Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel"

Transkript

1 H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel Handelshøjskolen i København

2 Indholdsfortegnelse FORORD INDHOLD OG PROBLEMFORMULERING PROBLEMFORMULERING AFGRÆNSNING OPGAVENS DISPONERING OPTIONSBEGREBET DEFINITION OPTIONENS VÆRDI PUT- / CALL-PARITET MODEL FOR EN AKTIES KURSUDVIKLING STOKASTISKE VARIABLE STOKASTISK PROCES Wiener-proces (brownsk bevægelse) Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift) Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM) Ito s lemma Modellens overensstemmelse med empiri Modellens begrænsninger Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE OG BLACK-SCHOLES FORMEL BEVIS FOR RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE BLACK-SCHOLES FORMEL (BS) HVORFOR FINDES DER ET MARKED FOR AFLEDTE AKTIVER DEN ASIATISKE OPTION ASIATISK OPTIONS VIRKEMÅDE VÆRDI AF ASIATISK OPTION SAMMENLIGNING MELLEM ASIATISK OG EUROPÆISK OPTION ASIATISK OPTION PRAKTISK ANVENDELSE PRISFASTSÆTTELSESMODELLER MONTE CARLO-SIMULERING TILFÆLDIGE TAL I EXCEL MODELLERNES IMPLEMENTERING I EXCEL... 38

3 7..1 Model A St simuleres direkte Model B Monte Carlo-simulering med tidsskridt VARIANSBEGRÆNSENDE HJÆLPEMETODER Antithetic-metoden (AT) Control Variate-metoden (CV) KONTROL AF MODELLERNES KORREKTHED, SAMMENLIGNING MED BS MODELLERNES PRÆCISION MED OG UDEN BRUG AF HJÆLPEMETODER Antal tidsskridt i model B Modellernes præcision ved rå simulering Modellernes præcision med anvendelse af AT Modellernes præcision med anvendelse af CV Modellernes præcision, opsummering MODELLERNES ANVENDELSE, BEREGNING AF OPTIONSPRISER SIMULERET PRIS PÅ DEXIA-OBLIGATIONEN OPTIONSVÆRDI, ASIATISK OVER FOR EUROPÆISK KONKLUSION LITTERATURHENVISNINGER

4 Forord Min interesse for optioner opstod undervejs i faget Finansiel Planlægning på H.D.. del, hvor vi introduceredes til begrebet reale optioner. Selvfølgelig fordi det giver anledning til interessante beregninger og til tider overraskende konklusioner, men primært fordi jeg i takt med den grundlæggende forståelse for en options opbygning begyndte at se, at der også inden for mit eget specielle arbejdsområde (reassurance) eksisterede en række problemstillinger og muligheder, som alle indeholdt et optionselement! Det gav konkret anledning til en ny indgangsvinkel til vore interne drøftelser om, hvilke forretningsmuligheder som skulle forfølges straks, og hvilke som skulle vente. Ligesom det gav et bedre grundlag for at forsøge at finde den totale værdi ved at indgå en aftale i dag frem for senere. Efterfølgende skulle jeg lære væsentligt mere om prisfastsættelse af optioner på finansielle aktiver i faget Videregående Værdipapiranalyse, hvor det afsluttende spørgsmål til eksamen: Er værdien af en europæisk option højere end en tilsvarende asiatisk option uheldigvis ikke blev besvaret fuldt tilfredsstillende, men i stedet gav mig anledning til at fundere længe over, om der mon fandtes en simpel omregningsmetode for asiatiske optioner, således at den kendte Black-Scholes formel alligevel kunne finde anvendelse. Da min lærer ikke umiddelbart kunne godkende eller forkaste min -siders redegørelse for problemstillingen, var vejen i stedet banet for at vælge emnet til denne hovedopgave. I den forbindelse vil jeg gerne rette en tak til Ken Beckmann, hvis undervisning i faget var en inspiration. Asiatiske optioner er fascinerende fordi der ikke eksisterer nogen kendt lukket formel til deres prisfastsættelse, og fordi de uanset dette faktisk handles i markedet, som det fx vil blive illustreret ved at se på den såkaldte Dexia aktiebaserede obligation, hvor afkastet med brug af en asiatisk option afhænger af udviklingen af A.P. Møller-aktien. Opgaven vil fokusere på brug af Excel til at opbygge en model til at udføre Monte Carlo-simulering, eftersom Excel er et hjælpeværktøj, som i stigende omfang er til rådighed i erhvervslivet, og som dermed vil få stigende praktisk betydning. 4

5 1. Indhold og problemformulering 1.1 Problemformulering I det omfang der ikke kan udledes endelige analytiske prisudtryk for optionspriser, kan i stedet numeriske metoder anvendes. Dette gælder for flertallet af optionstyper, herunder den asiatiske option. Denne hovedopgave vil undersøge, hvordan asiatiske optioner på aktier i stedet kan prisfastsættes ved at bruge den numeriske metode: Monte Carlosimulering (herefter forkortet MCS). Endvidere vil hovedopgaven fokusere på muligheden for at anvende MCS i Excel (fra Microsofts Office-pakke), som i vidt omfang anvendes i erhvervslivet og således er og vil være et betydeligt hjælpeværktøj fremover. I løbet af opgavebesvarelsen vil følgende punkter blive behandlet: at opstille en generel model for prisfastsættelse af optioner på aktier, herunder definere den underliggende proces, som aktiekurser antages at følge, en beskrivelse af anvendelsen af MCS til prisfastsættelsen af optioner praktisk anvendelse af MCS i Excel til at beregne optionspriser, herunder sammenligning med kendte analytiske priser, således at MCS-metoden kan verificeres undervejs i opgaven vil de teoretiske konklusioner blive sammenholdt med Dexia, aktieindekseret obligation, hvis opbygning der er redegjort for i bilag A, og som netop indeholder et asiatisk optionselement, hvorved teori illustreres med praktisk anvendelse. Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til prisfastsættelse af asiatiske optioner, og dermed reelt kan være ramme om prisfastsættelse for mange andre finansielle produkter. I korthed er opgavens problem således at undersøge, om og med hvilken præcision det er muligt, at: prisfastsætte asiatiske optioner på aktier ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel 5

6 1. Afgrænsning Enhver option, herunder den i opgaven valgte asiatiske option, er et afledt finansielt produkt, som knytter sig til et underliggende finansielt aktiv. I denne opgave er aktier valgt som finansielt aktiv. Andre finansielle aktiver, fx rente eller valuta, vil ikke blive behandlet. Princippet for den asiatiske options virkemåde er ens for alle aktiver. Aktier er valgt som finansielt aktiv, fordi aktiehandel har betydelig og generel interesse i praktikken og dermed giver mulighed for mange kombinationsprodukter, som kan indeholde et asiatisk optionselement, fx den aktieindekserede obligation (Dexia), hvis værdi knytter sig til en aktiekurs. I opgaven vil optioner blive prisfastsat ud fra et teoretisk synspunkt, idet det antages, at der foreligger perfekte markeder, karakteriseret ved: at der frit og i ubegrænset mængde kan handles i alle aktiver, som alle er fuldt likvide, herunder også at sælge af aktiver, som ikke ejes at alle markedsdeltagere handler rationelt og profitmaksimerende, og at alle deltagere har fuld information at der er fravær af omkostninger og skat at markedsdeltagerne frit kan frit låne og udlåne til den risikofri rente, r (hvor renten regnes kontinuert, og rentestrukturen antages af være flad, dvs. uafhængig af varighed). Antagelsen om perfekte markeder er naturligvis aldrig helt i overensstemmelse med virkeligheden. Det vurderes dog, at det ikke er en helt urimelig antagelse netop for afledte aktiver, idet disse helt overvejende handles af professionelle markedsaktører, som har høj grad af information og ekspertise. MCS er én numerisk metode til at prisfastsætte optioner. Numeriske metoder anvendes subsidiært, når det ikke er muligt at finde et egentligt analytisk prisudtryk. MCS er imidlertid ikke den eneste kendte numeriske metode; i hvert fald metoden kaldet numerisk estimation (på engelsk: Finite Difference Method ) har også været genstand for betydelig interesse og forskning. I denne opgave skal alene MCS behandles. 6

7 1.3 Opgavens disponering Kapitel Først beskrives virkemåden for ordinære optioner, hvor der erhverves en ret men ingen pligt til at handle et underliggende aktiv. Kapitel 3 og 4 For at kunne prisfastsætte en option er det nødvendigt at kende værdien af et underliggende aktiv. Der skal derfor opstilles en model, som beskriver værdien af det underliggende aktiv. Først ved at indføre den såkaldte generelle geometriske brownske bevægelse (GBM) til at beskrive aktiekursens bevægelse og efterfølgende ved at indføre princippet om risikoneutral prisfastsættelse, hvorved det bliver muligt at prisfastsætte optioner. Kapitel 5 Dernæst vil opgaven nærmere beskrive virkemåden for den valgte asiatiske option og illustrere den praktiske anvendelse af asiatiske optioner i markedet. Kapitel 6 Med ovenstående teori på plads er det herefter muligt opstille egentlige modeller for prisfastsættelse af asiatiske optioner. En række kendte modeller omtales. Monte Carlosimulering (MCS) vælges i denne opgave. Kapitel 7 Der opstilles to modeller for MCS, udviklet i Excels Visual Basic for Applications (VBA). Dernæst udføres opgavens egentlige analysearbejde: at fastslå modellernes præcision, både med hensyn til at konvergere mod den korrekte optionspris, og en statistisk analyse af med hvilken sikkerhed optionsprisen er fastsat. Undervejs i analysen vil tidsaspektet (simuleringstiden) blive beskrevet. Kapitel 8 - Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til at prisfastsætte asiatiske optioner, og i givet fald med hvilken præcision. 7

