Noget om ellisen NOGET OM ELLIPSEN Mogens Esrom Larsen 20. aril 2012 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Ellisen som keglesnit. Ellisen er et af de første matematiske fænomener, vi støder å allerede i barndommen. Det er nemlig tyisk randen af en isvaffel. Det er ikke tilfældigt. Ellisen er det lukkede keglesnit, altså fællesmængden mellem en kegle (vaflen) og en lan (snittet). Der er også andre keglesnit, der er ubegrænsede, nemlig arablen og hyerblen. Lad os nu forestille os en kegle, dvs. i rummet alle linier gennem et givet unkt og et unkt å en given cirkel. For nemheds skyld vælger vi unktet å normalen til cirklens lan i cirklens centrum. Vi skærer nu keglen med en lan i en ellise. Som en iskugle i en vaffel lægger vi en kugle, så den neto tangerer ellisens lan i et unkt, O, og keglen i en cirkel, der er arallel med frembringercirklen for keglen. Betragt nu et vilkårligt unkt å ellisen, P. Frembringeren gennem P skærer cirklen i unktet Q. Da PO og PQ er tangenter til kuglen, er de lige lange: PO = PQ Keglens frembringere danner vinklen φ med tangentcirklens lan, og snitlanen vinklen ψ med tangentcirklens lan, og de to laner skærer hinanden i en linie, der kaldes ledelinien. Vi rojicerer nu P å ledelinien i unktet L og å cirklens lan i unktet P. Af trekanterne PQP og PQL fås PP = PQ sinφ PP = PL sinψ Altså finder vi PO = e PL, hvor e = sin ψ sin φ 1
Noget om ellisen Faktoren e kaldes ellisens excentricitet. Hvis e = 0 er snitlanen arallel med cirklens lan og ellisen udarter til en cirkel. Egentlige elliser har 0 < e < 1. (Tilfældet e = 1 giver et snit, der er arallelt med en frembringer og dermed et snit, der er en arabel.) Vi har nu fundet den beskrivelse af ellisen, at afstandene til brændunktet og ledelinien har et konstant forhold. ellisen keglen P brændunktet O kuglen ledelinien Q P φ ψ L Fig. 1 Elisen som keglesnit Ellisen som rojektion. Nu kan man også tænke sig en kugle oven over ellisen, således at den også tangerer snitlanen i et unkt inden for ellisen og keglen i en cirkel. Da vil afstandene fra P til det andet brændunkt og til den anden cirkel også være ens. Men det betyder, at summen af afstandene til de to brændunkter er lig med afstanden mellem de to cirkler målt ad en frembringer for keglen. Altså er denne sum konstant, lad a være det halve af denne. Ellisen er derfor symmetrisk. Og dens storakse, dvs aksen gennem brændunkterne, er lig med 2a. Den halve storakse er altså a, og lad den halve akse vinkelret herå, kaldet lilleaksen, være b og den halve afstand mellem brændunkterne være c. Som det fremgår af nedenstående figur er der den simle sammenhæng mellem storaksen, lilleaksen og brændunktet: b 2 + c 2 = a 2 Ellisens ligning. Vi lægger et koordinatsystem med origo midt mellem brændunkterne, storaksen som x akse og lilleaksen som y akse. Lad nu et vilkårligt unkt, P, å ellisen have koordinater (x, y). 2
Noget om ellisen Så må de ofylde ligningen (x c)2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Vi kvadrerer og isolerer det dobbelte rodukt og deler med 2 til (x2 + y 2 + c 2 2xc)(x 2 + y 2 + c 2 + 2xc) = 2a 2 (x 2 + y 2 + c 2 ) Vi kvadrerer og ganger ud til (x 2 + y 2 + c 2 ) 2 (2xc) 2 = 4a 4 + (x 2 + y 2 + c 2 ) 2 4a 2 (x 2 + y 2 + c 2 ) som arrangeres til eller kønnere (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 b P a c a Fig. 2 Summen af brændstrålerne er konstant 3
Noget om ellisen Ellisens arametrisering. En olagt arametrisering af denne ligning er (x, y) = (a cosθ, b sinθ) der viser ellisen som en rojektion af cirklen med radius a fra en skrålan lodret ned å en vandret lan. Denne fortolkning har en charmerende konsekvens. Et ar diametre i cirklen, der står vinkelret å hinanden, har egenskaber, der nedarves ved rojektionen. Nemlig, at tangenterne i enderne er arallelle med den anden diameter, og at korderne, der er arallelle med den ene diameter, bliver halverede af den anden. Et sådant ar af diametre i ellisen kaldes konjugerede. Q (a cosθ, a sinθ) P (a cosθ, b sinθ) θ Fig. 3 Projektionen af en skrå cirkel Fig. 4 De konjugerede diametre 4
