Time Series Analysis: Autocorrelation

Transkript

1 Indledning Vi skal i denne opgave undersøge egenskaberne og anvendelser af analyse af tidsserier ved hjælp af korrelationsalgoritmer der er en række metoder der er i stand til at finde signaler i tidsserier der ikke nødvendigvis kan opløses i harmoniske svingninger. Min implementering af disse algortimer er foretaget i Matlab og alle kildekoder (og denne rapport) vil være tilgængelig på Algoritmerne Korrelationen dækker, som nævnt, over en metode til at finde signaler i tidsserier der, i modsætning til i forbindelse med powerspektret, ikke nødvendigvis skal bestå af harmoniske svingninger. Korrelationen mellem to tidsserier angiver så at sige hvor godt de ti tidsserier stemmer overens, og er defineret som følger: corr(x, y) = N N (x i x) (y i y) () i= Hvor x og y er to forskellige tidsserier. F.eks. kunne x være et sæt målinger og y kunne være en model man ønsker at tjekke hvor godt passer med dataene. En speciel variant af denne er den såkaldte autokorrelation der består i at finde korrelationen mellem et signal og det samme signal forskudt med k punkter: autocorr(k) = N k (x i x N k ) (x i+k x +k N ) () N k i= sfunktionen er derfor yderst anvendelig til at finde periodiske signaler i tidsserier, hvor det ikke er et krav at signalet består af harmoniske funktioner. 3 Bestemmelse af store frekvensopsplitning Vi skal nu anvende autocorrelationen til at undersøge powerspektret fra Sol-ligende oscillatorer der jo, som vist på figur a, består af en række peaks med konstant afstand. Afstanden mellem peakene hørende til samme angulære grad, l, kaldes den store frekvensopsplitning, ν. Ved at udregne autocorrelationen af spektret kan den store frekvensopsplitning findes, som vist på figur b. Som det ses består autocorrelationsspektret af den række toppe der svarer til modes med henholdsvis l = og l =. Der opstår desuden toppe der svarer til ν, 3 ν osv. Jeg har benyttet de tre første toppe svarende til l = til at bestemme ν. I det viste tilfælde med Solen findes en frekvensopsplitning på ν = 35. µhz.

2 .5 5 x 5. Amplitude (m/s) Frequency (µhz) (a) Amplitudespektrum Frequency shift (b) sspektrum Figur : sspektrum af Solen. For at undersøge om den store frekvensopsplitning afhænger af frekvensen køres tidsserien for Solen først igennem et bandpass-filter i tre frekvensintervaller: 8, og 37 5 µhz. Derefter gentages de samme udregninger for disse intervaller og den store frekvensopsplitning findes. Resultaterne er vist i tabel. Som det ses er der en svag afhængighed af frekvensen. x 3 x Frequency shift (µhz) (a) α Cen A Frequency shift (µhz) (b) α Cen B Figur : På figur er der vist spektrene fra de samme udregninger på stjernerne α Centauri A og B der er henholdsvis lidt tungere og lettere end Solen, og vi vil derfor forvente en lidt anden frekvensopsplitning i disse to tilfælde. Alle resultaterne er samlet i tabel. Som det også ses af figur, er det også en lidt større udfordring at bestemme frekvensopsplitningen præcist i disse spektre, da signal-støj-forholdet, især i α Cen B, er betydeligt mindre end for Solen. I alle stjernerne udviser ν dog en svag afhængighed af frekvensen.

3 Star ν ν low ν mid ν high Solen α Cen A α Cen B Tabel : Den store frekvensopsplitning i µhz. Da den store frekvensopsplitning er proportional med kvadratroden på stjernens middeldensitet og vi antager den samme proportionalitetskonstant for de tre stjerner, kan vi finde middeldensiteten af α Cen A og α Cen B på følgende måde: ν ρ = ν ρ ( ) ν ρ = ρ ν (3) () Ved at benytte at vi kender Solens middeldensitet til ρ =. g/cm 3 kan vi bestemme densiteterne fra de to andre stjerner: ρ A =.89 g/cm 3 ρ B =.98 g/cm 3 (5) (6) Søgning efter Exoplaneter En anden spænende og meget aktuel anvendelse af correlations-algoritmerne er i forbindelse med detektion af exoplaneter ved transit-metoden. Som aktuelle eksempler på dette kan eksempelvis nævnes den franske mission CoRoT og Kepler der er planlagt til opsendelse i februar 9. Vi skal her forsøge at detektere planet-transits i seks simulerede datasæt hvor vi på forhånd ikke har nogen kendskab til parameterne for de indsatte transits. Det første skridt i analysen er at udføre en filtrering, B der skal være i stand til at beholde al informationen om eventuelle transits og fjerne bidrag fra langtidsdrift og højfrekvent støj. Til dette formål anvender vi et filter der virker i tidsdomænet via en form for løbende middelværdi. Filteret er karakteriseret ved at have en transi-lignende struktur, men med et sæt af vinger til hver side, som vist på figur 3. Bredden af transitten kaldes B og bredden af de to vinger kaldes B. Netop pga. dette valg af variabel-navne har dette filter fået navnet Banan-filteret. Vi vil her sætte B = B. B D Figur 3: Banan-filteret. B B D Til et givet tidspunkt t i virker filteret ved at udregne middelværdien af punkterne i de tre regioner og den filtrerede tidsserie vil derefter være givet som: D(t i ) = C(t i ) W (t i ) + W (t i ) (7) 3

