Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel"

Transkript

1 H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel Handelshøjskolen i København

2 Indholdsfortegnelse FORORD INDHOLD OG PROBLEMFORMULERING PROBLEMFORMULERING AFGRÆNSNING OPGAVENS DISPONERING OPTIONSBEGREBET DEFINITION OPTIONENS VÆRDI PUT- / CALL-PARITET MODEL FOR EN AKTIES KURSUDVIKLING STOKASTISKE VARIABLE STOKASTISK PROCES Wiener-proces (brownsk bevægelse) Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift) Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM) Ito s lemma Modellens overensstemmelse med empiri Modellens begrænsninger Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE OG BLACK-SCHOLES FORMEL BEVIS FOR RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE BLACK-SCHOLES FORMEL (BS) HVORFOR FINDES DER ET MARKED FOR AFLEDTE AKTIVER DEN ASIATISKE OPTION ASIATISK OPTIONS VIRKEMÅDE VÆRDI AF ASIATISK OPTION SAMMENLIGNING MELLEM ASIATISK OG EUROPÆISK OPTION ASIATISK OPTION PRAKTISK ANVENDELSE PRISFASTSÆTTELSESMODELLER MONTE CARLO-SIMULERING TILFÆLDIGE TAL I EXCEL MODELLERNES IMPLEMENTERING I EXCEL... 38

3 7..1 Model A St simuleres direkte Model B Monte Carlo-simulering med tidsskridt VARIANSBEGRÆNSENDE HJÆLPEMETODER Antithetic-metoden (AT) Control Variate-metoden (CV) KONTROL AF MODELLERNES KORREKTHED, SAMMENLIGNING MED BS MODELLERNES PRÆCISION MED OG UDEN BRUG AF HJÆLPEMETODER Antal tidsskridt i model B Modellernes præcision ved rå simulering Modellernes præcision med anvendelse af AT Modellernes præcision med anvendelse af CV Modellernes præcision, opsummering MODELLERNES ANVENDELSE, BEREGNING AF OPTIONSPRISER SIMULERET PRIS PÅ DEXIA-OBLIGATIONEN OPTIONSVÆRDI, ASIATISK OVER FOR EUROPÆISK KONKLUSION LITTERATURHENVISNINGER

4 Forord Min interesse for optioner opstod undervejs i faget Finansiel Planlægning på H.D.. del, hvor vi introduceredes til begrebet reale optioner. Selvfølgelig fordi det giver anledning til interessante beregninger og til tider overraskende konklusioner, men primært fordi jeg i takt med den grundlæggende forståelse for en options opbygning begyndte at se, at der også inden for mit eget specielle arbejdsområde (reassurance) eksisterede en række problemstillinger og muligheder, som alle indeholdt et optionselement! Det gav konkret anledning til en ny indgangsvinkel til vore interne drøftelser om, hvilke forretningsmuligheder som skulle forfølges straks, og hvilke som skulle vente. Ligesom det gav et bedre grundlag for at forsøge at finde den totale værdi ved at indgå en aftale i dag frem for senere. Efterfølgende skulle jeg lære væsentligt mere om prisfastsættelse af optioner på finansielle aktiver i faget Videregående Værdipapiranalyse, hvor det afsluttende spørgsmål til eksamen: Er værdien af en europæisk option højere end en tilsvarende asiatisk option uheldigvis ikke blev besvaret fuldt tilfredsstillende, men i stedet gav mig anledning til at fundere længe over, om der mon fandtes en simpel omregningsmetode for asiatiske optioner, således at den kendte Black-Scholes formel alligevel kunne finde anvendelse. Da min lærer ikke umiddelbart kunne godkende eller forkaste min -siders redegørelse for problemstillingen, var vejen i stedet banet for at vælge emnet til denne hovedopgave. I den forbindelse vil jeg gerne rette en tak til Ken Beckmann, hvis undervisning i faget var en inspiration. Asiatiske optioner er fascinerende fordi der ikke eksisterer nogen kendt lukket formel til deres prisfastsættelse, og fordi de uanset dette faktisk handles i markedet, som det fx vil blive illustreret ved at se på den såkaldte Dexia aktiebaserede obligation, hvor afkastet med brug af en asiatisk option afhænger af udviklingen af A.P. Møller-aktien. Opgaven vil fokusere på brug af Excel til at opbygge en model til at udføre Monte Carlo-simulering, eftersom Excel er et hjælpeværktøj, som i stigende omfang er til rådighed i erhvervslivet, og som dermed vil få stigende praktisk betydning. 4

