Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger Calculus 2-24 Uge 5.1-1
Oversigt Matematik Alfa 1, August 22 Opgaver 1. Beregn et dobbeltintegral 2. Diagonaliser en 3 3 matrix 3. Bestem kritiske punkter og ekstrema 4. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 5. Find gradient og retningsafledt 6. Beregn en ortogonal projektion 7. Løs en lineær differentialligning Calculus 2-24 Uge 5.1-2
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x,y. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Calculus 2-24 Uge 5.1-3
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x,y. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y 2 x R = {(x,y) x, y,x 2 + y 2 4} Calculus 2-24 Uge 5.1-3
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - figur z x y R = {(r,θ) r 2, θ π 2 } Calculus 2-24 Uge 5.1-4
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - løsning R = {(r,θ) r 2, θ π 2 } er et polært rektangel. Calculus 2-24 Uge 5.1-5
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - løsning R = {(r,θ) r 2, θ π 2 } er et polært rektangel. Integralet er R x 2 y da = π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ)rdr dθ Calculus 2-24 Uge 5.1-5
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - løsning R x 2 y da = π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ)rdr dθ Calculus 2-24 Uge 5.1-6
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - løsning x 2 y da = R = π/2 π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ)rdr dθ [ 1 5 r5 cos 2 θ sinθ ] r=2 r= dθ Calculus 2-24 Uge 5.1-6
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - løsning x 2 y da = R = = π/2 π/2 π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ)rdr dθ [ 1 5 r5 cos 2 θ sinθ 32 5 cos2 θ sin θ dθ ] r=2 r= dθ Calculus 2-24 Uge 5.1-6
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - løsning x 2 y da = R = = = π/2 π/2 π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ)rdr dθ [ 1 5 r5 cos 2 θ sinθ 32 5 cos2 θ sin θ dθ [ 32 15 cos3 θ ] π/2 ] r=2 r= dθ Calculus 2-24 Uge 5.1-6
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - løsning R x 2 y da = = = = π/2 π/2 π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ)rdr dθ [ 1 5 r5 cos 2 θ sinθ 32 5 cos2 θ sin θ dθ [ 32 15 cos3 θ = 32 15 ] π/2 ] r=2 r= dθ Calculus 2-24 Uge 5.1-6
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - ny figur z x y R = {(x,y) x 2, y 4 x 2 } Calculus 2-24 Uge 5.1-7
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - alternativt R = {(x,y) x 2, y 4 x 2 } er et Type I område. Calculus 2-24 Uge 5.1-8
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - alternativt R = {(x,y) x 2, y 4 x 2 } er et Type I område. Integralet er R x 2 y da = 2 4 x 2 x 2 y dy dx Calculus 2-24 Uge 5.1-8
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - alternativt R x 2 y da = 2 4 x 2 x 2 y dy dx Calculus 2-24 Uge 5.1-9
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - alternativt x 2 y da = R = 2 2 4 x 2 [ 1 2 x2 y 2 x 2 y dy dx ] y= 4 x 2 y= dx Calculus 2-24 Uge 5.1-9
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - alternativt x 2 y da = R = = 2 2 2 4 x 2 [ 1 2 x2 y 2 x 2 y dy dx ] y= 4 x 2 y= 1 2 (4x2 x 4 )dx dx Calculus 2-24 Uge 5.1-9
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - alternativt x 2 y da = R = = = 2 2 2 4 x 2 [ 1 2 x2 y 2 x 2 y dy dx ] y= 4 x 2 y= 1 2 (4x2 x 4 )dx [ 2 3 x3 1 1 x5 ] 2 dx Calculus 2-24 Uge 5.1-9
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - alternativt R x 2 y da = = = = 2 2 2 4 x 2 [ 1 2 x2 y 2 x 2 y dy dx ] y= 4 x 2 y= 1 2 (4x2 x 4 )dx [ 2 3 x3 1 1 x5 = 32 15 ] 2 dx Calculus 2-24 Uge 5.1-9
