Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret. Vi får derfor brug for e vide om, hvorda sådae lå betales tilbage. I afsit 2 geemgår vi teorie bag opsparig og gæld og illustrerer med e række små øvelser. Dette afsit er uafhægigt af reste i de forstad, at ma ka øjes med at trække på formlere i afsittet, hvis der ikke er tid til at geemgå dee del af teorie. Projektet ka geemføres som et ret matematik-projekt, eller idgå i et samarbejde med fx samfudsfag om trafik og ifrastruktur. Hvis ma vælger det sidste, så ka materialer fra grudboges afsit 1 iddrages Idhold 1. Alægsøkoomie og fordelige af udgiftere på tog og biler... 2 2. Formler til beregig af opsparig og gæld... 3 2.1 Opsparigsauitet... 3 2.2 Gældsauitet... 5 2.3 Amortisatiostabeller... 6 3. Betalig af låee i Storebæltsprojektet... 8
1. Alægsøkoomie og fordelige af udgiftere på tog og biler (Talmaterialet i dette afsit er hetet fra A/S Storebælts årsberetiger fra midt i 90 ere). I 1986 vedtog Folketiget, at der skulle alægges e fast forbidelse over Storebælt og året efter blev A/S Storebælt daet. I et lad som Damark, med de mage øer, sude og bælter, har ifrastruktur og trasport mellem ladsdelee altid været et politisk tema. 100 år var der blevet etableret regelmæssig sejlads med jerbaefærger mellem Korsør og Nyborg, som plakate illustrerer. 50 år før havde et kosortium af igeiører fremlagt forslag til e bro over Storebælt, som det fremgår af avisudklippet fra 1936. Det var givetvis ispireret af de etop etablerede bro over Lillebælt. Me det skulle altså tage yderligere 50 år. I 1991 er A/S Storebælt klar med hele projektet til bygig af tuele, de to broer og ladalæggee. I projekt r. 4.4, Tuelborige uder Storebælt er projektet omtalt i større detaljer. Da kotraktere er idgået er det samlede budget på 22,7 mia. kr. (i priser agivet i 1992-kroer). Alægsomkostigere fordeler sig på de ekelte elemeter som illustreret i cirkeldiagrammet: Reserver; 6% Baetekik mm; 9% Ladalæg; 3% Vestbro; 23% Østtuel; 21% Sprogø; 3% Østbro; 35% Østtuel Sprogø Østbro Ladalæg Baetekik mm Vestbro Reserver Admiistratiosomkostiger er ikluderet heri. Reservere, der var afsat, var meget beskede, og det skulle vise sig at budgettet lagt fra kue holde. Alægsomkostigere blev låefiasieret. Me hvorda skulle låee betales tilbage? Det var fra starte bestemt, at udgiftere skulle betales af de, der brugte alægget, dvs. af DSB og af bilistere, der kører over broe. Budgettet for fiasierige var baseret på e åbig af jerbaeforbidelse i slutige af 1994 og af vejdele i slutige af 1997. Af forskellige årsager blev hele projektet forsiket. Togforbidelse geem tuele og over Vestbroe åbede i juli 1997 og i samme måed året efter kue biler køre mellem Sjællad og Fy over Østbroe og Vestbroe. DSB skal betale de del af alægget, der ka heføres til baeforbidelse, og bilistere skal betale de del af udgiftere, der ka heføres til vejforbidelse. Fordelige af udgiftere bestemmes derfor af følgede: Østbroe beyttes udelukkede af biler Østtuelle beyttes udelukkede af tog Vestbroe beyttes stort set lige meget af tog og biler Ladalægget er lavet udelukkede for bilistere De baetekiske arbejder er lavet udelukkede for tog Alægget på Sprogø til biler og til tog har kostet stort set samme beløb Tog og biler skal bidrage ligeligt til reservere.
Øvelse 1 a) Hvor mage procet af alægsomkostigere skal betales af DSB og hvor mage procet skal betales af bilistere? b) Hvor stort et beløb skal DSB fiasiere og hvor stort et beløb skal bilistere fiasiere? De beløb, vi har udreget i øvelse 1, skal låefiasieres. Før vi ka rege videre på det, skal vi have styr på hvad auitetslå er og hvorda vi reger på sådae låeformer. 2. Formler til beregig af opsparig og gæld Uder emet procetregig i kapitel 4 afsit 2.1 viste vi følgede formel, der ofte kaldes kapitalfremskrivigsformle: Formel r. 3 til procetregig Hvis e startværdi vokser (eller aftager) med vækstrate r geem perioder så ka slutværdie K udreges således:. 2.1 Opsparigsauitet Når ma sparer op, fx for at have e udbetalig til at kue købe e ejerlejlighed, sker det ofte ved at ma idsætter et bestemt beløb på e særlig koto hver måed eller hvert år. Vi bruger ofte ordet termi som et fælles ord for dee periode: Vi idsætter altså et fast beløb hver termi. Lad os kalde det faste beløb, der idsættes hver termi, for b. Lad os kalde rete, vi får på dee opsparigskoto, for r. Vi skriver r som decimaltal. Efter 1. termi er det første beløb ifølge formel r. 3 vokset til b (1 r ) Samtidig idsættes et yt beløb b. Efter 1. termi står der således på kotoe: A1 b b (1 r) Efter 2. termi er det første beløb ifølge formel r. 3 vokset til b (1 r ) 2 Det ye beløb b, vi idsatte er vokset til b (1 r ) Samtidig idsættes et yt beløb b. Efter 2. termi står der således på kotoe: A 2 2 b b (1 r) b (1 r) Øvelse 2 Argumeter for, at der efter 3. termi står følgede beløb på kotoe: 2 3 A3 b b (1 r) b (1 r) b (1 r) Øvelse 3 Argumeter for, at der efter. termi står følgede beløb på kotoe: A b b (1 r) b (1 r) 2 b (1 r) 3... b (1 r) Dette udtryk ka vi omskrive til e formel, hvor vi lettere ka bestemme ukedte størrelser ligesom vi ka med kapitalfremskrivigsformle. Omskrivige udytter e formel, som blev vist i kapitel 0 afsit 2:
Sætig 3 For ethvert positivt helt tal og for ethvert tal gælder Vi omskriver: A b b (1 r) b (1 r) 2 b (1 r) 3... b (1 r) A A b b 2 3 A b (1 (1 r) (1 r) (1 r)... (1 r) ) 1 (1 r ) 1 sæt b udefor paretes (1 r ) 1 udyt sætig 3 med a = 1+r 1 (1 r ) 1 r reducér E opsparig, hvor vi betaler et fast beløb id på e koto hver termi, og hvor vi er garateret samme rete i opsparigsperiode, kaldes e auitetsopsparig. I de edelige formel skriver vi ofte blot A: Formel for opsparigauitet Hvis der hver termi idsættes et fast beløb b på e koto, hvor rete er r, så vil det samlede beløb på kotoe efter de. idbetalig være: Bemærkig r. 1: Tallet r skal altid skrives som et decimaltal. Bemærkig r. 2: Sparer vi op i 3 år foretager vi 4 idbetaliger. Sparer vi op i 10 år foretager vi 11 idbetaliger. Overvej det! Øvelse 4 Et par, der lige er flyttet samme, beslutter sig til at idsætte 8.000 om året på e koto, hvor rete er 3,75 %. a) Hvor stort et beløb står der på kotoe efter de 7. idbetalig? b) Hvor stor e del af dette beløb er tilskreve reter? Øvelse 5 Et adet par får tilbudt samme opsparigskoto. De sætter sig som mål at spare 100.000 kr. op i løbet af 5 år. Hvor meget skal de spare op om året? Øvelse 6 Et tredje par får også tilbudt dee opsparigskoto. De ka afsætte 12.000 om året til opsparig. De øsker at spare 140.000 kr. op. Hvor mage år vil det tage? Øvelse 7 Et fjerde par læser et lokkede tilbud fra e bak, de aldrig før har hørt om. Bake skriver i e aoce, at idsætter du hos dem 10.000 om året i 5 år, og bider du pegee på kotoe i hele periode, så får du udbetalt 100.000 efter de 5 år. a) Hvilke rete tilbyder dee bak? b) Vil du betro bake die pege?
2.2 Gældsauitet Når ma skal købe hus eller y bil har ma sjældet mulighed for på kort tid at spare hele beløbet op. Derfor låer ma. Det samme gør stater, år de skal fiasiere et uderskud på states budget, eller år de skal sætte store byggeprojekter i gag. Bygig af Storebæltsforbidelse er så kostbar, også for e stat, at ma vælger at låefiasiere det. Me lå skal betales tilbage. De traditioelle låetype i Damark har i over hudrede år været de såkaldte auitetslå. Take her er de samme som ved opsparig, bare modsat: Vi har e gæld, som vi kalder for G, der skal afdrages. E kreditforeig eller ade lågiver tilbyder e fast rete r i hele afdragsperiode. Lået betales ud i løbet af e aftalt periode. Lad os kalde dette for termier Ud fra dette bereges størrelse af de faste ydelse y, der skal betales hver termi. Som ved opsparigsauitet øsker vi u at fide e formel for gældsauitet, der kæder de 4 størrelser samme. For bedre at kue overskue situatioe forestiller vi os u, at vi i kreditforeige har to koti: 1) E koto, hvor vores gæld bogføres. Dee koto starter med beløbet G. Beløbet vokser termi for termi som beskrevet i formel r. 3. 2) E koto, hvor vi idbetaler de faste ydelse y hver termi. Vi starter med at idbetale efter 1. termi. Dee koto ka jo så betragtes som e opsparigskoto, hvor beløbet vokser som beskrevet i formle for auitetsopsparig. Situatioe er altså følgede: Gæld Opsparig Start G 0 efter 1. termi G (1 r ) y efter 2. termi G (1 r ) 2 y y(1 r) osv. Vi er gældfrie, år beløbee i de to koti balacerer. Så er vores samlede idbetalig med tilskreve reter vokset til et beløb, der svarer til det gælde er vokset til. Hvis dette er tilfældet efter termier, så gælder der: gæld opsparig (1 r) 1 G (1 r) y r Overvej hvorfor der står og ikke +1 på højre side Af og til foretrækker vi e formel, hvor G er isoleret. Så skal størrelse på højre side divideres med (1 r ). At dividere med (1 r) svarer til at gage med (1 r ). Overvej dette, fx med taleksempler. Øvelse 8 Vis, at formle, hvor G er isoleret, ka skrives: 1 (1 r ) G y r Adre gage foretrækker vi e formel hvor y er isoleret.
Øvelse 9 Vis, at formle, hvor y er isoleret, ka skrives: r y G 1 (1 r ) Formel for gældsauitet E gæld af størrelse G står til e fast rete på r. Gælde betales tilbage i løbet af termier med e fast ydelse på y kroer. Sammehæge mellem de 4 størrelser ka udtrykkes ved formlere: 1) 2) Bemærkig: Tallet r skal altid skrives som et decimaltal. Øvelse 10 De samlede pris for e bestemt computer løber op i 4249. Du vil købe de på afbetalig med måedlige ydelser. Rete er 2 % pr måed. Du vælger at betale over 3 år. a) Hvad bliver ydelse? b) Hvor meget vil du i alt have betalt i reter Øvelse 11 Et par vil købe e ejerlejlighed. De foretrækker et auitetslå, hvor rete ligger fast i 30 år. Ejedomsmæglere siger at lige u vil rete ligge på ca. 4,5 %. De har vurderet, at de ka klare e måedlig husleje på 9000 kr., eller e årlig husleje på ca. 100.000. Hvor dyr e lejlighed ka de købe? 2.3 Amortisatiostabeller Ofte er ma iteresseret i at får svar på, hvor stor e restgæld ma har efter et vist atal termier. Køber ma fx e lejlighed, vil ma ormalt af si bak eller af si ejedomsmægler få et skema med e såda oversigt. Dette kaldes e amortisatiostabel. E amortisatiostabel bygges forholdsvis let op i et regeark. I ogle bestemte celler idskrives: Gæld, der ofte beteges med det gamle ord hovedstol. Skrives fx i B2 Rete. Skrives fx i B3 (som decimaltal). Atal termier. Skrives fx i B4 I e fjerde celle, fx i B5 skrives formle til beregig af ydelse. Dee ka ete skrives som formle ovefor, med ædrede symboler: B3 B2 1 4 (1 3) B B Eller ma ka i regearkets fuktioer, bladt de fiasielle operatioer fide e der hedder ydelse og avede de. Øvelse 12 a) Idskriv oplysigere i øvelse 9 i et regeark som beskrevet ovefor. I A-koloe ka du idskrive, hvad beløbee står for, dvs.: Gæld, Rete, Atal termier. Når du idskriver formle, så husk at starte med et lighedsteg som ovefor. b) Prøv deræst at ædre på de tre parametre, gælde G, rete r, atal termier, e af gage, og se hvad der sker med ydelse y
Når vi har fastlagt gæld, rete og atal termier, og år vi har udreget ydelse, ka vi opbygge amortisatiostabelle, fx som følger, hvor vi heter samlede gæld, reter og ydelse i de celler, hvor vi har skrevet dem id (her i B2, B3 og B5). Disse beløb hetes hele tide fra samme celler, derfor sætter vi $-teg rudt om dem: A B C D E F 1 13 r. på termi gæld rete afdrag ydelse slut gæld 14 1 =B2 =B14*$B$3 =E14-C14 =$B$5 =B14-D14 15 2 =F14 Øvelse 13 a) Hvad skal der stå i række r. 15? b) Hvad skal der stå i række r. 16? c) Hvad sker der, hvis vi kopierer række 15 og sætter id i række 16, 17 osv.? d) Forklar ige hvorfor vi sætter $-teg om ogle celleave og ikke om adre. Øvelse 14 a) Byg dit regeark fra øvelse 11 ud til e amortisatiostabel med 36 rækker b) Hvad er restgælde i de sidste række? c) Hvad er restgælde efter 18 termier dvs. efter halvdele af periode? Øvelse 15 Du ka fide et regeark med amortisatiostabel her. Regearket er udbygget med ogle kommadoer, der gør, at du ka idtaste forskellige atal termier (op til = 80), hvorefter arket bereger præcis det atal vi har bedt om, Samtidig teges et grafisk billede af situatioe. Giv e fortolkig af det grafiske billede. Øvelse 16 Regeark med amortisatiostabeller ka avedes som redskab til at bestemme ukedte størrelser, ved at vi prøver os frem, dvs. skruer på de ukedte størrelse, idtil det går op a) Forklar hvorda e såda tabel ka avedes til at løse øvelse 10 ovefor. b) Forklar hvorda e såda tabel ka avedes til at løse opgaver med ukedt rete. Giv selv et eksempel og illustrer med bruge af tabelle. c) Forklar hvorda e såda tabel ka avedes til at løse opgaver med ukedt atal termier. Giv selv et eksempel og illustrer med bruge af tabelle.
3. Betalig af låee i Storebæltsprojektet Vi veder u tilbage til spørgsmålet vedrørede fiasierig af alægsomkostiger ved Storebæltsforbidelse, hvor vi i øvelse 1 fadt ud fa, hvor store beløb heholdsvis DSB og bilistere skal betale. Der var følgede rammer for fiasierige: Til dækig af DSB s udgifter optages et auitetslå, der skal betales tilbage over 30 år med 725 mio. hvert år (dvs. 0,725 mia.) Til dækig af bilisteres udgifter optages et auitetslå, som skal betales tilbage med de pege som opkræves af bilistere, der kører over broe. Ma reger med, at der kører ca. 12500 persobiler og ca. 2500 lastbiler og busser over broe pr. døg. Der reges med e broafgift på 190 kr. for persobiler og 800 kr. for lastbiler og busser. De årlige rete er på 10 % (i 1992) Øvelse 17 Hvilke rete skal DSB betale for det 30 årlige lå? Løs det ete på dit værktøjsprogram, eller ved at avede det udleverede regeark til at lave e amortisatiospla for afviklig af lået. Øvelse 18 Hvor mage pege ka bilistere betale af på deres lå pr år? Øvelse 19 Hvor mage år går der, før bilistere har betalt hele deres lå tilbage? Løs det ete på dit værktøjsprogram, eller ved at lave e amortisatiospla for afviklig af bilisteres lå. Øvelse 20 Hvor mage år går der, før bilistere har betalt deres lå tilbage, hvis de skal betale samme rete som DSB? Lav e amortisatiospla. Alægsudgiftere blev betydeligt større ed budgetteret med i 1992. Da broe åbede i 1997 var det samlede alægsbudget steget til 38 mia. kr. Øvelse 21 a) Hvor mage procets stigig er der tale om? b) Hvor mage procet svarer dette til pr. år? Øvelse 22 De 38 mia. kr. fordeles efter samme proceter som det opridelige beløb. Hvor mage mia. skal heholdsvis DSK og bilistere betale af det edelige beløb på 38 mia. kr.? Broafgiftere blev ved broes åbig også sat lidt højere ed oprideligt plalagt e persobil skulle betale 210 kr. og e lastbil 870 kr. Atallet af biler der beytter Storebæltsbroe er derimod stort set som progosere forudsagde.
Øvelse 23 Hvor mage pege ka bilistere betale af på deres lå pr år med de ye takster? Øvelse 24 Udersøg ved hjælp af formle for gældsauitet eller ved brug af amortisatiosplae, hvorda situatioe er for bilisteres afviklig af deres del af gælde. Hvad er di forklarig på de resultater die udregiger giver? Prøv at forklare, hvad der ka ligge i begrebet lide retedøde. A/S Storebælt overlevede fordi rete sidst i 90 ere begydte at falde. Øvelse 25 Fid ud af hvorda situatioe er i dag: Hvor stor er de daglige biltrafik over Storebælt? Hvad er de ormale afgift perobiler og lastbiler skal betale? Hvad er rete i dag (i cirkatal) på sådae lå, hvor der er sikkerhed for, at de betales?