5 1. Indhold og problemformulering 1.1 Problemformulering I det omfang der ikke kan udledes endelige analytiske prisudtryk for optionspriser, kan i stedet numeriske metoder anvendes. Dette gælder for flertallet af optionstyper, herunder den asiatiske option. Denne hovedopgave vil undersøge, hvordan asiatiske optioner på aktier i stedet kan prisfastsættes ved at bruge den numeriske metode: Monte Carlosimulering (herefter forkortet MCS). Endvidere vil hovedopgaven fokusere på muligheden for at anvende MCS i Excel (fra Microsofts Office-pakke), som i vidt omfang anvendes i erhvervslivet og således er og vil være et betydeligt hjælpeværktøj fremover. I løbet af opgavebesvarelsen vil følgende punkter blive behandlet: at opstille en generel model for prisfastsættelse af optioner på aktier, herunder definere den underliggende proces, som aktiekurser antages at følge, en beskrivelse af anvendelsen af MCS til prisfastsættelsen af optioner praktisk anvendelse af MCS i Excel til at beregne optionspriser, herunder sammenligning med kendte analytiske priser, således at MCS-metoden kan verificeres undervejs i opgaven vil de teoretiske konklusioner blive sammenholdt med Dexia, aktieindekseret obligation, hvis opbygning der er redegjort for i bilag A, og som netop indeholder et asiatisk optionselement, hvorved teori illustreres med praktisk anvendelse. Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til prisfastsættelse af asiatiske optioner, og dermed reelt kan være ramme om prisfastsættelse for mange andre finansielle produkter. I korthed er opgavens problem således at undersøge, om og med hvilken præcision det er muligt, at: prisfastsætte asiatiske optioner på aktier ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel 5

6 1. Afgrænsning Enhver option, herunder den i opgaven valgte asiatiske option, er et afledt finansielt produkt, som knytter sig til et underliggende finansielt aktiv. I denne opgave er aktier valgt som finansielt aktiv. Andre finansielle aktiver, fx rente eller valuta, vil ikke blive behandlet. Princippet for den asiatiske options virkemåde er ens for alle aktiver. Aktier er valgt som finansielt aktiv, fordi aktiehandel har betydelig og generel interesse i praktikken og dermed giver mulighed for mange kombinationsprodukter, som kan indeholde et asiatisk optionselement, fx den aktieindekserede obligation (Dexia), hvis værdi knytter sig til en aktiekurs. I opgaven vil optioner blive prisfastsat ud fra et teoretisk synspunkt, idet det antages, at der foreligger perfekte markeder, karakteriseret ved: at der frit og i ubegrænset mængde kan handles i alle aktiver, som alle er fuldt likvide, herunder også at sælge af aktiver, som ikke ejes at alle markedsdeltagere handler rationelt og profitmaksimerende, og at alle deltagere har fuld information at der er fravær af omkostninger og skat at markedsdeltagerne frit kan frit låne og udlåne til den risikofri rente, r (hvor renten regnes kontinuert, og rentestrukturen antages af være flad, dvs. uafhængig af varighed). Antagelsen om perfekte markeder er naturligvis aldrig helt i overensstemmelse med virkeligheden. Det vurderes dog, at det ikke er en helt urimelig antagelse netop for afledte aktiver, idet disse helt overvejende handles af professionelle markedsaktører, som har høj grad af information og ekspertise. MCS er én numerisk metode til at prisfastsætte optioner. Numeriske metoder anvendes subsidiært, når det ikke er muligt at finde et egentligt analytisk prisudtryk. MCS er imidlertid ikke den eneste kendte numeriske metode; i hvert fald metoden kaldet numerisk estimation (på engelsk: Finite Difference Method ) har også været genstand for betydelig interesse og forskning. I denne opgave skal alene MCS behandles. 6

7 1.3 Opgavens disponering Kapitel Først beskrives virkemåden for ordinære optioner, hvor der erhverves en ret men ingen pligt til at handle et underliggende aktiv. Kapitel 3 og 4 For at kunne prisfastsætte en option er det nødvendigt at kende værdien af et underliggende aktiv. Der skal derfor opstilles en model, som beskriver værdien af det underliggende aktiv. Først ved at indføre den såkaldte generelle geometriske brownske bevægelse (GBM) til at beskrive aktiekursens bevægelse og efterfølgende ved at indføre princippet om risikoneutral prisfastsættelse, hvorved det bliver muligt at prisfastsætte optioner. Kapitel 5 Dernæst vil opgaven nærmere beskrive virkemåden for den valgte asiatiske option og illustrere den praktiske anvendelse af asiatiske optioner i markedet. Kapitel 6 Med ovenstående teori på plads er det herefter muligt opstille egentlige modeller for prisfastsættelse af asiatiske optioner. En række kendte modeller omtales. Monte Carlosimulering (MCS) vælges i denne opgave. Kapitel 7 Der opstilles to modeller for MCS, udviklet i Excels Visual Basic for Applications (VBA). Dernæst udføres opgavens egentlige analysearbejde: at fastslå modellernes præcision, både med hensyn til at konvergere mod den korrekte optionspris, og en statistisk analyse af med hvilken sikkerhed optionsprisen er fastsat. Undervejs i analysen vil tidsaspektet (simuleringstiden) blive beskrevet. Kapitel 8 - Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til at prisfastsætte asiatiske optioner, og i givet fald med hvilken præcision. 7