Ellisens anvendelse i astronomi. Noget om ellisen Ellisen som keglesnit kendes fra oldtiden. Euklid (300 fvt) og Aollonios (200 fvt) har skrevet bøger herom, hvoraf kun den sidstnævntes er bevaret. Men det var Johannes Kelers (1571 1630) måling af Mars i 1608, der insirerede ham til at erstatte de sædvanlige cirkelmodeller for lanetbanerne, som blev brugt fra Ptolemaios (3. årh) til Tyge Brahe (1546 1601), med en ellitisk model med solen i det ene brændunkt. Til dette formål er det bekvemt at skifte koordinater, så solens brændunkt kommer til ligge i origo. y O x ledelinien, P (r cos ϑ, r sin ϑ) L Fig. 5 Et brændunkt og en ledelinie Vi vælger længden, så ledelinien får koordinaterne ( e, y). Tallet bestemmes nedenfor. At PO = epl, betyder, at ( ) r = e e r cos ϑ Ellisen har derfor fremstillingen (r cos ϑ, r sin ϑ), hvor r = 1 + ecos ϑ Secielt ses, at for ϑ = π 2 bliver r = ; dvs er skæringen af ellisen med den ositive ordinatakse. Nu finder vi for ϑ = 0, π værdierne r = 1 + e og r = 1 e 5
Noget om ellisen Den halve storakse er derfor gennemsnittet Ellisens midtunkt er således årh fvt) b 2 = a 2 Indsættes udtrykket for a, fås hvoraf b = 1+e a = 1 e 2 a, hvorfor vi finder lilleaksen af Pythagoras (6. ( ) 2 1 + e a = ( 2a 1 + e b 2 = 2 1 e 2 = a ) 1 + e 1 e 2 og = b2 a og b a = 1 e 2 a y b b 1 e ( a ) 1+e O 1+e e x ledelinien, x = e Fig. 6 Ellisens arametre 6
Noget om ellisen Kelers første lov. Lad os nu betragte en lanet, der bevæger sig om solen i origo i de olære koordinater, som vi vil betegne med den komlekse eksonentialfunktion e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ å formen z(t) = r(t)e iϑ(t) = r(t)(cosϑ(t) + i sin ϑ(t)) Kelers første lov (1609) siger, at arealet, der dækkes af brændstrålen fra solen er roortionalt med den forløbne tid. Arealet af brændstrålens tur fra t 1 til t 2 er Altså er og Kelers første lov siger altså, at A (t 2 ) = t2 t 1 1 2 r2 (t)ϑ (t)dt A (t) = 1 2 r2 (t)ϑ (t) A (t) = r (t)r (t) ϑ (t) + 1 2 r (t)2 ϑ (t) A (t) = k og A (t) = 0 Derfor gælder, at z = ( r r(ϑ ) 2) e iϑ + (2r ϑ + rϑ )ie iϑ = ( r r(ϑ ) 2) e iϑ = r r(ϑ ) 2 z r da A = 0, så z z = r r(ϑ ) 2 r R Dvs at accelerationen z er roortional med z, altså rettet mod solen. Da 1 2 r2 ϑ = k fås, at z = (r 4k2 r 3 ) e iϑ 7
Noget om ellisen Newtons lov. Når laneten følger ellisen, får vi af ligningen ovenfor at hvoraf r = r = r = e sin ϑ (1 + ecos ϑ) 2 ϑ = 2ek cos ϑ 1 + ecos ϑ e sin ϑ (1 + ecos ϑ) 2 2k 2ek sin ϑ = r2 ϑ = 2k ( r 1) 2k r = 4k2 2 r 4k2 3 r 2 som indsat i z giver Newtons (Isaac Newton 1642 1727) lov (1686) z = K r 2 eiϑ hvor K = 4k2. Ellisens areal er πab = kt, hvor T er omløbstiden. Altså er så da = b2, finder vi a K k = πab T = 4k2 = 4π2 a 2 b 2 a = 4π2 a 3 T 2 b 2 T 2 Kelers anden lov (1609) siger, at K er den samme for alle laneter. PS. Tillad mig en ersonlig kommentar. I forbindelse med Tor Nørretranders (1955 ) Mindshi i 1996 blev en af hans foredragsholdere inviteret til at otræde i den nystartede TV kanal DR2. De ville have ham til at forklare Gödels (Kurt Gödel 1906 78) sætning om, at et aksiomsystem, der er stærkt nok til at kunne definere de naturlige tal, ikke kan bevises at være modsigelsesfrit. Det ville han ikke, fordi det var hans erfaring, at det gik hen over hovedet å næsten ethvert ublikum. Nå, så ringede redaktøren til Matematisk Institut og fik fat i mig, de fleste var gået hjem fredag eftermiddag, som brugte en halv time å at forklare, hvor enig jeg var i, at jeg heller ikke kunne forklare resultatet å 5 minutter. Ikke desto mindre fik de om aftenen lyst til hente mig ind til en 5 minutters indledning om matematik i almindelighed i form af et interview. Normalt aftaler man sørgsmålene forud, men efter de aftalte sørgsmål kom det uvarslede: Hva nyt er et te? Der blev ellisen min redning, fordi jeg kunne fortælle, at den havde været ren matematik i 2000 år, men med Keler og Newton blev beskrivelsen af laneters og satellitters baner. Så uden den var der ingen, der kunne modtage DR2s signaler! 8