~ mat M A T I L D E Politik Mad Sport Vejret Økoomi Sprog Rejser Dyr Matematik NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING N R 4 O K T O B E R
Formades klumme Vag Ludsgaard Hase DTU Matematik V.L.Hase@mat.dtu.dk Om matematikkes duale atur Matematikke er et foruderligt samspil mellem det kokrete og det abstrakte. De mere kokrete aspekter er ofte blevet idetificeret med de avedte matematik, mes de abstrakte aspekter er blevet kyttet til de ree matematik. Dee opdelig i re og avedt matematik er forældet. Aalyse af komplicerede problemstilliger af betydig for samfudet kræver ofte aalyse af matematiske modeller på et højt abstraktiosiveau. Ma ka æste hævde, at kompleksitete i e problemstillig måles direkte ved abstraktiosiveauet. Matematematikke har altid haft dee duale atur. God og brugbar udervisig i matematik må derfor tilgodese såvel udviklig af kokrete færdigheder som opøvelse af abstraktiosiveauet hos elevere. Vægte mellem de to aspekter afhæger aturligvis af alderstriet, således at vægte på kokrete færdigheder er domierede på de idledede tri i udervisigssystemet og e god balace mellem det kokrete og det abstrakte opås i løber af hele udervisige i ugdomsuddaelsere. Baebrydede matematisk forskig bæres af de ekelte forskers egagemet, og de mest origiale forskig udspriger yderst sjældet af det stramt tilrettelagte og styrede, me er drevet af ysgerrighed, dedikatio og idsigt hos de ekelte forsker. I de seere år har de ekelte forsker i alle videskabsområder oplevet e tiltagede styrig af forskige. Dee styrig af forskige tilgodeser i særlig grad forskig i store grupper rettet mod direkte omsætig i praktisk produktio. For faget matematik som idgår som e vigtig parameter i mage avedelsesområder giver dette e særlig udfordrig. Hvis matematikke fuldstædigt skal uderlægges drømme om ytteværdi for samfudet her og u, så får de abstrakte side af matematikke ikke tilstrækkelig pleje, og taber derved på lægere sigt si skarphed. Hvis matematikersamfudet på de ade side afviser alle kotakter med adre fag, så får matematikke ikke tilstrækkelig ærig til at bevare si vitalitet. Det bedste udbytte af ivesterigere i matematik opås ved at iddrage matematikere selv i diskussioe af de samfudsmæssige målsætiger og ved at tage skyldigt hesy til at matematik oftest udøves af ekeltidivider i små grupper. I forsøget på at automatisere vurderig af forskig så vurderige ka udføres kliisk gøres der store astregelser for at overbevise forskere om ytte af at bruge bibliometriske idikatorer i form af citatiosaalyser ved vurderige. Brug af sådae tal som de eeste parametre ved bedømmelse af de ekelte forsker, eller midre forskigsgrupper, er imidlertid ødelæggede for forskige og for forskiges ifrastruktur. Allerede u ser ma e begydede edbrydig af publikatiosstrukture i videskabere, fordi det ikke lægere alee er e artikels videskabelige værdi, me også hvor de er publiceret, der vejer på vægtskåle. Matematikke står overfor store udfordriger. Vi skal have dygtigtige uge til at iteressere sig for vores fag, og matematik stiller store krav til fordybelse og kocetratio. Dette kræver ro og stabilitet omkrig studiere i matematik og de matematiske forskig. Her er det vigtigt at vi ikke sætter skel mellem de ree og de avedte matematik. For matematikkes styrke ligger i samspillet mellem det kokrete og det abstrakte. 4/
Øverst: Matilde desiget (matilde.gif) Idhold: Vags Klumme... Berhelm Booß-Bavbek Flower Power i Hyderabad...3 Christia Berg CB-Natioalkommite og IMU beretig...7 Karste Schmidt Kovekse Ste...8 Carste Lude Bogamelselse Matematikudervisiges historie i Damark i 9-tallet...9 Birger Stjerholm Madse Om at kommuikere statistik... Begiveheder...6 Aftermath...7 4/ 3
Idtryk fra de Iteratioale Matematikerkogress ICM, Hyderabad, 9.-7. august Berhelm Booß-Bavbek, RUC, NSM, IMFUFA Flower Power i Hyderabad To spørgsmål og et hurtigt skud fra hofte 9. august skrev Philip J. Davis, prof. em. ved Brow Uiversity, Providece, R.I.: Dear Berhelm:... Questio from your Cogress experiece: Is mathematics chagig? If so, how? Do the attedees at the Cogress ad their talks reflect the cocers of the average math researcher? Mi koe, ikke selv matematiker, me mi ledsager ved ICM 994 i Zürich, skrev æste samtidigt og æste eslydede: Det kue iteressere mig at vide, om der side er sket et retigsskift i mat eller atydig af et sådat? Ka du i aktuelle abstracts skele e y retig i forhold til degag? Puha, hva? Det korte svar er: Ja, der er faktisk i matematikke e vis tilbagevede til det kokrete, til målrettede spørgsmål, til problemer, som ma ka forklare imellem to busstoppesteder, selv om deres fuldstædige løsig ofte er svær. Typisk for dee tedes var, som jeg ser det, at Fieldsmedaljere og plearforedragee promoverede de to områder dyamik af iterative systemer og kombiatorik lidt for meget. Det afspejler vel idirekte, hvad vi så godt keder fra udervisige på uiversitetere, år ledelse og skiftede regeriger kræver kortere studietider og pølsefabrik-produktio af PhD er. Det mider også alt for meget om det samfudsmæssige pres, som er opstået fordi matematikke bliver midre og midre sylig i offetlighede, alt imes des betydig stiger dramatisk i alle hjører af samfudet. På de måde diskrediteres abstrakte problemstilliger som esoterisk spild af tid. Me på kogresse oplevede ma også, hvorda de fjerde Fieldsmedaljemodtager Ngô Bao Châu udførte e brillat akrobatik over automorfe former på høje svajede stilladser af yderst abstrakte begreber og resultater. Ikke mage kue følge dee artist, me med rette vakte ha ådeløs beudrig. Afgørede for de brede aerkedelse er hos både de kokrete og de abstrakte retiger, at der laves tværforbidelser, og det blev demostreret i Hyderabad. Et krav, som heldigvis står i direkte modsætig til de sævre målrettede PhD-skoler, som så mage matematikere af gode grude afskyr. Me det er ikke hele svaret på de spørgsmål jeg fik. Vi ved alle, at i matematikke er udervisige, forskige og e kogres komplekse oplevelser, æste som rejser i fremmede lade. I det aktuelle tilfælde et blomstrede lad med mere ed e milliard meesker, og e kogres der aflagde videsbyrd om matematikkes vegetative udviklig. Hyderabad - Cyberabad Jeg er ysgerrig og spørger allerede i flyet mi sidemad, e amerikaer viser det sig, hvorfor i al verde ha tager til Hyderabad. Jo, fordi has US-amerikaske software firma har sedt ham for at sakke med ogle af de idiske team leaders i Hyderabad, hvortil de har out-sourced det meste af det praktiske