Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger

Transkript

1 Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger 26. oktober 212 Dennis Hansen E = ρ ɛ B = E = B B = µ J + µ ɛ E E da = Q enc ɛ E dl = Φ B Ei = L i di i dt + Q i C i + R i Ẽ i = iωl i Ĩ i + i ωc i Ĩ i + R i Ĩ i I i = i i φ = arctan Ẽ 2 ( ) X R Ĩi = P = 2 Z cos φ 2 f (r, t) = 1 v 2 2 f (r, t) 2 Ẽ = Ẽe i(k r ωt)n S = 1 µ E B k = 2π λ = 2π T v = 2πν v = ω v λ = 2π k = 2πv ω = v ν = vt n = c v = E = V A E (r, t) = q ı [( c 2 4πɛ ( ı u) 3 ẇ(t r ) 2) u + ı (u ẅ(t r ))] B = 1 c k Ẽ I = I cos 2 (θ 1 θ ) ɛµ 2 V x 2 = lc 2 V 2 B = A P rad = µ p 2 ω4 12πc t r = t ı c ɛ µ Z = lv P rad = µ q 2 (ẅ(t r )) 2 6πc

2 Indhold 1 Forord og indledning 2 2 Maxwells ligninger mv. 3 3 Elektrodynamik Ohms lov Elektromotorisk kraft Elektromagnetisk induktion Induktans Ampères lov med Maxwells korrektioner Elektriske kredsløb Kirchhos love Jævnstrømskredsløb Vekselstrømskredsløb Generel emf: Fourierrækkeløsning Generelle bølger Bølgers natur Propagation af bølger og polarisering af bølger Planbølger Den endimensionale bølgeligning Stående bølger Sfæriske bølger Interferens Elektromagnetiske bølger Maxwells ligninger for bølger i vakuum Energi og eekt, intensitet og impuls Maxwells ligninger og Poyntingvektoren for bølger i dielektrika Bølger i ledende materialer Elektrodynamiske potentialer Formulering Retarderede potentialer og løsninger til Lorenzgaugen Punktladninger Stråling Elektrisk dipolstråling Stråling fra en punktladning i bevægelse Indeks 56

3 1 FORORD OG INDLEDNING A Appendix 58 A.1 Enheder på forskellige størrelser A.2 Specielle integraler A.3 Panserformlen A.4 Approksimationer A.5 Identiteter A.6 Krydsprodukter i kartesiske, cylindriske, og sfæriske koordinater Forord og indledning Denne formelsamling slash notesamling er gældende til kurset Elektrodynamik og bølger på Københavns Universitet. I modsætning til andre notesamlinger man kan nde på nettet, forsøger denne ikke at være en afskrift af D.J. Griths Electrodynamics. Jeg har forsøgt at samle de vigtigste formler og ligninger og knyttet disse til en kort beskrivelse af anvendelser/faldgrupper, samt små opskrifter til hvordan man udregner visse ting. Jeg har også lavet en række eksempler som viser kort hvordan man kan anvende teorien, og har efterstræbt at lave ca. et eksempel til hvert emne. En del af eksemplerne er besvarelser på opgaver i Griths (i så fald, står det der), men der er også en række eksempler, som jeg selv har konstrueret. I marginen har jeg tilføjet stikord, så det let at nde præcis det man søger uden at skulle læse hele brødteksten i gennem og der er en index til sidst i dokumentet. Et afsnit med enheder på de este størrelser der bruges i elektrodynamikken, samt nogle kontanter. Derudover er der i appendix en række approksimationer man ofte bruger og integraler Forslag til forbedringer og rettelser modtages gerne på mail xnw99@alumni.ku.dk - dette er foreløbig version 1.2 (lidt stavefejl og typos rettet, samt tilføjet en ligning i afsnit 4.8, tilføjet afsnittet med enheder i appendix og gjort marginnoterne bredere siden version 1.1) og der tages forbehold for typos og det bør efterstræbes at læse linjerne kritisk - jeg kan have fucked op! Dennis Hansen 2 af 6

4 2 MAXWELLS LIGNINGER MV. 2 Maxwells ligninger mv. Her er de vigtigste relationer i elektromagnetismen opridset i form af Maxwells ligninger på integralform og dierentialform for både statiske felter og dynamiske felter; for stof og generelt. Nogle af formlerne står ikke direkte i bogen fordi at de er ret uanvendelige (fx L H da = L M da), men for god ordens skyld har jeg medtaget dem. Der står også noteret hvad det er for nogle ader eller kurver der skal integreres over og om de er lukkede osv. Hver af de i alt re Maxwell ligninger står i hver række nedenfor, i de forskellige udgaver de nu kommer i. Generelt E = ρ ɛ E = B B = B = µ J + µ ɛ E E da = Q enc S ɛ E dl = B da S S B da = S B dl = µ I enc + µ ɛ S S E da S S I stof D = ρ free H = J free + D D da = Q free enc H dl = I free enc + S D da Bemærk i stof gælder der naturligvis også at E = B tilhørende integralformer. og B = og de 3 af 6

5 3 ELEKTRODYNAMIK 3 Elektrodynamik 3.1 Ohms lov Der gælder helt generelt at der løber en strøm når ladninger påvirkes af en kraft (klart, da de så vil bringes i bevægelse) og derfor så er J. Kraften pr. ladning f = F/Q er de este materialer proportional med J, altså J = σf. Konstanten σ er konduktiviteten af materialet som strømmen løber i, og der gælder at σ, så strømmen løber i den retning som de bliver påvirket af kraften. Desto større σ, desto lettere er det at lede en strøm (let forstået på den måde at E kan være mindre for at give den samme strøm), og der gælder for perfekte ledere at σ =, og for dielektrika at σ (ihvertfald efter et stykke tid, når polariseringen har indfundet sig). f kan fx skyldes en kemisk reaktion eller - det er underordnet. Oftest skyldes det dog elektromagnetiske kræfter, og fra Lorentz kraftlov så ved vi at kraften pr. ladning på som følge af elektromagnetiske kræfter er givet ved f = E + v B. Da der i materialer oftes gælder at v, så kan man i de este tilfælde 1 se helt bort fra den magnetiske kraft. Vi har da Ohms lov [på feltform] givet ved: Konduktivitet Ohms lov J = σe Det ses (som vi vidste fra Gauss' lov i elektrostatikken) at i perfekte ledere har vi E = J =, selvom J. Ohms lov [på skalarform], der er en emperisk lov, udtaler sig i stedet direkte om spændingsforskellen (der skal regnes som positiv) V mellem to punkter på lederen, der er proportional med strømmen I gennem lederen Ohms lov V = RI Modstanden R er en geometrisk størrelse, der kan udregnes mere specikt ved at beregne spændingen og strømmen ud fra J = σe ved: I = S J da V = E dl γ, hvor det i situationen giver sig selv hvad kurven γ er, og aden S er. Herefter kan man ud fra V = RI aæse R - generelt gælder der at σ 1/R som en god tommelngeregel. Modstand 1 Et tilfælde hvor den ikke helt holder er i vakuum hvor B ændres over tid. 4 af 6

6 3 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 1 (To metalobjekter i et ledende materiale, modstand som funktion af kapacitans og spænding som funktion af tid (problem 7.3)). a) Lad os kalde legemet der indeholder de to metalobjekter 1 og 2 for L og de to metalobjekter for L 1 og L 2. Strømmen I der går fra 1 til 2 er den samme den der går fra 2 til 1 med modsat fortegn. Bruges Ohms lov J = σe og integrerer vi over randen af legemet L 1, har vi jf. Gauss' lov at J = σe J da = σ E da I = σq 1 L 1 L 1 ɛ Hvis L 1 og L 2 fungerer som kapacitor, må der være en ladning på Q 1 = Q 2 = Q (uden fortegn) i hver af dem. Da denitionen på kapacitans siger at V = Q C og Ohms lov også siger at V = IR, har vi: V = Q C = IR Q C = σq ɛ R R = ɛ σc Som det skulle vises. b) Der gælder Ohms lov, og vi har V = IR og bruger vi denitionen af kapacitans har vi CV = Q CRI = Q I = 1 RC Q og ved dierentiation mht. tiden har vi Q = I og dermed fremkommer dierentialligningen I = 1 RC I, som har løsningen I(t) = I e 1 RC t og ved multiplikation med R på begge sider får vi jf. Ohms lov at V (t) = RI e 1 RC t = V e 1 RC t = V e σ t ɛ = V e t τ med τ = ɛ σ E er uniform i ledere Det gælder for et materiale at E-feltet er uniform inde i en leder af længde L, der har samme tværsnitsareal langs hele materialet, hvilket kan indses ved at løse Poissons ligning. Lad os sige at der mellem to punkter a = og b = L på lederen er spændingsforskellen V = V b V a = V b. På overaden af lederen har vi at J n = σe n =, da arealet er det samme ned langs lederen. Vi har da jf. afsnit at E = V n =, og V er da den samme på overaden som inden i lederen. Da der ingen stationære ladninger er, reducerer Poissons ligning til Laplaces ligning. Vi kender da spændingen på alle aderne for lederen og jf. første entydighedssætning fra afsnit 5.2, så er V entydigt bestemt og vi skal da blot gætte en løsning der giver det rigtige potentiale de rigtige steder dvs. V () = og V (L) = V b. Dette er ikke så svært; vi har let at V (x) = V x V L. Følgevis er E = x x = V L x og det ønskede er vist. Har man en leder der fx buler ud et sted, vil strømmen igennem her stadig være den samme som alle andre steder (Kirchhos kredsløbslove), men J n = σe n i området, så V n og spændingen i dette punkt er altså anderledes og følgevis er det elektriske felt heller ikke uniformt Joules lov Det gælder at eekten der leveres af en strøm til en resistor, hvor der over er et spændingsfald V, er givet ved P = d dt E = d dt V Q = V dq dt = V I. Fra Ohms lov har vi at V = RI, så vi har alt i alt Joules lov 5 af 6