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 Det oplyses, at matricen A givet ved A = 1 3 3 3 5 3 3 3 1 har egenværdier λ 1 = 1 og λ 2 = 2, og at der ikke er andre egenværdier. 1. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien 2. 2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 AB = Λ Calculus 2-24 Uge 5.1-1
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: A 2I = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 giver det reducerede ligningssystem og dermed x 1 + x 2 + x 3 = x 1 = x 2 x 3 1 1 1 Calculus 2-24 Uge 5.1-11
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 = hvor x 2,x 3 vælges frit. x 2 x 3 x 2 x 3 = x 2 1 1 + x 3 1 1 Calculus 2-24 Uge 5.1-12
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 = hvor x 2,x 3 vælges frit. Egenrummet udtrykkes x 2 x 3 x 2 x 3 = x 2 1 E 2 = span( 1 1, 1 + x 3 1 1 ) 1 1 Calculus 2-24 Uge 5.1-12
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - løsning Egenvektorer hørende til egenværdien 1: A + I = hvor x 3 vælges frit. 3 3 1 1 3 6 3 1 1 3 3 x 1 x 2 x 3 = x 3 1 x 3 = x 3 1 1 x 3 Calculus 2-24 Uge 5.1-13
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - løsning 2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 AB = Λ Søjler af egenvektorer giver B = 1 1 1 1 1, Λ = 1 1 2 2 1 det(b) = 1 sikrer invertibilitet. Calculus 2-24 Uge 5.1-14
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - gør prøve! AB = B Λ 1 3 3 1 1 1 2 2 1 3 5 3 1 1 = 2 1 3 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 = 2 1 1 1 1 2 1 Så prøven stemmer! Calculus 2-24 Uge 5.1-15
Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - figur z ( 1,,1) (1, 1,1) ( 1,1,) x 1 Egenvektorer y Calculus 2-24 Uge 5.1-16
Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 3 Betragt funktionen f(x,y) givet ved f(x,y) = x + y + 1 xy for x >,y >. Det oplyses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde. 1. Angiv dette kritiske punkt. 2. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt. Calculus 2-24 Uge 5.1-17
Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 3 - løsning har kritisk punkt f(x,y) = x + y + 1 xy f = (1 1 x 2 y, 1 1 xy2) = (, ) x 2 y = 1, xy 2 = 1 (x,y) = (1, 1) Calculus 2-24 Uge 5.1-18
Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2 x 3 y,f xy = 1 x 2 y 2,f yy = 2 xy 3 f xx (1, 1) = 2,f xy (1, 1) = 1,f yy (1, 1) = 2 Calculus 2-24 Uge 5.1-19
Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2 x 3 y,f xy = 1 x 2 y 2,f yy = 2 xy 3 f xx (1, 1) = 2,f xy (1, 1) = 1,f yy (1, 1) = 2 Anden ordenstesten giver (a,b) f(a,b) f xx (a,b) D(a,b) Type (1, 1) 3 2 3 minimum Altså er punktet (1, 1) lokalt minimum for f på mængden x >,y >. Calculus 2-24 Uge 5.1-19
Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 3 - figur z x (1,1) y Calculus 2-24 Uge 5.1-2
Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der for x fremstiller funktionen Angiv også grænseværdien f(x) = cos(x2 ) 1 x 4 lim f(x). x Calculus 2-24 Uge 5.1-21
Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 4 - løsning Benyt potensrækken cosx = n= ( 1) n 1 (2n)! x2n til at få cos x 2 1 = n=1 ( 1) n 1 (2n)! x4n Calculus 2-24 Uge 5.1-22
Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 4 - løsning Dermed er f(x) = n=1 ( 1) n 1 (2n)! x4(n 1) = 1 2! + 1 4! x4 1 6! x8 + 1 8! x12... Det følger, at lim x f(x) = 1 2 Calculus 2-24 Uge 5.1-23
Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 4 - figur y 1 x 1 Grafen for y = cos(x2 ) 1 x 4 Calculus 2-24 Uge 5.1-24
Find gradient Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 5 Betragt funktionen f(x,y) = y 2 + ln(x 3 + y + 1). 1. Angiv gradientvektoren f(, 2). 2. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (, 2) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5, 4/5). Calculus 2-24 Uge 5.1-25
Find gradient Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 5 Betragt funktionen f(x,y) = y 2 + ln(x 3 + y + 1). 1. Angiv gradientvektoren f(, 2). 2. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (, 2) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5, 4/5). Løsning 1. Gradienten beregnes f x = 3x 2 /(x 3 + y + 1) f y = 2y + 1/(x 3 + y + 1) f(, 2) = (f x (, 2),f y (, 2)) = (, 13/3) Calculus 2-24 Uge 5.1-25
Find gradient Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 5 - løsning y f(,2) 2. I retning u = (3/5, 4/5) er den retningsafledede D u f(, 2) = f(, 2) u = (, 13/3) (3/5, 4/5) = 52/15 u (,2) 1 x Calculus 2-24 Uge 5.1-26
Find gradient Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 5 - ekstra y z x 3 +y+1> 1 x z=y 2 +ln(x 3 +y+1) Definitionsområdet. x Grafen y Calculus 2-24 Uge 5.1-27
Find gradient Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 5 - figur y 1 1 Tangenter til niveaukurver for z = y 2 + ln(x 3 + y + 1). x Calculus 2-24 Uge 5.1-28
Find gradient Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 5 - figur y 1 1 Skalerede gradienter.1 z for z = y 2 + ln(x 3 + y + 1). x Calculus 2-24 Uge 5.1-29
Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (, 1, 1, ). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Calculus 2-24 Uge 5.1-3
Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (, 1, 1, ). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Løsning I følge [LA] Sætning 18 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u Calculus 2-24 Uge 5.1-3
Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 6 - løsning Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (, 1, 1, ) har u 1 u 2 = 1 + 1 1 + ( 1) 1 + ( 1) = Calculus 2-24 Uge 5.1-31
Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 6 - løsning Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (, 1, 1, ) har u 1 u 2 = 1 + 1 1 + ( 1) 1 + ( 1) = Fra [LA] Sætning 17 fås projektionen af v = (1, 2, 3, 4) u = proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 = 4 4 (1, 1, 1, 1) + 5 (, 1, 1, ) 2 = ( 1, 3, 7, 1) 2 2 Calculus 2-24 Uge 5.1-31
Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (1, 2, 3, 4) ( 1, 3 2, 7 2, 1) = (2, 1 2, 1 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (2, 1 2, 1 2, 3) = 27 2 = 3 2 6 Calculus 2-24 Uge 5.1-32
Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 6 - figur v v u U u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U Calculus 2-24 Uge 5.1-33
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y() = 2. Calculus 2-24 Uge 5.1-34
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y() = 2. Løsning a(x) = 2,b(x) = xe 2x + 3 Calculus 2-24 Uge 5.1-34
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 - løsning A(x) = a(x)dx = 2dx = 2x B(x) = e A(x) b(x)dx = e 2x (xe 2x + 3)dx Som giver = 1 2 x2 + 3 2 e2x Calculus 2-24 Uge 5.1-35
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 - løsning fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce 2x + ( 1 2 x2 + 3 2 e2x )e 2x = Ce 2x + 1 2 x2 e 2x + 3 2 Calculus 2-24 Uge 5.1-36
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 - retningsfelt y 1 1 x I punktet (x,y) tegnes et kort linjestykke med hældning y (x) = 2y + xe 2x + 3. Calculus 2-24 Uge 5.1-37
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved y() = 2. y() = Ce + 3 2 = 2 Calculus 2-24 Uge 5.1-38
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved y() = 2. I alt er løsningen y() = Ce + 3 2 = 2 y(x) = 1 2 e 2x + 1 2 x2 e 2x + 3 2 Calculus 2-24 Uge 5.1-38
Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 7 - figur y 1 1 x Løsningskurve Calculus 2-24 Uge 5.1-39