Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7

Transkript

1 12. marts 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7 Seneste forelæsninger Mandag 8/3: Resten af kapitel 5. Jeg beviste 1st and 2nd theorem of asset pricing eller mathematical finance eller Theorem 15 og Corollary 16, som noterne kalder det. Ingen arbitage et (ækvivalent) martingalmål Q, og En arbitragefri model er komplet hvis og kun hvis Q er entydig. Og så det nyttige udsagn i afsnit 5.6: Det er nok at tjekke alle 1-periode delmodeller. Bemærk, at 1-periode delmodellerne ikke behøver at have samme form, altså samme q er, eller u er, d er og R er. Onsdag 10/3: Fortolkning af resultaterne i kapitel 5; se mine slides på hjemmesiden. Et (eksamensrelevant) eksempel (S2000 opgave 1, mere konkret) med en masse julelege. Jeg nåede til knock-out barriere-optionen. Kommende forelæsninger Mandag 15/3: Flere eksempler, anvendelser, mere motivation. Se 10/3-slidesene. Igang med kapitel 6, efter I er blevet overbevist om vigtigheden af at analysere optioner. Kapitel 6 er det sjove. Onsdag 17/3: Mere af samme skuffe. Øvelserne 19/3 eller 24/3 Nedenfor anførte opgaver. Som sædvanlig er der rigeligt, men opgave 3, 4 og 5 sku ku klares ret hurtigt. Vh, Rolf 1

2 Opgaver til 7. øvelsesgang 1 (Dividender) Vi skal udbygge vores standard-fler-periode-model (kendt fra de foregående ugesedler og forelæninger) til at inkludere dividendeudbetalinger. Betragt derfor nedenstående (aktiekurs, dividende)-model. Den er tegnet med 3 perioder, men det er kun fordi, der ikke er plads til mere på papiret. Modellen skal forstås sådan, at ved hver knude er i en kasse angivet dividende-udbetalingen og tillige aktiens pris. Man kan tænke på u og d som værende valgt på sædvanlig vis, mens δ i erne er deterministiske størrelser. t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 u 3 S(1 δ 1 )(1 δ 2 )δ 3 S usδ 1 us(1 δ 1 ) dsδ 1 ds(1 δ 1 ) u 2 S(1 δ 1 )δ 2 u 2 S(1 δ 1 )(1 δ 2 ) uds(1 δ 1 )δ 2 uds(1 δ 1 )(1 δ 2 ) u 3 S(1 δ 1 )(1 δ 2 )(1 δ 3 ) u 2 ds(1 δ 1 )(1 δ 2 )δ 3 u 2 ds(1 δ 1 )(1 δ 2 )(1 δ 3 ) ud 2 S(1 δ 1 )(1 δ 2 )δ 3 ud 2 S(1 δ 1 )(1 δ 2 )(1 δ 3 ) d 2 S(1 δ 1 )δ 2 d 2 S(1 δ 1 )(1 δ 2 ) d 3 S(1 δ 1 )(1 δ 2 )δ 3 d 3 S(1 δ 1 )(1 δ 2 )(1 δ 3 ) Antag at der findes en bankbog, og at R har den sædvanlige betydning. Vis at denne model er komplet og arbitragefri. (Eller mere præcist: Hvornår er den det?) Bestem q og sammenlign med ikke-dividende tilfældet. (Så hvorfor mon denne specifikation er populær?) Hvad er E Q (S(3)/R 3 )? Læg mærke til, at den stokastiske udvikling for aktier og dividender kan repræsenteres på et gitter. To tilfælde indtræffer ofte i litteraturen; i begge simplificeres (aktiekurs, dividende)-gitteret betydeligt. Og ofte man vil simplificere yderligere ved slet ikke at skrive dividende-udbetalingerne i sit gitter. 2