programmerigsarbejde. Og desig, tilføjer ha. Me hvorfor Idie og ikke Argetia eller Filippiere, hvor løigere måske stadig er edu lavere? Jo, der har de faktisk også ogle teams i arbejde. Og der bliver flere he ad veje. Me Idie er mest iteressat for os u. De har e stor middelklasse, der satser på uddaelse. Dem ka vi bruge. Og så har vi fælles sprog. Det med fælles sprog ka jo være rigtigt med idiske computerfolk, me på gade hørte jeg egetlig ikke meget mere ed Yes, Sir, lige meget hvad jeg spurgte om. Me det er rigtigt, at det vrimler med computerfagfolk, så meget at ma taler om Cyberabad, år ma meer Hyderabad eller Bagalore eller Pue, de tre ye store idiske software cetre. Dage ide kogresåbige udbasuerede The Times of Idia, at IBM har estimeret,3 lakh (idere tæller ikke i millioer eller billioer, me i lakh = ^5 og crore = ^7), dvs. altså omkrig 3. asatte i Idie. IBM har selv holdt tallet hemmeligt, sikkert af hjemlige politiske hesy, side det u løber op til /3 af deres samlede persoale. Resultat: IBM er u Idies æststørste private arbejdsgiver. Kooperativ kaotisk adfærd Me hvor gode er de idiske matematikere og hvor god er matematikke i si helhed, og hvor bevæger de sig he? Det ville jeg gere vide - med ku dage i ladet. Ladet, bye og kogresse var præget af samme kaos som trafikke: /3 del kører i vestre side, /3 i højre side og reste i midte, me uheld er forbavsede 4 /
Kooperativ kaotisk adfærd : Bytraffik i Hyderabad 4/ 5
sjælde. De er mage, de er dårligt orgaiserede, de er idividualister, som ma måske automatisk bliver i de meeskevrimmel. Me de hjælper hiade. Altid, siger de kloge, som keder ladet. Produktio af software skal efter sigede foregå på samme måde, store teams, ige klare aftaler, alle ser hvad de ade laver og tilpasser sig eller maser sig frem. Det virker. Måske emt at forklare matematisk: The power of averagig - De store tals styrke. Det ka de. Det ka ma ikke sige om os europæere. Fra Damark var vi der med to idbudte foredragsholdere (Jesper Grodal fra KU og Tie Hoff Kjeldse fra RUC, impoerede og til lykke til dem begge med de store aerkedelse), vores delegerede Christia Berg ved IMU repræsetatskabsmødet, udertegede aldrede lektor fra RUC samt to af RUCs (udeladske) PhD-studerede. Beskedet, me forståeligt: det er et pegespørgsmål, og de der har bevilligere vil sikkert hellere bruge dem til oget ordetligt for de ødvedige rapport til bevilgede mydighed i stedet for såda et cirkus, og for de adre eksisterer spørgsmålet ikke lægere, efter at istituttere er blevet støvsuget for ege rejsemidler. Skidt og godt Hvad er de derhjemme så gået glip af? Ikke af de tomme sak ved åbigsceremoie, som der var e del af. Ehver geemsits-djøf er kue præstere samme strøm af velmete, velabragte, me alee orgaisatoriske sætiger. Me på de positive side talte allerede fra start, at Idies kvidelige præsidet tilsyeladede havde rådført sig med idiske matematikere og leverede e kivskarp, programmatisk tale. Det fremgik, at hu havde blik for græse mellem e let luftig, me kulturelt løfterig matematisk forskig og de reelle bidrag til fremskridt for meeskehede. På de ee side af hedes græsedragig placerede hu de fire Fieldsmedailler (se ave, billeder og kort begrudelse i kasse ved side). På de ade side rettede hu e eksplicit tak til Yves Meyer, vider af Gaussprise for has arbejde om billedgekedelse og billedlagrig ved hjælp af wavelets og til Louis Nireberg, de gamle mester i raffierede uligheder ved partielle differetialligiger og vider af de yidstiftede Cherpris. Det var e god oplevelse at høre plearforedragee. Idrømmet, de færreste foredragsholdere formåede at hevede sig til et publikum på flere tusid. De kue heller ikke levede formidle grudlæggede ideer eller tematisere de matematiske eller udeoms-matematiske betydig af deres resultater. Idrømmet også, at ma simpelthe havde valgt de forkerte til at lovtale Fieldsmedalliere og de adre udmærkelser. Ete fortabte de sig i ret tekiske detaljer af lutter begejstrig for deres hero eller de opremsede uedelige og itetsigede lister over disses resultater. Igrid Daubechies, de desigerede præsidet for IMU, skal dog roses for hedes prægate beskrivelse af Yves Meyer s værk. Og idrømmet u for sidste gag, at de fleste pleumsforedrag efter de første velforberedte 3-5 miutter gik over i de ku alt for velkedte semiarmode. Igeem alt strålede dog de uge foredragsholderes begejstrig, stolthed - you ame it. Det Kooperativ kaotisk adfærd : Hiduistisk relief til illustratio af førtatriske ritualer ved Kadariya Mahadev (=Shiva) tempel fra omkrig 5 i Khajuraho ær cetralidisk Bhopal (foto Søre Lauridse) gav oget charmerede. I hvert fald var hovedforedragee ikke kedelige. Og foredragee i de tyve traditioelle sektioer fugerede som altid udmærket. Det var dejligt at smålytte eller suppe sig e lille power ap et sted og så gå videre. Tilbage til spørgsmålet om hvorhe matematikke bevæger sig: Det var mærkeligt, hvor svært de fleste foredragsholdere havde det i Hyderabad med motiverede, metodiske og tværgåede metabetragtiger. Og hvor e af foredragsholdere forsøgte, mærkede ma dog tydeligt vedkommedes ubehag ved at sætte ord på det. E ygre geeratio af matematikere ser på sådae forklariger som platte ; subjektive, bombastiske eller overdreve. Dee sævre orieterig på det ekelte resultat hører selvfølgelig med til matematikke. De står dog i skrigede modsætig til de store armbevægelser af de matematikere som markerede sig i det. århudrede som visioære. Lad mig æve de globale aalyses fire-bade Fritz Hirzebruch, Raoul Bott, Iz Siger og Michael Atiyah. Ma kue lige så godt æve Baum, Carlema, Coes, Gelfad, Grothedieck, Gårdig, Kahae, Potryagi, Rota, Serre, Smale og alle de adre store tækere fra dee æste forsvude tid. Efter 95 førte de matematikke ud af des ekspasive fase og id i e gylde epoke af kosoliderig. I Herma Weyls og Emmy Noethers fodspor havde de alle brugt år på at forstå, hvorfor bestemte matematiske resultater ser ud som de gør. Det metodiske, adresserige af et stort verdesomspædede matematisk publikum, var for dem ikke oget påtvuget, ikke e forbadet pligt, me deres egetlige cetrale aliggede. Det syes det tugt med for tide. Tilbage til idisk trafik Måske romatiserer jeg. Me der var e tid, der ikke er så fjer, hvor matematikkes strøm mere ligede de kaotiske kooperative idiske bytrafik ed e takt- og trafiklysreguleret fremrykig af isolerede idivider. Det ville være e stor gevist, hvis kogresse i Hyderabad kue gekalde dette mide for os alle og gøre savet lysede klart. 6 4/