4 hvor W, W og C refererer til middelværdien af data-serien i henholdsvis første og anden vinge og centrum. Ved nu at køre filteret igennem hele tidsserien, dvs. at udregne dette for de samme tidspunkter som den originale tidsserie, opnås en ny filtrede tidsserie der opfylder vores kriterier. Et eksempel på effekten af filteret er vist på figur og det ses tydeligt at filteret bevarer informationen om transitten og fjerner de fleste former for støj og langtidsdrift. Det ses dog at filteret faktisk ændrer på formen af transitten, men vi har ikke mistet nogen information om transittens fase eller periode. 3 x Signal Time (hours) x Figur : Effekten af Banan-filteret udregnet for tidsserie # med B = t. Ved herefter at lave autocorrelationen på den filtrerede tidsserie vil vi skulle være i stand til at detektere de pågældende periodiske transit-signaler og udlede deres periode. Det viste sig dog at det med denne metode kun var muligt at detektere transits i to af de seks 5 x 9 B = hours. 8 x Period (days) (a) Tidsserie # 3 5 Period (days) (b) Tidsserie # Figur 5: Resultater fra autocorrelationen af serie # og #. Som det ses kan der ikke detekteres noget signal i # med denne teknik.

5 tidsserier. Et ret skuffende resultat i betragtning af at det faktisk kan lade sig gøre at detektere transitene med det blotte øje. Et par eksempler på resultaterne af autocorrelationen er vist på figur 5. Istedet udnyttede jeg netop det faktum at transittene er synlige direkte i tidsserien til at bestemme deres parametre manuelt. Dette blev gjort ved at plotte tidsserien og den filtrede tidsserie og så ganske simpelt scanne igennem tidsserien og finde to transits. Når disse var fundet tjekkede jeg at der ikke var nogle transits imellem de, for at udelukke muligheden for at at jeg f.eks. havde overset en transit og dermed ville bestemme den dobbelte periode. Derefter tjekkede jeg om der var transits regulært med den samme afstand, og derved kunne perioden og fasen lægges fast. Dette gjorde jeg jeg for alle de tidsserier hvor det ikke var muligt at finde noget med autokorrelation-metoden, og det viste sig yderst effektivt. Resultaterne er samlet i tabel. # P (d) t F (d) B (t) SNR Metode Manuelt Autocorr Autocorr Manuelt Manuelt Tabel : Resultater fra eftersøgningen af transits. Det skal dog understreges at denne teknik kun kan lade sig gøre her fordi der meget tydeligt er tale om kunstige firkantede transits. Hvis der havde været tale om virkelige transits der vil have en blødere form, ville det højst sandsynligt ikke være muligt at skelne transitene fra støj med øjet. Signal Time (days) (a) Tidsserie # Signal Time (days) (b) Tidsserie #6 Figur 6: Eksempler på transits der kan findes manuelt. Der kunne sikkert opnås bedre resultater ved at lave en krydskorrelation i stedet for autokorrelation, men dette vil selvfølgelig være på bekostning af en markant højere beregningstid. Et andet problem med autocorrelation-metoden er nemlig også at den ikke 5

6 giver nogen information om fasen, og derved er det ret besværligt at gå tilbage til tidsserien og tjekke om det resultat den har fundet rent faktisk er en transit, da man ikke har nogen information om hvornår transitene rent faktisk finder sted. Så konklusionen på denne sidste del af opgaven må være at autocorrelationen i samspil med banan-filteret godt kan bruges til at detektere store planeter, men hvis man ønsker at detektere mindre planeter skal der andre teknikker i brug. Dette kunne eventuelt være mere eller mindre avancerede versioner af krydskorrelationen. Referencer [Bedding] Bedding, T. R., Kjeldsen, H., Butler, R. P., McCarthy, C., Marcy, G. W., O Toole, S. J., Tinney, C. G. & Wright, J. T.,. Oscillation frequencies and mode lifetimes in α Centauri A. Astrophys. J., 6, [Kjeldsen5] H. Kjeldsen, T. R. Bedding, R. P. Butler, J. Christensen-Dalsgaard, L. Kiss, C. McCarthy, G. Marcy, C. Tinney & J. Wright. Solar-like oscillations in α Centauri B. Astrophys. J., 635,