8 . Optionsbegrebet.1 Definition En option er en aftale mellem to parter, hvor den ene part mod en given betaling opnår en ret, men ikke en pligt til på et senere tidspunkt at handle et givent underliggende aktiv til en forud aftalt (defineret) pris. Helt ordinære optioner (på engelsk: plain vanilla) vil være karakteriseret som følger: Part A betaler straks en given pris til part B (en præmie). Hermed opnår part A ret, men ikke pligt til på et givet aftalt tidspunkt at handle en given mængde af et givet aktiv til en forud aftalt pris (kaldet strikekurs eller exercisekurs). Haves retten til at købe aktivet, kaldes det en call-option, og haves retten til at sælge aktivet, kaldes det en put-option. Når optionen alene kan anvendes (kaldet: exercises) på det forud aftalte tidspunkt, kaldes det en europæisk option. Alternativt kan det aftales, at part A kan anvende sin option på et vilkårligt tidspunkt frem til dens udløb; i så fald kaldes optionen en amerikansk option. I praksis skelnes imellem optionens tre afkasttilstande til ethvert givent tidspunkt, fx for call-optionens vedkommende: At-The-Money (ATM), når strikekurs er lig spotkurs In-The-Money (ITM), når spotkurs er højere end strikekurs Out-of-The-Money (OTM), når spotkurs er lavere end strikekurs. Fx gælder for call-optionen, at den med gevinst kan anvendes (exercises), når spotkursen er højere end strikekursen. I praksis er det i øvrigt ofte forekommende, at man ved exercisetidspunktet alene foretager en differencebetaling, dvs. indehaveren af calloptionen modtager blot differencen mellem aktivets værdi, S, og den aftalte købspris, X. Dette svarer fuldstændig til faktisk at købe aktivet og straks sælge det igen (i fravær af handelsomkostninger og -restriktioner). 8

9 Afkast Afkast Afkast Afkast På markedet skelnes der mellem optioner, som noteres og handles på en børs, og optioner som handles direkte mellem to parter. Sidstnævnte kaldes Over-The-Counter (OTC). Asiatiske optioner falder i sidstnævnte kategori, og der gælder helt generelt, at OTC-markeder overstiger børs-markedet for derivater, jvf. Hull (003:163). Dette vanskeliggør arbejdet med at knytte teori om prisfastsættelse af asiatiske optioner sammen med faktiske markedspriser. Ikke blot er handlerne og dermed priserne parterne imellem ikke kendte; priserne er ej heller udtryk for en markedspris. I stedet er det teoretiske arbejde med prisfastsættelse henvist til at se på teoretiske priser:. Optionens værdi En options værdi afhænger således af et underliggende aktivs værdi. Matematisk haves følgende udtryk for afkastet fra en option, som man har købt, fx en call-option: c = max ( 0; S-X ) Tilsvarende haves værdien for put-optionen ved at bytte rundt på S og X. Samlet haves: Figur..a: Afkast ved udløb for call- og put-optioner Købt Solgt Call-option put-option Solgt Call-option put-option X X Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Købt put-option Solgt put-option X X Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Kilde: Egen tilvirkning 9

10 Der gælder dermed, at optionens værdi på tidspunktet for aftaleindgåelsen alene afhænger af S og af den risikofri rente: For rentens vedkommende skal der blot foretages en simpel tilbagediskontering af optionens eventuelle udbetaling på udløbstidspunktet. For det underliggende aktivs vedkommende (S) afhænger optionens værdi mere præcist af fordelingen af S på udløbstidspunkt. På aftaletidspunktet kendes aktivets aktuelle værdi, medens dets fremtidige værdi er ukendt. Hvilke antagelser der gøres om fordelingen af aktivets fremtidige værdi, er afgørende for optionens værdi, herunder det vigtige resultat, at det underliggende aktivs volatilitet har meget stor betydning for en options værdi. Høj volatilitet giver en høj værdi af optionen, hvilket umiddelbart kan fortolkes således: Det at have en ret (men ikke en pligt) til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er meget usikker, har stor værdi. I modsætning hertil: Det at have en ret til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er kendt, hvilket ikke har nogen værdi overhovedet. I det senere analysearbejde er det især interessant at beskæftige sig med optioner, som har en forventet aktiekurs nær strikekursen, eftersom det er i dette område, at optionens afkast er mest usikkert (volatilt). Hvis alternativt en option med en sikkerhed grænsende til vished er enten ITM ved udløb hhv. OTM, da bliver prisen på optionen jo blot aktiens aktuelle værdi minus nutidsværdien af strikekursen hhv. 0. I begge tilfælde bortfalder optionselementet, idet der ikke længere er tvivl om den profitable handlemåde ved optionens udløb, nemlig at udnytte ITM-optionen og at afstå fra at udnytte OTMoptionen. Det kan sammenfattes, at værdien, f, af et afledt aktiv er en funktion af to faktorer: tid, t og et underliggende aktiv, S: f f ( t, S). Denne helt elementære sammenhæng vil blive brugt i det følgende. 10

11 .3 Put- / Call-paritet En call- og en put-option er hinandens to modsatte størrelser. Haves både retten til at købe et aktiv (man har købt en call-option) til en strikepris, X, og pligten til at sælge samme aktiv (man har solgt en put-option) til strikepris, X, da vil man ved optionens udløb være stillet, som om man faktisk ejede det pågældende aktiv mod at skulle betale strikekursen. Hvilket ses ved at sammenholde graferne for fx en købt call- og en solgt put-option i figur..a. Optionspræmierne betales altså til tid 0, medens man ved tid T bliver ejer af aktivet mod at skulle betale strikekursen. I fravær af arbitrage gælder derfor følgende matematiske sammenhæng: c p = PV ( St - X exp(-rt) ) <=> c p = So X exp(-rt) Denne sammenhæng kaldes put/call-pariteten og betyder, at når man først kender værdien af den ene option, da kan den anden umiddelbart findes. Mere om put/callparitet for asiatiske optioner i kapitel 5. 11