7 3 ELEKTRODYNAMIK P = V I = I 2 R, der kaldes Joules lov. Vil man udregne energien der leveres til en resistor (og derefter går tabt som varmeenergi), har vi E (t) = t P dt = t V Idt = R At der i sidste integrale står I 2, fortæller at ligegyldig strømmens retning, så vil der altid leveres energi til resistoren. Eksempel 2 (Bestem energien der afsættes i en modstand R med strømmen I (t) = kt exp ( t/2c) mellem t = og t = ). Vi får direkte ved integration: t I 2 dt E = P dt = R [ = Rk 2 c 3 e t c I 2 dt = R )] ( 2t c + t2 c (kte t 2c ) 2 dt = Rk 2 t 2 e t c dt )) ( ( = Rk 2 c 3 e 2 c c + 2 c = 2Rc 3 k Elektromotorisk kraft Et elektrisk kredsløb er en geometrisk konguration af ledere, der kan parameteriseres med en lukket kurve γ. I et elektrisk kredsløb opstår der et elektrisk felt E pga. ladningerne (selvom de er bevægelse), som spreder ladningerne så meget ud som hinanden og derfor er I den samme alle steder. Hvis ikke strømmen var den samme alle steder, ville ladninger hobe sig op ét eller ere steder og så ville de alligevel kort tid efter være udjævnet, da ladningerne frastøder hinanden. Hvis ladningerne bliver påvirket af en kraft pr ladning f s (en-eller-anden måde der er uinteressant for nu) så er den totale kraft pr. ladning på ladningerne da f = f s + E. Vi denerer da den elektromotoriske kraft (emf) E til at være det lukkede linjeintegrale rundt i kredsløbet (givet ved parameteriseringen γ) E = γ f dl = γ f s dl Biddraget fra E giver intet biddrag. at kurveintegralet over en lukket kurve for E er E dl = uanset hvordan denne kurve ser ud når det er elektrostatik, så den kan ignoreres (men det skal vides at den er der). E kan fortolkes som et arbejde pr. ladning, og den har en række ting til fælles med det elektriske potential for en ladningskonguration, og i visse tilfælde (som fx det nedenstående) er de også lig hinanden. Elektrisk kredsløb Udjævning f s skyldes batteri, ideele og ikke-ideele batterier I et ideelt batteri er σ = og i dets indre må vi da have f = f s + E = f s = E. Potentialforskellen mellem polerne er da V = E dl = f s dl = γ f s dl = E Batteri 6 af 6

8 3 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 3 (Ikke-ideelt batteri). Har vi et ikke ideelt batteri, har batteriet en indre modstand R i og σ <. Vi har da f = f s + E = 1 σ J E = 1 σ J f. Potentialforskellen mellem polerne er da V = E dl = (f 1σ J ) dl = f s dl 1 σ J dl Såfremt at det antages at strømmen er en leder med samme tværsnit A langs hele laderen, er J konstant og vi har derfor J dl = Jdl og lad længden af det stykke strømmen går i gennem være l. Vi har da videre V = γ f s dl 1 σa JA dl = E l σa I = E R ii Det kan vises at man får samme resultat, selvom man ikke gør så [strenge] antagelser om hvor strømmen bender sig. Bemærk at når man gør disse antagelser om hvor strømmen er, kan man generelt udregne modstanden direkte ved R = Eksempel 4 (Pladekondensator som elektromotorisk kraft (problem 7.6)). Kapacitatorpladerne er her den elektromotoriske kraft, f s = E. Man kunne fristes til at tro at E = γ f s dl = γ E dl = h E dl, da der ikke er nogen elektromotrisk kraft udenfor pladerne, når man går rundt i strømkredsen γ (feltet er ). Men dette er naturligvis forkert, da vi ved at kurveintegralet over en lukket kurve for E er E dl = uanset hvordan denne kurve ser ud når det er elektrostatik (hvilket det er her). Konklusionen må derfor være at randeekterne fra pladerne netop må modvirke biddraget fra dem lodrette del af loopet. Fra ohms lov har vi da at E = V = RI = I =. 3.3 Elektromagnetisk induktion l σa f s skyldes magnetfelt, motional emf Bevæger man sit kredsløb med en hastighed v, påvirkes de ladninger der er inde i kredsløbet med en kraft pr. ladningsenhed givet ved den magnetiske kraft f mag = v B. Den elektromotoriske kraft er da givet ved E = f mag dl = (v B) dl Der bliver således induceret en emf (en spænding), og derfor jf. Ohms lov også en strøm. Den inducerede strøms retning fås ved at bruge Lorentz kraftlov; strømmen vil da gå i samme retning som krydsproduktet v B. Motional emf Retning Fluxreglen og Faradays lov Om det magnetiske ux Φ B gennem en ade S som kredsløbet givet ved parameteriseringen af den lukkede kurve γ er indeholdt i Φ B = S B da 7 af 6

9 3 ELEKTRODYNAMIK, gælder det at sammenhængen med den elektromotoriske kraft E er givet ved uxreglen: E = Φ B = S B da Det eneste der betyder noget er ændringen i det magnetiske ux - ikke hvordan den er opstået. Fluxreglen er den samme ligning for tre forskellige tilfælde (der kan godt ske kombinationer af dem alle 3, men uxreglen er stadig gældende), som har lidt forskellig betydning Motional emf (bevægelse af strømloop): Dette situationen som beskrevet i afsnit 9.2.2; Et i tiden konstant magnetfelt holdes stationært og et kredsløbsloop bevæges igennem B med hastigheden v og der induceres en strøm som går i samme retning som krydsproduktet v B. Motional emf (bevægelse af magnetfelt): Kredsløbsloopet γ holdes nu i ro, mens magnetfeltet bevæges i med hastigheden v. Der induceres en strøm som går i samme retning som krydsproduktet v B, da det svarer til forrige situation ved at vælge et referencesystem der bevæger sig med hastigheden v ift. kredsløbsloopet, der så jf. Gallileitransformationen bevæger sig med hastigheden v. Faradays lov (tidsmæssigt ændrende magnetfelt): B-feltet ændres i tiden, så. Der induceres en strøm i den retning som Lenz' lov dikterer. B I det tredje tilfælde bliver der udført et arbejde på ladningerne i ledningerne, men alt er stationært, så har vi fra Lorentz kraftlov at f mag = v B = B =, så kraften er ikke magnetisk. Som Faraday også k inspiration til at foreslå, så giver det ændrede B-felt anledning til et E-felt, selvom der ingen frie ladninger kan observeres. Vi siger også at et ændrende magnetfelt inducerer et elektrisk felt, og dette elektriske felt kan godt udføre et arbejde. På dierentialform lyder Faradays lov da (fås ved at bruge Stokes sætning på E = S f dl = B S E dl = S da) da E = B Det gælder at for solenoidale felter som B-feltet at uxet ikke afhænger af aden man integerer over, men kun af randen S. Man kan derfor vælge S vilkårligt, så længe γ = S. Af samme grund kan det magnetiske ux også ndes ved at lave et kurveintegrale af det magnetiske vektorpotential langs kredsløbet γ, der kan være anvendelig, hvis man skal udregne uxet som skyldes en magnetisk dipol. E = γ A dl Motional emf Faradays lov Induceret E Dierentialform Uafh. af S Lenz' lov Naturen afskyer ændringer i det magnetiske ux 2. For alle typer uxændringer, uanset hvor kompliceret det end måtte være, kan dette bruges til at nde 2 Men naturen afskyr ikke det magnetiske ux! 8 af 6

10 3 ELEKTRODYNAMIK retningen af den inducerede strøm i kredsløbet. Den inducerede strøm vil netop gå i den retning, der prøver at modvirke uxændringen. Dvs. at man bruger højrehåndsreglen og følgende opskrift: Retning I ind 1. Identicer den overordnede retning af B-feltet (der evt. ændres over tiden), der giver anledning til et ux Φ B. 2. Læg din tommelnger langs den retning af kredsløbet, som gør at håndaden (skal pege ind mod det indre af kredsløbet, der er afgrænset af den lukkede kurve S) og ngrene for enden af dem, peger i den retning som ville give et magnetfelt i retningen B. 3. Tommelngerens retning er da retningen af I ind. Eksempel 5 (Bestem den elektromotoriske kraft induceret i et rektangulært loop [, a] [, a] af et felt B (y, t) = ky 3 t 2 ẑ (problem 7.13)). Normalvektoren til det rektangulære loop er ẑ, så vi kan beregne uxet gennem loopet direkte Φ B = S B da = a a Vi har da den elektromotoriske kraft givet ved E = Φ B = kt 2 a 5 4 ky 3 t 2 dxdy = kt2 a 5 = kta5 2 Det negative fortegn viser at ved at bruge højrehåndsreglen at den inducerede strøm går i negativ omløbsretning, da positiv retning skaber et positivt ux. Vi ville få det samme med Lenz' lov og bare kun beregne størrelsen af E Faradays lov på integralform 4 På integralform er Faradays lov S E dl = S B da = Φ B analog med Ampéres lov og giver derfor en nem metode (i symmetriske situationer) til at bestemme det inducerede E-felt. Alle metoderne, der er gyldige ved Ampéres lov for magnetostatik (afsnit 7.4), er også gyldige her, og lige så alle symmetriargumenter. Det gælder også at man skal bruge højrehåndsreglen for at bestemme integrationsretningen, der skal stemme overens den giver konstituerer en negativ uxændring B r = r B, hvor r er afstandsvektoren fra et punkt inde i S ud til kurven S som der integreres over. Ampères lov er kun gyldig i det kvasistatiske som beskrevet i afsnit 7.4, men i praksis gyldig så længe vi ikke kigger på bølger/stråling, så disse eekter ignorerer vi normalvis og bruger Ampères lov alligevel. Integralform Integrationsretning Kvasistatisk 9 af 6