Beretig for 9 til Matilde Natioalkomitee er bideleddet mellem dask matematik og De Iteratioale Matematiske Uio (IMU), og de orieterer Dask Matematisk Foreigs medlemmer geem medlemsbladet MATILDE. Natioalkomitee har i 9 haft følgede sammesætig: Heig Haahr Aderse, Christia Berg (formad), Morte Brøs, Has Christia Hase, Mikael Rørdam (sekretær), Michael Sørese og Bet ørsted. Natioalkomitee har e hjemmeside http://atioalkomite.mathematics.dk/med lik fra DMF. Medlemskabet af iteratioale faglige uioer som IMU ligger formelt i Videskaberes Selskab, som edsætter atioalkomiteer efter idstillig fra diverse foreiger, f.eks. DMF. IMU s medlemslade er iddelt i 5 grupper, I-V. Store lade som USA og Frakrig er medlem i gruppe V, Sverige er medlem i gruppe IV, Filad og Norge er medlem i gruppe III, medes Damark er i gruppe II og Islad i gruppe I. Tallet agiver hvor mage delegerede ladet ka sede til geeralforsamlige og dermed hvor mage stemmer ladet har. Kotigetets størrelse udreges efter formle F(G)U, hvor G er gruppe, F(G) er e faktor og U er e ehed i Schweizer Frac. For 9 er U=58 CHF og F(II)=, F(III)=4. Hvis Damark skal skifte fra gruppe II til III betyder det altså e fordoblig af kotigetet. Flere detaljer ka fides på IMU s hjemmeside http://www.mathuio.org/. I 9 er Filad rykket op fra gruppe II til III efter asøgig. Edvidere er Thailad blevet associeret medlem, hvilket betyder at Thailad får iformatio om arbejdet i IMU ude at betale kotiget og ude at have stemmeret. Edelig er Africa Mathematical Uio blevet affilieret medlem af IMU, ligesom Europea Mathematical Society er det. Disse beslutiger har været til afstemig i atioalkomiteere, hvor Damark har stemt for. Plalægige af ICM (Iteratioal Cogress of Mathematicias) i Hyderabad i Idie 9.-7. august ka følges på hjemmeside http://www.icm. org.i. Her ka bl. a. ses, hvem der er iviterede foredragsholdere. Beretig fra IMU s Geeralforsamlig i Bagalore, Idie, 6.-7. august. af Christia Berg, formad Istitut for Matematiske Fag, KU BERG@math.ku.dk Som optakt til ICM i Hyderabad afholdtes IMU s geeralforsamlig i Bagalore 5 km syd for Hyderabad. Som sædvalig var der e tug dagsorde, der fyldte det meste af de dage, der var afsat. Der blev dog tid til e opvisig i klassisk idisk das med efterfølgede fælles middag de sidste afte. Lad mig fremhæve 3 vigtige tig, der blev besluttet på geeralforsamlige, hvor der var deltagere fra 55 lade. a) Ved geeralforsamlige for 4 år side blev det besluttet at executivkomitee skulle udersøge mulighed for at IMU fik et permaet sekretariat i modsætig til tidligere, hvor sekretariatet flyttede med de perso, der var sekretær for IMU. Som forberedelse af dette var der for et par år side idkaldt tilbud fra medlemsladee om at tilbyde et sådat værtskab, og e række lade afgav tilbud. E særlig komite blev edsat til at vurdere disse tilbud og 3 særligt fie tilbud blev udvalgt og præseteret på geeralforsamlige. Det blev vedtaget med stor tilslutig, at det var e god ide at oprette et permaet sekretariat, selv om ogle få delegerede ytrede bekymrig for om et bestemt lad skulle kue få for stor magt i IMU via et sådat sekretariat. Efter e præsetatio af de tre forslag fra Fields Istituttet i Toroto, IMPA i Rio de Jaeiro, WIAS i Berli fremført af repræsetater for tilbudsgivere, kom det til e afstemig, som viste absolut flertal for tilbuddet fra Berli. Det var et gaske geerøst tilbud der gør det muligt for IMU at udytte uioskotigetere til mere direkte matematikrelaterede projekter. b) E særlig omierigskomite ledet af David Mumford havde forberedt valg til executivkomitee og diverse komiteer deruder. I de efterfølgede valg bladt de opstillede forslag blev Igrid Daubechies valgt til y præsidet for IMU for åree -4 og Jesper Lütze blev valgt til ICHM komitee (Iteratioal Commissio o the History of Mathematics). Til sidstævte komite var der omieret 5 og der skulle vælges, så det var fit at de skadiaviske lades kadidat Jesper Lütze blev valgt tillige med Kim Plofker fra USA. Ragi Piee fra Norge har været meigt medlem af executivkomitee i 8 år og har gjort et stor arbejde. I de æste 4 års periode er der ige skadiaviske matematikere i komitee. c) Det blev besluttet at ICM4 afholdes i Seoul, Sydkorea. Også i dette tilfælde havde executivkomitee edsat et udvalg til at se på idkome tilbud, og det var edt med at abefale Seoul, bl. a. på grud af det geerøse tilbud om at stille grats til rådighed til at uge fra udvikligslade ka deltage i ICM4. 4/ 7
I Matilde r. 36 blev der geoptrykt e artikel, Probabilistic proofs, af Alexader She fra Mathematical Itelligecer, volume, r 3, 998. Heri demostrerer She at ekle sadsylighedsargumeter ofte ka føre til ye, overraskede resultater. Artikle viser også at ma ka komme for hurtigt til resultatere. I et eksempel vil She vise at e koveks ste altid ka placeres i sollyset således at des skygge på e pla vikelret på bestrålige er større ed eller lig med e fjerdedel af overfladearealet. Beviset bygger på e sadsylighedsfuderet atagelse om at stees forvetede skygge EX er proportioal med des overfladeareal S. Faktore får She fra e kugle hvor det emt idses at EX = 4 S. Heraf følger da påstade. Det er atagelse om proportioalitet der skal overvejes i det følgede. Idledigsvis betragter vi e pla ækvivalet til She s sætig. Vi ser på parallelprojektioe af plae kovekse figurer på e ret lije som holdes vikelret på de variable projektiosretig. Idet forholdet mellem e cirkels diameter (som er lig med cirkles kostate forvetede skygge) og omkreds er,påstår vi at lægde af de forvetede skygge for e vilkårlig koveks ste er proportioal med figures perimeter p med faktore. Bevis: Det følger af Cauchy-Croftos sætig at D(t) dt =p, hvor D(t) beteger figures diameter (læs: skygge) ved e vilkårlig projektiosretigsvikel t i forhold til e fast lije []. De forvetede skygge fås da ved at midle over alle mulige retigsvikler vægtet es: bestrålige er større ed eller lig med e fjerdedel af overfladearealet. Beviset bygger på e sadsylighedsfuderet atagelse om at stees forvetede skygge EX er proportioal med des overfladeareal S. Faktore får She fra e kugle hvor det emt idses at EX = 4 S. Heraf følger da påstade. Det er atagelse om proportioalitet der skal overvejes i det følgede. Idledigsvis betragter vi e pla ækvivalet til She s sætig. Vi ser på parallelprojektioe af plae kovekse figurer på e ret lije som holdes vikelret på de variable projektiosretig. Idet forholdet mellem e cirkels diameter (som er lig med