KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB

Transkript

1 EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 1

2 Emner for idag Kondensatorer Spoler TidsaGængige kredsløb Universalformlen 2. ordens kredsløb Lidt Ll opgaverne to nye komponenter hvad gør vi? hvad sker der? Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 2

3 Vores udgangspunkt hidll HidLl har vi arbejdet med LdsuaGængige kredsløb TilsluVes en kilde vil strømme og spændinger i kredsløbet tage deres værdier og ellers forblive uændrede Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 3

4 Kondensatoren Som det var Llfældet for OPAMP en, så kommer en kondensator også i mange forskellige varianter Store som små Tykke som tynde Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 4

5 Kondensatoren Opbygget af to plader med en isolator imellem Der ophobes posilve ladninger på den ene side i [A] q [C] t t og negalve ladninger på den anden side En ladningsforskel betyder at vi opbygger en spændingsforskel Den Llførte energi fra strømgeneratoren oplagres i kondensatoren Δv [V] t Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 5

6 Kondensatoren - analogi FunkLonsprincippet illustreres bedst med en vandanalogi v p [m 3 /s] h [m] ΔP [N/m 2 ] t t t Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 6

7 Kondensatoren i [A] q [C] Δv [V] Strømgeneratoren er en ladningspumpe Strøm = ladningstransport per Ldsenhed i(t) = d q(t) q(t) = i(τ) dτ + q(0) dt o Spændingsforskellen er proporlonal C: Kapacitet med ladningsforskydningen v(t) = 1 C q(t) t t t t Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 7

8 Kondensatoren ProporLonalitetskonstanten, C, kaldes kondensatorens kapacitet [Farad = F = C/V] C agænger af pladernes areal, A, og afstanden, d, imellem dem, samt det isolerende materiale Typiske værdier for C ligger i mf - > pf området q(t) = i(t) = d dt q(t) t o i(τ) dτ + q(0) v(t) = 1 C q(t) Ohm s lov for en kondensator Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 8

9 Kondensatorens terminal- lov Eksempel på strømmen igennem en 5µF kondensator Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 9

10 Eksempel på RC- kredsløb KVL: Kondensatorligning: SæVes de to sammen fås en differenlalligning Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 10

11 Eksempel på RC- kredsløb Løsning af formen: Skal være LdsuaGængigt RC dv (t) C + v C (t) = V 2 dt for t > 0 (forkerte løsninger) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 11

12 Eksempel på RC- kredsløb Den apagende eksponenlalfunklon: e - x 63% 37% t = τ t/τ Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 12

13 Eksempel på RC- kredsløb (antagelse) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 13

14 Universalformlen Omskrevet tager universalformlen følgende form: v C (t) = V 2 + ( V 1 V 2 ) e t τ τ = RC Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 14 ( ) e t τ v C (t) = V ( ) + V (0) V( ) Øjebliksspændingen over kondensatoren er bestemt af begyndelsesbelngelsen, ladespændingen, samt ladelden

15 Spolen Ligesom de øvrige komponenter vi har set på, så kan også spoler findes i mange afskygninger Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 15

16 Spolen På sin vis kan man sige, at spolen er en omvendt kondensator Ringen består af et magnelserbart materiale En påtrykt strøm, i, i viklingen Ll venstre vil skabe et magnetelt, B, proporlonalt med strømmen En ændring i B vil inducere en spænding, v 2 (t), i viklingen Ll højre En ændring i B vil også inducere en spænding, v (t), i viklingen Ll venstre Resultat: Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 16

17 Spolen ProporLonalitetsfaktoren, L, kaldes spolens selvinduklon [Henry = H] L agænger af vindingstal, kernens dimensioner og kernematerialets egenskaber Typiske værdier for spolers selvinduktans ligger i området H - > nh Ohms lov for en spole Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 17

18 RCL- komponentligninger kan ikke ændres momentant! kan ikke ændres momentant! Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 18

19 Steady- state Med kondensatorer og spoler inde i billedet har vi introduceret LdsaGængighed Et RLC kredsløb er i steady- state når spændingen over kondensatorene og strømmen igennem spolerne ikke ændre sig Steady- state betyder i praksis, at kondensatorene alle er op- eller afladet Denne Llstand har vi typisk før en kontakt vippes og igen kort Ld eper kontakten er vippet Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 19

20 Eksempel på Steady- state I steady- state er kondensatoren opladet og alle tre 6 kω modstande er i serie v C (t) = = 4 t < 0 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 20

21 Kontakter Ope vil vi gerne kunne skelne mellem Ldspunkter lige før og lige eper noget sker Det vil typisk være når en kontakt vippes Kontakter har stor betydning for kondensatorer og spoler Tiden lige før er 0 - : Tiden lige eper er 0 + : V(0 - ) = 7 V I(0 + ) = 3 A For en kondensator gælder alld at V(0 - ) = V(0 + ) For en spole gælder alld at I(0 - ) = I(0 + ) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 21

22 Steady- state eksemplet igen t < 0 v C (t) = 4V v C (0 ) = 4V i C (0 ) = 0A t = 0 + v C (0 + ) = v C (0 ) = 4V i C (0 + ) = 4V 6kΩ = 0.67mA i C (0 ) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 22

23 Steady- state eksemplet igen Men hvad sker der med v C (t) når Lden, t, går mod uendelig!?! Universalformlen Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 23

24 Universalformlen Vi antager følgende: 1. Vi har et kredsløb med én kondensator, én kontakt og et antal modstande 2. Spændingen over kondensatoren er kendt for Lden t = Kredsløbet er i steady- state et stykke Ld eper kontakten er vippet (typisk 5τ eper) 4. Kontakten vippes Ll Lden t = 0 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 24

25 Universalformlen For alle 1. ordens kredsløb gælder universalformlen for både strøm og spænding x(t) = x( ) + ( x(0 + ) x( ) ) e t τ her kan x(t) være både strøm og spænding i både en spole og en kondensator!!! Det meget viglgt med 0 + når der regnes på strømme i kondensatorer og spændinger over spoler Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 25

26 Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Bestem v C (t) for t > 0. Kredsløbet er i steady- state Løsningen består af fire skridt: 1. Find v C (0 + ) 2. Find v C ( ) 3. Find τ = RC 4. Benyt universalformlen Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 26

27 Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 1: Steady- state for t < 0 Ingen strøm gennem kondensatoren Ingen strøm gennem modstanden i serie med kondensatoren Spændingsfald på 0 V over modstand Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 27

28 Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 1: Spændingsfald på 0 V over modstand v C (0 ) =12V = v C (0 + ) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 28

29 Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 2: Til Lden uendelig er kredsløbet aver i steady- state Strømmen gennem kondensatoren er lig nul v C ( ) = 0V Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 29

30 Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 3: τ = RC = ( ) 10 3 Ω F = 0.6s R C Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 30

31 Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 4: x(t) = x( ) + ( x(0 + ) x( ) ) e t τ v C (t) = 0 + ( 12 0) e t 0.6 =12 e t 0.6 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 31

32 Tavleopgave 1 Kredsløbet er i steady- state Ll Lden t < 0 Bestem v C (t) for t > 0 v C (0 + ) = v C (0 ) = v C ( ) = τ = RC = 10V 2V 16kΩ 200µF = 3.2s v C (t) =10V ( 2V 10V )e t 3.2s =10 8e t 3.2s Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 32

33 2. ordens kredsløb HidLl har vi kun set på kredsløb der indeholder ét dynamiskt element Kredsløb der indeholder to dynamiske elementer kræver noget mere arbejde Som eksempel Find v(t), som også kaldes det unforced / natural response Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 33

34 2. ordens kredsløb i(t) = C d v(t) dt v(t) R + 1 L t v(τ)dτ + C dv(t) dt = i s (t) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 34

35 2. ordens kredsløb v(t) R + 1 L 1 R dv(t) dt t v(τ)dτ + C dv(t) = i s (t) dt + v(t) L + C d 2 v(t) = di (t) s dt 2 dt En lille omskrivning lever opgaven lidt d 2 v(t) dv(t) + 2ξω dt ω 2 0 v(t) = 0 dt 1 i s (t) = 0 ω 0 = LC ξ = R 2 C Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 35

36 2. ordens kredsløb d 2 v(t) dt 2 + 2ξω 0 dv(t) dt + ω 0 2 v(t) = 0 Vi gæver på en løsning på formen v(t)=ke st s 2 Ke st + 2ξω 0 ske st + ω 0 2 Ke st = 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 0 2 = 0 s = 2ξω 0 ± 4ξ 2 ω 0 2 4ω s 1 = ξω 0 + ω 0 ξ 2 1 s 2 = ξω 0 ω 0 ξ 2 1 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 36

37 2. ordens kredsløb Terminologi t v(t) ω 0 ζ s 1, s 2 s Ld naturlig respons knækfrekvens dæmpningsfaktor de naturlige frekvenser Laplace- variablen Det er alt sammen noget vi vender Llbage Ll gennem forløbet af KRT & EKDS Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 37

38 2. ordens kredsløb Tilfælde 1: ζ > 1 De to rødder, s 1 og s 2, er reelle og forskellige. Løsningen bliver: posilv! v(t) = K 1 e ξω 0 ω 0 ξ 2 1 t + K2 e ξω 0 +ω 0 ξ 2 1 t Den naturlige respons siges at være overdæmpet, hvilket vil sige ingen svingninger Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 38

39 2. ordens kredsløb Tilfælde 2: ζ = 1 De to rødder, s 1 og s 2, er reelle og ens. Løsningen bliver: v(t) = K 1 e ω 0 t + K 2 e ω 0 t Den naturlige respons siges at være krilsk dæmpet, Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 39

40 2. ordens kredsløb Tilfælde 2: ζ < 1 De to rødder, s 1 og s 2, er komplekse og forskellige. Løsningen bliver (jf. Eulers formel): ( ( ) + A 2 sin( ω 0 t 1 ξ 2 )) v(t) = e ξω 0 t A 1 cos ω 0 t 1 ξ 2 Den naturlige respons siges at være underdæmpet, dvs. vi oplever svingninger Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 40

41 Lidt Ll opgaverne I skal regne en masse på spoler og kondensatorer Noget med at se på kontakter og steady- state situaloner Lidt med 2. orden systemer Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 41