11 3 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 6 (Beregn det inducerede elektriske felt for en lang solenoide med radius a og n vindinger pr. længdeenhed med en tidsafhængig strøm I(t) (problem 7.15)). B-feltet for en lang solenoide er i den kvasistatiske approksimation B = µ ni(t)ẑ inde i cylinderen og B = udenfor. Er vi inde i cylinderen, har vi derfor uxet gennem en cirkulær ade inde i solenoiden (s < a) givet ved Φ B = πs 2 µ ni(t), mens uxet for s a er givet ved Φ B = πa 2 µ ni(t) og er konstant. Da retningerne φ og z er isotrope, kan det inducerede E-felt kun afhænge af s. Retningen af det inducerede E-felt må være φ jf. højrehåndsreglen. Vi har da for s < a at Faradays lov på integralform siger S For s a har vi E dl = Φ B = πs 2 µ ni E 2πs = πs 2 µ ni E = sµ ni 2 S E dl = Φ B = πa 2 µ ni E 2πs = πa 2 µ ni E = a2 µ ni 2s Og dermed altså, bemærk at E-feltet er kontinuert, har vi: E = φ sµ n I 2 a2 µ ni 2s φ for s < a for s a 3.4 Induktans Hvis man har to lukkede kredsløb givet ved de lukkede kurver γ 1 og γ 2 og sender en strøm Ĭ igennem γ 1, så gælder det at uxet gennem γ 2 er givet ved Φ 2 = B 1 da = M 21 Ĭ S 2 Fra Biot-Savarts lov ses det at B Ĭ og dermed gælder det også generelt atuxet er proportional med strømmen igennem kredsløbet. Sender vi i stedet den samme strøm Ĭ igennem γ 2, og udregner vi uxet igennem γ 1, så får vi Φ 1 = B 2 da = M 12 Ĭ S 1 Neuman-ligningen, der kan bruges til at udregne induktansen 3 M 12 eller M 21 med M = µ dl 1 dl 2 4π S 1 S 2 ı Φ I Neuman-ligningen, viser at M 21 = M 12 = M, og dermed også at Φ 1 = Φ 2. Det er altså ligegyldigt M 21 = M 12 om man udregner uxet gennem γ 1 eller γ 2 ; man kan bare sende strømmen Ĭ igennem den anden og så udregne uxet for denne, og dette er slemt brugbart, hvis fx γ 1 har en kompliceret geometri, mens γ 2 har en simpel geometri. Generelt, så gør man som følger hvis man vil udregne uxet gennem et kredsløb, som skyldes en anden 3 Men er for kompliceret i de este tilfælde til praktisk brug 1 af 6

12 3 ELEKTRODYNAMIK strømkonguration eller induktansen. 1. Vælg det kredsløb, der producerer det simpleste B-felt når Ĭ sendes i gennem den og lad os kalde den γ. 2. Beregn uxet gennem den anden strømkonguration γ ved at udregne Φ = S B da. 3. Vi har da Φ = Φ, og M = Φ/Ĭ = Φ/Ĭ. Når M kendes, kan den elektromotoriske kraft, der induceres i et af kredsløbene udregnes, og man kan evt. udnytte at M 21 = M 12 = M sammen med E = M di dt Eksempel 7 (Et kvadratisk loop med siderne a med strømmen I = kt (negativ omløbsretning) placeret midt mellem et aangt rektangulært loop, der har afstanden 3a i mellem sig, beregn emf i den store rektangel (problem 7.21)). Vi placerer de to rektangler i xy-planen. Det er for kompliceret at beregne M ved at sende strømmen i gennem det lille loop (korte ledninger har ikke et særligt homogent felt, og slet ikke et som vi kan beregne), så vi vælger at sende strømmen I = kt igennem det store rektangulære loop, da denne har et felt, der er givet ved superposition af de to lange ledningers felt, hvis vi ser bort fra endestykkernes biddrag; B 1 = 2 µi 2πy ẑ = µ I πy ẑ. Fluxet gennem det lille kvadrat er da Φ 2 = B 1 da = S 2 2a a a µ I πy dxdy = µ Ia π ln 2 Vi kan da aæse M = µ a π ln 2. Den inducerede elektromotoriske kraft i det store rektangel er da (bemærk at I er en positiv strøm), så vi har E = M di dt = µ a ln 2dkt π dt = µ ak π ln 2 Og det ses at den inducerde strøm løber i positiv omløbsretning, hvilket vi også ville få med Lenz' lov Selvinduktans En strømkonguration påvirker sig selv, da når den producerer et magnetfelt, også skaber et ux igennem sig selv. Da dette ux er proportional med strømmen der sendes igennem strømgurationen, og vi kalder proportionalitetskonstanten L for selvinduktansen. Der gælder altså Φ selv I Selvinduktans L = Φ I Selvinduktansen er ligesom induktansen en ren geometrisk (og positiv) størrelse. Der induceres derfor en elektromotorisk kraft i strømkongurationen, der har størrelsen E back = L di dt 11 af 6

13 3 ELEKTRODYNAMIK E back er den før omtalte back-emf, der opstår som følge af Lenz' lov, og medfører at man ikke bare sådan kan ændre Man skal bemærke at man skal udregne det totale ux, der går igennem strøm- gurationen selv. Dvs., har man noget hvor der er N vindinger, og er Φ 1 uxet gennem én vinding, er det totale ux Φ = NΦ 1 = LI og ud fra denne ligning kan man bestemme L. Back emf 3.5 Ampères lov med Maxwells korrektioner Det viser sig desværre at Ampéres lov er inkonsistent, når man bevæger sig over i elektrodynamikken, da der altid gælder for ethvert vektorfelt X at ( X) = 4. I Ampères lov på dierentialform har vi dog at divergensen bliver ( B) = Maxwells korrektioner µ ( J), men J er generelt ikke nul i elektrodynamikken. For at gøre Ampères lov konsistent i elektrodynamikken, kan man gøre brug af kontinuitetsligningen (afsnit 7.2.1), J = ρ ρ, som vi ved altid er opfyldt. Vi ser at vi kan skrive J = = (ɛ E) = (ɛ E), så trækker vi dette fra på højresiden, så bliver Ampères lov netop konsistent. Vi har således Ampères lov med Maxwells korrektioner: Ampères lov B = µ J + µ ɛ E = µ J + µ J d Vi sætter forskydningsstrømmtætheden lig J d E = ɛ. Dette er ikke en strøm der skyldes ladninger i bevægelse, men udelukkende E, og den tæller derfor heller ikke med i J = J free + J bound. For at få forskydningsstrømmen I d gennem en ade S, skal vi således blot udregne følgende adeintegrale: I d = S J d da = ɛ S E da Vi kan således konkludere at et ændrende E-felt etablerer et B-felt. Vi siger også at et ændrende E-felt inducerer et B-felt. På integralform lyder Ampères lov med Maxwells korrektioner J d B ind S Φ E B dl = µ I enc + µ ɛ E da = µ I enc + µ ɛ S = µ I enc + µ I d Integrationsretning Man skal integere den vej rundt så når E og/eller I enc konstituerer en positiv retning, så vil krydsproduktet E r og/eller I enc r jf. højrehåndsreglen pege i integrationsretningen, hvor r er afstandsvektoren fra E og/eller I enc til kurven. For at nde retningen på B-feltet, bruges igen højrehåndsreglen, der så peger i retning af E î eller I enc î. Retning af B 4 Men bare rolig, det har ikke særlig stor betydning for de beregnede resultater så længe vi er i det kvasistatiske tilfælde, h.v.s. beskæftiger os med strømme, der ændrer sig langsommere end i bølger/stråling. 12 af 6

14 3 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 8 (Beregn det inducerede B-felt fra en tyk cylindrisk ledning med radius a skåret over så enderne har en afstand d i mellem sig, men med en konstant strøm I i gennem hver ende (problem 7.31)). Vi har at det elektriske felt mellem de to plader for a d er givet ved E = σ ɛ ẑ. Vi har dermed det elektriske ux gennem en cirkel med radius s a givet ved Φ E = S E da = S σ ɛ ẑda = σπs2 ɛ = Qs2 ɛ a 2 Det inducerede B-felt kan ikke afhænge af hverken z eller φ, da situationen er isotrop i disse variable, og kan således kun afhænge af s, der er den eneste unikke retning. Retningen af E î er φ, så dette må være retningen af det inducerede B-felt. Og vi får således ved at bruge Ampères lov med Maxwells korrektioner og vores ampereloopm som en cirkel med radius s at S B dl = µ I enc + µ ɛ Φ E ( Qs 2 = µ ɛ ɛ a 2 B dl = B 2πs = µ Is 2 S ) s 2 Q = µ a 2 = µ Is 2 a 2 a 2 B = µ Is 2πa 2 φ, da der jf. kontinuitetsligningen gælder Q og Φ E == Q ɛ, og vi får da: S = I. For s > a har vi at uxet er konstant B dl = B 2πs = µ I B = µ I 2πs φ Nøjagtigt som magnetfeltet fra en ledning, der ikke var blevet klippet over. I praksis vil den pladekondensator som ledningsenderne udgør hurtigt blive ladet op, og strømmen vil derfor hurtigt holde op med at løbe. 13 af 6