7 5 Kildekode 5. autocorr.m function autocorr = autocorr(x) N = length(x); 3 autocorr = zeros(, N-); 5 for k = :N- 6 % Calculate the mean-values: 7 xmean = mean(x(:n-k)); 8 ymean = mean(x(+k:n)); 9 % Calculate the autocorrelation: i = :N-k; s = sum( (x(i)-xmean).* (x(i+k)-ymean) ); 3 autocorr(k) = s/(n-k); 5 end; 5. CalcLargeSep.m function [lsep,h] = CalcLargeSep(file, numin, numax, xli, yli, fsearch) % Load the data: 3 data = importdata(file); f = data(:,); 5 A = data(:,); 6 clear data; 7 8 %h = figure; 9 %plot(f,a); %xlabel( Frequency (\muhz) ); %ylabel( Amplitude (m/s) ); %drawnow; 3 %SetAspectRatio(h, 3/); %SaveFigure(h, Rapport/Billeder/Sun_spectrum.eps ) 5 %return; 6 7 % Remove unwanted part of spectrum: 8 indx = find(f > numin & f < numax); 9 f = f(indx); A = A(indx); N = length(f); 3 % Calculate autocorrelation: ac = autocorr(a); 5 fs = linspace(, (max(f)-min(f)), N-); 6 7 % Plot autocorrelation: 8 h = figure; 9 hold on; 3 plot(fs, ac); 3 xlabel( Frequency shift (\muhz) ); 3 ylabel( ); 33 box on; 3 xlim(xli); 35 ylim(yli); 36 drawnow; % Find the large seperation: 39 % Peak : ind = find(fs > fsearch(,) & fs < fsearch(,)); [m,indx] = max(ac(ind)); lsep = fs(ind()+indx-); 7

8 3 plot([lsep lsep], [yli() m], k: ); % Peak : 5 ind = find(fs > fsearch(,) & fs < fsearch(,)); 6 [m,indx] = max(ac(ind)); 7 lsep = fs(ind()+indx-); 8 plot([lsep lsep], [yli() m], k: ); 9 % Peak 3: 5 ind = find(fs > fsearch(3,) & fs < fsearch(3,)); 5 [m,indx] = max(ac(ind)); 5 lsep3 = fs(ind()+indx-); 53 plot([lsep3 lsep3], [yli() m], k: ); 5 % The large seperation: 55 lsep = (lsep + lsep/ + lsep3/3)/3; 5.3 bananafilter.m function [t, D] = bananafilter(t, x, B) 3 N = length(t); tmin = min(t); 5 dt = (max(t)-tmin)/n; 6 B = *B; 7 D = zeros(n, ); 8 t = zeros(n, ); 9 for i = :N ti = (i-)*dt+tmin; 3 mask = find(t > ti-b/-b & t < ti-b/); if isempty(mask) 5 W = ; 6 else 7 W = mean( x(mask) ); 8 end; 9 mask = find(t < ti+b/+b & t > ti+b/); if isempty(mask) W = ; 3 else W = mean( x(mask) ); 5 end; 6 7 C = mean( x(t >= ti-b/ & t <= ti+b/) ); 8 9 D(i) = C - (W + W)/; 3 t(i) = ti; 3 end; 5. FindPlanets.m clc; clear; 3 close all; 5 file = Data/transit.dat ; 6 % The area that max is to be located: 7 mmin = ; 8 mmax = 5; 9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% data = importdata(file); 3 t = data.data(:,); 8

9 x = data.data(:,); 5 clear data; 6 N = length(x); 7 x = x-mean(x); 8 9 Bs = ::36; P = zeros(, length(bs)); m = zeros(, length(bs)); Tot = max(t)-min(t); 3 for j = :length(bs) 5 B = Bs(j); 6 7 % Run the bananafilter on data: 8 [t,d] = bananafilter(t, x, B); 9 3 % hold on; 3 % plot(t, x, b- ) 3 % plot(t,d, r- ); 33 % drawnow; 3 35 % Run the autocorrelation: 36 ac = autocorr(d); % Remove anything with less than three transits: 39 t = t(:end); ac = ac(t < Tot/3); t = t(t < Tot/3); 3 % Plot plot(t/, ac); 5 title([ B_ = numstr(b) hours. ]); 6 xlabel( Period (days) ); 7 ylabel( ); 8 9 s = std( ac(t > * & t < *) ); 5 5 % Find max in ac: 5 [m(j),indx] = max(ac(t > mmin* & t < mmax*)); 53 P(j) = mmin+t(indx)/; 5 hold on; 55 %plot(p(j), m(j), ro ); 56 %plot([ 5], [s s], r- ); 57 hold off; m(j) = m(j)/s; 6 6 drawnow; 6 F(j) = getframe; 63 end; 6 %% movie(f); figure; 69 [AX,H,H] = plotyy(bs, m, Bs, P, plot ); 7 7 set(get(ax(), Ylabel ), String, SNR ); 7 set(get(ax(), Ylabel ), String, max Period ); 73 set(h, LineStyle, - ); 7 set(h, LineStyle, - ); 75 xlabel( Transit Width (hours) ); 76 title(file); save([file.mat ], file, F, Bs, m, P, mmin, mmax ); 9