12 3. Model for en akties kursudvikling For at kunne prisfastsætte et afledt aktiv er det nødvendigt at have en model for prisudviklingen på det underliggende aktiv. Det er klart, at man aldrig vil kende værdien af det underliggende aktiv, men der kan imidlertid opstilles modeller, hvor det underliggende aktiv beskrives som en stokastisk variabel, hvorved aktivets værdi som funktion af tid bliver en stokastisk proces. I det følgende skal først selve begrebet stokastisk proces gennemgås, og efterfølgende vil en model for en akties kursudvikling blive opstillet som en stokastisk proces. 3.1 Stokastiske variable En stokastisk variabel knytter et tal (en sandsynlighed) til ethvert udfald af et tilfældigt eksperiment. Mere præcist knyttes der en sandsynlighed til ethvert udfald i et udfaldsrum. En stokastisk variabel, der ofte betegnes med store latinske bogstaver, fx X, er altså en måde at håndtere en variabel, hvis præcise værdi ikke kendes, men hvor det er muligt statistisk at beskrive sandsynlighederne for dens mulige værdier, også kaldet variablens fordeling. En simpel stokastisk variabel er antallet af øjne ved kast med en normal sekssidet terning. Udfaldsrummet er her: 1,... 6 og til hvert udfald er knyttet sandsynligheden 1/6 (kaldet punktsandsynligheder). Stokastisk beskrives variablen således: Tabel 3.1.a: X:= antal øjne ved kast med en sekssidet terning. x (udfaldsrum) P(X=x) (tæthedsfunktion) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 En stokastisk variabels sandsynligheder som funktion af dens mulige udfald kaldes dens tæthedsfunktion og betegnes med lille f. 1

13 Stokastiske variable kan være enten diskrete eller kontinuerte. En diskret variabel har et endeligt antal værdier for udfaldsrummet (et tælleligt udfaldsrum). I ovenstående eksempel med terningen er variablen diskret. I modsætning hertil vil en kontinuert variabel ikke have et endeligt udfaldsrum. Det vil fx være tilfældet, hvis udfaldsrummet er alle tidspunkter mellem kl. 16 og kl. 17. Ligesom den stokastiske variabel beskriver sandsynligheden for et enkelt udfald, kan den beskrive sandsynligheden for at den er mindre end eller lig en given værdi, hvilket bliver en funktion af x, som følger: F(x) = P (X <= x). Dette kaldes den stokastiske variabels fordelingsfunktion og betegnes med store F. Der eksisterer en entydig sammenhæng mellem en stokastisk variabels tæthedsfunktion og dens fordelingsfunktion. Kendes den ene, kan den anden udledes. Hvor fordelingsfunktioner for diskrete stokastiske variable beregnes ved blot at summere de enkelte punktsandsynligheder, er det for kontinuerte stokastiske variable nødvendigt at bruge integralregning. For kontinuerte stokastiske variable eksisterer der ikke en sandsynlighed for et enkelt punkt; i stedet kan der knyttes en sandsynlighed til et interval, hvor sandsynligheden er lig med integralet af fordelingsfunktionen over det givne interval. Fx bliver sandsynligheden for en værdi mindre end eller lig med x beskrevet ved: x F ( x) f ( x) dx Stokastiske variable beskrives ved deres momenter, særligt første moment: middelværdi og andet moment: varians, som samtidig er de to momenter, der skal anvendes i denne opgave. Simple (symmetriske) stokastiske variable beskrives fuldstændigt ved disse to momenter, fx ovenstående ligefordeling og den kendte: normalfordeling. Første moment er middelværdien, som benævnes E(X) og er givet ved: diskret E ( X ) x * f ( x) kontinuert E ( X ) x * f ( x) dx x Middelværdien er den stokastiske variabels vægtede gennemsnit. 13

14 Andet moment er varians, som benævnes V(X), og er givet ved: diskret ( X ) x E( x) V f ( x) kontinuert ( X ) x E( x) x V f ( x) dx Variansen bliver et mål for, i hvilket omfang den stokastiske variabels sandsynlighedsmasse er centreret omkring dens middelværdi. Tages kvadratroden af varians, fås hjælpebegrebet standardafvigelse (STD). Standardafvigelse bruges inden for økonomisk teori i vidt omfang til at beskrive volatilitet (usikkerhed). Foretages en undersøgelse af en naturlig forekommende stokastisk variabel, fx antal pollen i en vis mængde luft som funktion af dagen i året, kan variablen kun fuldstændig beskrives ved en tabel, som angiver det totale udfaldsrum og alle tilknyttede sandsynligheder. Dette er ikke praktisk for teoretisk arbejde, og der findes da også i statistisk teori et stort antal kendte stokastiske variable (fordelinger), som er karakteriseret ved, at den stokastiske variabel præcist kan beskrives ved et matematisk udtryk. Dette gælder fx for normalfordelingen (den gaussiske fordeling), som ubestridt er den mest kendte og anvendte teoretiske stokastiske variabel. Denne fordeling vil efterfølgende blive anvendt ved opstilling af en model for aktiekurser. Der gælder for normalfordelingen, at den er kontinuert, og når dens middelværdi og varians er givet ved: og, da beskrives dens tæthedsfunktion som følger: 1 f ( x, ) exp( 1/ ( x ) / ). Særligt gælder, at når middelværdien er 0 og variansen (og dermed også standardafgivelsen) 1, da kaldes fordelingen for den standardiserede normalfordeling (også kaldet u-fordeling). Denne fordeling er særligt simpel og vil derfor blive anvendt nedenfor. Bl.a. vil der gælde, at da enhver fordelingsfunktion ( for den standardiserede normalfordeling) vil løbe fra 0 til 1, da kan man ved at bruge et tilfældigt tal mellem 0 og 1 og ved at bruge den inverse fordelingsfunktion ( 1 ) opnå et tilfældigt udtræk i den standardiserede normalfordeling. I Excel gøres dette ved funktionen: NORMSINV(RND()). 14