cirkles kostate forvetede skygge) og omkreds er,påstår vi at lægde af de forvetede skygge for e vilkårlig koveks ste er proportioal med figures af Karste perimeter Schmidt, p med DTU faktore Matematik Karste.Schmidt@mat.dtu.dk. Bevis: Det følger af Cauchy-Croftos sætig at EX = p = p, QED. Det virker u oplagt at overføre metode fra plae til rummet. Lad os tjekke med et par kovekse ste. E ehedskubus er abragt i et sædvaligt koordiatsystem, således at sollyset kommer id fra x-akse, vikelret på papiret. Solretige fastholdes mes koordiatsystemet (og kube) først drejes vikle s omkrig z akse med uret, hvorefter z akse drejes vikle t omkrig origo vikelret på papiret mod solretige, hvorefter situatioe er som på figure. Figure skal også her kokret 8 fortolkes som /kubes skygge, sammesat af de tre parallelogrammer A, B og C, projektioere af tre kube- hvor D(t) beteger figures diameter (læs: skygge) ved e vilkårlig projektiosretigsvikel t i forhold til e fast lije []. De forvetede skygge fås da ved at midle over alle mulige retigsvikler vægtet es: EX = og vi får videre at p = p, QED. Det virker u EX = 4 oplagt at overføre metode fra plae til rummet. Lad os tjekke med et par kovekse (A + B + C) ds dt = 8+ ste. E ehedskubus er abragt i et sædvaligt koordiatsystem,. således at sollyset kommer id fra x-akse, vikelret på Forholdet papiret. Solretige mellem de fastholdes forvetede mes skygge koordiatsystemet og kubes overfladeareal (og kube) først er derfor drejes vikle s omkrig z akse med uret, hvorefter z akse = 8+ drejes 6.4 vikle < 4, t omkrig origo vikelret på papiret mod solretige, hvorefter situatioe er som på figure. Figure skal også her kokret og det eeste der ka siges ud fra sadsylighedsargumetet, er at der fides faktiske forekomster af forholdet fortolkes som kubes skygge, sammesat af de tre parallelogrammer A, B og C, projektioere af tre kubeedeflader. mellem skygge- og overfladeareal der er større (og midre) ed eller lig med dette tal. Eksempel : Ved kovekse omdrejigsflader behøver vi af symmetrigrude ku at betragte skygge for e fast værdi af s.på figure edefor er e lukket cylider med radius og højde h abragt i kooordiatsystemet og derefter drejet vikle t omkrig y akse mod solretige. Når figure fortolkes som cylideres skygge, er de summe af et rektagel (idrammet på figure) med grudlije og højde h cos(t), og af e ellipse (sammesat af e halvellipse fra hhv. bud og top) med halvaksere og si(t). Forholdet mellem de forvetede skygge af cylidere og des overflade er derfor (h cos(t)+ si(t))dt D(t) dt =p, Når (s, t) geemløber [, ] [,] belyses kube fra alle retiger. De forvetede skygge ka derfor bereges som middelværdie af de geemløbe skygger: EX = skygge (s, t) ds dt. Af symmetrigrude behøver vi ku at midle for (s, t) [, ] [, ].Iså tilfælde er: A = cos(s) cos(t),b= si(s) cos(t) og C = si(t), (h + ) = +h ( + h). Dette er e mootot aftagede fuktio af h. De relativt midste forvetede skygge har e uedeligt høj og det metet, mellem dre) ed Eksemp af symm værdi a med ra og dere retig er de med gr (samme halvaks Forhold og des ( Dette e lativt m cylide mulige cirkulæ Det ka hedsku Kubes på S 4 = Det vis stes re des sk at de o flade st S. Det e hver ko lige så magle [] Ma Curves
Probatical strerer føre gså at ksemceres i lret på del af hedse EX re får 4 S. ropor- She s vekse varicirkels etede af de r pro-. e) ved til e midle er proportioal med des overfladeareal S. Faktore får She fra e kugle hvor det emt idses at EX = 4 S. Heraf følger da påstade. Det er atagelse om proportioalitet der skal overvejes i det følgede. Idledigsvis betragter vi e pla ækvivalet til She s sætig. Vi ser på parallelprojektioe af plae kovekse figurer på e ret lije som holdes vikelret på de variable projektiosretig. Idet forholdet mellem e cirkels Kovekse diameter (som er lig med cirkles kostate forvetede skygge) og omkreds er,påstår vi at lægde af de forvetede skygge for e vilkårlig koveks ste er proportioal med figures perimeter p med faktore. Bevis: Det følger af Cauchy-Croftos sætig at D(t) dt =p, hvor D(t) beteger figures diameter (læs: skygge) ved e vilkårlig projektiosretigsvikel t i forhold til e fast lije []. De forvetede skygge fås da ved at midle over alle mulige retigsvikler vægtet es: EX = p = p, QED. Det virker u oplagt at overføre metode fra plae til rummet. Lad os tjekke med et par kovekse ste. E ehedskubus er abragt i et sædvaligt koordiatsystem, og således vi får videre at sollyset at kommer id fra x-akse, vikelret på papiret. Solretige EX = 4 fastholdes mes koordiatsystemet (og kube) først drejes (A vikle + B + sc) omkrig ds dt = z akse 8+. med uret, hvorefter z akse drejes vikle t omkrig origo Forholdet vikelret på mellem papiret de mod forvetede solretige, skygge hvorefter og kubes situatioe er som overfladeareal er på derfor figure. Figure skal også her kokret fortolkes som kubes = 8+ skygge, sammesat 6.4 < af de tre parallelogrammer A, B og C, projektioere 4, af tre kubeedeflader. og det eeste der ka siges ud fra sadsylighedsargumetet, er at der fides faktiske forekomster af forholdet mellem skygge- og overfladeareal der er større (og midre) ed eller lig med dette tal. Eksempel : Ved kovekse omdrejigsflader behøver vi af symmetrigrude ku at betragte skygge for e fast værdi af s.på figure edefor er e lukket cylider med radius og højde h abragt i kooordiatsystemet og derefter drejet vikle t omkrig y akse mod solretige. Når figure fortolkes som cylideres skygge, er de summe af et rektagel (idrammet på figure) med Når grudlije (s, t) geemløber og højde [, ] [,] h cos(t), belyses og af ekube ellipse fra (sammesat alle retiger. af De halvellipse forvetede fraskygge hhv. bud ka og derfor top) bereges som middelværdie og si(t). af de geemløbe skygger: med halvaksere EX = skygge (s, t) ds dt. Af symmetrigrude behøver vi ku at midle for (s, t) [, ] [, ].Iså tilfælde er: A = cos(s) cos(t),b= si(s) cos(t) og C = si(t), mellem skygge- og overfladeareal der er større (og midre) ed eller lig med dette tal. Eksempel : Ved kovekse omdrejigsflader behøver vi af symmetrigrude ku at betragte skygge for e fast værdi af s.på figure edefor er e lukket cylider med radius og højde h abragt i kooordiatsystemet og derefter drejet vikle t omkrig y akse mod solretige. Når figure fortolkes som cylideres skygge, er de summe af et rektagel (idrammet på figure) med grudlije og højde h cos(t), og af e ellipse (sammesat af e halvellipse fra hhv. bud og top) med halvaksere og si(t). Forholdet mellem de forvetede