Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f (4) og f (7). 2. Når man efterisolerer et hus nedsættes varmeforbruget og derved mindskes CO 2 -udslippet. Når loftet i et hus efterisoleres med et x mm tykt lag stenuld opnås over en bestemt årrække en samlet CO 2 -besparelse på i alt f (x) tons CO 2. 85x For et bestemt hus kan denne CO 2 -besparelse beskrives ved f ( x). x 67 Beregn f (10) og fortolk resultatet. 3. En genstand slippes i en højde af 100 meter over jorden, hvorefter den falder lodret nedad. Efter t sekunders fald er genstanden i højden f (t) målt i meter over jorden, hvor f ( t) 139,2 19,6t 39,2 0, 607 t Beregn f (2) og fortolk resultatet. 4. Målinger af vanddybden ud for Øst Kamchatka har vist at vanddybden f (x) i afstanden x meter fra kysten med god tilnærmelse kan beskrives ved hvor f (x) måles i meter. Beregn f (20) og fortolk resultatet. f ( x) 0,82 x 0,67 5. Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P ( 3,4) og Q (5,2). Tegn grafen for f. Bestem en regneforskrift for f. Beregn f (9) og løs ligningen f ( x) 1, 25. 1/7
6. En funktion f er givet ved f ( x) x 2 3, Dm ( f ) R. Tegn grafen for f. # Bestem Vm(f). 7. Figuren viser grafen for en funktion f. Bestem definitionsmængden og værdimængden for f. Løs ligningerne f ( x) 2 og f ( x) 0 grafisk. En anden funktion g har forskriften 1 g ( x) 3, x 0. x Tegn grafen for g i samme koordinatsystem som grafen for f. # Løs ligningen f ( x) g( x) grafisk. 8. En funktion f er givet ved f ( x) 0,25x 3, 25. Bestem f (1) og f (5), og tegn grafen for f. En anden funktion g er givet ved g ( x) x 2, x 0. Tegn grafen for g i samme koordinatsystem som grafen for f, og bestem værdimængden for g. # Løs ligningen f ( x) g( x). 2/7
9. Undersøg i hvert af følgende tilfælde om x og y er ligefrem proportionale, omvendt proportionale eller ingen af delene. Bestem en evt. proportionalitetsfaktor. x 2,5 2 1,5 1,2 y 0,12 0,15 0,2 0,25 x -2/3 3 4 7 y 3-2/3-4/5 5 x 4 8 10 30 y 2 4 5 15 10. Tegn i samme koordinatsystem på lommeregneren graferne for følgende andengradspolynomier: f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = 4x 2 f 3 (x) = ¼ x 2 Hvilken betydning har størrelsen af koefficienten ved x 2 for grafens udseende? 11. Tegn i samme koordinatsystem på lommeregneren graferne for følgende andengradspolynomier: g 1 (x) = 2x 2 g 2 (x) = -2x 2 Hvilken betydning har fortegnet på koefficienten ved x 2 for grafens udseende? 12. Andengradspolynomierne f og g har forskrifterne: f(x) = 2x 2 6x + 1 g(x) = x 2 4x + 9 Bestem koordinaterne til grafernes toppunkter og tegn graferne på papir. Kontroller tegningerne ved hjælp af lommeregner. Hvilken betydning har konstantleddet c? 3/7
13. To parabler har ligningerne y = 2x 2 4x + 6 y = ½x 2 3 Bestem parablernes toppunkt og tegn graferne på papir. Kontroller på lommeregner. 14. Beregn toppunkter og eventuelle skæringer med x-aksen for følgende 2.gradspolynomier: # f 1 (x) = x 2 + 5x 24 f 2 (x) = 3x 2 +6x + 4 Tegn graferne i passende vinduer på lommeregneren og kontroller udregningerne på lommeregner. 15. Opløs følgende andengradspolynomier i faktorer: f(x) = x 2 6x 7 g(x) = 4x 2 + 13 x 12 Kontroller resultaterne med CAS. Kommandoen factor er ens for alle CAS-værktøjer. For TI-89: Brug menu-tasten F2 i hovedmenuen (algebra) efterfulgt af 2:factor og indtast polynomiet. Se nedenstående billede. 16. Faktoriser følgende andengradspolynomier, hvis det er muligt: f 1 (x) = 2x 2 + x 15 f 2 (x) = x 2 + 3x + 6 f 3 (x) = 9x 2 24x + 16 f 4 (x) = 2x 2 + x 6 f 5 (x) = 16x 2 8x + 1 Kontroller resultaterne med lommeregneren. 17. Omskriv følgende to andengradspolynomier til formen p(x) = ax 2 + bx + c p 1 (x) = (x 2) (x + 1) p 2 (x) = (x + 5) (x 5) Kontroller resultatet vha. lommeregneren: F2 (algebra) 3:expand. 18. Vis ved beregning at 2 er rod i følgende polynomier: p 1 (x) = x 4 3x 10 # p 2 (x) = -3x 3 + 5x 2 4x + 12 4/7