15 3. Stokastisk proces En stokastisk proces kan nu defineres som en variabel, hvis værdi over tid er stokastisk bestemt. En sådan stokastisk proces kan være såvel diskret som kontinuert, hvilket blot afhænger af, om den skifter værdi alene på bestemte tidspunkter (diskret), eller om den kan skifte værdi til ethvert tidspunkt (kontinuert). Præcis hvilken stokastik, som lægges til grund for processen, vil nu afgøre, hvordan variablen vil udvikle sig over tid. Ved modelarbejde vælges en kendt og simpel stokastisk variabel for at lette det videre modelarbejde. Det skal dog gælde, at den valgte stokastik i videst muligt omfang skal være i overensstemmelse med virkelighedens observationer, og at der i hvert fald ikke må være afgørende uoverensstemmelser Wiener-proces (brownsk bevægelse) Wiener-processen er blevet hjørnestenen ved simulering af aktiekurser, og den skal også anvendes i denne opgave (nedenfor redegøres for valget af denne proces). Det stokastiske led (dz), som anvendes for en wiener-proces, er beskrevet ved: dz * dt, hvor ~ (0;1 ) og ved at processen har uafhængige tilvækster, dvs. at værdien af dz for to forskellige tidsintervaller er uafhængige. Wiener-processen er en Markov-proces, hvilket vil sige, at al relevant information for processens videre udvikling er givet ved dens aktuelle værdi. Processens første to momenter bliver: E(dz) = 0 V(dz) = dt Det bemærkes, at ved notationen dt og dz er der i teorien tale om uendeligt små størrelser, altså grænseværdierne hvor t går imod 0. 15

16 3.. Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift) En model for aktiekurser har ud over et stokastisk led tillige brug for et driftled, som kan modellere, at aktiekurser generelt antages at vokse over tid (give positivt afkast). Derfor udvides den simple wiener-proces til den såkaldte generelle wiener-proces, som for variablen X er givet ved: dx = a * dt + b * dz hvor a * dt bliver driftleddet (processen stiger med a pr. tidsenhed) og b * dz bliver det stokastiske led. Processens første to momenter bliver: E(dx) = a * dt V(dx) = b * dt Af særlig interesse for det senere modelarbejde er det forhold, at de stokastiske tilvækster for en generaliseret wienerproces til enhver tid (T) vil være normalfordelt med middelværdi a * T og varians b * T. Dette vil gøre det muligt umiddelbart at simulere aktiekurser, ved blot ét udtræk fra normalfordelingen (og dermed ved blot at gøre brug at ét tilfældigt tal) jvf. nedenfor under Ito s lemma Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM) Sidste udvidelse fra den generelle wiener-proces til en såkaldt ito proces sker ved at lade leddene a hhv. b være funktioner af dels tid (t), dels den underliggende proces (x). Dermed haves: dx = a(x,t) * dt + b(t,x) * dz, hvor dz fortsat er en stokastisk standard normalfordelt variabel ( ) multipliceret med kvadratroden af tiden, dt: ( dz * dt ). Processen kaldes også en geometrisk brownsk bevægelse (GBM) og er geometrisk (i modsætning til en aritmetrisk brownsk bevægelse), da driftleddet afhænger af x, hvorved driften altså vil ændres over tid, i takt med at x ændres. For at modellere aktiekurser (S) vælges nu følgende parametre: a(t,x) = * S og b(t,x) = * S 16

17 Dermed haves den kontinuerte model af aktiekurser, som vil blive brugt fremover. I denne udgave vil både og være konstanter, men der er imidlertid ikke noget til hinder for, at de var tidsafhængige. Det bemærkes, at aktien antages ikke at være udbyttebetalende. Såfremt aktien faktisk havde været udbyttebetalende, skulle modellen ændres, således at driften ( ) reduceredes fx med et kontinuert udbytte. Den i opgaven anvendte model til at beskrive værdiudviklingen på det underliggende aktiv, aktiekursen S, bliver herefter som følger: ds S dt S dt Modellen opstiller en differentialligning for aktiekursens udvikling, idet der ikke umiddelbart kan angives et udtryk for S som funktion af tid, hvorfor der i stedet opstilles et udtryk for ds som funktion af tid. Dette illustrerer, hvorfor det er vanskeligt at opstille lukkede matematiske udtryk for optionspriser: aktiens værdi (integralet af differentialligningen) på de tidspunkter, som har betydning for options værdi, kun undtagelsesvist vil kunne løses matematisk. Samtidig ses det, hvorfor numeriske metoder finder anvendelse, idet ovenstående differeltialligning giver mulighed for fx at simulere aktiekursens udvikling over tid Ito s lemma Ito s lemma er en yderst anvendelig hjælpesætning, som for en given ito-proces (x) samt for en funktion af denne proces, fx givet ved G(t,x), vil kunne give formlen for den differentierede G proces (dg). Ito s lemma er dermed en hjælpesætning til at differentiere stokastiske processer. Hvor der normalt vil gælde, at G G dg * dx * dt, haves ifølge Ito s lemma for en stokastisk proces i stedet: x t G G G dg * dx * dt ½ * dx x t x For ito-processen: dx = a(t,x) * dt + b(t,x) * dz fås ved indsættelse følgende resultat: dg dg d G dg dg * a 0,5* * b * dt * b * dz dx dt dx dx 17

18 Det ses, at også dg vil være en ito-proces, idet de to parenteser foran hhv. dt og dz blot bliver det nye driftled a(t,x) hhv. det nye volatilitetsled b(t,x). Denne hjælpesætning har stor betydning ved prisfastsættelse af afledte aktiver, som netop er funktioner af t og x. Endvidere vil Ito s lemma give indsigt i, hvordan aktiekursen direkte kan simuleres, hvilket vil blive benyttet i denne opgave. Opstilles følgende G-proces: G(S,t) = Ln( S t ), altså den naturlige logaritme til den generelle aktiemodel givet ovenfor: ds S dt S lemma, at: dt, hvor altså a(t,x) = * S og b(t,x) = * S, da giver Ito s Bevis: dg * dt * dz Når G=Ln(S), da er første afledte med hensyn til S lig G (S)= G (S)= - 1 S, anden afledte S, medens G differentieret med hensyn til t er lig 0. Ved indsættelse fås: dg * * S 0 0,5* * * S S S dg * dt * dz * S * dt * * S dz Det ses altså, at G-processen også er en generaliseret wiener-proces, hvor det jvf. afsnittet herom ovenfor vil gælde, at processen vil være normalfordelt med følgende momenter: E( G(t) ) = Go + ( - /) * T V( G(t) ) = * T At G, altså den naturlige logaritme til S, er normalfordelt, er ensbetydende med, at S er lognormalfordelt. For yderligere læsning om Ito s lemma henvises til Itô, Kiyosi (1951) On Stochastic Differential Equations, Memoirs of the American Mathematical Society 4: p

19 3..5 Modellens overensstemmelse med empiri Ovenstående model anvendes hyppigt, herunder nedenfor, ved udledningen af Black- Scholes formel (BS-formel), eftersom den findes at være i god overensstemmelse med empiri for aktiekurser. Her skal der peges på: at modellen er en såkaldt Markov-proces, som er en stokastisk proces, hvor kun variablens aktuelle værdi har betydning for dens fremtidige udvikling eller med andre ord: Hvordan den har opnået sin aktuelle værdi, har ingen betydning for dens fremtidige værdi. Dette er netop et kendetegn for aktier, hvor det antages (for effektive markeder i svag form eller bedre), at aktiekursens fremtidige udvikling ikke kan forudsiges ud fra viden om dens historik. at modellen indeholder en driftrate ( ) som netop angiver det relative afkast, som ejeren af aktien forlanger, og endelig at modellen indeholder et stokastisk usikkerhedselement, som angiver den til aktien knyttede relative usikkerhed (volatilitet) Modellens begrænsninger Den geometriske brownske bevægelse vil som nævnt blive lagt til grund i denne opgave. Følgende indvendinger skal dog for god ordens skyld nævnes: at modellens antagelser om konstant og uafhængig rente og volatilitet ikke helt er i overensstemmelse med empiri om aktiekurser, herunder at der observeres korrelation mellem kursudvikling og volatilitet (aktier har perioder med højere hhv. lavere volatilitet) at modellen helt generelt ikke indeholder tilstrækkelig volatilitet. Det stokastiske led beskriver måske nok ordinære udsving i aktiekurser, mens det ikke i fuldt omfang beskriver ændringer i aktiekurser, forårsages af overordnede makroøkonomiske forhold (strukturelle økonomiske ændringer), som fx verdenskrige, etablering af fællesmarked i Europa, krav om højere risikopræmie i tider med aktiv verdensomspændende terrorisme eller IT-bobler, som brister at en kontinuert model teknisk set ikke er korrekt, idet aktier ikke kan handles efter en børs lukketid, hvorimod den underliggende økonomi jo fortsætter alle 19

20 døgnets 4 timer, hvorfor der hver dag ved åbningstid skal korrigeres for nattens udvikling. Med hensyn til punkt to kan modellen enten ændres til at tage højde herfor, fx ved at tilføje yderligere stokastiske led, som fx beskrevet af Merton (1979), hvor en poissonvariabel tilføjes, eller man skal i hvert fald være opmærksom på, at modellen bedst finder anvendes ved prisfastsættelse inden for et kortere tidsrum Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser I denne opgave vil der senere blive opstillet to modeller i Excel for prisfastsættelse af asiatiske optioner. Begge modeller bygger på ovenstående generelle differential-ligning. Model A til prisfastsættelse af asiatiske optioner Den ene model vil umiddelbart anvende den kontinuerte proces som angivet ovenfor, hvor det ved at bruge Ito s lemma udnyttes, at da den naturlige logaritme til aktiekursen er normalfordelt med de angivne to første momenter, så kan aktiens værdi umiddelbart findes ved et tilfældigt udtræk fra normalfordelingen. G( t) ~ N( G ( )* t; * ) 0 t S( t) LnS ( )* t * t Ln * 0 S ( t) exp Ln( S ) ( )* t * * t 0, hvor ~ N(0;1) Ved modelarbejdet udnyttes det, at et tilfældigt udtræk fra den standardiserede normalfordeling kan findes ved blot at bruge et enkelt tilfældigt tal. I Excel gøres dette som følger: =Normsinv(Rnd()). I VBA programmeres aktiens kurs (S1) som følger: S1 = S0 * Exp((r - vol / ) * T + vol * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(T)) For asiatiske optioner, hvor der skal foretages gennemsnit af flere værdier af aktien, foretages blot flere udtræk fra normalfordelingen. Således findes S tillige ved ovenstående metode, ved blot at anvende S1 som startværdi. Den tid, som indgår i formlen, skal da blot være den tid, som forløber imellem aktieværdierne. 0

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation.

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation. H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - forår 2009 ---------------- Opgaveløser: Martin Hofman Laursen Joachim Bramsen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. 5 og 31 Værdiansættelse af stiafhængige bermuda

Læs mere

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet H.D. studiet i Finansiering Hovedopgave Foråret 2009 ---------------------------- Opgaveløser: Daniel Laurits Jensen Vejleder: Bo Vad Steffensen Opgave nr. 21 Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Copenhagen Business School

Copenhagen Business School Copenhagen Business School Hd. Finansiering Analyse af garanti obligationen Grøn Energi 2012-2016 Forfatter: Don Fischer Vejleder: Jesper Lund Afleveret d. 15. maj 2012 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium om Aktieoptioner Version 1, opdateret den 19. marts 2015 BAGGRUND... 4 INDHOLD OG AFGRÆNSNING... 4 1. INDLEDNING... 4 2. OPBYGNING OG STRUKTUR...

Læs mere

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko.

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko. Hvad er en option? En option er relevant for dig, der f.eks. ønsker at have muligheden for at sikre prisen på et aktiv i fremtiden. En option er en kontrakt mellem to parter en køber og en sælger der giver

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002

Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002 Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002 PLUS PLUS - en sikker investering Verdens investeringsmarkeder har i den seneste tid været kendetegnet af ustabilitet. PLUS Invest er en

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup Claus Munk kap. 1-3 1 Dagens forelæsning Grundlæggende introduktion til obligationer Betalingsrækker og låneformer Det danske obligationsmarked Pris og kurs Effektive renter 2 Obligationer Grundlæggende

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S

Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S 22. juni 2012 I:\Certificering af Investeringsrådgivere\Kompetencekrav\Kompetencekrav 9 produkter til hjemmesiden

Læs mere

Beskrivelse af nøgletal

Beskrivelse af nøgletal Beskrivelse af nøgletal Carnegie WorldWide Dampfærgevej 26 DK-2100 København Ø Telefon: +45 35 46 35 46 Fax: +45 35 46 36 00 Web: www.carnegieam.dk E-mail: cww@cww.dk 11. marts 2008 Indhold 1 Porteføljeafkast

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Analyse af indekserede obligationer

Analyse af indekserede obligationer Institut for Finansiering Vejleder Svend Jakobsen Forfattere Rune Sørensen Kristian Overgaard Analyse af indekserede obligationer ( Hvad private investorer bør vide om.. Investering i indekserede obligationer

Læs mere

En statistisk analyse af aktieafkast

En statistisk analyse af aktieafkast En statistisk analyse af aktieafkast Af cand.scient.oecon. Erik Christiansen IBC Kolding Efterår 2008 Forord Kan man ved bruge af statistiske modeller og de historiske aktiekurser forudsige fremtidens

Læs mere

Konverterbare Realkreditobligationer

Konverterbare Realkreditobligationer Konverterbare Realkreditobligationer Copenhagen Business School Summer school August 17, 2005 Niels Rom-Poulsen Danske Markets, Quantitative Research nrp@danskebank.dk Konverterbare Realkreditobligationer

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Komplekse investeringsprodukter

Komplekse investeringsprodukter Komplekse investeringsprodukter KO M P L E K S E I N V E S T E R I N G S P R O D U K T E R 1 Komplekse investeringsprodukter Denne brochure beskriver kendetegnene for en række investeringsprodukter betegnet

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

Skatteregler for udbytte hæmmer risikovilligheden

Skatteregler for udbytte hæmmer risikovilligheden Skatteregler for udbytte hæmmer risikovilligheden Denne analyse sammenligner afkastet ved en investering på en halv million kroner i risikobehæftede aktiver fremfor i mere sikre aktiver. De danske beskatningsregler

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider 1 af 1 sider Opgave 1.: Generelt må det siges at ud fra opgaveteksten er der ingen overordnet plan for koncernens likviditetsstyring. Især de tilkøbte selskaber arbejder med en høj grad af selvstændighed,

Læs mere

Korte eller lange obligationer?

Korte eller lange obligationer? Korte eller lange obligationer? Af Peter Rixen Portfolio manager peter.rixen @skandia.dk Det er et konsensuskald at reducere rentefølsomheden på obligationsbeholdningen. Det er imidlertid langt fra entydigt,

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Erhvervsøkonomisk Institut. Vejleder: Henrik Nørholm BILAG. Analyse og prissætning af JB Ti Aktier 2013. I skyggen af en finanskrise

Erhvervsøkonomisk Institut. Vejleder: Henrik Nørholm BILAG. Analyse og prissætning af JB Ti Aktier 2013. I skyggen af en finanskrise Erhvervsøkonomisk Institut Kandidatafhandling Forfatter: Henrik Gerstrøm (xxxxxx) Vejleder: Henrik Nørholm BILAG Analyse og prissætning af JB Ti Aktier 2013 I skyggen af en finanskrise 1. december 2010

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx11-mat/a-1508011 Mandag den 15. august 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Risikoneutrale tætheder fra optioner: Teori og anvendelser

Risikoneutrale tætheder fra optioner: Teori og anvendelser Handelshøjskolen i København Institut for Finansiering Erhvervsøkonomi-matematik-studiets 6. semester 2005 Forfatter: Allan Sall Tang Andersen 180682-XXXX Projektvejleder: Bo Vad Steffensen Risikoneutrale

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktiefutures og aktieterminsforretninger

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktiefutures og aktieterminsforretninger Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium om Aktiefutures og aktieterminsforretninger Version 1, opdateret den 17. august 2015 INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLD OG AFGRÆNSNING... 3 1. INDLEDNING...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

KK STOXX 2015 - KØB NU OG SÆLG PÅ TOPPEN EN AKTIERELATERET OBLIGATION

KK STOXX 2015 - KØB NU OG SÆLG PÅ TOPPEN EN AKTIERELATERET OBLIGATION KK STOXX 2015 - KØB NU OG SÆLG PÅ TOPPEN EN AKTIERELATERET OBLIGATION ALM. BRAND BANK KK STOXX 2015 er en obligation, hvor afkastet er afhængigt af kursudviklingen på aktierne i 50 af de største virksomheder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer

Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer Indledning I banken kan du som udgangspunkt frit vælge, hvordan du vil investere dine penge. En begrænsning er dog f.eks. gældende lovregler om pensionsmidlernes

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Hedgeforeningen Sydinvest, afdeling Virksomhedslån

Hedgeforeningen Sydinvest, afdeling Virksomhedslån Hedgeforeningen Sydinvest, afdeling Virksomhedslån Ny attraktiv investeringsmulighed for danske investorer Hedgeforeningen Sydinvest kan som den første i Danmark tilbyde sine medlemmer adgang til markedet

Læs mere

Bornholms Regionskommune

Bornholms Regionskommune 2. marts 2010 Bornholms Regionskommune Finansiel strategi - rapportering Ordforklaring VaR = Value at Risk risiko hvor stor er vores risiko i kroner? Her: Med 95% sandsynlighed det værst tænkelige udfald

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Låneanbefaling. Bolig. Markedsføringsmateriale. 8. juni 2012. Unikke lave renter: Et katalog af muligheder

Låneanbefaling. Bolig. Markedsføringsmateriale. 8. juni 2012. Unikke lave renter: Et katalog af muligheder Låneanbefaling Bolig Markedsføringsmateriale 8. juni 2012 Unikke lave renter: Et katalog af muligheder Det kan lyde som en forslidt frase, men renterne er historisk lave og lavere end langt de fleste nogensinde

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

BRUGERVEJLEDNING RISIKO INVESTERINGSPORTEFØLJE DEGIRO

BRUGERVEJLEDNING RISIKO INVESTERINGSPORTEFØLJE DEGIRO BRUGERVEJLEDNING RISIKO INVESTERINGSPORTEFØLJE DEGIRO Inhold 1. Introduktion... Error! Bookmark not defined. 2. Portefølje oversigt... Error! Bookmark not defined. 3. Porteføljerisiko i praksis... Error!

Læs mere

Valutarisiko eksempel 1

Valutarisiko eksempel 1 MARTS 2010 Bank og FINANS derivater Et risikost yringsredskab Finanskrisen har sat fokus på pengeinstitutters og virksomheders behov for at fjerne finansielle risici. Særligt ses en interesse for justering

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

HD(R) 2.del Finansiel Styring 19.08.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider

HD(R) 2.del Finansiel Styring 19.08.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider 1 af 1 sider Det nuværende cash management system, er et meget decentralt system hvor selskaberne i koncernen selv administrere deres likviditet og likviditetsbehov. Der er dog udstukket retningslinier

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER Indledning Lægernes Pensionsbank tilbyder handel med alle børsnoterede danske aktier, investeringsbeviser og obligationer

Læs mere

Investering. Investpleje Pension. Investpleje Pension 1

Investering. Investpleje Pension. Investpleje Pension 1 Investering Investpleje Pension Investpleje Pension 1 Investpleje Pension For at tilbyde dig den bedste og mest enkle investering af dine pensionsmidler samarbejder Danske Andelskassers Bank A/S med Investeringsforeningen

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere