ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas... 3 Når den ubekendte står i 2. brilleglas... 4 Videregående regler om ligninger... 5 Løse ligning på lommeregner Casio fx-991es... 6 1 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER... 7 2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER... 8 2 a. Beregningsrækkefølge.... 8 2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner)...13 2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst...14 2 d. Løse ligninger med lommeregnerens solve (brugsanvisning side 5)...16 2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3)...18 2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning...22 3 FLERE EKSAMENSOPGAVER (fra årene 2006 og 2007)...24 4 "STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER....26 Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser...29 Opdeling (briller) af udtryk med parenteser:...29 Ligninger med x først....30 TEORI...33 Algebraisk hierarki - og briller...33 Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje...33 Brøkligninger...35

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 2 af 35 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER Tal, regneoperationer og ligninger Regnearternes hierarki t 4 3 2 4 3 4 4 12 16 2 Beregningsrækkefølge: 1. potensopløftning 2. gange/division 3. plus/minus En parentes ændrer på hierarkiet Plus-parenteser kan hæves (1) 5 + (x 3) = 5 + x 3 = x + 2 Minus-parenteser: fortegnsskift (2) 8 (3 + x) = 8 3 x = 5 x (3) 7 (x 2) = 7 x + 2 = 9 x Gange-parenteser kan hæves: (4) 2 (3 x) = 2 3 x = 6 x (5) (3 x) 2 = 3 x 2 = 3 2 x = 6 x Gange ind i (parenteser med + og ) (6) 2 (x+4) = 2 x + 2 4 = 2x + 8 Samle led (7) 5 x x = 4 x Kvadratsætninger (8.1) (3+x) 2 = 3 2 + x 2 + 2 3 x (8.2) (x 5) 2 = x 2 + 5 2 2 x 5 Plus-parenteser kan hæves (1) a + (b c) = a + b c Minus-parenteser: fortegnsskift (2) a (b + c) = a b c (3) a (b c) = a b + c Gange-parenteser kan hæves: (4) a (b c) = a b c (5) (a b) c = a b c Gange ind i (parenteser med + og ) (6) c (a+b) = c a + c b Samle led (7) a + 2 a = 3 a Kvadratsætninger (8.1) (a+b) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b (8.2) (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b En ligning består af to formler med lighedstegn imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x. Ligninger Et tal der, indsat som x, får lighedstegnet til at passe, kaldes en løsning. I en ligning må man 1) lægge samme tal til på begge sider 2) trække samme tal fra på begge sider 3) gange med samme tal på begge sider, dog ikke med 0 4) dividere med samme tal på begge sider, dog ikke med 0

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 3 af 35 Isolere en ubekendt (nedenfor betegnes den ubekendte som x, men enhver variabel kan naturligvis isoleres tilsvarende). Der beskrives en sikker vej til at kunne isolere x, når den kun optræder 1 gang i en ligning indeholdende tal,bogstaver, regneoperationer + - * / (og senere potensopløftning ^ ), samt eventuelt parenteser. Nedenstående beviser, at den slags ligninger altid kan løses. (Undtagelse: hvis proceduren giver division med 0). Grundlaget for hvert skridt er, at den side af ligningen, der indeholder x, opdeles med briller (også hvis der kun er et enkelt tal/bogstav ved siden af x) Fremgangsmåden afhænger nu af om x står i første eller andet brilleglas og af hvilken regneoperation, der sammenknytter de to brilleglas. Oftest bruges den modsatte regningsart. + = Hvis x står i første brilleglas (til venstre, eller i en brøk: for oven) Når der står (x)+(b) nedenfor betyder (x) et udtryk (brilleglas), der indeholder den ubekendte, x. (a), (b) og (c) står for andre udtryk, der ikke indeholder x. m Taleksempel Mønster - + - eller / Kommentar Når man trækker (b) fra på begge sider, flyttes over som. p Når man lægger (b) til på begge sider, flyttes over som. d (Kan kun bruges, når (a) ikke er 0) Når man dividerer med (a) på begge sider, flyttes over som g Når man ganger med (a) på begge sider, flyttes over som

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 4 af 35 Bemærk, vi siger ikke (b) flyttes over på den anden side af lighedstegnet og ændrer fortegn. I de to sidste tilfælde ovenfor, d og g hvor (a) flyttes over, ændres der ikke fortegn fra plus til minus. Man bruger derimod den modsatte regningsart, og det man flytter skal stå sidst, for at man kan sige flyttes over som. (eller omvendt) flyttes over som (eller omvendt) Når den ubekendte står i 2. brilleglas (til højre eller forneden i en brøk) Kort fortalt: Ved PLUS og GANGE kan man bare bytte om, så den ubekendte rykker frem i første brilleglas. Ved MINUS og DIVISION bruges den omvendte regningsart, nøjagtig som ovenfor. Den ubekendte kommer så over på den modsatte side af lighedstegnet, hvor man er i en bedre situation til at komme videre. For nu står der PLUS i stedet for MINUS, eller der står GANGE i stedet for DIVIDERE, og så kan man bare bytte om. Her skrives det ud i detaljer: o o Taleksempel Mønster + - eller / Der kan ombyttes ved PLUS, så den ubekendte kommer i første brilleglas. (idet a+b=b+a ) Derefter minusoperationen m ovenfor, og (x) er alene Der kan ombyttes ved GANGE, så den ubekendte kommer i første brilleglas. (idet a b=b a ) Derefter divisionen d ovenfor. p Efter plus-operationen bruges den netop omtalte ombytning o. Når (x) er kommet forrest på højre side, bruges minus-operationen m, og (x) er alene. g Efter gange-operationen bruges den netop omtalte ombytning o Når (x) er kommet forrest på højre side, bruges divisions-operationen d, og (x) er alene. I hvert skridt af løsningen af en kompliceret ligning, ser man hvilken side af lighedstegnet, der indeholder x. Udtrykket på den side af ligningen opdeles med briller. Er x i første brilleglas, bruges det første skema, ellers bruges skemaet lige ovenfor, og omformnings-trinnet vælges efter om den adskillende regneoperation er plus, minus, gange eller dividere. På den måde er der 4+4 = 8 valgsituationer. Når ligningen er omformet, er man i en ny situation, igen med 8 mulige udgangspunkter for at vælge blandt de 5 handlinger (m, p, d, g og o ). Til sidst står x alene på den ene side af lighedstegnet.

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 5 af 35 Ovenstående procedure kræver ingen omformning af regneudtryk ud over ombytningerne a+x=x+a og a x=x a. Men formlerne adskilles og delene samles på ny måde. Ved praktisk ligningsløsning kan man ofte spare nogle skridt ved at bruge omskrivninger. Når man regner med papir og blyant, vil man tit undlade at skrive ombytningen, men blot have den i hovedet. Ellers skal hver mellemregning skrives, for at dokumentere, at man kender de enkelte principper. Videregående regler om ligninger f r Når man ganger med (-1) på begge sider, ændres fortegn. Bruges ved potensopløftning, når (x) står i første brilleglas. Kan bruges når (x) og (c) vides positive, ellers ikke altid. F.eks. har ingen løsning. har -3 og 3 som løsning. l Bruges ved potensopløftning, når x står i sidste brilleglas. Kan kun bruges når (a) og (c) vides positive. fu () (c) kan være positiv, 0 eller negativ. (x) bliver et positivt tal. fu () (c) kan være positiv, 0 eller negativ. (x) bliver et positivt tal. fu () () Kan kun bruges når (c) vides positiv. () Kan bruges når (x) vides at ligge mellem 0 og 180 fu eller () eller Ellers er der flere eller andre løsninger. () () Kan bruges når (x) vides at ligge mellem 0 og 180 fu () Ellers er der flere eller andre løsninger.

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 6 af 35 Løse ligning på lommeregner Casio fx-991es For at løse ligningen 2 x = 8 på lommeregneren Casio fx-991es indtastes følgende: 2X=8, X Man bruger disse taster: X =, Man sætter ligningsløsningen i gang ved først at taste og ser (MYSTISK?) Tallet 112 er ikke løsningen, men en tilfældig gammel x-værdi (I vil se andre tal, når I prøver). Man skal indtaste et start-gæt. Tast f. eks. tallet 1 og tryk på det lighedstegn, der er nederst til højre på lommeregneren Her ses løsningen : x=4 (Det nederste L-R betyder venstre side minus højre side, som giver 0, når løsningen x=4 er indsat i ligningen)

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 7 af 35 1 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER Regn ikke, men læs opgaverne, og bevar derefter spørgsmålene på næste side Opg. 101 Opg. 102 Opg. 104 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 2000-2003, kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen y = 6410 1,06 x hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 2000. b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 8 af 35 Opg. 104 Opg. 105 Spørgsmål til ovenstående 4 opgaver: Hvilke af nedenstående færdigheder ser det ud til at man skal kunne beherske for at regne og besvare de fire opgaver (sæt v ) : a. Indsætte tal i formel b. Indtaste formel (med tal, parenteser og regneoperationer) i lommeregner og udregne. c. Se hvilken side, der er hypotenuse i en retvinklet trekant. d. Løse ligninger med 1 ubekendt med lommeregnerens solve. e. Løse ligninger med 1 ubekendt med ligningsregler, papir og blyant. f. Gange ind i en parentes. g. Se ud fra en sproglig tekst, hvilke variable der indgår. h. Bestemme rentefod ud fra startkapital, slutkapital og antal år. i. Gennemskue formlernes betydning, herunder vide at gange skal udføres før plus ved beregning af en formels værdi. 2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER 2 a. Beregningsrækkefølge. Fra Karsten Juul Bogstavregning Op. 201 (Trinvis udregning) Vis ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående a) Eventuelle parenteser udregnes først b) Gange/dividere udføres før plus/minus (omskrives tydeligst med vandret brøkstreg). c) Flere gange/dividere-operationer udføres fra venstre mod højre d) Flere plus/minus-operationer udføres fra venstre mod højre (1) 2 4 + 3 5 (4) 4 1+ 3 2 = 8 + 15 = 23 (2) 2 (4 + 3) 5 (5) 4 (1+ 3) 2

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 9 af 35 = 2 7 5 = 14 5 = 70 (3) 2 (4 + 3 5) (6) (4 1+ 3) 2 Op. 202 (Trinvis udregning) (som ovenfor) (1) 8 ( 2 + 4) (4) 2 (6 4) (7) 3 (2 5) (2) 8 + (2 4) (5) 2 6 2 4 (8) 3 2 5 (3) 8 + 2 4 (6) 2 6 4 (9) (3 2) 5 Fra Gyldendals Gymnasiematematik, Arbejdsbog B1 Udregn med trinvise mellemregninger (gerne i hovedet, ellers 10-kr. lommeregner) Opg. 203

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 10 af 35 Opg. 204 Omskriv med vandret brøkstreg og udregn, med trinvise omskrivninger/mellemregninger: a) 9 + 6 / 3 b) 9 8 / 2 c) 18 / 6 7 6 9 3 = 9 + 2 = 11 b) 3 + 12 / 4 6 e) 55 / 11 28 / 7 f) 20 / 4 + 7 / 1 3 7 g) 9 + 16 / 4 5 14 / 7 h) 8 7 27 / 3 8 + 6 1 Opg. 205 Udregn, med trinvise mellemregninger: (potensopløftning udføres før gange/dividere, der som bekendt udføres før plus/minus) 2 25 50 Opg. 206 Omskriv og udregn, med trinvise mellemregninger: a) 16 / 2 3 b) 36 / 3 2 c) 6 2 / 12 d) 2 5 / 4 e) 5 3 / 5 + 4 d) 40 / 2 3 18

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 11 af 35 g) 14 18 / 3 2 h) 8 2 / 2 5 + 3 6 i) 20 3 3 18 Opg. 207 Udregn, med trinvise mellemregninger: Opg. 208 Udregn, med trinvise mellemregninger:

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 12 af 35

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 13 af 35 2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner) Opg. 211. Indsæt x og udregn y (Der må gerne bruges lommeregner. Men "mellemregningen" skal anføres) x 3 2,8 0-3 -5-0,032 = 11 = -1 Opg. 212 Indsæt b, x, y og udregn a b 5 9 0,3-3 x 2 8 10,4 6 y 20 6 2,4-8 = 7,5 (evt.) (regnes ikke) Opg. 213. Indsæt x 1, x 2, y 1, y 2 og udregn a

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 14 af 35 2 2,3 0,8-3 6 8,4 3,4-1 3 2,9 60 4 11 6,8 24 8 = 2 (evt.) 2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven. De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema. Opg. 221 symbol (bogstav) Forklaring (tekst) d møntens diameter (mm) 23,35 h møntens m k Et tal, der afhænger af materialet Værdi, hvis oplyst De kendte tal indsættes i formlen:

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 15 af 35 (Og ligningen løses for at beregne k, men dette venter vi med til næste afsnit ) - - - Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven. De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema. Opg. 222 a) b) a) Spørgsmålet "Bestem lysstyrken i afstanden 2 0 cm fra lygten": symbol Forklaring Værdi, hvis oplyst (bogstav) (tekst) x I Sæt de kendte værdier ind i formlen nedenfor, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne : b) Spørgsmålet " I hvilken afstand fra lygten er lysstyrken 9 5 μw/ m 2?" symbol Forklaring Værdi, hvis oplyst (bogstav) (tekst) x I Sæt de kendte værdier ind i formlen, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne : Opg. 223 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 2000-2003, kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen y = 6410 1,06 x hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 2000. b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 16 af 35 symbol (bogstav) Forklaring (tekst) Værdi, hvis oplyst Beregning af resultatet: Konklusion: Svaret på spørgsmål b formuleret som en sætning: Opg. 224 symbol (bogstav) (se hvordan nedenfor) Forklaring (tekst) Værdi første gang x x 1 = x 2 = y y 1 = y 2 = Beregn a med følgende formel (vedrørende lineær sammenhæng, y = ax + b a y x y x 2 1 2 1 Beregn b med følgende formel (vedrørende lineær sammenhæng, y = ax + b b = y 1 a x 1 = Værdi anden gang 2 d. Løse ligninger med lommeregnerens solve (brugsanvisning side 5) Løs med lommeregnerens "solve" (aflever som brøk eller decimaltal med 3 betydende cifre): Opg. 231 Opg. 232:

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 17 af 35 Opg. 213 a) Løs (i hånden eller) med "solve" : b) Skriv en konklusion en sætning - som svar på spørgsmål a) i opgave 221 i afsnit 2c ovenfor c) Løs ligningen med solve : d) Skriv en konklusion en sætning - som svar på spørgsmål b) i opgave 222 i afsnit 2c ovenfor

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 18 af 35 2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3) Opg. 241 2 Opg. 242 5 3

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 19 af 35 Bruge regneregler ( som led i at løse ligninger) Regnereglerne og eksempler - står på side 2. Først afprøver og anskuliggør vi nogle af reglerne. Opg. 243 Indsæt tallene a=8, b=4, c=3, i formlerne A og B, og udregn med med trinvise mellemreninger (som på side 7). A B (1) a + (b c) a + b c 8 + (4 3) 8 + 4 3 8 + 1 12 3 9 9 (2) a (b + c) a b c (3) a (b c) a b + c (4)-(5) a (b c) a b c ( a b) c (6) c (a+b) c a + c b c (a b) c a c b (7) a + 2 a 3 a (8.1) (a+b) 2 a 2 + b 2 + 2 a b

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 20 af 35 (8.2) (a b) 2 a 2 + b 2 2 a b Opg. 244 Nedenstående figurer illustrerer nogle af regnereglerne. Hvilke? Hvordan? Skriv hver regel under figuren a b a b c c (a+b) c c a c b a b a b a (a+b) 2 a a 2 a b b b a b b 2 a -b a -b a (a-b) 2 a a 2 -a b -b -b -a b b 2 Opg. 245* Brug de omtalte regneregler undervejs når nedenstående ligninger løses

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 21 af 35 Opg. 246* 10 (x +3) = 2, 20 + (4 t) =18, 30 + 3g (6 g) = 12, 7v 5 (v + 2 ) = v 2 (x 3) =12, 3 (4 t) =36, (5 g) 2 = 100, 2 (v 2 ) (2 2) = 64 (x+3) 2 x 2 = 21, (5+x) 2 x 2 = 75, (x 2) 2 x 2 = 14, (4 x) 2 x 2 = 16

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 22 af 35 2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning Opg. 250 1. Indsæt A = 14, h = 4 og bestem g af ligningen: ( solve eller løses i hånden) 2. Indsæt A = 22, h = 5 og bestem g af ligningen 3. Indsæt A = 24, g = 5 og bestem h af ligningen 4. Indsæt A = 10, g = 4 og bestem h af ligningen 5. Indsæt A = 28, l = 8 og bestem b af ligningen 6. Indsæt A = 6, b = 8 og bestem l af ligningen 7. Indsæt O = 20, b = 3 og bestem l af ligningen 8. Indsæt O = 6, l = 1,2 og bestem b af ligningen

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 23 af 35 9. Indsæt A = 38, a = 8, b = 2 og bestem h af ligningen 10. Indsæt A = 42, a = 5, h = 3 og bestem b af ligningen 11. Indsæt A = 32, h = 4, a=3 og bestem b af ligningen 12. Indsæt A = 32, h = 4, a = 2 b og bestem b af ligningen 13. Indsæt A = 20, π = 3,1416 og bestem r af ligningen 14. Indsæt A = 80, π = 3,1416 og bestem r af ligningen 15. Indsæt O = 80 og bestem r af ligningen 16. Indsæt O = 80 og bestem d af ligningen

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 24 af 35 17. Indsæt V = 32, h = 4, l = 5 og bestem b af ligningen 18. Indsæt O = 140, h = 4, l = 5 og bestem b af ligningen 19. Indsæt O = 150, b = 3, l = 5 og bestem h af ligningen 20. Indsæt O = 200, b = 4, h = 3 og bestem l af ligningen 21. Indsæt V = 50, π = 3,1416 r = 3 og bestem h af ligningen 22. Indsæt V = 70, h = 3 og bestem r af ligningen 23. Indsæt O = 140, r = 3 og bestem h af ligningen 24. Indsæt O = 170, h = 10 og bestem r af ligningen 3 FLERE EKSAMENSOPGAVER (fra årene 2006 og 2007)

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 25 af 35 Opg. 301 Opg. 302 Opg. 303

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 26 af 35 Opg. 304 Opg. 305 4 "STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER. Opg. 401* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger. Se mønstre side 3.

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 27 af 35 Opg. 402* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 28 af 35

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 29 af 35 Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Opdeling (briller) af udtryk med parenteser: 9. 10. 11. 12. ( ) 13. 14. 15. ( ) 16. 17. Svar nr. 1-17: opdeles efter b, b, b, c, b, c, f, b, a, c, b, c, a, d, b, a, a

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 30 af 35 Ligninger med x først. Opdel venstresiden ( briller ) og foretag første skridt i at isolere x.

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 31 af 35 Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (Husk briller ). Se side XXX 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 32 af 35 Svar Ligninger med x først (side 10) spm 4-15: ; ; ; ; Svar Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (side ) spm 4-22: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 33 af 35 TEORI Algebraisk hierarki - og briller 15-10 + 3 Når værdien af et regnestykke med en masse tal skal udregnes, skal opgaven deles op i en række delopgaver hvor tal to og to lægges sammen, trækkes fra hinanden, ganges, divideres eller opløftes i potens. Eksemplet 15-10 + 3. Udregnes ved 15-10 = 5 efterfulgt af 5+3 = 8. Efter hvilket princip valgte vi at starte med 15-10? De 5 regningsarter er + - / og ^ Beregningsrækkefølge: Når flere regneoperationer er "på samme niveau" siger man at 1. potensopløftninger udføres først (hænger tættest sammen) 2. gangning og division udføres derefter i den rækkefølge de står 3. plus og minus udføres derefter i den rækkefølge de står (adskiller stærkest) Parenteser får regneoperationerne indenfor parentesen til at optræde i et andet niveau, end dem uden for. En parentes værdi udregnes først og indgår i regnestykket udenfor parentesen Når man skriver et regnestykke op med vandrette brøkstreger, virker disse på samme måde som parenteser. Tilsvarende skal den lille løftede eksponent i en potensopløftning behandles, som hvis den stod i en parentes. Man skal i princippet både kunne indtaste et regnestykke, kunne udregne det i hånden, og kunne overskue den overordnede opbygning af det. Det sidste er vigtigt i regneudtryk med bogstaver, der måske indgår i en model af en konkret problemstilling, og det vigtigt, når man skal løse en ligning. Lad os starte med indtastning. I nogle IT-redskaber kan formler indtastes direkte som de står på papiret, og så kan man blot at lære at bruge knapperne. Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje. I andre IT-værktøjer indtastes formler i én lang linje. Det gør det nødvendigt at indtaste flere parenteser: Indtastning af en brøk kan kræve op til tre sæt parenteser: om tæller, om nævner og om hele brøken. (den om hele brøken kan dog undværes hvis man kun er interesseret i tal-resultatet). Er der et regnestykke i eksponenten ved potensopløftning, skal det indtastes i parentes. indtastes (/) indtastes 2^(3+4) Overskue og udregne i hånden - et eksempel. Et stort og kompliceret regneudtryk opdeles først overordnet i to dele ( briller ). Hver af de dele analyseres og opdeles måske yderligere. Vi belyser reglerne for udregnings-sammenhæng (og rækkefølge) med følgende eksempel, hvor man f. eks. kan tænke sig a=1, b=2, c=3 o.s.v.:

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 34 af 35 1. Vandrette brøkstreger opdeler på samme måde som parenteser Her: brøkstregen opdeler hele udtrykket i to deludtryk (der er intet ved siden af brøken). divideres med 2. Plus og minus adskiller kraftigere end gange (og potensopløftning). Er der flere plus og minustegn, adskiller det sidste (længst til højre) kraftigst. + 3. Som netop nævnt: Minus adskiller kraftigere end gange: - 4. Gange adskiller kraftigere end potensopløftning. Højre del af (1.). (Selv om + skiller mere end på samme niveau, fungerer den løftede eksponent, hvis den var i parentes), på samme måde som Denne opdeling er nok ikke hvad man ville have gættet uden at kende reglerne. (Det ser ud som om e og f hænger sammen da de begge er store bogstaver, men det gør de altså ikke). Endnu mere lumsk, når gangetegnet er underforstået: Sæt b=3 og udregn Hvad bliver det, og hvorfor? 5. Den løftede eksponent fungerer som hvis den var i parentes: Bemærk, at hvis et brilleglas indeholder 1 eller 2 tal/bogstaver, så er der ingen tvivl om udregningsrækkefølgen, eller hvad der hænger sammen med hvad. Indeholder brilleglasset 3 eller flere tal/bogstaver, så må indholdet opdeles med nye briller. Øvelse: indtegn de sidste manglende briller i det nederste store billeglas.

Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 35 af 35 Brøkligninger Isoler x i følgende fire ligninger: 1) 3) 2) 4) Omskriv alle løsningerne ovenfor til en brøk, lige som i følgende omskrivning: = Nedenfor ses ligning 1 løst ved at stikke en strikkepind gennem den ubekendte, og lade tyngdekraften trække den fjerne ende af ligningen nedad. Lav tilsvarende illustrationer for ligning 2, 3 og 4. 1)