skygge af cylidere og des overflade er derfor (h cos(t)+ si(t))dt (h + ) = +h ( + h). Dette er e mootot aftagede fuktio af h. De relativt midste forvetede skygge har e uedeligt høj cylider med værdie.3 < 4, mes de størst mulige opås år vi lader h gå mod og får e flad cirkulær ste med forholdet.38 > 4. Det ka ved ekstremumsudersøgelse let vises at ehedskubes midste skygge er, og des største er 3. Kubes skyggeareal passerer altså de magiske græse på S 4 =.5. Det tilsvarede gælder for ehver cylider. Det viser sig emlig, populært sagt, at hvis e koveks stes relative forhold ligger lagt fra kugles 4,så har des skygge så store udsvig omkrig si middelværdi at de ogå passerer S 4. Hvilket ses særlig tydeligt ved de flade ste, hvis skygge sviger mellem ekstremere og S. Det er derfor meget sadsyligt at She har ret i at ehver koveks ste ka præstere e skygge der er midst lige så stor som e fjerdedel af overflade. Me beviset magler... [] Mafredo P. do Carmo: Differetial Geometry of Curves ad Surfaces, Pritice-Hall 976, p. 5, prob. 4. e til E eystem, lret på stemet med origo situaokret re pakube- Forholdet mellem de forvetede skygge af cylidere og des overflade er derfor (h cos(t)+ si(t))dt (h + ) = +h ( + h). Dette er e mootot aftagede fuktio af h. De relativt midste forvetede skygge har e uedeligt høj 4/ 9
ANMELDELSE af Moges Niss, IMFUFA, NSM, RUC Matematikudervisiges historie i Damark i 9-tallet. Syddask Uiversitetsforlag, 8, 945 s. I december 8 udkom, efter e lag og vist til tider også vaskelig fødsel, tobidsværket Matematikudervisige i Damark i 9-tallet, på Syddask Uiversitetsforlag. Projektet med at skrive dee bog blev opridelig søsat i 999 af Dask Matematisk Foreig, som led i arbejdet op til det såkaldte World Mathematical Year. Arbejdet blev helagt til e arbejdsgruppe med repræsetater for folkeskole og semiariere, ugdomsuddaelsere, de almee vokseuddaelser samt uiversitetere og de øvrige videregåede uddaelser. Der var ikke oge egetlig redaktør på værket hvilket godt ka spores på resultatet me projektet blev koordieret af lektor H.C. Hase, u Uiversity College Capital. Boge er som sagt i to bid. Første bid er viet.matematikudervisige i folkeskole, ved semiariere, ved de erhvervsfaglige uddaelser og alme vokseudervisig, mes adet bid agår de gymasiale og de videregåede uddaelser. Hvert kapitel har ege/ ege forfatter(e), og der er ku begræsede krydsreferecer mellem kapitlere. Værket fremstår i øvrigt oget ihomoget, idet der i de forskellige kapitler er gjort ret forskellige valg vedrørede arte af temaer og fokus, detaljerigsgrad, iddragelse af de processer der har formet matematikudervisige på de ekelte udervisigstri, osv. Nogle kapitler går i detaljer med at beskrive avgive aktører og deres rolle, mes adre holder sig til de formelle bestemmelser i form af love, bekedtgørelser og læseplaer. Værket er ikke lagt a som og er heller ikke - e forskigspublikatio, me det fremlægger et umådeligt righoldigt og iformativt materiale, der er e guldgrube for de som vil sætte sig id i rammer, vilkår og omstædigheder for matematikudervisige på sart sagt alle tri i det. århudrede. De overvældede mægde af faktuelle oplysiger står ikke i veje for e givede læseoplevelse. For mi ege del har jeg haft stor forøjelse af at pløje mig igeem de to bid, som de fleste steder er gaske velskreve. Her vil jeg kocetrere mig om værkets slutdel, Matematikudervisige ved uiversiteter og højere læreastalter, skrevet af Tage Gutma Madse, Købehavs Uiversitet. Gutma optræder i øvrigt ikke ku i dee del af værket, idet has legedariske omhu og ordessas har gjort det muligt i boge at brige has besvarelser af matematikopgaver fra skoletide i Aarhus, ligesom ha ligger ide med e impoerede samlig af dokumeter af sart sagt ehver art vedrørede matematikudervisige fra størstedele af århudredet. På de måde ka ma askue e stor del af værket, og især dets sidste kap 7 sider, som Tages Gutmas matematikudervisigseridriger. Det er ikke midst spædede og på flere pukter ostalgisk læsig for e gammel Tage-elev som udertegede. Som ma ville vete sig det af Gutma, giver ha e miutiøs redegørelse for formaliteter, forordiger, studieplaer, timetal, eksamesordiger, studiestatistikker osv. på avlig Købehavs og Aarhus Uiversiteter me også i høj grad også på De Polytekiske Læreastalt (seere DTH/DTU), ligesom lærebøger og oter i forskellige redaktioer og udgaver beskrives idgåede. For ret at kue følge udviklige får læsere tillige e kort idførig i otte grudlæggede abstrakte begrebsdaelser, emlig legeme, gruppe, vektorrum, metrisk rum, topologisk rum, hilbertrum, fuktioalaalyse samt abstrakt mål- og itegralteori og sadsylighedsregig. Beskrivelse af udviklige på de ye uiversiteter i Odese, Roskilde og Aalborg og af de øvrige videregåede uddaelsesistitutioer er oget mere summarisk og kap så balaceret som for de klassiske uiversiteter. Når beskrivelse af Købehavs Uiversitet, Polytekisk Læreastalt og Aarhus Uiversitet står i cetrum for fremstillige, skyldes det selvsagt at Tage har gjort mere ed halvdele af århudredets udviklig med på disse istitutioer, som studerede, som medarbejder og som cesor, ligesom ha i årtier har været e cetral figur i studietilrettelæggelse og udervisig. Has kommetarer til studieordiger og lærebøger og ikke midst til deres ophavsmæd er oplysede og uderholdede læsig. Med omtale af persoer og persolighedstræk bliver ma iviteret med til ogle af de overvejelser om studieplaer og reformer der fadt sted i baglokalere. Uiversitetskapitlere giver som boge i øvrigt lyst og ispiratio til diskussioer om magt og meget, både år det gælder kedsgeriger og vurderiger. På de måde er det foreliggede værk ikke de defiitive forskigsbaserede fremstillig af matematikudervisiges historie i det. århudrede, me det leverer e fortræffelig begydelse, som hermed varmt abefales. 4/
Et debatoplæg: Om at kommuikere statistik til ikke- Mage matematikere arbejder med statistik og har brug Her er t som bekedt,975 fraktile i e t-fordelig for at kommuikere med ikke-fagfolk. med - frihedsgrader. Dette debatoplæg er e sammefatig af mie taker Størrelse t s/ er af fudametal betydig for medes jeg skrev boge Statistik for ikke-statistikere praktikere! De ituitive fortolkig er, at det er de (Samfudslitteratur 8) og efterfølgede oversatte de statistiske usikkerhed hørede til estimatet af middelværdie. til egelsk (ikke udkommet edu). Om at kommuikere Det mi opfattelse, statistik formidlig til (her ikke-statistikere tæker jeg E så fudametal størrelse har aturligvis et av? primært skriftlig formidlig) af statistik til ikke-statistikere statistik (både i Damark og har brug og i adre for at lade) kommuikere dumper både med på ikke-fagfolk. i de fleste lærebøger, hvor ma ka fide betegelser Ikke i ISO eller adre iteratioale stadarder Heller bejder med fremstillige og på emevalget. som de halve lægde af et 95 % kofides iterval eller sammefatig af mie taker medes jeg skrev boge Statistik simpelthe for ikkeitteratur Fremstillige 8) og efterfølgede oversatte de til egelsk (ikke udkommet Ide for måleusikkerhed har ma faktisk (i itera- tallet efter ± tioale stadarder) defieret et begreb svarede til dee Der bør efter mi meig lægges vægt på e formulerig, størrelse, det kaldes de ekspaderede usikkerhed. t formidlig (her tæker jeg primært skriftlig formidlig) af statistik til ikkeark og i adre lade) dumper både på fremstillige og på emevalget. der er letforståelig frem for % matematisk striget. Dee betegelse ka dog æppe overføres til statistikkes verde ude at møde modstad både bladt Nogle få eksempler: statistikere såvel som ikke-statistikere. Om termiologi Idefor repræsetative udersøgelser kaldes dee størrelse faktisk mage steder simpelthe de statistiske g lægges vægt på e formulerig, der er letforståelig frem for Et af problemere ved elemetære publikatioer om statistik er, at læsere præseteres for adskillige ord for samme usikkerhed % (hvis stikprøve udgør e væsetlig del ogle få eksempler: af populatioe, skal der dog et korrektiosled på). At fæome, ofte edda i samme publikatio! Det gælder også ophøje dee betegelse til stadard termiologi vil helt elemetære begreber. æppe møde de store modstad bladt ikke-statistikere. F.eks. bruges følgede betegelser syoymt: (Measures of) Det bliver måske værre med statistikere! lemetære publikatioer om statistik er, at læsere præseteres for fæome, ofte Dispersio, edda i samme Spread, publikatio! Scatter, Variability, Det gælder Variatio, også helt etc. På samme måde fider vi: (Measures of) Locatio, Om græske bogstaver, symboler m.v. Cetre, Cetral Tedecy, Positio etc. Hvorfor har så grudlæggede begreber så mage Her fider vi e stor del af forklarige på, at statistik ikke etegelser syoymt: (Measures of) Dispersio, Spread, Scatter, betegelser. ligefrem er e populær discipli bladt meigmad c. På samme måde fider vi: (Measures of) Locatio, Cetre, Cetral Der er gjort forskellige forsøg på at stadardisere statistiske betegelser. Det mest vellykkede er ok ISO ISO Åber ma de legedariske bog af Box, Huter & Huter (. udgave, 5), fider vi på p. viii (lige ide idholdsfortegelse): Greek Alphabet! Læsere ggede 3534 begreber Statistics så mage - Vocabulary betegelser? ad symbols (e stadard i 3 dele). efterlades med det idtryk, at dette virkelig må være orsøg på at På stadardisere dask der statistiske dog i dette betegelser. tilfælde til e Det vis mest grad væsetligt vellykkede er istics - Vocabulary eighed om ad at bruge symbols betegelsere (e stadard (mål i for) 3 dele). iveau og Me: Hvor mage græske bogstaver har vi egetlig tte tilfælde (mål til for) e spredig. vis grad eighed om at bruge betegelsere (mål brug for) for? I elemetære publikatioer efter mi meig dig. Omvedt er det vel et rimeligt forlagede, at væsetlige begreber ret faktisk også har et av! Lad os betragte højest 4: Σ, µ, σ, og(evt.) χ. Σ betyder som bekedt sum, og det har de fleste heldigvis et av! styr på takket være regearkee! meligt forlagede, formle et at 95 væsetlige % kofidesiterval begreber for ret middelværdi faktisk også har for et 95 i ormalfordelige: % kofidesiterval for e middelværdi i ormalfordelige: µ og σ er jo heh. middelværdi og spredig, de er x ± t! s 975 fraktile i e t-fordelig med - frihedsgrader. brug for dem! dametal betydig for praktikere! De ituitive fortolkig er, at det er ed hørede til estimatet af middelværdie. else har aturligvis et av? Ikke i ISO eller adre iteratioale af Birger Stjerholm Madse NOVO, bsm@ovozymes.com svære at komme ude om. Takket være Six Sigma keder mage heldigvis i σ forveje! Hvad bogstavet χ agår, så er det stregt taget slet ikke ødvedigt. På de ade side vil mage læsere alligevel støde på betegelse χ, hvilket tæller for at bruge dette græske bogstav også. Hvad reste af de græske bogstaver agår: Vi har ikke 4/
µ Σ og betyder σ er jo som heh. bekedt middelværdi sum, og og det spredig, har de fleste de er heldigvis svære at styr komme på takket ude være om. regearkee! Takket være Six Hvad Sigma bogstavet keder mage χ agår, heldigvis så er det i σ forveje! stregt taget slet ikke ødvedigt. På de ade side vil mage læsere alligevel støde på betegelse χ, hvilket tæller for at bruge dette græske bogstav også. µ og σ er jo heh. middelværdi og spredig, de er svære at komme ude om. Takket være Six Hvad Også Sigma bogstavet Hvad forskellige keder mage χ agår, reste af symboler heldigvis så er det de græske gør bogstaver læsige i σ forveje! stregt taget slet ikke ødvedigt. På de ade side vil mage agår: af statistiske læsere alligevel støde på betegelse χ Vi har ikke brug for dem! publikatioer til e svær opgave for ikke-statistikere., hvilket tæller for at bruge dette græske bogstav også. F.eks. Hvad Også vil vi bogstavet forskellige (professioelt) χ agår, symboler ofte bruge så er gør e det læsige hat stregt som symbol taget slet ikke ødvedigt. På de ade side vil mage Hvad reste af de græske bogstaver agår: af Vi statistiske har ikke publikatioer brug for dem! til e svær opgave for ikkestatistikere. og alligevel skrive støde på betegelse χ, hvilket tæller for at bruge dette græske bogstav også. for estimat læsere F.eks. vil vi (professioelt) ofte bruge e hat som symbol for estimat og skrive Også Hvad forskellige symboler gør læsige af statistiske publikatioer til e svær opgave for ikkestatistikere. p = F.eks. vil vi (professioelt) ofte bruge e hat som symbol for estimat og skrive ) xreste af de græske bogstaver agår: Vi har ikke brug for dem! Også forskellige symboler gør læsige af statistiske publikatioer til e svær opgave for ikkestatistikere. p = burde ) x Måske F.eks. vi i stedet vil vi blot (professioelt) skrive ofte bruge e hat som symbol for estimat og skrive ) x Måske Måske p burde vi i stedet blot skrive = burde vi i stedet blot skrive x p = Måske burde vi i stedet blot skrive Jeg ved godt, det ikke er korrekt! Me: gør det oget? Hvad med at opgive de matematiske x præcisio p = for at opå større læselighed? I forbidelse med estimatio af parametere p i e biom Jeg ved godt, det det ikke ikke er korrekt! er korrekt! Me: Me: gør det gør oget? det oget? simpel Hvad med tilfældig at opgive udvælgelse de matematiske opstille følgede formel for de Hvad 3) præcisio med Om at matematiske opgive for at opå de matematiske større formler læselighed? præcisio for at p=x/: opå større læselighed? Hvad Jeg ved 3) Om skal godt, matematiske vi med det formler ikke er korrekt! formler som f.eks. Me: gør det oget? Hvad med at opgive de matematiske præcisio for opå større læselighed?! ( x " x)( y " y) u =. 