Bornholms gåde Af Niels Bandholm, Ringkøbing, niels.bandholm@gmail.com Dette er beretningen om hvordan jeg brød koden til placeringen af Bornholms middelalderkirker i toget på vej til efterårsmødet oktober 2006 i stedet for at løse sudoku. Jeg skulle til mødet for at høre Erling Haagensens foredrag om emnet. Vi havde 3 år forinden vekslet mange mails derom, og jeg havde sendt ham en del artikler om arabisk ma- skønt er det vi ser, skønnere det vi har erkendt, - men skønnest er det, vi intet ved om. Niels Stensen tematik bl.a. John Norths artikel: The Astrolabe, Scientific American, jan. 974. Vel anbragt i toget på orange billet tog jeg artiklen frem. Heri beskriver North den stereografiske projektion. Jeg havde taget den med, fordi jeg intuitivt så en forbindelse mellem cirklerne og Haagensens tegning. Man kunne jo aldrig vide. Astrolabiet er en analogcomputer mere end 2000 år gammel. Nord Christiansø Olsker 2 2 Nyker Østerlars Nylars Matematik Fysik Den stereografi ske projektion: Punkter på himmelkuglen forbindes med rette linier til sydpolen og afbildes i skæringspunktet i ækvatorplanen. Den er konform og afbilder ) Cirkler i cirkler og 2) Bevarer vinkler. Projektionen er først beskrevet af Hipparchus (90-20 BC) og benyttes i astrolabiet. Figuren er fra Norths artikel og viser ækvator og vendekredsene som koncentriske cirkler. Projektionen af himmelkuglen med den excentriske ekliptikacirkel drejes gang i døgnet omkring Nordstjernen over grundplanen, hvorpå horisonten med højde- og breddekoordinater indtegnet. Figuren herover er fra Erling Haagensens bog: Bornholms Rundkirker (2003) p. 94. 30 LMFK-bladet, nr. 2, marts 2007
0,6 A krebsens vendekreds s ekliptika R 23,578 O R2 - F s*r B -0,5 0,5,5 E - 33,2 stenbukkens vendekreds D 56,789 - C Jeg tog HP-lommeregneren frem, sendte et blik til den kønne pige diagonalt over for mig fordybet i Burda og begyndte at regne. Jeg i min verden og hun i sin hvor er der dog mange verdener. Jeg indsatte en ekliptika-hældning e = 23,5 på en skitse, der minder om snittegningen her, som viser et plan gennem himmelens polakse. R 2 er radius i projektionen af Stenbukkens vendekreds. Ækvatorradius sættes til lig afstanden mellem Østerlars og Nylars, der i virkeligheden er 4,336 km. Ved hjælp af ensvinklede trekanter regnede jeg radius ud til,52525. Haagensen mente, at afstanden Østerlars-Christiansø, skulle være 3 =,52752... med den valgte enhed. Det var pokkers. Hurtigt regnede jeg modsat og fik sinus til ekliptikahældningen til at være 0000000. Det gav et sus af fryd gennem kroppen, jeg sendte pigen et hemmeligt smil. Måske havde man regnet med en ekliptilahældning på Arcsin(), da det havde lettet udregningerne. Jeg vidste dengang ikke, hvor nøjagtigt man kunne måle vinkler. Opgave: Sæt s = og benyt tegningen til at vise, at R 2 = 3. Jeg tog en udskrift af et regneark frem over afstande og azimut (vinklen fra nord) for liniestykker mellem kirkerne parvis. Mellem de 4 kirker og Chr.Ø er der 05 afstande. Jeg havde for 3 år siden lavet et regneark til Haagensen, der viste afstandene langs storcirkler. Araberne kunne jo regne på kugleoverflader. Jeg havde dengang gjort Haagensen opmærksom på, at azimutvinkler er lidt forskellige i hver ende mellem storcirklerne og retningen til nord ). Måske ville andre afstandsforhold fra den stereografiske projektion dukke op i mit regneark. Øverst på næste side er en bearbejdet udgave af mit regneark, dog kun med afstandene og uden Pedersker. Jeg kunne svagt huske, at Haagensen havde fundet halve og kvarte afstande af enheden (ØL- NL): de rosa markerede. Samt den halve afstand af ØL-Chr.Ø: de grønt markerede. Jeg havde også udregnet radius i Krebsens vendekreds 7, men til min skuffelse dukkede den ikke op. Derimod fandt jeg radius til ekliptikas projektion. Da den ) Forskellen er lille, nogle /0-dele grader. Haagensen har i sin reviderede udgave af Tempelherrernes skat (2006) s.28-35 bygget videre på disse tanker til at finde Jordens radius dog med noget urealistiske vinkelnøjagtigheder på /00-del grad. LMFK-bladet, nr. 2, marts 2007 3 Fysik Matematik
Matematik Fysik tangerer begge vendekredse, er radius middelværdien. Reduceret er den 5. Det var afstanden mellem Rø og Åkirke. Jeg fandt Bornholm- 2 kortet frem og følte, at jeg var på jagt efter tempelriddernes skat. Pigen kiggede interesseret til fra sin Burda-verden. Jeg dykkede ned i tabellerne og fandt nogle andre afstandsforhold uden speciel betydning. Opgave: Vis med tal fra tabellen, at afvigelsen mellem målt og teoretisk værdi i afstanden mellem Rø og Åkirke kun er 0,07%. Imidlertid opdagede jeg, at vinklen på omkring 56,8 fra projektionen dukkede op flere steder i mit regneark og lige ved de linier, der var fremhævet ovenfor. Det var tæt på den vinkel, der optræder i den stereografiske projektion. Jeg besluttede at se nøjere på det i toget på vejen hjem. Togets bremser hvinede, da det kørte ind på hovedbanegården. Min muse rejste sig graciøst og gik tæt forbi mig. Vi var i samme verden. På årsmødet kontrollerede jeg, at ekliptikahældningen i databogen var lidt mindre end de 23,5 det var ikke så godt. Men intuitionen sagde, at det nok skulle passe, den har sikkert ændret sig. Hjemme igen blev ekliptika-hældningen tjekket, og på Steno Instituttet fandt jeg de arabere, der havde brugt den nærmeste hældning til Arcsin(). Nemlig 23 35 2). Newcombs formel for ekliptika-hældningen er afbildet grafisk her og viser, hvordan hældningen er aftaget de sidste årtusinder. Opgave: Vis med Newcombs formel, at årstallet hvor ekliptikahældningen er Arcsin() er 98 e. Kr. I de sidste par måneder har jeg arbejdet på at løse denne gåde, hvor jeg stadig finder nye overraskende sammentræf. Ved et møde på Steno Instituttet blev figuren øverst på næste side, der viser de omtalte linier med deres azimut-vinkler, præsenteret: De farvede længder viser en slående overensstemmelse med afvigelser fra middelværdien på nogle få promiller. Undtagelsen er (Bo-Pe) med en afvigelse på,85 %. Forholdet mellem de røde og grønne linier svarer næsten til forholdet på 3 =,52752... mellem ækvatorradius og radius af Stenbukkens vendekreds i den stereografiske projektion. 2) Det drejede sig om Habash (midt 9.årh), al-battani (850-929), Ibn Yunus (940-009) og al-biruni (973-048) samt al-tusi (20-72) som ung. 32 LMFK-bladet, nr. 2, marts 2007
Påfaldende forhold og vinkler Længder for kirkeafstande linie halv hel afvigelse ØL-Chr 2,898 0,03% Ol-Ny 0,954 2,908 0,08% ØL-Ib 0,935 2,870-0,0% middelværdi 2,892 linie kvart halv hel ØL-NL 4,336 0,06% ØL-Ru 4,32-0,04% Rø-Kl 7,45 4,29 5% VM-AA 7,65 4,33 0,03% NL-VM 3,588 7,77 4,353 0,9% middelværdi 4,326 (Bo-Pe) 7,295 4,59,85% snit teori Forhold,528,5275,4,2 Chr 0,8 sqr(7/3) 0,6 Ol Ru Rø Kl - -0,5 ØL 0,5 Ny ØM - VM Ib Kn /4 NL Bo AA - Azimut-vinkler snit teori Kl-Rø 56,43 56,35 st.afv. VM-AA 57,5 57,07 56,82 56,79 ØL-Ib 56,4 56,30 9 Pe-Bo 57,38 57,46 Kl-Pe -33,88-33,74-33,99-33,2 Rø-Bo -34,23-34,09 7 De teoretiske værdier for azimut i tabellen kommer også fra den stereografiske projektion. Man bemærker, at azimut