 Vækst, 16 M Modsat tal, 36 Multiplikation, 35, 36, 54 Fortegn, 36 N Naturlige tal, 35, 39 Negative tal, 35 Nævner, 43 68

Indeks 69 O Origo, 9 P Parentes, 40 Skjult, 40 Potens, 39, 49 Regneregler, 50, 51 Udvidet, 51 Procent, 19 Renteformlen, 23 Sammenligning, 20 Produkt, 36, 62 Proportionalitet, 8 Direkte, 8 Omvendt, 8 R Rationale tal, 38, 39 Reelle tal, 39 Regningsarternes hierarki, 40 Regression Eksponentiel, 33 Lineær, 18 Renteformlen, 22, 23, 29 Rod, 39, 49 S Skæringspunkt, 11, 13, 14 Subtraktion, 35 Sum, 35 T Tæller, 43 U Ubekendt, 59 V Variabel, 7 Afhængig, 8 Uafhængig, 7 Voksende funktion, 14, 29 Vækst Eksponentiel, 29 Vækstrate, 21, 22, 30 Gennemsnitlig, 26

Brøkregning Forkorte (1) Forlænge (2) Addition (3) Subtraktion (4) Multiplikation (5) Division (6) a b = a / k b / k a b = k a k b a b + c d = a d b d + b c b d a b c d = a d b d b c b d a b c d = a c b d a / c d = a b d b c Potenser og rødder (7) a 0 = 1 Negativ eksponent (8) a n = 1 Brøk som eksponent (9) a p q = q a p Samme grundtal (10) a x a y = a x+y a n (11) a x a y = ax y (12) (a x ) y = a x y Samme eksponent (13) a x b x = (a b) x (14) Samme rod (15) (16) a x b x = ( a b ) x x a x b = x a b x a x b = x a b Algebra Den kommutative lov (17) a + b = b + a (18) ab = ba

Den associative lov (19) a + (b + c) = (a + b) + c (20) a(bc) = (ab)c Den distributive lov (21) a(b + c) = ab + ac Kvadratet på en sum (22) (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Kvadratet på en differens (23) (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab To tals sum gange de samme to tals differens (24) (a + b)(a b) = a 2 b 2 Ligninger Eksponentielle ligninger (25) a x = c x = log(c) log(a) Funktioner y er direkte proportional med x (26) y = k x y er omvendt proportional med x (27) y = k x Lineære funktioner (2) a > 0 b a < 0 (1) Lineær funktion (28) f (x) = ax + b Hældningskoefficient ud fra to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på grafen (29) a = y 2 y 1 x 2 x 1 Skæring med andenaksen (30) b = y 1 ax 1