96 " (! p) N! N! Om Hvad 3) matematiske b = Om skal matematiske i vi med formler i formler som f.eks.!( x " x) Ikke I forbidelse just oget med køt estimatio sy, hvis af ma parametere ikke er statistiker p i e biom i Hvad Hvad skal! skal vi ( xmed i vi " xmed formler )( yi formler " ysom ) f.eks. som f.eks. simpel tilfældig udvælgelse opstille følgede formel for de b = Uder p=x/: forudsætig af, at populatioe er meget større e Dee formel!( x for (estimatet for) hældige i lieær regressio fides i adskillige elemetære i " x) bøger! om ( xistatistik! " x)( yi " Hvorfor? y) Hvad skal ikke-statistikere med de? Hvilke iformatiosværdi ideholder b = p "(! p Dee formel de?!( x " for x) (estimatet for) hældige i lieær regressio fides ) N! u =. 96 " i adskillige " elemetære i 96 N! bøger om statistik! Hvorfor? Hvad skal ikke-statistikere med de? Hvilke iformatiosværdi Der ideholder er vel ige, de? der udfører disse beregiger i håde u til dags? Og hvis ma gør, så er oveståede Dee formel formel for (estimatet for reste for) ikke hældige særlig veleget i lieær regressio Ikke just oget fides køt i adskillige sy, hvis elemetære ma ikke er statistiker Dee bøger formel om statistik! for (estimatet Hvorfor? for) hældige Hvad skal ikke-statistikere i lieær Hvis med vi u de? yderligere Hvilke iformatiosværdi atager, p ikke er alt for lagt fra Der er vel ige, der udfører disse beregiger i håde u til dags? Og hvis ma gør, så er regressio I ideholder oveståede øvrigt fides er det de? i formel også adskillige bemærkelsesværdigt, elemetære bøger for reste ikke særlig så veleget få om de Uder ubetydelige forudsætig forskel af, at mellem populatioe,96 og er, meget så reduceres større ed astregelser der gøres for at lette tilværelse for statistik! læsere Hvorfor? af de Hvad statistiske skal ikke-statistikere formler. Et eksempel: med de? Hvilke Der er vel ige, der udfører disse beregiger i håde u til dags? Og hvis ma gør, så er I oveståede øvrigt iformatiosværdi er det formel også bemærkelsesværdigt, ideholder de? p "(! p) for reste ikke særlig så veleget få astregelser u =. 96 der gøres for at lette tilværelse for Der læsere er vel af ige, de statistiske der udfører formler. disse Et beregiger eksempel: i " håde u til dags? Og hvis ma gør, så er oveståede I øvrigt er det også bemærkelsesværdigt, så få astregelser Dee formel der gøres må for siges at lette at være tilværelse bemærkelsesværdig for si formel for reste ikke særlig veleget læsere af de statistiske formler. Et eksempel: Alligevel Hvis vi u er yderligere det ikke lykkedes atager, mig at p at ikke fide er alt de for i é lagt eeste fra I øvrigt er det også bemærkelsesværdigt, så få astregelser der gøres for at lette tilværelse for læsere af de Dee formel må siges at være bemærkelsesværdig de ubetydelige forskel mellem,96 og, så reduceres d simpel! Og de er samtidig ekstremt yttig! Alligevel er statistiske formler. Et eksempel: det Emevalget ikke lykkedes mig at fide de i é eeste bog om I forbidelse med estimatio af parametere p i e statistik u = Hvorfor? biomialfordelig I forbidelse med ka vi estimatio uder forudsætig af parametere af simpel p i e biomialfordelig Dette bør styres ka af, vi at uder hvilke forudsætig emer, der er af yttige i det p tilfældig simpel udvælgelse tilfældig udvælgelse opstille følgede opstille formel følgede for de formel Emevalget for efter de statistiske mi meig usikkerhed et par spøgelser, på estimatet der bør aflives, dels er Dee formel må siges at være bemærkelsesværdig si statistiske p=x/: (eller ige) vægt på i elemetære publikatioer om stati I forbidelse usikkerhed med på estimatio estimatet p=x/: af parametere p i e biomialfordelig Alligevel er det ka ikke vi lykkedes uder forudsætig mig at fide af de i é eeste simpel tilfældig udvælgelse opstille følgede formel Dette for de bør statistiske styres af, at usikkerhed hvilke emer, på estimatet der er yttige i det p=x/: p "(! p) N! praktiske ) Sadsylighedsregig arbejde med statistik. Dels er der efter mi meig et par spøgelser, der bør aflives, dels er der emer, Emevalget u =. 96 " " der Selv traditioelt i elemetære lægges for bøger lidt (eller om ige) statistik vægt fider på i elemetære ma ofte e p "(! p) N! Ikke u = just. 96 " oget køt sy, " hvis ma ikke er statistiker Dette hører bør styres aturligvis af, at med hvilke til statistikeres emer, der er takegods, yttige i det mep N! som efter publikatioer mi meig et om par statistik. spøgelser, Nogle der eksempler: bør aflives, dels er Ikke just oget køt sy, hvis ma ikke er statistiker Ikke just oget køt sy, hvis ma ikke er statistiker Sadsylighedsregig (eller ige) vægt på i elemetære publikatioer om stati Uder forudsætig af, at populatioe meget større ed stikprøve reduceres dette e hel del: ( % x! x Uder forudsætig af, at populatioe er meget ) Sadsylighedsregig P(X = x) = & #" p (! p) større Uder ed stikprøve forudsætig p "( reduceres! p) af, at dette populatioe e hel del: er meget større Selv i ed elemetære stikprøve bøger reduceres ' xom $ statistik dette e fider hel ma del: ofte u =. 96 " e itroduktio Er Selv der i elemetære til sadsylighedsregig. oge praktikere, bøger som om har statistik Det ytte fider hører af dee ma iformat ofte e aturligvis p "(! p) formle Det hører med til aturligvis til statistikeres forstå biomialfordelige? med til takegods, statistikeres me Tja, takegods, hvad måske hvis me u =. 