omkring ±56,8 optræder 4 steder, og 2 steder vinkelrette linier med vinkler omkring -33,2. (De to værdier for hver linie svarer til azimut i hver ende af linien) Et konservativt estimat af sandsynligheden for at syv tilfældige vektorer med de nævnte vinkelog længdetransformationer vil være identiske indenfor måleusikkerheden er ca. 0 9. Med andre ord er det overvældende sandsynligt, at kirkerne er placeret bevidst. Men kan man nu forudsætte, at man har benyttet en ekliptikahældning på præcis arcsin()? De målte forhold og vinkler er jo behæftet med en lille usikkerhed, der også vil give en lille usikkerhed på ekliptikahældningen. I det følgende vil jeg give et argument for at ekliptikahældning var sat til præcis Arcsin(). Samtidig gives også en forklaring på, at linien NL-ØL-Chr har azimut 40,9 og OL-Ny og VM- NL har begge azimut 0,9. Hvis et astrolabium skal konstrueres i praksis giver det større nøjagtighed, hvis 3 konstrueres direkte. Den enkleste metode med passer og 30 -,2 -,4 -,6 lineal er vist herunder. Samtidig får man forklaring på vinklen 40,9. D I H A E B På en lodret linie markeres to punkter A og B. Tre cirkler med radius AB med centre i A, B og skæringspunktet C tegnes. Den horisontale linie CD er vinkelret på AB og skærer i E. En linie fra E til skæringspunkt F trækkes og skærer i punktet G. Denne linie danner vinklen 40,89 med AB. Sættes EC lig, ækvatorradius, så er EF lig 3, Stenbukkens vendekreds, og EG lig 7, Krebsens vendekreds. En lignende figur Vesica Piscis er kendt i den kristne symbolik. Opgave. Vis at radierne passer med konstruktionen. LMFK-bladet, nr. 2, marts 200733 Pe G Po F C Fysik Matematik
Med yderligere en transformation får man forklaring på beliggenheden af kirkerne Ol og Ny samt vinklen 0,9.,2 0,8 Chr Matematik Fysik A' /4 Ny' NL' Ol' B' J A E (ØL') I de store gule trekanter ser man, at de røde højder har længderne og ½ af ækvatorradius CE der er. Den grønne diagonal har længden 3. De små gule trekanter svarer til de store multipliceret med en faktor ½ og drejet 30 grader mod uret og punktet A flyttes til A. Herved får den lille grønne diagonal længden ½ 3 med azimut. 40,89-30 = 0,89. E.Haagensen har lavet en ækvivalent konstruktion. Se www.new-science.co.uk. Målte azimut-vinkler Snit Teori NL-ØL 40,65 40,77 ØL-Chr. 40,77 40,95 40,78 40,89 Ny-Ol 7 9 NL-VM 0,3 0,30 0,89 Opgave Linien A A sigter mod F. Vis at den skærer midt på den grønne linie Ol -Ny. Ovenstående multiplikation med faktoren 0,5 giver ideen til en konstruktion, hvor radierne er halveret, men stadig med centrum i ØL. Den stereografiske projektion fra Nord (0;0,5) mod Krebsens og Stenbukkens vendekreds, se tynde blå linier på næste figur, tegnes. Man bemærker, at ikke blot har Kl-Rø den rette hældning, men den ligger også tæt på Krebsens projektionslinie. B G F (Chr') C sqr(7/3) 0,6 Nord Ol Ru Rø krebs Kl S - K -0,5 ØL 0,5 U stenbuk proj. fra Nord Ny ØM - VM Ib Kn /4 proj.fra Nord NL Bo AA - -,2 4 Matematiske sammentræf Hvis man tegner linien fra Nord (0;0,5) mod Chr.Ø i vinklen 56,789 (Arctan( 7 ) skærer den den lodrette linie under Chr.Ø i 7 ) + _ 2 =,5465... Astrolabiekonstruktionen (grøn linie) giver derimod 2 =,5470... 3 På de 2,899 km svarer forskellen til umålelige 0,77 m. Ved Ibsker, der jo ligger på Stenbukkens vendekreds med halv radius, kan der laves en anden approksimation om end ikke så god. Opgave: Prøv at finde en anden måde hvorpå Ibskers placering kan fastlægges geometrisk. Hint: tegn en linie gennem U parallel med Chr.Ø-ØL. Men hvor er ekliptika-projektionen? En cirkel med centrum i Rø og radius Rø-AA viser sig næsten at tangere de to vendekredse, som den skulle, men afvigelsen er noget større end den normale præcision, ca. 230 m over de 5.653 m dvs.,47%. Imidlertid er radius nøjagtig inden for 0,07%. Centrum skal flyttes de ca. 230 mod nordvest. Afstanden mellem Rø og AA er 5653 m en afvigelse på m i forhold til den beregnede 5642 m. Tegner man en cirkel med centrum i Rø se næste figur og denne radius har man tilsyneladende også fastlagt, hvordan ekliptika skal tegnes i systemet, men ekliptika rører ikke helt vendekredsene. Midteraksen går også næsten gennem Rø, Øl og ØM. AA er eneste kirke på ekliptika og må svare til Solen. Pe Po 34 LMFK-bladet, nr. 2, marts 2007
,2 Chr 0,8 0,6 sqr(7/3) Ol Ru Rø Kl - -0,5 ØL 0,5 Ny VM Kn /4 NL AA - - -,2 Pe ØM Po Bo Ib Kn på en nord-sydlinie, og Kn har y-koordinaten -0,5. Ligesom vi af konstruktionen med de farvede trekanter indser, at y-koordinaterne for Ol er 0,5 og for Ny er 5. Svær opgave for Astrolabie kyndige: Solens position svarer til en dato, og en linie fra ØL til AA angiver et tidspunkt hvornår på året og dagen? Andre mærkværdige sammentræf Jeg har fundet andre påfaldende linier og afstande. En forlængelse af linien AA-VM vil ramme megalitstenkredsen Ales Stenar på Skånes sydkyst på samme måde, som linien Kl-Rø rammer Chr.Ø. Desuden er afstanden mellem Åkirke og Ales Stenar 65,025 km, det samme som afstanden mellem Lund Domkirke og Ales Stenar på 64,994 km (midtpunktet falder stadig indenfor skibssætningen). Her stoler jeg ikke helt på min kugleformede jordmodel, idet en geoide vil give lidt andre afstande og azimut-vinkler. Jeg har dog valgt en kugle med radius svarende til middelkrumningen af geoiden 950 på Bornholm, så afvigelserne er meget beskedne. Chr.Ø og kirkerne NL, Ol, Ny, VM, AA og Ib kan fastlægges absolut i forhold til ØL, mens vektoren KL-Rø skal skære i Chr.Ø (og 0;0,5) ligesom AA-VM nok skal skære Ales Stenar. Positionen af vektoren Pe-Bo er nok parallelforskudt vinkelret på Kl-Rø, men hvorfor denne afstand? Dog ligger Pe på en linie fra Lund gennem Ales Stenar. Po og Chr.Ø har numerisk samme y-koordinat og en linie mellem Ru og Po har numerisk samme hældning som ØL-Chr.Ø. Med den konstaterede usikkerhed på vinklerne ( ½ grad) ligger Ru og Et mysterium Astrolabiekonstruktionen Vesica Piscis er baseret på en meget speciel værdi af ekliptika-vinklen på Arcsin(). Konstruktionen var sandsynligvis kendt af en indviet kreds af kristne munke med matematisk viden. Værdien kan opfattes som et tegn fra gud eller den tids kosmologiske konstant. Måske er det denne matematiske hemmelighed, der er Tempelherrernes skat. Men selv om dele af koden hermed er afsløret, så er der faktisk endnu flere gåder, der trænger sig på, hvis man sætter denne placering af kirkerne ind i en historisk kontekst: Hvorfor dette design? Hvem udtænkte det? Hvem fik det iværksat? Hvordan blev det gjort? Hvem udførte det? Var koden hemmelig eller er den forsvundet i historiens mørke på grund af uheld, krige, uforstand eller grådighed? Der er ikke plads til forsøg på svar her, men det er et oplagt emne for et tværfagligt projekt under almen studieforberedelse, der inddrager kirkehistorie, korstogene, arabernes indflydelse på vestens astronomi, arabiske og latinske oversættelser, triangulering og meget mere. Jeg tilbyder at sende en Geometerfil med kirkernes positioner til de gymnasielærere, der måtte være interesseret i at indgå i et sådant projekt. LMFK-bladet, nr. 2, marts 200735 Fysik Matematik