19. Bestem b så 3 er rod i polynomiet p(x) = x 2 + bx 15 20. En parabel skærer x-aksen i punkterne (1,0) og (5,0). Punktet (4, - 6) ligger på parablen. Bestem en ligning for parablen. # 21. Faktoriser følgende polynomier vha. lommeregneren. # p 1 (x) = x 3 2x 2 5x + 6 p 2 (x) = x 3 + x 2 + 2x + 2 p 3 (x) = 2x 4 x 3 6x 2 + 3x 22. Grafen for en potensvækst f går gennem punkterne (5,18) og (8,21). Bestem regneforskriften for f. 23. Løs følgende ligninger vha. nulreglen: a) 2(x +1)(x - 1) = 0 b) x ( x 7) 0 c) (x-4)(3x 2 +5x+4) = 0 d) x 2-4x = 0 # e) x 3-3x 2-70x = 0 # f) x 4 - x 2 = 0 # 24. Tegn graferne for følgende funktioner på papir: f 1 (x) = x 2 2x + 3 f 2 (x) = - x 2 6x + 3 Løs ligningen x 2 2x + 3 = - x 2 6x + 3 både grafisk og ved beregning. Kontroller resultatet med grafregneren. 25. Løs nedenstående ligning grafisk ved hjælp af grafregneren, og herefter algebraisk vha. grafregneren 4x 3 2x 2 10x 4 = 0 # 5/7
Vink til mulig fremgangsmåde og supplerende kommentarer (opgaver med #) 1) Lidt om opskrivning af intervaller: En åben bolle symboliserer at tallet ikke er med i intervallet - en udfyldt bolle at tallet er med. Ved intervalopskrivning illustreres dette ved at den kantede parentes peger væk fra tallet, der ikke er med, og ind mod tallet, der er med. Intervallet [a ; b[ indeholder således alle reelle tal fra og med a til men ikke med b. Hvis intervallet ikke har en øvre grænse bruges symbolet (uendelig). Ved dette symbol vender den kantede parentes altid væk fra symbolet. Tilsvarende bruges symbolet,hvis intervallet ikke har en nedre grænse. På tallinjen illustreres dette ved at der hverken er åben eller udfyldt bolle. Intervallet ] mindre end b. ; b[ indeholder alle tal, der er 6) Du kan f.eks. udfylde nedenstående tabel og tegne graf derudfra: x - 3-2 - 1 - ½ 0 ½ 1 2 3 f(x) 7) Udfyld nedenstående table og tegn graf derudfra (vær opmærksom på definitionsmængden for g): x g(x) 1 4 1 1 2 3 4 5 2 8) Brug f.eks. nedenstående tabel: x 0 g(x) 1 1 4 9 4 14) Skæringer med x-aksen bestemmes ved at løse ligningen f(x) = 0, dvs f.eks. f 1 (x) = 0 x 2 + 5x 24 = 0 18) 2 er rod i et polynomium, hvis funktionsværdien af 2 er 0. Vis derfor at p 1 (2) = 0. 20) Rødderne kendes, så udtrykket kan faktoriseres: y = a (x 1) (x 5). Indsæt (x,y) = (4, -6). Bestem a ud fra den ligning der fremkommer. Indsæt a i ligningen ovenfor. 21) Brug F2 i hovedmenuen (algebra) tast 2:factor efterfulgt af polynomiet. 23) d) opløs først venstre side i faktorer e) sæt først x udenfor parentes f) sæt først x 2 udenfor parentes 25) Et tredjegradspolynomium kan højst have tre rødder. Ved tegning af grafen i standardvinduet ses at dette polynomium har tre rødder (der gemmer sig altså ikke rødder udenfor vinduet!). Rødderne bestemmes grafisk vha. F5 i grafvinduet 2:zero. Til algebraisk løsning bruges F2 i hovedmenuen 1:solve 6/7
Facit: 1. Dm(f) = [ -7; 8[, Vm(f) = [ - 3,2 ; 4 ], f(4) = -3, f(7) = 2 2. f(10)=11,04, dvs. efterisoleres med 10 mm fås en besparelse på godt 11 tons CO 2 over årrækken. 3. f(2)= 85,6, det betyder at efter 2 sekunder befinder genstanden sig 85,6 meter over jorden. 4. f(20)= 6,1, dvs. at 20 meter fra kysten er vanddybden 6,1 meter. 5. f(x)= - 0,25x + 3.25, f(9) = 1, x=8 6. Vm(f)= [3; [ 7. Dm(f)= [1; 5½] og Vm(f)=[ -3 ; 4½], L={1.5, 4.4}, L={1,5}, L={2,4} 8. f(1)=3 og f(5)=2, Vm(g)=[2; [, x=1 9. a) omvendt proportionale med k = 0,3 b) hverken eller c) ligefremproportionale med k = ½ 10. angiver hvor bred eller stejl grafen er. 11. viser om parablens grene vender nedad eller opad. 12. (1.5, - 3.5) og (2,5) og c angiver grafens skæring med y-aksen. 13. (1,4) og (0, -3) 14. f 1 : (-2.5, -30.25) og (-8,0) og (3,0), f 2 : (-1,1) 15. f(x) = (x+1) (x 7) og g(x) = 4(x+4)(x-0,75) [i grafregnerens udtryk er 4 ganget ind i den sidste parentes] 16. f 1 (x) = 2(x+3) (x-2½) f 2 : kan ikke faktoriseres f 3 (x) = f 5 (x) = 16( x 1 2 4) 17. p 1 (x)=x 2 x -2 og p 2 (x)= x 2-25 18. p 1 (2)=0 og.. 19. b=2 20. y = 2 x 2 12 x + 10 x f 4 (x) = ( x 2)( x 3 ) 9( 21. p 1 (x) = (x-3) (x-1) (x+2) p 2 (x) = (x+1) (x 2 +2) p 3 (x) = x (2x-1) (x 2-3) 22. f(x)=10,6 x 0,3280 4 2 3) 23. L={-1,1}, L={-7, 0}, L={ 4 } L={0, 4}, L={-7, 0, 10}, L={-1, 0, 1} 24. L={0, -2} 25. L={-1, -0.5, 2} 2 2 7/7