96 " skal som ikke-statistikere med formler som Hvis vi u yderligere atager, at p ikke er alt for lagt fra,5 (f.eks.,3<p<,7) og vi igorerer de ubetydelige forskel mellem,96 og, så reduceres ) dette Styrkeberegiger til formle: ( % x! x Hvis vi u yderligere atager, at p ikke er alt for lagt fra,5 (f.eks. P(X =,3<p<,7) x) = & #" p og (! vi p) igorerer Hvis vi u yderligere atager, at p ikke er alt for lagt I forbidelse med plalægig af forsøg stilles statistikere de u = ubetydelige forskel mellem,96 og, så reduceres dette til formle: ' x$ fra,5 (f.eks.,3<p<,7) og vi igorerer de ubetydelige Hvor stort skal mit forsøg være? Er der oge praktikere, som har ytte af dee iformat forskel mellem,96 og, så reduceres dette til formle: u = Er Dee formel må siges at være bemærkelsesværdig Nu formle der simpel! begyder oge til at praktikere, Og de der forstå er så biomialfordelige? samtidig e som lægere har ytte ekstremt dialog, af dee yttig! hvor Tja, statistikere iformatio? måske hvis Alligevel er det ikke lykkedes mig at fide de i é eeste til bl.a. Hvad bog valg om statistik af skal sigifikasiveau de bruge det til? Bidrager Hvorfor? og styrke. formle Dette er vask med, ) Styrkeberegiger at statistikere blot beslutter dette! Dee formel må siges at være bemærkelsesværdig simpel! Og de er samtidig ekstremt yttig! Emevalget Alligevel er det ikke lykkedes mig at fide de i é eeste bog om statistik Hvorfor? 4/ Deræst I forbidelse skal med statistikere plalægig bruge af et forsøg bud på stilles stadardafvige statistikere levere. Hvor stort Edelig skal mit stiller forsøg statistikere være? så et spørgsmål i reti p " "
til at forstå biomialfordelige? Tja, måske hvis ma er matematiker Styrkeberegiger I forbidelse med plalægig af forsøg stilles statistikere (eller matematikere) ofte spørgsmålet: Hvor stort skal mit forsøg være? Nu begyder der så e lægere dialog, hvor statistikere samme med praktikere skal tage stillig til bl.a. valg af sigifikasiveau og styrke. Dette er vaskelige begreber, og derfor eder det ofte med, at statistikere blot beslutter dette! Deræst skal statistikere bruge et bud på stadardafvigelse, det ka praktikere som regel levere. Edelig stiller statistikere så et spørgsmål i retig af Hvad er de midste forskel, du gere vil være i stad til at opdage?. Dette er jo i bud og grud oget, der ikke er statistikeres domæe. Alligevel begyder praktikere at få flakkede øje Kofidesitervaller. Da jeg for mage år side læste faget Statistik, blev kofidesitervaller stort set ikke omtalt. Det ka jeg godt udre mig over i dag. Mage praktikere har svært ved at forholde sig til test af hypoteser, det er svært stof for ikke-statistikere. Helt aderledes forholder det sig med kofidesitervaller. Ikke-statistikere, der skal sammelige middelværdie i to grupper, ka vælge at udføre de klassiske t-test. Me ha ka også berege et kofidesiterval for forskelle 3) Kofidesitervaller. mellem middelværdiere, det vil mage ikkestatistikere have lagt lettere ved at forholde sig til. Dette Da jeg ka for aturligvis mage år side også udyttes læste faget i forbidelse Statistik, blev ko med Det plalægig ka jeg godt af forsøg. udre mig Ikke-statistikere over i dag. Mage vil som praktikere regel hypoteser, godt kue det sige, er hvor svært stor stof e statistisk for ikke-statistikere. usikkerhed, Helt ad ha kofidesitervaller. ka leve med (f.eks. for forskelle mellem to middelværdier). De Ikke-statistikere, (maksimale) statistiske der skal sammelige usikkerhed er middelværdie for de i fleste klassiske et lagt mere t-test. forståeligt Me ha begreb ka også ed de berege før omtalte et kofidesi midste middelværdiere, forskel. Så slipper det vil ma mage også ikke-statistikere for tæke på have la styrke. Der er altså é tig midre at forholde sig til! Det er bekvemt, Dette ka da aturligvis der er ret stor også forskel udyttes på, om i ma forbidelse vælger med pla e styrke som regel på 8 godt % eller kue 95 %... sige, hvor stor e statistisk usikker forskelle mellem to middelværdier). Avacerede og utraditioelle emer De (maksimale) statistiske usikkerhed er for de fleste før omtalte midste forskel. Så slipper ma også for at t Ma skal efter mi meig ikke holde sig tilbage for utraditioelle midre at forholde sig til! Det er bekvemt, da der er ret s på 8 emer. % eller Et 95 eksempel %... er e omtale af skævhed og kurtosis. Dette er traditioelt hevist til avacerede lærebøger, 4) Avacerede på trods af, at og de utraditioelle er yttige redskaber emer for praktikere. De er ét af flere yttige værktøjer til at afgøre, om data Ma er ormalfordelt, skal efter mi og meig hvad der ikke evt. holde ka gøres sig tilbage for at for utrad opå af dette skævhed (f.eks. logaritmisk kurtosis. trasformatio Dette er traditioelt eller fjere hevist t outliers). yttige redskaber for praktikere. De er ét af flere ytt Her ormalfordelt, bliver ma og aturligvis hvad der ødt evt. ka til at gøres have for ogle at opå det vejledede fjere outliers). græser for, hvor store afvigelser fra, som maksimalt ka accepteres. Det er i bud og grud et meget simpelt Her bliver spørgsmål! ma Me aturligvis ma skal ødt lede til meget at have læge ogle for vejleded at fide som et maksimalt svar ka accepteres. Det er i bud og grud et Hvis skal lede ma leder meget læge i Kedall s for at fide Advaced et svar theory of statistics (!!), volume, fider ma (e del af) svaret gemt Hvis væk ma i et leder par øvelser læge i i form Kedall s af asymptotiske Advaced græser. af) F.eks. svaret er de gemt maksimalt væk i acceptable et par øvelser afvigelse i form fra af for asymptotisk theory of stat skævhede acceptable givet afvigelse ved udtrykket fra for skævhede givet ved udtryk! 6 For kurtosis er græse det dobbelte. Me ma fider ig For kurtosis er græse det dobbelte. Me ma fider stikprøvestørrelse skal være, før disse græser ka br ige vejledig om, hvor stor stikprøvestørrelse skal praktiker lige vidt være, før disse græser ka bruges i praksis. Og så er ma jo som praktiker lige vidt Så må ma ty til et af de værktøjer, som også ka formid Så må ma ty til et af de værktøjer, som også ka formidles Simulerigsstudier viser, at oveævte græser gælder skævhede. til ikke-statistikere. Derimod Simulerig! skal vi væsetligt højere op, før de Simulerigsstudier op i abolaget af =. viser, at oveævte græser gælder fit for små stikprøver (f.eks. =5) for skævhede. Derimod For midre skal vi væsetligt værdier af højere ka op, ma før de ved fude hjælp græser gælder Det viser for sig kurtosis, i øvrig, helt at op disse i abolaget græser af ikke =. bliver symmetr af simulerig For midre værdier af ka ma ved hjælp af simulerig Dette berege et vejledede godt eksempel græser på, for at kurtosis. resultater Det af viser simulerigs sig i statistikere øvrig, disse og græser give yttig ikke bliver iformatio! symmetriske! Dette er et godt eksempel på, at resultater af simulerigsstudier Kommetarer godt ka til præseteres oveståede for betragtiger ikke-statistikere er og velkome! give yttig iformatio! Kommetarer Med velig hilse til oveståede betragtiger er velkome! Birger Stjerholm Madse, 4/ 3