15 4 ELEKTRISKE KREDSLØB 4 Elektriske kredsløb Et elektrisk kredsløb er en komposition af en række forskellige komponenter (modstande, spoler, kondensatorer, emf'er), der forbindes med ledninger, der antages at have neglicerbar modstand og kun er endimensionelle (dvs. man taler om strømmen gennem ledningen I = S J da, selvom denne faktisk kun strømmer igennem et innitesimal areal, altså J = Iδ 2 (r)). Derudover skelner man mellem passive komponenter (modstande, kondensatorer, spoler), der ikke kan tilføre kredsløbet energi (kun fjerne det, hvilket kun modstanden af de tre kan), og aktive komponenter såsom transistorer, MOSFETs, OPAMPs osv., der kan tilføre kredsløbet energi. Aktiv og passiv 4.1 Kirchhos love Da der jf. kontinuitetsligningen skal være ladningsbevarelse lokalt såvel som globalt, må det gælde at hvis ladningen dq går ind i et punkt (eller plan, volumen), vil ladningen dq være kommet fra et nærliggende punkt, dvs. ladningen i det nærliggende nu er ændret med dq. Dermed må det altså gælde for vilkårligt mange punkter at i dq i =. Denerer vi nu et knudepunkt som en forgrening i kredsløbet hvor 3 eller ere ledninger samles, har vi derfor at Ladningsbevarelse Iind = I ud gennem dette punkt, hvilket kan skrives som det vi vil kalde Kirchhos første lov, der dermed får udseendet: I i = i Bemærk at der skal regnes med fortegn! Dvs. strøm der løber til knudepunktet med positivt fortegn, og strøm der løber fra knudepunktet regnes med negativt fortegn. I en passiv kreds skal der naturligvis også gælde energibevarelse i kredsløbet, hvilket synes meget intuitivt. Under denne antagelse, der afstedkommer at medregnes eekten der afsættes i modstanden, har vi da at for alle modstande i kredsløbet R i hvorigennem der hver løber en strøm I i, har vi Kirchhos 1. lov Fortegn P i R i I 2 i = de felter dt i R i I 2 i =, dvs. at energien der afsættes i modstanden må jf. energibevarelsen komme fra E- og B-felterne i kredsløbet. I idealiserede kredsløb, har vi intet E = B = E = B = i ledninger i ledningerne, og vi har derfor kun at felterne er forskellige fra nul i modstande, kondensatorer, og spoler, hvor energien således kan yttes rundt i mellem. Kigges Maske der på spændingen, hvorom der må gælde for enhver lukket tur rundt i kredsløbet, en maske, da må gælde at V =, da dette er konsekvens af energibevarelsen, siden at 14 af 6

16 4 ELEKTRISKE KREDSLØB det totale arbejde der udføres på elektronerne skal være lig nul, da E = q V = 5. Over hver af de tre typer passive komponenter, kan man tale om det karakteristisk spændingsfald som værende det spændingsfald man vil måle med et ideelt voltmeter over komponentet. Spændingsfaldet over en modstand R i er Karakteristiske spændingsfald V Ri = R i I i, (Ohms lov) mens spændingsfaldet (nærmere bestemt, spændingsforskellen) over en kondensator C i er pr. denition V Ci = Q i /C i. Når der går en strøm igennem en spole med induktansen L i, har vi at dette giver en back-emf (induceret emf) givet ved E Li = L i di i dt, jf. Faradays lov. Ligeledes vil der over hver emf (batteri, strømforsyning, samt uxændringer ikke fra spolerne i kredsløbet) et spændingsfald E i, såfremt der antages at det er ideelle emf'ere uden indre modstand (hvis der er indre modstand, tages dette med som en seriekobling af mellem emf'en og resten af kredsløbet). Tages der højde for den korrekte retning af disse spændingsfald, forstået på den måde at vi konsekvent måler spændingsfaldet mellem et punkt før komponentet og et punkt efter (men før det næste igen), så får vi Kirchhos anden lov, der siger: Kirchhos 2. lov emf er E i = spoler L i di i dt + kondensatorer Q i C i + modstande Eksempel 9 (Brug af Kirchhos første lov til at nde ud af hvad en strøm skal være).. Lad os antage at strømmen I 1 = I cos ωt og strømmen I 2 = I går ind i et knudepunkt, og strømmene I 3 = 2I cos ωt og I 4 = 2I og I 5 =? forlader knudepunktet, hvad skal I 5 være? Besvarelse: Kirchhos første lov giver at I 1 + I 2 I 3 I 4 I 5 =, og vi har derfor I 5 = I cos ωt + I 2I cos ωt 2I = I (1 + cos ωt) Parallelkoblinger og seriekoblinger af komponenter R i I i Ved at anvende Kirchhos love, kan man nemt opstille en række regneregler for hvordan man kan erstatte komplicerede forgreninger i et kredsløb af fx. to modstande parallelt med hinanden med en såkaldt eektiv værdi for de karakteristiske parametre, R eff, C eff, L eff. Eektiv værdi 5 Denne udledning er mere intuitiv og ikke helt stringent. Udledningen på side 2 i Noterne viser mange ere af detaljerne i udviklingen af Kirchhofs anden lov. 15 af 6

17 4 ELEKTRISKE KREDSLØB Komponenttype Seriekobling af X 1 og X 2 Parallelkobling af X 1 og X 2 Modstande R eff = R 1 + R 2 R 1 eff = R R2 1 Kondensatorer C 1 eff = C C 1 2 C eff = C 1 + C 2 Spoler L eff = L 1 + L 2 L 1 eff = L L 1 2 Bemærk at det ingen mening giver generelt at tale om parallelkobling af to forskellige komponenter; da må man ty til de generelle Kirchhos love for at løse det problem. Eksempel 1 (Parallelkobling af 2 modstande, som seriekobles med en tredje). Lad os sige at R 1 er parallel med R 2. Vi har da R = ( R1 1 + R2 1 ) 1 = R 1 R 2 R 1 +R 2, og seriekobling med den tredje modstand R 3 giver R eff = R 3 + R = R 3 + R 1R Anvendelse af Kirchhos love R 1 +R 2. Forcen ved Kirchhos love, er at de kan bruges til at få opstillet en række ligninger, der kan bruges til at nde strømmene i kredsløbet. Der kan naturligvis være en masse forgreninger i kredsløbet med en masse knudepunkter, hvor man så bruger Kirchhos love ved at vælge en maske, altså en lukket tur rundt i kredsløbet. Man kalder de ubekendte strømme til og fra knudepunkterne entydigt bestemte navne, når man passerer dem på sin tur (anvendelse af anden lov), og opskriver strømmen til og fra knudepunkterne (anvendelse af første lov). Udover at give strømme navne, laver man også et gæt på deres retning i overensstemmelse med første lov mens man opskriver ligningerne, og dette valg skal være konsistent, ellers få den forkerte/ingen løsning. Retningen man gætter på strømmen bevæger sig gennem knudepunkterne er bortset fra dette ligegyldig. Denne proces fortsættes indtil at man har nok ligninger til at kunne løse dem med fx computer. Man skal dog være opmærksom på at optræder der uxændringer i kredsløbet andre steder end i spolerne, der er taget højde for, må man enten ty direkte til Faradays lov, eller addere biddraget fra den inducerede emf på venstre side af Kirchhos anden lov 6. 6 Det er nok af denne grund at forelæseren sehr witzig påpeger at lovene bør kaldes Kirchhos regelmæssigheder, der nogen gange holder. Gyldighed 16 af 6

18 4 ELEKTRISKE KREDSLØB Eksempel 11 (Anvendelse af Kirchhos love på kredsløb). Vi vil opstille Kirchhos love for ovenstående kredsløb. Vi vælger maskerne (blå, rød, grøn, der hver har sin rektangel i kredsløbet) og vores gæt på strømretningerne og deres navne som på tegningen. Vi har at Kirchhos første lov giver os at I = I 1 + I 2 + I 3. Kirchhos anden lov giver os da ved den blå maske E = R 1 I + R 2 I 1, for den røde maske = Q 2 C R 2I 1, den grønne maske = L di 3 dt Q 2 C. Dette er re ligninger med re ubekendte som man da kan opstille en dierentialligning ud fra. 4.2 Jævnstrømskredsløb Figur 1: Generelt seriekoblet kredsløb. Ved et jævnstrømskredsløb forstås et kredsløb hvor emf'en der driver kredsløbet t < [efter en rum tid ihvertfald] er konstant. Dvs. oftest af formen E =, E t hvilket også kan symboliseres med en kontakt som på ovenstående gur. Herunder er beskrevet de mest normale seriekoblede kredsløb med en konstant emf af ovenstående type, der har nogle karakteristiske løsninger. 17 af 6

19 4 ELEKTRISKE KREDSLØB RC kredsløb Et kredsløb bestående af en modstand R og en kondensator C i serie (på guren, svarer dette til L = ). Kirchos anden lov giver os her at kredsløbet for t opfylder E = RI + Q/C, hvilket giver dierentialligningen RC kredsløb E = R dq dt + 1 C Q, som når løses for Q har den generelle løsning givet ved panserformlen: Q(t) = 1 e 1 RC dt Kræves det at Q() =, har vi 1 e RC dt CE dt = CE + Ke t RC ( ) Q(t) = CE 1 e t RC Konstanten τ = RC kaldes den karakteristiske tid, og beskriver hvor lang tid det tager at for kondensatoren at lade op til 63% af maksimalværdien (Q = CE ), og ligeledes er 2τ tiden for at lade kondensatoren 87% op, 3τ 95%, 4τ 98%, 5τ 99% osv. Karakteristisk tid RL kredsløb Et kredsløb bestående af en modstand R og en spole L i serie (på guren svarende til C = ). Kirchhos anden lov giver os for t opfylder E = RI + L di dt, hvilket når løses for I giver den generelle løsning I(t) = 1 e R L dt Kræves det at I() =, har vi R e L dt E R dt = E R + Ke R L t I(t) = E (1 e R t) L R Konstanten τ = L R kaldes den karakteristiske tid, og beskriver hvor lang tid det tager at for strømmen gennem kredsen at lade op til 63% af maksimalværdien (I = E R ), og ligeledes er 2τ tiden for at lade kondensatoren 87% op, 3τ 95%, 4τ 98%, 5τ 99% osv. RL kredsløb Karakteristisk tid LC kredsløb Et kredsløb bestående af en kondensator C og en spole L i serie. Et ikke fysiskkorrekt system, da der altid vil være en hvis modstand i kredsen, men er en rimelig god approksimation til de este RCL-kredsløb når modstanden er lille. Dette er en svingningskreds, hvor man ser at løsningerne er en cosinus-funktion, der har konstant amplitude (kredsløbet mister ingen energi, da der ingen modstand er). Kirchhos anden lov giver at kredsløbet opfylder dierentialligningen LC kredsløb E = L di dt + Q C, 18 af 6

20 4 ELEKTRISKE KREDSLØB som ved dierentiering kommer på formen: der har den generelle løsning d 2 I dt 2 = I LC, ( ) 1 I(t) = I cos t + φ = I cos (ω t + φ), LC, hvor I og φ bestemmes af startbetingelserne. ω = 1 LC kaldes den naturlige vinkelhastighed RLC kredsløb Det mest generelle af de seriekoblede kredsløb, og langt det mest komplicerede. Modstanden R virker her dæmpende, da den begrænser strømmen og der går en strøm gennem kondensatoren C, såfremt der er en ændring i spændingen over den, og spolen med selvinduktion L inducerer en spænding i kredsløbet, hvis strømmen ændrer sig. Kirchhos anden lov giver da: som ved dierentiering (her har vi de dt L di dt + RI + 1 C Q = E, = ), og vi får dermed d 2 I dt 2 + R di L dt + 1 LC I =. Denne andenordens ODE har løsninger, der bestemmes ud fra den karakteristiske lignings rødder: r = R L ± r 2 + r R L + 1 LC = ( R ) 2 L 4 LC 2 = R L ± 1 L R 2 4 L C Vi ser da at vi igen har tre muligheder for diskriminanten, som vi deler løsningerne op efter: 2 R 2 > 4 L C : Denne ligning har rødderne: r 1 = R L + 1 L R 2 4 L C 2 Her er løsningen givet ved:, r 2 = R L 1 L R 2 4 L C 2 I(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t Begge rødderne er negative, så for t, har vi I(t). Der vil ikke være nogen oscillation. 19 af 6

21 4 ELEKTRISKE KREDSLØB R 2 = 4 L C : af typen: Dobbeltroden for denne løsning er givet ved r = R 2L. Her har vi løsning I(t) = c 1 e R 2L t + c 2 te R 2L t Igen ligner denne meget den forrige løsning, og vi har ikke en rigtig oscillation. R 2 < 4 L C : Kun ved denne situation får vi harmonisk oscillation. Her har vi de to konjungerede komplekse rødder givet ved: r = R ( ) 2L ± i 1 R 2 LC = R 2L 2L ± iω n 1 Ved at sætte kredsløbets naturlige vinkelhastighed lig ω n = LC ( R 2 2L), har vi reduceret løsningernes størrelse væsentligt. Den generelle løsning er af typen Naturlig vinkelhastighed I(t) = I e R 2L t cos (ω n t + φ) Stømmen i kredsløbet vil oscillere, skifte retning, men størrelsen af den aftage eksponentielt med den karakteristiske tid τ = 2L R, da der overføres energi ud af kredsløbet gennem modstanden R. Karakteristisk tid RLC kredsløb med tidsafhængig emf Den generelle løsning til dierentialligningen d2 I + R di dt 2 L dt + 1 LC I = de(t) dt, en inhomogen ODE, er givet ved I = I p + I h, hvor I p er en partikulær løsning til ligningssystemet, som kan beregnes som nedenfor, og I h = I e R 2L t cos (ω n t + φ) er den generelle løsning til den homogene ligning. Den partikulære løsning kan lettest beregnes komplekst ved: Partikulær løsning Ĩ p (t) = ie ( R 2L iωn)t de(t) dt e ( R 2L +iωn)t 2Lω n e R L t dt ie ( R 2L +iωn)t de(t) dt e ( R 2L iωn)t 2Lω n e R L t dt, hvor realdelen skal tages for at få den reelle strøm, dvs. I p = R [Ĩp ]. Er emf'en på formen Ẽ(t) = Ẽe iωt, har vi at Ĩp(t) = Ĩe iωt - et resultat som også fremkommer ved vekselstrømskredsløb, når man ser bort fra den transiente opførsel. 4.3 Vekselstrømskredsløb Kirchhos love for vekselspænding Som det sås i afsnit 1.2.5, så er løsningerne til bare et RCL-kredsløb med en simpel tidsafhængig emf en større omgang at regne ud. Dette skyldes at der i løsningerne tages højde for indsvingningsfænomener lige efter vi tænder for emf'en (den homogene del af den generelle løsning), de såkaldte transienter. Dette er for det meste ikke noget man er interesseret i at vide af alligevel, da de meget hurtigt forsvinder, og derfor kun har en lille påvirkning på kredsløbet. Transienter 2 af 6

22 4 ELEKTRISKE KREDSLØB Det ses at når man indfører de komplekse strømme Ĩ og emf'ere Ẽ og antager at disse begge er på formen Ãe i(ωt+φ), så ignorer man automatisk den transiente opførsel af kredsløbet. Disse antagelser om strømmene og emf'erne opfylder Kirchhos love og kan derfor bruges til at nde løsninger til kredsløb hvor der indgår tidsafhængige emf'ere på formen Ãe i(ωt+φ). Emf'erne skal sådan set blot være på formen E cos(ωt + φ), da vi blot skal substituere cos(ωt + φ) e i(ωt+φ) for at de opfylder Kirchhos ligninger på kompleks form, og husker på at den rigtige emf er realdelen R [ E e i(ωt+φ)]. Det ses yderligere ved at absorbere faseforskydningen φ i strømmen eller emf'en ind i den komplekse amplitude, kan vi altid skrive disse på formen Ĩ = Ĩ e iωt og Komplekse amplituder Ẽ = Ẽ e iωt. Således behøves vi faktisk kun regne på de komplekse amplituder Ĩ, Ẽ og kan derfor helt glemme den eksponentielle funktion (den går også ud ved division). Kompleks Kirchhos 1. Kirchhos første lov får da udseendet lov Ĩi = i Ved blot at sætte ind i Kirchhos anden lov (integrere Ĩ for at få den komplekse ladning og dierentere for at få dĩ/dt), får vi da Kompleks Kirchhos 2. lov emf er Ẽ i = spoler iωl i Ĩ i + kondensatorer i ωc i Ĩ i + modstande Således har vi under denne antagelse muliggjort at vi kan opskrive maskeligninger og knudepunktsligninger som normalt med de generelle Kirchhos love og får således et sæt af ligninger som kan løses for Ĩ i. Den komplekse strøm udregnes derefter ved at gange den komplekse eksponentialfunktion på så vi har Ĩi = Ĩ i e iωt. Den rigtige strøm gennem kredsløbet er således blot realdelen af Ĩi, ] dvs. I i = R [Ĩ i e iωt. Eksempel 12 (Opskriv den komplekse emf for E(t) = 5 V sin (ωt)). Vi har E(t) = 5 V sin (ωt) = 5 V cos (ωt + π/2). Dermed er Ẽ = 5 Ve i(ωt+ π 2 ) = i5 Ve iωt Impedans, kompleks Ohms lov R i Ĩ i Figur 2: Opførsel af strøm og emf for et restitivt, kapacitivt og induktivt kredsløb. Det ses at når vi løser ligningerne opstillet af de komplekse versioner af Kirchhos love, så får vi altid at Ĩ i Ẽ i, og denne proportionalitetskonstant Z kaldes for impedansen (eller om man vil, den eektive impedans). Dvs. vi har altså Impedans 21 af 6

23 4 ELEKTRISKE KREDSLØB Ẽ i = ZĨ i,, der minder så frygtelig meget om Ohms lov for de reelle strømme og emf'er at vi kalder denne sammenhæng for den komplekse Ohms lov. Impedansen Z kan altid skrives på formen Z = R + ix, hvor R er modstanden i kredsløbet, og X er reaktansen, der generelt er en funktion af vinkelfrekvensen ω. Vi kan indføre en konstant φ som kaldes faseforskydningen, og som netop er argumentet for Z, altså φ = arctan ( ) X, R Kompleks Ohms lov Reaktans Faseforskydning dvs. at vi kan skrive Z = Z e iφ = R 2 + X 2 e iφ. Såfremt vi skriverẽ = Ẽ e i(ωt+θ), så kan vi dermed altså skrive den komplekse strøm som Ĩ = Ẽ Z = 1 Ẽ = Z Ẽe iφ Z e i(ωt+θ+φ) Derfra ses det også at Ĩ = Ẽ / Z. Har vi X < er kredsløbet kapacitivt, hvilket betyder at kredsløbet opfører sig som at der er en kapacitor i kredsløbet, og ingen spole. Dette medfører også da vi så har φ < 7 at strømmen kommer før emf'en (dermed kommer den intuitive forståelse af at faseforskydningen er negativ). Når vi har X >, er kredsløbet induktivt, og opfører sig derfor som om at der kun var en spole og ingen kapacitor i kredsløbet. Således har vi her at strømmen kommer efter emf'en, da vi har φ >. Har vi X = er kredsløbet resistivt, og da er strøm og emf i fase. Kapacitivt kredsløb Induktivt kredsløb Eekt og arbejde Eekten der afsættes i kredsløbet af emf'en er som sædvanligt P = IE. Vi kan skrive dette som Eekt ] P = R [Ĩ = Ẽ 2 Z ] R [Ẽ = Ĩ cos (ωt + θ + φ) Ẽ cos (ωt + θ) cos (ωt + θ + φ) cos (ωt + θ). Dvs. eekten er sinusial. Middeleekten afsat over en periode i kredsløbet er deriomod Middeleekt P = = T Ẽ 2 P dt = 2 Z cos φ. Ẽ 2 Z 2π/ω cos (ωt + θ + φ) cos (ωt + θ) dt Således ses det at desto større den nummeriske værdi af faseforskydningen er, 7 arctan er en monoton voksende funktion, og det gælder arctan x < for x < og arctan x > for x >. Dermed er φ > når X > og omvendt. 22 af 6

24 4 ELEKTRISKE KREDSLØB desto mindre eekt bliver der afsat i kredsløbet. Der afsættes mest for φ =, hvor strøm og emf er i fase, og intet når der ingen modstand er i kredsen, da φ = arctan ( ) ( X R = arctan X ) = ± π 2 og dermed er P =. Vil vi i stedet for Eekt afsat i modstand at nde eekten afsat i hele kredsen, nde eekten afsat i en enkelt modstand R, har vi P = Ẽ 2 R 2 Z 2 cos φ, da forholdet R/ Z er en spændingsdeling, så R Ẽ / Z er spændingsfaldet over modstanden Parallel og seriekobling af impedanser Der gælder at den eektive impedans Z eff for en seriekobling af to impedanser Z 1 og Z 2 blot er summen af de to Seriekobling Z eff = Z 1 + Z 2. Ligeledes har vi at den eektive impedans Z eff for en parallelkobling af to impedanser Z 1 og Z 2 blot er summen af de to Parallelkobling Begge kan vises med Kirchhos love. Z 1 eff = Z Z Generel emf: Fourierrækkeløsning Haves et kredsløb med en T -periodisk emf E(t) med et vilkårligt udseende, kan vi udnytte at Hilbertrumsteorien tillader os at skrive E som en Fourierrække 8. Dvs. at vi kan skrive Fourierrække for E E = n= c n e iωnt = n= hvor Fourierkoecienterne c n for f er givet ved 2πn i c n e T t, c n = 1 T T E(t)e iωnt dt = 1 T T E(t)e i 2πn T t dt. Vil man gerne omskrive Fourierrækken så den skrives som en sinus- og cosinusrække på formen Sinus-/cosinusrække E = a + a n cos (ω n t) + b n sin (ω n t), n=1 udregnes a n og b n ud fra c n ved 8 Der kræves at E er Lebesgue-integrabel med T E 2 dt <, men dette vil stort set alle funktioner man kan nde på være (vildt diskontinuert er intet problem), så det behøves man ikke tænke over. 23 af 6

25 4 ELEKTRISKE KREDSLØB a = c a n = c n + c n b n = i ( c n c n ), og ligeledes kan man ud fra disse ligninger nde c n ved at invertere dem. Fysisk set betyder det at vi kan opskrive Fourierrækken for E(t), at vi kan danne vores emf E(t) som en superposition af en masse emf'ere bestående af rene svingninger med forskellig vinkelfrekvens og forskellig amplitude. Disse rene svingninger som E(t) består af kan vi da hver for sig se hvordan påvirker vores kredsløb (dvs. opskrive de komplekse Kirchhos love for kredsløbet), netop fordi superpositionsprincippet også holder for passive elektriske kredsløb fordi at de bestemmene dierentialligninger er lineære. Vi vil oftest bruge den komplekse skrivemåde E = n= c ne iωnt, da vi således allerede har at E er skrevet på kompleks form som vi gerne vil have det når vi vil anvende de komplekse versioner af Kirchhos love. For hvert n Z \ {} har vi at det n'te biddrag til den samlede emf er Ẽn = c n e iωnt, og vi kan derfor opskrive den komplekse amplitude for hver af biddragene, nemlig c n = Ẽ n = Ẽ n e iθn og derefter anvende Kirchhos love og løse for Ĩ n,i. For at få den totale komplekse strøm, summeres alle biddragene til Ĩi da blot, dvs. Biddrag til Ẽ Ĩ i = = n= n= Ĩ n,i = En n= Ĩ n,ie iωnt Z n e i(ωnt+θn+φn). Bemærk at vi oftest sætter ϕ n = θ n + φ n ved simpelthen at skrive Ĩ n,i = E n Z n e i(ω nt+ϕ n) dvs. simpelthen udregne ϕ n som argumentet for det komplekse tal Ĩn,i. Dog vil vi ved dette have at ϕ n kun er faseforskydningen som deneret, når θ n =. Den reelle strøm er realdelen af Ĩi, dvs. at vi får [ ] I i = R [Ĩi = R = n= ] [ En Z n= n e i(ωnt+θn+φn) = R n= En Z n cos (ω nt + θ n + φ n ) = cos (ω nt + ϕ n ) n= E n Z n E n Z n e i(ωnt+ϕn) For n = (leddet med konstant strøm) skal man, hvis man vil se bort fra den transiente opførsel af kredsløbet huske at kondensatoren har uendelig stor impedans overfor en konstant strøm, og denne vil derfor ikke passere igennem kondensatoren. En spole har har impedansen overfor en konstant strøm, så denne virker bare som en kortslutning, og for en modstand er Ohms lov opfyldt. ] Konstantstrømleddet 24 af 6

26 4 ELEKTRISKE KREDSLØB Eekt og arbejde for en generel emf Når vi skriver en generel T -periodisk emf E(t) ] [Ẽ] som dens Fourierrække, så har vi at eekten der afsættes i kredsen, P = R [Ĩ R, kan udregnes for hver det n'te biddrag uafhængigt af hinanden, dvs. P = R = [ n= n,m= Ĩ ne iωnt ] R [ n= E n e iω nt In cos (ω n t + θ n + φ n ) Em cos (ω m t + θ m ) Vil vi i stedet nde middeleekten over en hel periode, kan vi udnytte ortogonalitetsrelationerne for cos, da leddene kun vil være forskellige fra nul når n = m. Således får vi ] Eekt Middeleekt P = T P dt = In En 2π/ω + = In En + = In En n= n,m= In En 2π/ω n= In En cos (φ n ), In cos (ω n t + θ n + φ n ) Em cos (ω n t + θ n ) dt cos (ω n t + θ n + φ n ) cos (ω n t + θ n ) dt hvilket er det samme som blot at summere en eekten der afsættes af biddraget for hver emf. Bemærk at indgår der en kondensator i kredsløbet, er impedansen for n = uendelig stor, og biddraget til eekten for konstantleddet P =. Indgår der ikke en kondensator (men kun spoler og modstande, har vi P = In En. Bemærk at oftest får man et simplere udtryk for Fourierrækken ved at omskrive til formen Konstantled E(t) = c n e iωnt E(t) = c + c n e iωnt + c n e iωnt. n= n=1 Yderligere fås da, hvis vi har at c n = c n, hvilket betyder at E(t) er en lige funktion, så kan vi skrive c n = c n ( E(t) = c + c n e iω nt + e iωnt) = c + = a + n=1 2 c n cos (ω n t) n=1 a n cos (ω n t). n=1 Har vi at c n = c n, så kan vi skrive c n = c n 25 af 6

27 4 ELEKTRISKE KREDSLØB ( E(t) = c + c n e iω nt e iωnt) = c + = a + n=1 i2 c n sin (ω n t) n=1 b n sin (ω n t). n=1 I dette tilfælde er E(t) en lige funktion hvis a =. 26 af 6

28 5 GENERELLE BØLGER 5 Generelle bølger 5.1 Bølgers natur Bølger er et fænomen, der optræder i mange forskellige afskyninger. Generelt kan man denere en bølge som fænomener, der kan transportere energi uden at transportere masse eller ladning, eller som en forstyrelse af et felt eller et medium. Nogle vil også gerne denere bølger ved at de kan intefere - en måske bedre og ihvertfald bredere denition. Enhver bølge opfylder bølgeligningen, der generelt har udseendet (i tre dimensioner) 2 f (r, t) = 1 2 f (r, t) v 2 2, hvor f (r, t) er amplituden af det felt eller medium som bølgen propagerer igennem, og derved kan bruges til at beskrive bølgen. v kan opfattes som farten hvormed denne forstyrelse forplanter sig igennem feltet eller medium med. Netop da bølgeligningen er en lineær PDE, gælder superpositionsprincippet, og man behøves derfor ved studiet af bølger kun koncentrere sig om sinusodiale bølger. Ved at indføre bølgevektoren k så denne opfylder relationen med vinkelhastigheden ω og udbredelseshastigheden v, at k v altid, dvs. ω = k v = kv. Dermed bliver den generelle sinusodiale bølge af formen 9 Denition Bølgeligningen Bølgevektor k f (r, t) = A cos (k (r vt)) = A cos (k r ωt). Da en enhver løsning til hvad man end måtte have af randbetingelser og/eller begyndelsesbetingelser kan skrives som en (uendelig) sum af sinusodiale bølger med forskellig vinkelhastighed ω og bølgevektor k - hastigheden af alle bølgerne er altid v. Faktisk kan Fourierrækketeorien hjælpe os med at nde løsningen, ved fx at kunne beregne Fourierkoecienterne til en-eller-anden form som bølgen har til t =, da Fourierkoecienterne da svarer til amplituden af de individuelle bølger som den totale bølge består af. Faktisk går man endnu videre end det (fordi det bliver nemmere at regne på når der laves superpositioner), og indfører den komplekse notation, og opskriver Superposition af bølger Kompleks notation f = Ãei(k r ωt), ved at huske på at den fysiske bølge som vi er interesseret i er givet ved realdelen af f, dvs. [ ] f = R f. f opfylder også bølgeligningen, selvom den er kompleks. 9 Den sinusodiale bølge ses at opfylde bølgeligningen, da vi ved at gøre prøve får 2 (A cos (k r ωt)) = k 2 f og 1 2 (A cos (k r ωt)) = ω2 f = k 2 f, og dermed har vi v 2 2 v 2 at de to ligninger er ens, og bølgeligningen er dermed opfyldt. 27 af 6

29 5 GENERELLE BØLGER 5.2 Propagation af bølger og polarisering af bølger Den komplekse bølge f en forstyrelse af et felt eller et medium og som udgangspunkt en skalar, men det vides at denne forstyrelse sker i retningen v, hvilket er underforstået. Dermed vil man kunne registrere i et givent punkt r langs retningen v, at f vil variere (realdelen vil). Hvis f kun er ændringen i et skalarfelt, giver det bedst mening at lade den blive på denne form. Hvis f derimod er en ændring i [et komponent] af et vektorfelt, så giver det i stedet bedre mening at snakke om at f ændres i en retning n i rummet, kaldet polariseringsvektoren, så f får en vektorstruktur ved at skrive Propagation Polariseringsvektor f = f n = Ãe i(k r ωt)n. Dette vil det fx. gøre for elektromagnetiske bølger (vektorfelter), men ikke for lydbølger, der beskrives ved ændringen i trykket (skalarfelt), selvom trykændringerne, kræfterne på luftmolekylerne sker langs udbredelsesretningen.har vi at forstyrelsen af feltet eller mediet sker vinkelret på udbredelsesretningen, kaldes bølgerne transverse, og der må gælde Transverse bølger k n =. n kan for transverse bølger derfor være en hvilken som helst enhedsvektor i planen vinkelret på udbredelsesretningen. Har vi i stedet at k n, kaldes bølgerne longitudinale bølger, da forstyrelsen af feltet eller mediet sker i samme retning som bølgen udbreder sig. Longitudinale bølger Sammenhænge og formler Det skal bemærkes at k altid skal have størrelsen k = k = ω/v uanset hvilken retning den peger i. Har man altså udbredelsesretningen for bølgen (a, b, c), som kan aæses fra prikproduktet k r = ax + by + cz skal denne normaliseres, dvs. k = (a, b, c) / a 2 + b 2 + c 2, så er k givet ved k = ω/v a 2 + b 2 + c 2 a b c. Vi har yderligere at størrelsen af k kan udtrykkes på en række forskellige måder: k = 2π λ = 2π T v = 2πν v Farten af udbredelsen kan udtrykkes som: = ω v Udbredelsesretning k v Vinkelfrekvensen kan udtrykkes som: v = λν = λ T = ω k ω ω = 2πν = 2πv λ Frekvensen kan udtrykkes som: = 2π T = vk ν 28 af 6

30 5 GENERELLE BØLGER ν = ω 2π = 1 T = vk 2π Periodetiden kan udtrykkes som: T = 2π ω = 1 ν = 2π vk Bølgelængden kan udtrykkes som: T λ λ = 2π k = 2πv ω = v ν = vt 5.3 Planbølger Den generelle sinusodiale bølge Planbølge f = Ãei(k r ωt), er faktisk hvad vi vil kalde for en planbølge, da den har uendelig stor udbredelse i planen ortogonal på bølgevektoren k, dvs. planen givet ved ligningen Udbredelsesplan k r = 5.4 Den endimensionale bølgeligning Bølgeligningen er en anden ordens lineær PDE, og ses i det én dimensionelle tilfælde at have udseendet Éndimensional 2 f (z, t) = 1 v 2 2 f (z, t) 2, når det antages at forstyrelsen af feltet kun afhænger af z-retningen. Det ses også at vi har den generelle løsning for f på formen: f (z, t) = g(z vt) + h(z + vt) = g(kz ωt) + h(kz + ωt), hvilket svarer til summen af en bølge der propagerer i z-retningen, h, og en der propagerer i z-retningen g. På kompleks form giver dette f (z, t) = Ã e i( kz ωt) + Ã+e i(kz ωt) Grænsebetingelser Figur 3: Hvordan den reekterede bølge ser ud, afhænger af k 1 og k af 6

31 5 GENERELLE BØLGER Der gælder generelt for bølger at de skal overholde visse grænsebetingelser når bølgen går fra medium/felt til et andet. Deres forstyrelse i mediet/feltet f skal være kontinuert og dens aedte ligeså kontinuert, så det implikerer at der er energi- og impulsbevarelse mv. Det mest generelle vi kan forestille os for éndimensionalle bølger er at den indgående bølge vil delvis blive reekteret (bevæger sig langs og delvis transmitteret over i det nye medium/felt. Vi skriver den indgående bølge på formen Grænsebetingelser Indgående bølge den reekterede bølge f I (z, t) = ÃIe i(k 1z ωt), Reekterede bølge f R (z, t) = ÃRe i( k 1z ωt), og den transmitterede bølge på formen Transmitterede bølge f T (z, t) = ÃT e i(k 2z ωt). Skal grænsebetingelserne opfyldes, kommer dette ud på at der skal være følgende sammenhæng mellem de komplekse amplituder à R = k 1 k 2 k 1 + k 2 à I à T = 2k 1 k 1 + k 2 à I à R = v 2 v 1 v 1 + v 2 à I à T = 2v 2 v 1 + v 2 à I. Det ses at når k 2 > k 1, så vil de reekterede bølge vende på hoved (18 grader ude af fase), og hvis k 2 < k 1 er alle bølgerne i fase. 5.5 Stående bølger Leder vi efter løsninger til den endimensionalle bølgeligning med randbetingelserne f (, t) = f (L, t) =, svarende til at forstyrrelsen af mediet eller feltet er nul i to punkter i rummet, z = og z = L, får vi at løsningerne på z [, L] er stående bølger. Den mest generelle (komplekse) en dimensionelle sinusiodale bølge f (z, t) = à e i( kz ωt) + Ã+e i(kz ωt) opfylder randbetingelserne hvis Stående bølger à = Ã+, og ω = ω n = vπ L n, n N. For hvert n har vi dermed at den reelle bølge ( ωn ) f n (z, t) = A sin v z cos (ω n t), opfylder randbetingelserne og bølgeligningen. Det ses at et punkt z på bølgen blot oscillerer op og ned med en tidsafhængighed og en periode T = 2π/ω n, men 3 af 6

32 5 GENERELLE BØLGER ellers ikke bevæger sig. Det ses at f n =, kaldet nodepunkter, til alle tider når ω n v z = πm, m, n N, hvilket kan omskrives til følgende udtryk Noder z = Lm n, m, n N z = λm 2, m N, såfremt z < L, samt selvfølgelig i z = og z = L. Ligeledes har vi antinoder der hvor f n er maksimal (til skiftende tider), hvilket sker når ωn v z = π ( m 1 2), m, n N, hvilket kan omskrives til følgende udtryk Antinoder z = L ( m 1 ) n 2 z = λ ( m 1 ) 2 2, m, n N, m N. Ved at bruge Fourierrækketeorien, kan vi opskrive den helt generelle form for en stående bølge, der ikke nødvendigvis er en ren svingning, men som kan skrives som bestående af superpositionen af uendelig mange stående bølger. Har denne bølge til t = formen g(z), kan vi skrive den som en ren sinusrække og få Vilkårlig stående bølge g(z) = b n = 2 L L n=1 og den stående bølge kan da skrives som 5.6 Sfæriske bølger f(z, t) = n=1 ( ωn ) b n sin v z ( ωn ) g(z) sin v z dz, ( ωn ) b n sin v z cos (ω n t). Vil man gerne beskrive bølger der udbreder sig i kugler væk fra en bølge kilde i origo uden at lave superposition af uendelig mange planbølger (hvilket man godt kunne), kan man i stedet lave en approksimation til sfæriske bølger. Kigger vi på bølgeligningen i sfæriske koordinater ( 2 1 f (r, θ, φ, t) = r 2 r 2 f ) + r r 1 r 2 sin θ ( sin θ f ) + θ θ 1 2 f r 2 sin θ φ 2 = 1 2 f v 2 2, og antager vi at der ingen vinkelafhængighed er, dvs. bølgen er symmetrisk og kun udvikler sig i den radiale retning, så får den formen ( 1 r 2 r 2 f ) (r, t) = 1 2 f (r, t) r r v 2 2. Sfærisk bølge 31 af 6

33 5 GENERELLE BØLGER Vi burde forvente at bølgens amplitude aftager efterhånden som den bevægede sig væk fra r =, og det ses at prøver vi den simple model f (r, t) = Ãei(kr ωt) r så opfylder den bølgeligningen. Udbredelsen sker i den radiale retning hvis feltet/mediet har vektorstruktur, og amplituden går som 1/r. Derfor burde man egentlig skrive, f (r, t) = Ã ei(kr ωt) r. r Kigger vi på bølgen omkring et punkt z på z-aksen dvs. r = (x, y, z + z ) under antagelse af at x, y, z z, får vi jf. appendix at r z + z + x2 +y 2 2z bølgen tilnærmelsesvis kan beskrives ved Sfæriske bølgers udbredelse langt væk f (r, t) Ãei Ãei ( ( ) k z +z + x2 +y ) ωt 2 2z ( r ) k(z +z )+k x2 +y 2 ωt 2z z +z ) ωt) Ãei(k(z z = Ãeikz z e i(kz ωt), altså en planbølge. Dvs. at går man tilstrækkelig langt væk fra bølgekilden, ligner det altså at den udbreder sig som en planbølge over et lille område. 5.7 Interferens kaldet destruktiv interferens. Til den generelle superposition af to bølger f 1, f 2 må man analysere situationen nøje for at nde ud af hvor der kunne være tidslig eller rumlig interferens, men det vil man oftest ikke blive bedt om i regneeksempler. Man vil bruge symmetrier i opsætningen, fx hvis der er ens amplitude, vinkelhastighed eller bølgevektorerne står ortogonalt på hinanden. Derefter vil man oftest gøre nogle approksimationer omkring punktet man er interesseret i, således at bølgen approksimeret bliver en planbølge. Til den generelle superposition af to planbølger f 1, f 2 Bølger kunne jo på sin vis deneres ved deres evne til at interferere med hinanden. Har vi to (plan)bølger f 1 og f 2 i et skalarfelt (eller ét koordinat af et vektorfelt), er den resulterende bølge jf. lineariteten af bølgeligningen blot summen af de to, altså f res = f 1 + f 2. Herfra kan man så undersøge forskellige koordinater i rummet eller tiden, hvor f res er maksimal, kaldet konstruktiv interferens, eller hvor fres =, Konstriktiv og destruktiv interferens Superposition af to bølger Planbølger f res = f 1 + f 2 = Ã1e i(k 1 r ω 1 t+δ 1 ) + Ã2e i(k 2 r ω 2 t+δ 2 ), 32 af 6

34 5 GENERELLE BØLGER så bliver situationen noget nemmere og man kan udvikle nogle generelle metoder til at nde konstruktiv eller destruktiv interferens som der fx står i noterne afsnit og Det er simpelthen at nde de tidspunkt, eller rumlige koordinater hvor f res = eller maksimal, hvilket oftest går ud på at se hvornår cos (a(r, t)) = ±1, hvor a(r, t) fremkommer ved approksimationen og den totale amplitude af bølgen. 33 af 6

35 6 Elektromagnetiske bølger 6 ELEKTROMAGNETISKE BØLGER 6.1 Maxwells ligninger for bølger i vakuum Det ses (ved at gøre prøve) at når Maxwells re ligninger i vakuum hvor der ingen strømme eller ladninger er (ρ =, J = ), dvs. Maxwells ligninger i vakuum E = B = E = B B = µ ɛ E, opfylder bølgeligningen i tre dimensioner ved at bruge nogle sætninger om vektorfelter til at omdanne dem til to andenordens (vektor) PDE'er. De kommer derved på formen: 2 E = µ ɛ 2 E 2 2 B = µ ɛ 2 B 2. Det ses herved at hvert rumligt koordinat opfylder bølgeligningen, og vi har derfor i alt for E- og B-feltet 6 stks. bølgeligninger vi skal løse i det helt generelle tilfælde. Sammenligner man med den generelle bølgelignng, må dette betyde at elektromagnetiske bølger propagerer med en fart givet ved µ ɛ = 1/v 2, dvs. lysets hastighed i vakuum er givet ved Lysets hastighed c = 1/ µ ɛ. Studerer vi specielt de generelle tredimensionelle komplekse planbølger af formen Planbølgeløsning Ẽ = Ẽe i(k E r ωt) = Ẽe i(k E r ωt)n B = B e i(k B r ωt) = B e i(k B r ωt)n som vi ved opfylder bølgeligningen, og bruger de begrænsninger som Maxwells re ligninger indfører på planbølgeløsningerne, så får vi at bølgerne bevæger sig i samme retning og med samme fart Bølgevektor k B = k E = k, og at Ẽ B, samt at der mere specikt gælder Retning af felterne n = k n. Derudover får man også at n k =, De er transverse 34 af 6

36 6 ELEKTROMAGNETISKE BØLGER hvilket betyder jf. forrige kapitel at elektromagnetiske 1 (plan)bølger er transverse bølger. Husker man på at en vilkårlig bølge kan skrives som en superposition af planbølger, fås det at en vilkårlig elektromagnetisk bølge er transvers. Derudover er der en sammenhæng mellem størrelserne af amplituderne for E- og B-felterne, givet ved Amplituder B = k ω E = 1 c E. Generelt kan den elektromagnetiske bølge da udelukkende beskrives ved E-feltet, da B-feltet er låst fast til dette. Vi har derfor at den generelle elektromagnetiske planbølge får formen Ẽ = Ẽe i(k r ωt)n B = 1 c Ẽe i(k r ωt)k n = 1 c k Ẽ. Dette viser at i vakuum er E og B i fase med hinanden, igen ved at bruge at vi kan skrive en vilkårlig bølge som en superposition af planbølger. Pr. denition er polariseringen af den elektromagnetiske bølge givet ved retningen af E-feltet, dvs. polariseringsvektoren er n. Polarisering 6.2 Energi og eekt, intensitet og impuls Husker man på nogle af de store udregninger der blev udført i Kapitel 2 og 7 i Griths, så k man at energien i E-feltet og B-feltet er givet ved nogle meget ens rumintegraler, og vi har derfor at den samlede energi i det elektromagnetiske felt er Elektromagnetisk feltenergi givet ved U em = 1 2 all space ɛ E µ B 2 dτ. Energitætheden i felterne et givent sted i rummet til et givent tidspunkt er derfor u em = 1 ) (ɛ E 2 + 1µ B 2. 2 For elektromagnetiske bølger i vakuum har vi jf. forrige afsnit B 2 = 1 c 2 E 2 = µ ɛ E. Herved ses det at biddraget til den samlede elektromagnetiske feltenergi er lige stort for både E- og B-feltet. Den samlede energitæthed for bølger er derfor givet ved Energitæthed Energitæthed for EMbølger u = ɛ E µ B 2 ]) 2 1 ( [ 2 = ɛ (R [Ẽ = R B]). µ Bemærk at energitætheden er en funktion af tiden og for planbølger er den en 1 Ved den elektromagnetiske bølge forstås både E og B. 35 af 6

37 6 ELEKTROMAGNETISKE BØLGER trigonometrisk funktion og kan derfor til visse tidspunkter i et punkt godt kan være nul. Ligeså vil der i områder med destruktiv interferens gælde at energitætheden er nul til ethvert tidspunkt. Ved at kigge på den tidsligt aedte af det mekaniske arbejde pr.volumenenhed (arbejdstætheden) w som det elektromagnetiske felt udfører på en ladningsfordeling ρ som evt. kunne være sig selv, så har vi dw = ρ (E + v B) vdt = ρe vdt = E Jdt. Den tidsligt aedte af arbejdet er derfor Ẇ = L ẇdτ = L E Jdτ. Ved at lave videre udregninger på ẇ = E J, så nder man at ẇ kan deles op i biddrag fra ladningsfordelingen i legemet L selv, samt hvad der strømmer ud gennem randen af legemet L. Resultatet bliver Ẇ = U em 1 µ L E B da. Dermed kan man faktisk blot beregne den eekt der strømmer gennem en over- ade S som P = 1 µ S E B da. Eektstrømmen givet ved S = 1 µ E B kaldes for Poyntings vektor og er dermed eekten pr. arealenhed som forlader ladningsfordelingen (strømmer ud gennem legemets rand), og kaldes derfor energiuxdensiteten. Når det gælder elektromagnetiske planbølger har vi derfor at eekten som bølgen fører med sig pr. arealenhed er givet ved Poyntingvektoren, der får udseendet Arbejdstæthed Poyntings vektor S = 1 E B = 1 [Ẽ] R µ cµ k ] R [Ẽ = cɛ E 2k = cuk. Ud fra dette ses at bølgen kun afsætter energi i den retning den propagerer. Den gennemsnitlige eekt der afsættes pr. arealenhed fås ved at midle S. Da Middeleekt u = ɛ (R [Ẽ]) 2 = ɛ E 2 cos 2 (k r ωt + φ), bliver resultatet derved en vektor som kaldes intensitetsvektoren I, som da kan udregnes for en planbølge 11 til at være Intensitetsvektoren I = S = ω 2π 2π/ω Sdt = ω 2π = 1 2 cɛ E 2 k = 1 2µ cb 2 k. 2π/ω cɛ E 2 cos 2 (k r ωt + φ) kdt ] 11 I Griths nder man også at vi kan udregne intensitetsvektoren ved I = S = 1 2µ R [Ẽ B. Intensiteten 36 af 6

38 6 ELEKTROMAGNETISKE BØLGER Størrelsen af I kaldes blot intensiteten, og er derved for en planbølge givet ved I = I = 1 2 cɛ E 2 = 1 2µ cb 2. Fra den specielle relativitetsteori vides det at for bølgerne gælder der E = pc, hvor E er fotonenergien, altså bølgens totale energi. Bølgen kan derfor siges at have en bevægelsesmængde givet ved Bølgens impuls p = E c. Midlet har vi da at bølgens eekt såfremt den rammer et areal A vinkelret og absorberes (det skal således være et fysisk materiale; der er ingen kraft på vakuum), fås ved at dierentiere ligningen mht. tiden, og dermed at den midlede størrelse af kraften F på arealet A opfylder at Tryk ved absorbation P = F c. Dermed får vi videre at middeltrykket P = F /A på arealet opfylder at I = Pc. Reekteres bølgen i stedet for helt, har vi at kraften er dobbelt så stor på pladen, og vi vil derfor have ligningen Tryk ved reeksion 2I = Pc Polariseringsltre, Malus' lov Figur 4: Opsætning af et polariseringslter 37 af 6