3 i) δ i = δ for alle i Det betyder, at aktien løbende udbetaler dividende med raten δ ( dividend yield på udenlandsk). Det kan være en god approximation, hvis man ser på et aktie-indeks, men i det hele taget er det praktisk, man er istand til at arbejde med systemer, hvor der løbende drypper penge ud (eller ind; der ingen der har, sagt δ > 0). ii) δ i = 0 for alle i pånær et enkelt Dette svarer til en lump-sum dividende udbetalt på et bestemt fremtidigt tidspunkt; det er den måde dividender faktisk udbetales på. Læg mærke til, at det på denne måde ikke er muligt at modellere en kendt, fast, deterministisk dividende, say D ( vi får D kr. pr. stk. aktie om to måneder ). Vi man det og holde den multiplikative pris-model, så får man umiddelbart en ikke-rekombinerede model efter dividende udbetalingen (prøv selv efter). En måde løse det på, er at lave et par små kunstgreb & arbejde med 2 gitre (måtte nogle af jer have købt der Hulls bog, kan I kan kigge i kap. 14). Et andet (og nemmere) kunstgreb er at vælge δ så den forventede (under P eller Q) dividende i modellen er lig D. 2 Lad os sætte tal på opgave 1 og betragte flg. specifikation: σ = 0.2 t = 1/12 S 0 = 62 u = exp(σ t) = d = exp( σ t) = R = /12 = n = 5 (antal perioder) 1) Antag først at δ i = for i = 1, 2,..., 5. Bestem prisen på en call-option med udløb på tidspunkt 5/12 (altså om 5 perioder) & strike-kurs 60. Hvad er den Q-forventede diskonterede værdi af tid-5/12 aktiekursen? 2) Antag δ i = 0 for alle i 5. Bestem δ 5 så den Q-forventede diskonterede værdi af tid-5/12 aktiekursen matcher den, du fandt ovenfor. Find prisen på en strike 60 call-option med udløb på tid 5/12. Sammenlign med den call pris, du fandt ved 1). 3) Gentag 1) og 2) men nu for en stike-61 call med udløb på tid 3/12. 4) Antag δ i = 0 for alle i 3. Bestem δ 3 så den Q-forventede dividendeudbetaling på tid 3 er 1. Prisfastsæt tid-5/12, strike-60 call-optionen. 3

4 3 (Bull) En investor som tror, at prisen på en bestemt aktie vil stige, kan have lyst til at lave et såkaldt bull spread. (Lingo: Et bull market er et, hvor priserne stiger, mens et bear market er et, hvor priserne falder.) En måde at lave sådan et på, er at købe en call med strikekurs K 1 og sælge en call (med samme udløbsdato) med strikekurs K 2 > K 1. Tegn pay-off for denne position. Er dens initiale pris positiv eller negativ? 4 (Butterfly) Et butterfly spread er en position bestående af en købt call med strike K 1, en købt call med strike K 3 og to solgte calls med strike K 2 = (K 1 + K 3 )/2. Alle calls har samme udløbstidspunkt, T. Tegn tid-t værdien af denne position som funktion af tid-t aktiekursen. (Er man kunstnerisk, når man kigger på figuren, så har man forklaringen på butterfly.) Er den initiale værdi positiv, negativ eller...? Hvornår kan man have lyst til at købe så en portefølje/et spread? 5 (En flink option.) Et investeringsfirma har fundet på at udbyde noget, de kalder en flink option. Det er en option med flg. pay-off på tid T : max(s T /2, S T K), hvor S er aktiekursen og K er en strikekurs. (Optionen er flink, fordi den altid betaler.) Lad C F betegne den flinke options pris på tid 0 og C(K) være som i opgaven før. Vis at C F har formen og bestem α, β og γ. C F = αs 0 + βc(k) + γc(2k), 6 I denne opgave betragtes call-optioner på en aktie uden dividende. Disse call-optioner er identiske pånær deres strikekurs; C(K) betegner prisen for en call med strike K. Ved simple arbitrage argumenter skal du vise flg. 3 generelle relationer: 1. Hvis K 2 > K 1, så er C(K 1 ) C(K 2 ). 2. Hvis K 2 > K 1, så er K 2 K 1 C(K 1 ) C(K 2 ). 3. Hvis K 3 > K 2 > K 1, så gælder C(K 2 ) K 3 K 2 K 3 K 1 C(K 1 ) + K 2 K 1 K 3 K 1 C(K 3 ). Så call-prisen er en kon??? funktion af strikekursen. 4

5 7 (Put-Call partitet med dividende.) Antag vi står på tid 0 og betragter en aktie, som i tidsrummet [0; T [ udbetaler dividende en gang. Vi antager denne dividende, D, er deterministisk og at den falder på tid t (der også er deterministisk). Vis (med standard notation) flg. paritet for call- og putoptioner: C 0 + Dd(0, t) + Kd(0, T ) = P 0 + S 0. 5