8 . Optionsbegrebet.1 Definition En option er en aftale mellem to parter, hvor den ene part mod en given betaling opnår en ret, men ikke en pligt til på et senere tidspunkt at handle et givent underliggende aktiv til en forud aftalt (defineret) pris. Helt ordinære optioner (på engelsk: plain vanilla) vil være karakteriseret som følger: Part A betaler straks en given pris til part B (en præmie). Hermed opnår part A ret, men ikke pligt til på et givet aftalt tidspunkt at handle en given mængde af et givet aktiv til en forud aftalt pris (kaldet strikekurs eller exercisekurs). Haves retten til at købe aktivet, kaldes det en call-option, og haves retten til at sælge aktivet, kaldes det en put-option. Når optionen alene kan anvendes (kaldet: exercises) på det forud aftalte tidspunkt, kaldes det en europæisk option. Alternativt kan det aftales, at part A kan anvende sin option på et vilkårligt tidspunkt frem til dens udløb; i så fald kaldes optionen en amerikansk option. I praksis skelnes imellem optionens tre afkasttilstande til ethvert givent tidspunkt, fx for call-optionens vedkommende: At-The-Money (ATM), når strikekurs er lig spotkurs In-The-Money (ITM), når spotkurs er højere end strikekurs Out-of-The-Money (OTM), når spotkurs er lavere end strikekurs. Fx gælder for call-optionen, at den med gevinst kan anvendes (exercises), når spotkursen er højere end strikekursen. I praksis er det i øvrigt ofte forekommende, at man ved exercisetidspunktet alene foretager en differencebetaling, dvs. indehaveren af calloptionen modtager blot differencen mellem aktivets værdi, S, og den aftalte købspris, X. Dette svarer fuldstændig til faktisk at købe aktivet og straks sælge det igen (i fravær af handelsomkostninger og -restriktioner). 8

9 Afkast Afkast Afkast Afkast På markedet skelnes der mellem optioner, som noteres og handles på en børs, og optioner som handles direkte mellem to parter. Sidstnævnte kaldes Over-The-Counter (OTC). Asiatiske optioner falder i sidstnævnte kategori, og der gælder helt generelt, at OTC-markeder overstiger børs-markedet for derivater, jvf. Hull (003:163). Dette vanskeliggør arbejdet med at knytte teori om prisfastsættelse af asiatiske optioner sammen med faktiske markedspriser. Ikke blot er handlerne og dermed priserne parterne imellem ikke kendte; priserne er ej heller udtryk for en markedspris. I stedet er det teoretiske arbejde med prisfastsættelse henvist til at se på teoretiske priser:. Optionens værdi En options værdi afhænger således af et underliggende aktivs værdi. Matematisk haves følgende udtryk for afkastet fra en option, som man har købt, fx en call-option: c = max ( 0; S-X ) Tilsvarende haves værdien for put-optionen ved at bytte rundt på S og X. Samlet haves: Figur..a: Afkast ved udløb for call- og put-optioner Købt Solgt Call-option put-option Solgt Call-option put-option X X Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Købt put-option Solgt put-option X X Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Kilde: Egen tilvirkning 9

10 Der gælder dermed, at optionens værdi på tidspunktet for aftaleindgåelsen alene afhænger af S og af den risikofri rente: For rentens vedkommende skal der blot foretages en simpel tilbagediskontering af optionens eventuelle udbetaling på udløbstidspunktet. For det underliggende aktivs vedkommende (S) afhænger optionens værdi mere præcist af fordelingen af S på udløbstidspunkt. På aftaletidspunktet kendes aktivets aktuelle værdi, medens dets fremtidige værdi er ukendt. Hvilke antagelser der gøres om fordelingen af aktivets fremtidige værdi, er afgørende for optionens værdi, herunder det vigtige resultat, at det underliggende aktivs volatilitet har meget stor betydning for en options værdi. Høj volatilitet giver en høj værdi af optionen, hvilket umiddelbart kan fortolkes således: Det at have en ret (men ikke en pligt) til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er meget usikker, har stor værdi. I modsætning hertil: Det at have en ret til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er kendt, hvilket ikke har nogen værdi overhovedet. I det senere analysearbejde er det især interessant at beskæftige sig med optioner, som har en forventet aktiekurs nær strikekursen, eftersom det er i dette område, at optionens afkast er mest usikkert (volatilt). Hvis alternativt en option med en sikkerhed grænsende til vished er enten ITM ved udløb hhv. OTM, da bliver prisen på optionen jo blot aktiens aktuelle værdi minus nutidsværdien af strikekursen hhv. 0. I begge tilfælde bortfalder optionselementet, idet der ikke længere er tvivl om den profitable handlemåde ved optionens udløb, nemlig at udnytte ITM-optionen og at afstå fra at udnytte OTMoptionen. Det kan sammenfattes, at værdien, f, af et afledt aktiv er en funktion af to faktorer: tid, t og et underliggende aktiv, S: f f ( t, S). Denne helt elementære sammenhæng vil blive brugt i det følgende. 10

11 .3 Put- / Call-paritet En call- og en put-option er hinandens to modsatte størrelser. Haves både retten til at købe et aktiv (man har købt en call-option) til en strikepris, X, og pligten til at sælge samme aktiv (man har solgt en put-option) til strikepris, X, da vil man ved optionens udløb være stillet, som om man faktisk ejede det pågældende aktiv mod at skulle betale strikekursen. Hvilket ses ved at sammenholde graferne for fx en købt call- og en solgt put-option i figur..a. Optionspræmierne betales altså til tid 0, medens man ved tid T bliver ejer af aktivet mod at skulle betale strikekursen. I fravær af arbitrage gælder derfor følgende matematiske sammenhæng: c p = PV ( St - X exp(-rt) ) <=> c p = So X exp(-rt) Denne sammenhæng kaldes put/call-pariteten og betyder, at når man først kender værdien af den ene option, da kan den anden umiddelbart findes. Mere om put/callparitet for asiatiske optioner i kapitel 5. 11

12 3. Model for en akties kursudvikling For at kunne prisfastsætte et afledt aktiv er det nødvendigt at have en model for prisudviklingen på det underliggende aktiv. Det er klart, at man aldrig vil kende værdien af det underliggende aktiv, men der kan imidlertid opstilles modeller, hvor det underliggende aktiv beskrives som en stokastisk variabel, hvorved aktivets værdi som funktion af tid bliver en stokastisk proces. I det følgende skal først selve begrebet stokastisk proces gennemgås, og efterfølgende vil en model for en akties kursudvikling blive opstillet som en stokastisk proces. 3.1 Stokastiske variable En stokastisk variabel knytter et tal (en sandsynlighed) til ethvert udfald af et tilfældigt eksperiment. Mere præcist knyttes der en sandsynlighed til ethvert udfald i et udfaldsrum. En stokastisk variabel, der ofte betegnes med store latinske bogstaver, fx X, er altså en måde at håndtere en variabel, hvis præcise værdi ikke kendes, men hvor det er muligt statistisk at beskrive sandsynlighederne for dens mulige værdier, også kaldet variablens fordeling. En simpel stokastisk variabel er antallet af øjne ved kast med en normal sekssidet terning. Udfaldsrummet er her: 1,... 6 og til hvert udfald er knyttet sandsynligheden 1/6 (kaldet punktsandsynligheder). Stokastisk beskrives variablen således: Tabel 3.1.a: X:= antal øjne ved kast med en sekssidet terning. x (udfaldsrum) P(X=x) (tæthedsfunktion) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 En stokastisk variabels sandsynligheder som funktion af dens mulige udfald kaldes dens tæthedsfunktion og betegnes med lille f. 1

13 Stokastiske variable kan være enten diskrete eller kontinuerte. En diskret variabel har et endeligt antal værdier for udfaldsrummet (et tælleligt udfaldsrum). I ovenstående eksempel med terningen er variablen diskret. I modsætning hertil vil en kontinuert variabel ikke have et endeligt udfaldsrum. Det vil fx være tilfældet, hvis udfaldsrummet er alle tidspunkter mellem kl. 16 og kl. 17. Ligesom den stokastiske variabel beskriver sandsynligheden for et enkelt udfald, kan den beskrive sandsynligheden for at den er mindre end eller lig en given værdi, hvilket bliver en funktion af x, som følger: F(x) = P (X <= x). Dette kaldes den stokastiske variabels fordelingsfunktion og betegnes med store F. Der eksisterer en entydig sammenhæng mellem en stokastisk variabels tæthedsfunktion og dens fordelingsfunktion. Kendes den ene, kan den anden udledes. Hvor fordelingsfunktioner for diskrete stokastiske variable beregnes ved blot at summere de enkelte punktsandsynligheder, er det for kontinuerte stokastiske variable nødvendigt at bruge integralregning. For kontinuerte stokastiske variable eksisterer der ikke en sandsynlighed for et enkelt punkt; i stedet kan der knyttes en sandsynlighed til et interval, hvor sandsynligheden er lig med integralet af fordelingsfunktionen over det givne interval. Fx bliver sandsynligheden for en værdi mindre end eller lig med x beskrevet ved: x F ( x) f ( x) dx Stokastiske variable beskrives ved deres momenter, særligt første moment: middelværdi og andet moment: varians, som samtidig er de to momenter, der skal anvendes i denne opgave. Simple (symmetriske) stokastiske variable beskrives fuldstændigt ved disse to momenter, fx ovenstående ligefordeling og den kendte: normalfordeling. Første moment er middelværdien, som benævnes E(X) og er givet ved: diskret E ( X ) x * f ( x) kontinuert E ( X ) x * f ( x) dx x Middelværdien er den stokastiske variabels vægtede gennemsnit. 13

14 Andet moment er varians, som benævnes V(X), og er givet ved: diskret ( X ) x E( x) V f ( x) kontinuert ( X ) x E( x) x V f ( x) dx Variansen bliver et mål for, i hvilket omfang den stokastiske variabels sandsynlighedsmasse er centreret omkring dens middelværdi. Tages kvadratroden af varians, fås hjælpebegrebet standardafvigelse (STD). Standardafvigelse bruges inden for økonomisk teori i vidt omfang til at beskrive volatilitet (usikkerhed). Foretages en undersøgelse af en naturlig forekommende stokastisk variabel, fx antal pollen i en vis mængde luft som funktion af dagen i året, kan variablen kun fuldstændig beskrives ved en tabel, som angiver det totale udfaldsrum og alle tilknyttede sandsynligheder. Dette er ikke praktisk for teoretisk arbejde, og der findes da også i statistisk teori et stort antal kendte stokastiske variable (fordelinger), som er karakteriseret ved, at den stokastiske variabel præcist kan beskrives ved et matematisk udtryk. Dette gælder fx for normalfordelingen (den gaussiske fordeling), som ubestridt er den mest kendte og anvendte teoretiske stokastiske variabel. Denne fordeling vil efterfølgende blive anvendt ved opstilling af en model for aktiekurser. Der gælder for normalfordelingen, at den er kontinuert, og når dens middelværdi og varians er givet ved: og, da beskrives dens tæthedsfunktion som følger: 1 f ( x, ) exp( 1/ ( x ) / ). Særligt gælder, at når middelværdien er 0 og variansen (og dermed også standardafgivelsen) 1, da kaldes fordelingen for den standardiserede normalfordeling (også kaldet u-fordeling). Denne fordeling er særligt simpel og vil derfor blive anvendt nedenfor. Bl.a. vil der gælde, at da enhver fordelingsfunktion ( for den standardiserede normalfordeling) vil løbe fra 0 til 1, da kan man ved at bruge et tilfældigt tal mellem 0 og 1 og ved at bruge den inverse fordelingsfunktion ( 1 ) opnå et tilfældigt udtræk i den standardiserede normalfordeling. I Excel gøres dette ved funktionen: NORMSINV(RND()). 14

15 3. Stokastisk proces En stokastisk proces kan nu defineres som en variabel, hvis værdi over tid er stokastisk bestemt. En sådan stokastisk proces kan være såvel diskret som kontinuert, hvilket blot afhænger af, om den skifter værdi alene på bestemte tidspunkter (diskret), eller om den kan skifte værdi til ethvert tidspunkt (kontinuert). Præcis hvilken stokastik, som lægges til grund for processen, vil nu afgøre, hvordan variablen vil udvikle sig over tid. Ved modelarbejde vælges en kendt og simpel stokastisk variabel for at lette det videre modelarbejde. Det skal dog gælde, at den valgte stokastik i videst muligt omfang skal være i overensstemmelse med virkelighedens observationer, og at der i hvert fald ikke må være afgørende uoverensstemmelser Wiener-proces (brownsk bevægelse) Wiener-processen er blevet hjørnestenen ved simulering af aktiekurser, og den skal også anvendes i denne opgave (nedenfor redegøres for valget af denne proces). Det stokastiske led (dz), som anvendes for en wiener-proces, er beskrevet ved: dz * dt, hvor ~ (0;1 ) og ved at processen har uafhængige tilvækster, dvs. at værdien af dz for to forskellige tidsintervaller er uafhængige. Wiener-processen er en Markov-proces, hvilket vil sige, at al relevant information for processens videre udvikling er givet ved dens aktuelle værdi. Processens første to momenter bliver: E(dz) = 0 V(dz) = dt Det bemærkes, at ved notationen dt og dz er der i teorien tale om uendeligt små størrelser, altså grænseværdierne hvor t går imod 0. 15

16 3.. Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift) En model for aktiekurser har ud over et stokastisk led tillige brug for et driftled, som kan modellere, at aktiekurser generelt antages at vokse over tid (give positivt afkast). Derfor udvides den simple wiener-proces til den såkaldte generelle wiener-proces, som for variablen X er givet ved: dx = a * dt + b * dz hvor a * dt bliver driftleddet (processen stiger med a pr. tidsenhed) og b * dz bliver det stokastiske led. Processens første to momenter bliver: E(dx) = a * dt V(dx) = b * dt Af særlig interesse for det senere modelarbejde er det forhold, at de stokastiske tilvækster for en generaliseret wienerproces til enhver tid (T) vil være normalfordelt med middelværdi a * T og varians b * T. Dette vil gøre det muligt umiddelbart at simulere aktiekurser, ved blot ét udtræk fra normalfordelingen (og dermed ved blot at gøre brug at ét tilfældigt tal) jvf. nedenfor under Ito s lemma Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM) Sidste udvidelse fra den generelle wiener-proces til en såkaldt ito proces sker ved at lade leddene a hhv. b være funktioner af dels tid (t), dels den underliggende proces (x). Dermed haves: dx = a(x,t) * dt + b(t,x) * dz, hvor dz fortsat er en stokastisk standard normalfordelt variabel ( ) multipliceret med kvadratroden af tiden, dt: ( dz * dt ). Processen kaldes også en geometrisk brownsk bevægelse (GBM) og er geometrisk (i modsætning til en aritmetrisk brownsk bevægelse), da driftleddet afhænger af x, hvorved driften altså vil ændres over tid, i takt med at x ændres. For at modellere aktiekurser (S) vælges nu følgende parametre: a(t,x) = * S og b(t,x) = * S 16

17 Dermed haves den kontinuerte model af aktiekurser, som vil blive brugt fremover. I denne udgave vil både og være konstanter, men der er imidlertid ikke noget til hinder for, at de var tidsafhængige. Det bemærkes, at aktien antages ikke at være udbyttebetalende. Såfremt aktien faktisk havde været udbyttebetalende, skulle modellen ændres, således at driften ( ) reduceredes fx med et kontinuert udbytte. Den i opgaven anvendte model til at beskrive værdiudviklingen på det underliggende aktiv, aktiekursen S, bliver herefter som følger: ds S dt S dt Modellen opstiller en differentialligning for aktiekursens udvikling, idet der ikke umiddelbart kan angives et udtryk for S som funktion af tid, hvorfor der i stedet opstilles et udtryk for ds som funktion af tid. Dette illustrerer, hvorfor det er vanskeligt at opstille lukkede matematiske udtryk for optionspriser: aktiens værdi (integralet af differentialligningen) på de tidspunkter, som har betydning for options værdi, kun undtagelsesvist vil kunne løses matematisk. Samtidig ses det, hvorfor numeriske metoder finder anvendelse, idet ovenstående differeltialligning giver mulighed for fx at simulere aktiekursens udvikling over tid Ito s lemma Ito s lemma er en yderst anvendelig hjælpesætning, som for en given ito-proces (x) samt for en funktion af denne proces, fx givet ved G(t,x), vil kunne give formlen for den differentierede G proces (dg). Ito s lemma er dermed en hjælpesætning til at differentiere stokastiske processer. Hvor der normalt vil gælde, at G G dg * dx * dt, haves ifølge Ito s lemma for en stokastisk proces i stedet: x t G G G dg * dx * dt ½ * dx x t x For ito-processen: dx = a(t,x) * dt + b(t,x) * dz fås ved indsættelse følgende resultat: dg dg d G dg dg * a 0,5* * b * dt * b * dz dx dt dx dx 17

18 Det ses, at også dg vil være en ito-proces, idet de to parenteser foran hhv. dt og dz blot bliver det nye driftled a(t,x) hhv. det nye volatilitetsled b(t,x). Denne hjælpesætning har stor betydning ved prisfastsættelse af afledte aktiver, som netop er funktioner af t og x. Endvidere vil Ito s lemma give indsigt i, hvordan aktiekursen direkte kan simuleres, hvilket vil blive benyttet i denne opgave. Opstilles følgende G-proces: G(S,t) = Ln( S t ), altså den naturlige logaritme til den generelle aktiemodel givet ovenfor: ds S dt S lemma, at: dt, hvor altså a(t,x) = * S og b(t,x) = * S, da giver Ito s Bevis: dg * dt * dz Når G=Ln(S), da er første afledte med hensyn til S lig G (S)= G (S)= - 1 S, anden afledte S, medens G differentieret med hensyn til t er lig 0. Ved indsættelse fås: dg * * S 0 0,5* * * S S S dg * dt * dz * S * dt * * S dz Det ses altså, at G-processen også er en generaliseret wiener-proces, hvor det jvf. afsnittet herom ovenfor vil gælde, at processen vil være normalfordelt med følgende momenter: E( G(t) ) = Go + ( - /) * T V( G(t) ) = * T At G, altså den naturlige logaritme til S, er normalfordelt, er ensbetydende med, at S er lognormalfordelt. For yderligere læsning om Ito s lemma henvises til Itô, Kiyosi (1951) On Stochastic Differential Equations, Memoirs of the American Mathematical Society 4: p

19 3..5 Modellens overensstemmelse med empiri Ovenstående model anvendes hyppigt, herunder nedenfor, ved udledningen af Black- Scholes formel (BS-formel), eftersom den findes at være i god overensstemmelse med empiri for aktiekurser. Her skal der peges på: at modellen er en såkaldt Markov-proces, som er en stokastisk proces, hvor kun variablens aktuelle værdi har betydning for dens fremtidige udvikling eller med andre ord: Hvordan den har opnået sin aktuelle værdi, har ingen betydning for dens fremtidige værdi. Dette er netop et kendetegn for aktier, hvor det antages (for effektive markeder i svag form eller bedre), at aktiekursens fremtidige udvikling ikke kan forudsiges ud fra viden om dens historik. at modellen indeholder en driftrate ( ) som netop angiver det relative afkast, som ejeren af aktien forlanger, og endelig at modellen indeholder et stokastisk usikkerhedselement, som angiver den til aktien knyttede relative usikkerhed (volatilitet) Modellens begrænsninger Den geometriske brownske bevægelse vil som nævnt blive lagt til grund i denne opgave. Følgende indvendinger skal dog for god ordens skyld nævnes: at modellens antagelser om konstant og uafhængig rente og volatilitet ikke helt er i overensstemmelse med empiri om aktiekurser, herunder at der observeres korrelation mellem kursudvikling og volatilitet (aktier har perioder med højere hhv. lavere volatilitet) at modellen helt generelt ikke indeholder tilstrækkelig volatilitet. Det stokastiske led beskriver måske nok ordinære udsving i aktiekurser, mens det ikke i fuldt omfang beskriver ændringer i aktiekurser, forårsages af overordnede makroøkonomiske forhold (strukturelle økonomiske ændringer), som fx verdenskrige, etablering af fællesmarked i Europa, krav om højere risikopræmie i tider med aktiv verdensomspændende terrorisme eller IT-bobler, som brister at en kontinuert model teknisk set ikke er korrekt, idet aktier ikke kan handles efter en børs lukketid, hvorimod den underliggende økonomi jo fortsætter alle 19

20 døgnets 4 timer, hvorfor der hver dag ved åbningstid skal korrigeres for nattens udvikling. Med hensyn til punkt to kan modellen enten ændres til at tage højde herfor, fx ved at tilføje yderligere stokastiske led, som fx beskrevet af Merton (1979), hvor en poissonvariabel tilføjes, eller man skal i hvert fald være opmærksom på, at modellen bedst finder anvendes ved prisfastsættelse inden for et kortere tidsrum Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser I denne opgave vil der senere blive opstillet to modeller i Excel for prisfastsættelse af asiatiske optioner. Begge modeller bygger på ovenstående generelle differential-ligning. Model A til prisfastsættelse af asiatiske optioner Den ene model vil umiddelbart anvende den kontinuerte proces som angivet ovenfor, hvor det ved at bruge Ito s lemma udnyttes, at da den naturlige logaritme til aktiekursen er normalfordelt med de angivne to første momenter, så kan aktiens værdi umiddelbart findes ved et tilfældigt udtræk fra normalfordelingen. G( t) ~ N( G ( )* t; * ) 0 t S( t) LnS ( )* t * t Ln * 0 S ( t) exp Ln( S ) ( )* t * * t 0, hvor ~ N(0;1) Ved modelarbejdet udnyttes det, at et tilfældigt udtræk fra den standardiserede normalfordeling kan findes ved blot at bruge et enkelt tilfældigt tal. I Excel gøres dette som følger: =Normsinv(Rnd()). I VBA programmeres aktiens kurs (S1) som følger: S1 = S0 * Exp((r - vol / ) * T + vol * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(T)) For asiatiske optioner, hvor der skal foretages gennemsnit af flere værdier af aktien, foretages blot flere udtræk fra normalfordelingen. Således findes S tillige ved ovenstående metode, ved blot at anvende S1 som startværdi. Den tid, som indgår i formlen, skal da blot være den tid, som forløber imellem aktieværdierne. 0

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation.

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation. H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - forår 2009 ---------------- Opgaveløser: Martin Hofman Laursen Joachim Bramsen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. 5 og 31 Værdiansættelse af stiafhængige bermuda

Læs mere

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning)

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r

I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r Her kan du finde generelle oplysninger om valutaoptionsforretninger, der kan handles i Danske Bank. Valutaoptioner kan indgås

Læs mere

Obligationsbaserede futures, terminer og optioner

Obligationsbaserede futures, terminer og optioner Obligationsbaserede futures, terminer og optioner Her kan du læse om obligationsbaserede futures, terminer og optioner, og hvordan de bruges. Du finder også en række eksempler på investeringsstrategier.

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r Her kan du læse om aktieoptioner, og hvordan de kan bruges. Du finder også eksempler på investeringsstrategier. Aktieoptioner kan være optaget til handel

Læs mere

22. maj Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15. Nogle eksamensopgaver:

22. maj Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15. Nogle eksamensopgaver: 22. maj 2006 Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15 Nogle eksamensopgaver: 1 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN INVESTERING OG FINANSIERING Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 4 timers

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet H.D. studiet i Finansiering Hovedopgave Foråret 2009 ---------------------------- Opgaveløser: Daniel Laurits Jensen Vejleder: Bo Vad Steffensen Opgave nr. 21 Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Aalborg universitet. P4-4. semestersprojekt. Optionsteori Optioner på valuta

Aalborg universitet. P4-4. semestersprojekt. Optionsteori Optioner på valuta Aalborg universitet P4-4. semestersprojekt Optionsteori Optioner på valuta 25. maj 2012 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optioner på valuta PROJEKT PERIODE: Fra 1. februar 2012 til 25. maj 2012

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 7 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Finansiering Eksamen Finansiel planlægning Tirsdag den 8. januar 2008 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler

Læs mere

Copenhagen Business School

Copenhagen Business School Copenhagen Business School Hd. Finansiering Analyse af garanti obligationen Grøn Energi 2012-2016 Forfatter: Don Fischer Vejleder: Jesper Lund Afleveret d. 15. maj 2012 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 8 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Reeksamen Finansiel planlægning Tirsdag den 12. juni 2007 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladte.

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko.

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko. Hvad er en option? En option er relevant for dig, der f.eks. ønsker at have muligheden for at sikre prisen på et aktiv i fremtiden. En option er en kontrakt mellem to parter en køber og en sælger der giver

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori

Investerings- og finansieringsteori Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7

Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7 Indhold Kapitel 1...3 1.1 Indledning...3 1.2 Problemformulering...4 1.3 Struktur & metode...5 1.4 Afgrænsning...6 Kapitel 2...7 2.1 Black-Scholes introduktion...7 2.1.1 Optioner...7 2.1.2 Black-Scholes

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

1.1. Introduktion. Investments-faget. til

1.1. Introduktion. Investments-faget. til Introduktion til Investments-faget 1.1 Dagens plan Goddag! Bogen & fagbeskrivelse. Hvem er jeg/hvem er I? Hold øje med fagets hjemmeside! (www.econ.au.dk/vip_htm/lochte/inv2003) Forelæsningsplan,slides,

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7

Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7 12. marts 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7 Seneste forelæsninger Mandag 8/3: Resten af kapitel 5. Jeg beviste 1st and 2nd theorem of asset pricing eller mathematical

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r Her kan du finde generel information om råvareoptioner, der kan handles gennem Danske Bank. Råvarer er uforarbejdede eller delvist forarbejdede varer,

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

RØD CERTIFICERING - BILAG

RØD CERTIFICERING - BILAG RØD CERTIFICERING - BILAG STRUKTUREREDE OBLIGATIONER FINANSSEKTORENS UDDANNELSESCENTER STRUKTUREREDE OBLIGATIONER Strukturerede obligationer som det næstbedste alternativ. GEVINST Næstbedst ved FALD AKTIV

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider 1 af 1 sider Opgave 1.: Generelt må det siges at ud fra opgaveteksten er der ingen overordnet plan for koncernens likviditetsstyring. Især de tilkøbte selskaber arbejder med en høj grad af selvstændighed,

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet

Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet Diskret delta hedging af optionsporteføljer Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G3-110 Aalborg Universitet Aalborg University Department of Mathematics Frederik Bajers Vej 7G, DK-90 Aalborg Ø, Denmark

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium om Aktieoptioner Version 1, opdateret den 19. marts 2015 BAGGRUND... 4 INDHOLD OG AFGRÆNSNING... 4 1. INDLEDNING... 4 2. OPBYGNING OG STRUKTUR...

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 6 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Eksamen Finansiel planlægning Torsdag den 12. juni 2008 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladt.

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte Dec 64 Dec 66 Dec 68 Dec 70 Dec 72 Dec 74 Dec 76 Dec 78 Dec 80 Dec 82 Dec 84 Dec 86 Dec 88 Dec 90 Dec 92 Dec 94 Dec 96 Dec 98 Dec 00 Dec 02 Dec 04 Dec 06 Dec 08 Dec 10 Dec 12 Dec 14 Er obligationer fortsat

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx131-mat/a-705013 Mandag den 7. maj 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Brownsk Bevægelse fra pollenkorn til matematisk blomst

Brownsk Bevægelse fra pollenkorn til matematisk blomst HCØ-dage 2007 Brownsk Bevægelse fra pollenkorn til matematisk blomst Niels Richard Hansen Institut for Matematiske Fag Forskningsgruppe: Statistik og Sandsynlighedsregning Præsentation ved HCØ-dage 2007.

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup Claus Munk kap. 1-3 1 Dagens forelæsning Grundlæggende introduktion til obligationer Betalingsrækker og låneformer Det danske obligationsmarked Pris og kurs Effektive renter 2 Obligationer Grundlæggende

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014 Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Prisfastsættelse af rentecaps

Prisfastsættelse af rentecaps HD - FINANSIERING Copenhagen Business School Afgangsprojekt maj 2014 Prisfastsættelse af rentecaps Afleveringsdato: 12. maj 2014 Vejleder: Jesper Lund Udarbejdet af: Christian Eske Bruun Dato og underskrift

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere