Virksomhedsobligationer. Beregning af kreditrisiko. Forfatter: Jesper Boutrup. Studienummer: Vejleder: Claus Juhl. Handelshøjskolen i Aarhus

Transkript

1 Virksomhedsobligationer Beregning af kreditrisiko Forfatter: Jesper Boutrup Studienummer: Vejleder: Claus Juhl Handelshøjskolen i Aarhus 2013

2 0. Summary: Over the past year, the market for corporate bonds has increased significantly. Due to the low interest rates, the bonds are an attractive investment opportunity for investors. At the same time, the issuance of corporate bonds to be an attractive source of financing for businesses. The primary reason for corporate bonds traded at a yield premium compared to eg. government bonds, is the difference in credit risk. Therefore, the credit risk is the centerpiece of this thesis As the market has increased, it has become even more important to quantify credit risk, in order to clarify the factors driving the price of corporate bonds. The literature is extensive and constantly evolving. Models for quantification of credit risk on corporate bonds is generally divided in so-called structured models and reduced form models. The structured models is based on option theory and the credit risk is driven hence the company's capital structure. Based on the market value of its equity, market value of the debt and the volatility in equity, it is possible to calculate the company's assets. The models are based on the company defaulting at the time the asset value does not exceed the debt. In this thesis the calculations from the structured models, will be based on the following models. - Mertons DD Model - Moodys KMV model The reduced models are based, in contrast to the structured models on statistical considerations. It is based on the historical data released by the rating agencies Moody's and S & P. There is data for the probability of default, recovery rates and migration risk, all the figures on the basis of the rating. Furthermore the reduced form models are based on the term structure so that credit risk is determined from the spread which corporate bonds, trading at compared to the risk-free rate. In this thesis the calculations from the reduced form models, will be based on the following models. - Determination of credit risk from interest rate structure - David Landos approach of estimating credit risk based on rating 1

3 - Credit Metrics - Hull & White, calculating credit risk from CDS spreads on the firm The different models have different approaches to the calculation of credit risk and thus there will be differences between the inputs to be used to calculate credit risk. At the same time there is also a big difference between the outputs from the models, credit risk is measured as default probability, standard deviation, Value at risk and bond price. Therefore, the motivation behind this thesis is to analyze the models' approach to credit risk and the parameters affecting it. At the same time it will be considered the issues the practical application of these models may have. The calculations in this paper will be based on two selected corporate bonds from McDonalds and Carlsberg maturing in The reason for the selected two corporate bonds with high ratings is that this has been necessary to provide the necessary inputs to the models. Especially in relation to the discharge of the yield curve, a company with lower ratings pose problems, as there typically will not be enough issues of corporate bonds from issuers with lower credit quality, such as junk bonds. 2

4

5 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemformulering Metode Afgrænsning Introduktion til Virksomhedsobligationer Udvikling i markedet for virksomhedsobligationer Rating Formålet med rating Konkursorden: Konkursdividende: Ændring i rating: Konkurssandsynlighed: Strukturerede modeller Merton DD model: Fastsættelse af modellens parametre Virksomhedens gæld Virksomhedens aktiver Volatiliteten på egenkapitalen/aktiverne Moodys KMV model Default point Distance to default Konkurssandsynlighed Følsomhedsanalyse Ændring i volatiliteten Ændring i egenkapitalen Reducerede modeller Proxy for den risikofri rente: Bestemmelse af kreditrisiko ud fra rentestrukturen Udledning af rentestruktur Nulkupon/Forward renter Lineær interpolation Emperisk undersøgelse af kreditrisikoen ud fra rentestrukturen

6 5. CeditMetrics Standalone risiko beregning Rating / transition Værdiansættelse Udledning af rentestruktur Værdiansættelse i tilfælde af konkurs Værdiansættelse i tilfælde af migrering Estimering af kreditrisiko Risiko for en portefølje af virksomhedsobligationer Fælles migrerings sandsynligheder Kreditrisikoen for porteføljen uden korrelationer Inddragelse af korrelationer David Lando Emperisk undersøgelse af David Landos model Følsomhedsanalyse: Ændring i den risikofri rente Ændring i konkurssandsynligheden Ændring i konkursdividende Hull & White Teori Emperisk analyse af konkurssandsynlighed ud fra CDS spænd Følsomhedsanalyse Ændring af recovery Konklusion Litteraturlise Bilag

7 3

8 1. Indledning Virksomhedsobligationer er populære som aldrig før. I kølvandet på finanskrisen har verdensøkonomien oplevet en periode med stærkt faldende renter. Som følge heraf er investorer begyndt at flytte fokus fra investering i traditionelle stats- og realkreditobligationer, til også at omfatte virksomhedsobligationer. Dette i et forsøg på at opnå en merrente i forhold til de mere traditionelle obligationer. Det er dog vigtigt at vurdere denne merrente i forhold til den højere risiko der typisk vil være forbundet med investering i virksomhedsobligationer. Denne højere risiko skyldes primært forskellen i kreditriskoen, som vurderes til at være den væsentligste faktor for rentespændet sammenlignet med stats- og realkreditobligationer. Ovenstående kan i sig selv virke en smule paradoksalt taget erfaringerne fra finanskrisen i betragtning. Investorer bevægede sig i perioden op til finanskrisen hen mod stadigt mere risikable aktiver i søgen efter høje afkast. Analytikere og teoretikere har løbende haft en interesse i at kunne kvantificere kreditrisiko, for at kunne vurdere investering i virksomhedsobligationer. Litteraturen på området er omfattende og i konstant udvikling. Modellerne til kvantificering af kreditrisiko er overordnet opdelt i to kategorier, de strukturerede og reducerede modeller. Disse modeller har to ret forskellige tilgange til kvantificeringen af kreditrisiko og der er fordele og ulemper vedhæftet begge fremgangsmåder. Derfor kan det virke tiltalende at benytte modellerne til at understøtte hinanden og dermed opnå en mere nuanceret tilgang til kreditrisiko. Det kan generelt argumenteres for at output fra de enkelte modeller er afhængigt at det input der benyttes. Da modellernes input i mange tilfælde er behæftet med en vis usikkerhed er det dermed vigtigt, med udgangspunkt i en kvalificeret udvælgelse, at benytte de inputs som giver det mest retvisende billede af virkeligheden. Finanskrisen har med al tydelighed belyst vigtigheden af netop kreditrisiko, som var udslagsgivende for krisens udspring og omfang. Emnet er dermed højaktuelt og et vigtigt aspekt for investorer, for ikke unuanceret at jagte højere afkast. Motivationen bag denne afhandling er derfor igennem empiriske undersøgelser, med udgangspunkt i strukturerede og reducerede modeller, at kvantificere kreditrisikoen på udvalgte virksomhedsobligationer. Desuden er det vigtigt at analysere hvorledes de valgte input påvirker den endelige kvantificering af kreditrisiko, for at vurdere modellernes anvendelighed. 4

9 1.1 Problemformulering Denne afhandling har til formål at vurdere kreditrisiko på virksomhedsobligationer via strukturerede og reducerede modeller, med baggrund i kvantificering af konkursrisiko. Med udgangspunkt i denne analyse ønskes følgende problemstilling løst Hvordan kvantificerer de enkelte modeller kreditrisiko og hvilke variable påvirker denne? Hvilke problemstillinger er der knyttet til den praktiske anvendelse af disse modeller? 1.2 Metode Afhandlingen opdeles i følgende overordnede afsnit - Introduktion til virksomhedsobligationer - Beregning af kreditrisiko med baggrund i strukturerede modeller - Beregning af kreditrisiko med baggrund i reducerede modeller Opgaven indledes med en gennemgang af karakteristika for virksomhedsobligationer og især hvordan disse adskiller sig fra de mere traditionelle stats og realkreditobligationer. Dette for at klarlægge hvordan priserne på virksomhedsobligationer bliver dannet og hvilke faktorer der påvirker den. Da kreditrisikoen er valgt som omdrejningspunktet i forhold til den senere værdiansættelse, vil rating af virksomheder inddrages i dette afsnit. Prisfastsættelsesmodellerne som benyttes i afhandlingen tager udgangspunkt i forskellen i kreditrisiko. Der benyttes ratingbaserede og strukturerede modeller til kvantificering af kreditrisiko. 5

10 De ratingbaserede modeller også kaldet de reducerede modeller bygger på kreditrisikoen målt på virksomhedens rating. I denne afhandling er det valgt at bygge beregningerne ud fra de reducerede modeller på bestemmelse af kreditrisikoen ud fra rentestrukturen, David Landos ratingbaserede model til fastsættelse af kreditrisiko og Credit Metrics. De enkelte afsnit vil blive opbygget på følgende måde. - Teoretisk grundlag - Beregninger med argumentation for valgte inputs - Følsomhedsanalyse for at belyse hvilke parametre der driver kreditrisikoen på virksomhedsobligationer. Størstedelen af de strukturerede modeller er udviklet af store finanshuse. De strukturerede modeller bygger på Merton og Black & Scholes optionsteori. Til beregningerne i denne opgave er valgt Mertons DD model/modys KVM model som er optionsbaserede modeller For at nuancere beregningerne yderligere inddrages Hull & Whites model til kvantificering af kreditrisiko ud fra CDS spreads Ved at benytte forskellige modeller til prisfastsættelse af virksomhedsobligationer observeret i markedet, opnås et nuanceret resultat. 1.3 Afgrænsning I afsnit 4.2 er der undladt at foretage følsomhedsberegninger. Grundet problemstillingen omkring anvendelsen af modellen, vurderes det at en følsomhedsanalyse ikke tjener noget formål. Afsnittet er derimod tiltænkt som en skitsering af problemstillingen ved at beregne en rentestruktur for en given virksomhed. Alle historiske data fra ratingbureauerne Moodys og S&P er af ældre dato. Det har ikke været muligt at fremfinde nyere data. Event, likviditets og valutarisiko behandles ikke i afhandlingen. Da den væsentligste risiko er kreditrisiko. Der inddrages ikke skattemæssige konsekvenser 6

11 2. Introduktion til Virksomhedsobligationer Obligationer udstedt af virksomheder er en speciel aktivklasse. De karakteriseres ofte som en mellemting mellem aktier og obligationer, en såkaldt hybrid mellem de to aktivklasser 1. Risikoen på virksomhedsobligationer er højere sammenlignet med investering i traditionelle statsog realkreditobligationer. Der er forskellige risikofaktorer som påvirker den forskel i risikoen, med andre ord det spread som virksomhedsobligationer handles til sammenlignet med f.eks. statsobligationer. De væsentligste risikofaktorer ved investering i virksomhedsobligationer er kreditrisiko, renterisiko, likviditetsrisiko, valutarisiko og eventrisiko. Ifølge blandt andre Crosbie (2003) og Christensen (2009) er den væsentligste faktor til spændet mellem virksomhedsobligationer og statsobligationer kreditrisikoen. Samtidig er risikoen ved virksomhedsobligationer lavere sammenlignet med investering i den samme virksomheds aktie. Grunden til denne forskel er at udviklingen i en virksomheds aktie, i høj grad er volatil i forhold til udviklingen i vækstforventningerne for virksomheden. Udviklingen for virksomhedsobligationer beror derimod primært på, om virksomhedens indtjening er stor nok til at forrente og afdrage obligationsgælden. Desuden vil prioritetsrækkefølgen oftest være således at obligationsudstedelser har en højere prioritetsstilling og dermed har obligationsejere en højere sandsynlighed for at få en del af deres penge tilbage i tilfælde af konkurs. 2.1 Udvikling i markedet for virksomhedsobligationer Amerikanske virksomheder finansierer sig i højere grad via virksomhedsobligationer, sammenlignet med europæiske virksomheder. Udviklingen i udstedelser af virksomhedsobligationer fremgår af nedenstående figur 1. Denne figur viser en stor stigning i udstedelser af virksomhedsobligationer, men det fremgår også tydeligt at markedet i Danmark ikke har oplevet den samme fremgang som det har været tilfældet i udlandet

12 Figur 1: Udvikling i udstedelser af erhvervsobligationer Kilde: Nationalbanken 2.2 Rating Som tidligere nævnt er kreditrisikoen den primære risiko forbundet ved investering i virksomhedsobligationer. For at kunne bedømme udsteders evne til at imødekomme deres forpligtigelser nu og i fremtiden kræver det en dybdegående analyse af udstederens finansielle styrke og forretningsprospekter. Der er mange kvantitative og kvalitative parametre som skal analyseres, for at kunne vurdere udstederens evne til at imødekomme obligationsforpligtigelserne over hele udstedelsens løbetid. Banker, investeringsselskaber, større virksomheder osv. har typisk deres egne metoder til kreditvurdering. Desuden benytter markedet sig af kreditvurderinger udført af kreditvurderingsbureauer. De to største og mest indflydelsesrige kreditvurderingsbureauer er Standard And Poors og Moody s. 8

13 Figur 2: Oversigt over ratingkategorier Kilde: Moodys Grundlæggende er der ikke stor forskel på de faktorer som er grundlaget for kreditvurderingen hos kreditvurderingsbureauerne. Det er vigtigt at fastslå at kreditvurderingen ikke er en anbefaling om køb/salg af enkelte obligationer eller markedsforventninger generelt. En del af analysen tager udgangspunkt i den makroøkonomiske udvikling, samt udvikling på markedet for den enkelte udstedelse. Men grundlæggende beskriver de enkelte ratings udstederens finansielle formåen og dennes evne til at imødekomme forpligtigelserne i de enkelte udstedelser. Det er ikke udstederen men den enkelte udstedelse som rates. 2.3 Formålet med rating I forbindelse med udstedelse af virksomhedsobligationer udsender udstederen et prospekt. Dette prospekt giver potentielle investorer oplysninger om udstederen, således at den enkelte investor kan udarbejde deres egen kreditvurdering og dermed vurdere attraktiviteten i investeringen. Denne kreditvurdering tager tid og kræver ansættelse af specialister til at udføre denne kreditvurdering. Store institutionelle investorer har disse specialister ansat, men ofte er det for tidskrævende og for omkostningstungt at kreditvurdere hver enkelt udsteder på hvert enkelt 9

14 marked. Derfor foreslår Moorad Choudhry (2006), at der typisk er to tilgange til kreditvurdering af den udstedende virksomhed. Navnekendelse er når investor beror på virksomhedens navn og omdømme. Dermed accepterer investor at grundet virksomhedens navn og omdømme, at sandsynligheden for default på rentebetalingen eller hovedstol er meget lille. For nogen kan dette forekomme som en naiv tilgang og derfor foreslår Choudhry (2006) også at navnekendelse bør komplimenteres med andre metoder, for at reducere risikoen for uforudsete begivenheder. 2.4 Konkursorden: I tilfælde af, at et selskab går konkurs, vil konsekvensen være at alle selskabets aktiver likvideres. Derfor er det vigtigt for investor at vide hvilken slags obligationer der er tale om og ikke mindst virksomhedens kapitalstruktur. Disse faktorer er afgørende for om investor kan forvente at få en del af sin investerede kapital igen i tilfælde af konkurs. I figur 1 herunder er der opstillet en konkursorden for en virksomhed. Figur 3 - Konkursorden Kilde: 10

15 I tilfælde af konkurs bliver aktiverne gjort op og fordeles herefter til virksomhedens kreditorer. Figur 3 herover viser konkursordenen, altså den rækkefølge hvorefter kreditorerne bliver godtgjort ved tilfælde af konkurs. Desto højere i konkursordenen kreditorernes tilgodehavende befinder sig, desto større er sandsynligheden for at få dele af tilgodehavendet retur. Som det er tilfældet for alle investeringer er der sammenhæng mellem risiko og afkast. Derfor vil investor kræve en højere risikopræmie for investeringer som befinder sig længere nede i konkursordenen. 2.5 Konkursdividende: Konkursdividende angiver den procentdel af tilgodehavende som investor kan forvente tilbagebetalt i tilfælde af konkurs. For at belyse dette opstilles der kort i følgende afsnit en fiktiv virksomhed. Den fiktive virksomhed har kr. i prioriteret gæld, kr. i junior sikret gæld og kr. i senior efterstillet gæld. Virksomhedens samlede værdi er på kr. Altså er de resterende kr. aktionærernes værdi. Virksomheden går konkurs og aktiverne likvideres på tvangsauktion til et provenue på kr. Dette provenue fordeles til kreditorerne jvnf. konkursordenen, således at den prioriterede gæld, samt junior sikret gæld indfries fuldt ud. Det resterende provenue på kr. tilfalder kreditorerne som er senior efterstillet. Dermed er der ingen penge tilbage til at betale virksomhedens aktionærer og senior efterstillet gæld får en tilbagebetaling svarende til kr. / kr. = 37,5 % svarende til konkursdividenden. I figur 4 herunder ses den gennemsnitlige konkursdividende, fordelt på kreditorer jvnf. konkursordenen. Disse tal beror på historiske observationer foretaget af ratingbureauet S&P fra 1987 til Figur 4 : Gennemsnitlig konkursdividende (recovery rate) efter rang i konkursordenen

16 Kilde: S&P Annual global corporate default study 2011 Som det fremgår falder konkursdividenden i takt med konkursordenen. Historisk set har en senior sikret obligation tilbagebetalt 57,2% i tilfælde af konkurs, hvor en efterstillet obligation kun har fået tilbagebetalt 28,3%. Dette viser tydeligt at der er stor forskel på risikoen ved investering i forskellige aktivklasser og investor derfor vil afkræve en højere risikopræmie for investering i aktiver længere nede i konkursordenen. 2.6 Ændring i rating: Den gældende rating for en virksomhed eller et land er ikke statisk. Ratingbureauerne foretager løbende revurdering af de enkelte virksomheders/landes rating. Ændring i rating kan såvel være positiv som negativ. En sådan ændring vil påvirke investorernes investering i positiv eller negativ retning. Her benytter ratingbureauerne sig af såkaldte oulooks som indikation på om kreditværdigheden for den enkelte udstedelse, med sandsynlighed vil ændre sig. Der skelnes mellem positiv, neutral eller negative outlooks. Sandsynligheden for ændring af rating opstilles af Moodys i såkaldte transitionsmatricer som fremgår af figur 5 herunder. Figur 5: Gennemsnitlig 1-årig transitionsmatrice for virksomhedsudstedelser ( ) Kilde: Moody s Corporate default and Recovery Rates Det fremgår af figuren at der er 87,395 % sandsynlighed for at en virksomhed med Aaa rating, stadig har samme rating om 1 år. Der er 8,626 % sandsynlighed for at samme virksomheds rating er blevet nedjusteret til Aa inden for den samme periode. Det interessante ved denne figur er tendensen ved de markerede sandsynligheder. Her fremgår det at sandsynligheden for at virksomheden kan opretholde den nuværende rating falder i takt med lavere rating. Dette giver intuitivt god mening da der vil være størst sandsynlighed for at velfungerende virksomheder vil kunne opretholde denne position. 12

17 2.7 Konkurssandsynlighed: Konkurssandsynligheden er sandsynligheden for konkurs på udstedelser, angivet med forskellige tidshorisonter. Som det fremgår af nedenstående figur 6 har en Aaa udstedelse altså en sandsynlighed for konkurs inden for de første to år på 0,013%. I takt med tidshorisonten stiger sandsynligheden for konkurs. Den samme udstedelse har således en sandsynlighed for konkurs indenfor 10 år på 0,494%. Figur 6: Gennemsnitlige Kumulative konkurssandsynligheder ( ) Kilde: Moody s annual corporate default study an rating transitions 2011 Tidshorisonten er altså en afgørende faktor for konkurssandsynligheden, da der er forbundet større usikkerhed omkring konkurssandsynligheden på længere sigt. Ratingen på den enkelte udstedelse er meget afgørende for konkurssandsynligheden, dette ses tydeligt på forskellen i konkurssandsynligheden for investmentgrade obligationer, sammenlignet med speculative grade. Investment grade obligationer omfatter de bedst ratede udstedelser og har en samlet konkurssandsynlighed indenfor 1 år på 0,087%. Til sammenligning har speculative grade obligationer, som omfatter de dårligst ratede udstedelser, en konkurssandsynlighed på 4,673% indenfor samme tidshorisont. Konkurssandsynligheden indikerer samtidig virksomhedens sandsynlighed for at overleve. For at illustrere dette tages der udgangspunkt i en virksomhed som er rated A. Denne virksomhed har jvnf. figuren en konkurssandsynlighed på 0,32% indenfor 3 år og 0,48% indenfor 4 år. Virksomheden har dermed en sandsynlighed for at overleve til ultimo det 3 år på 99,52% (1-0,0048 = 0,9952). Sandsynligheden for at en konkurs indfinder sig, i det 4 år kan beregnes som 13

18 forskellen i konkurssandsynligheden for det 3 og 4 år divideret med overlevelsessanssynligehden for 3 år beregnet herunder. (0,0048-0,0032) / 0,9952 = 0,0021 = 0,16% Efter at have gennemgået de generelle egenskaber og risici forbundet med virksomhedsobligationer, vil følgende afsnit beregne kreditrisikoen, med udgangspunkt i de strukturerede modeller. 14

19 3. Strukturerede modeller Strukturerede modeller til værdiansættelse af virksomhedsobligationer, tager udgangspunkt i Black & Scholes (1973) og Mertons (1974) optionsteori. Teorien siger at konkurssandsynligheden er drevet af værdien af virksomhedens aktiver. Derfor er konkurssandsynligheden explicit sammenkoblet med variansen på virksomhedens aktiver. Ifølge Mertons teori indtræffer konkurs på et givent tidspunkt, nemlig når aktivernes markedsværdi er mindre en gældens værdi. Det er grundlæggende for optionsteorien at aktionærerne ikke kan miste mere end den indskudte aktiekapital. Denne situation opstår idet aktionærerne besidder en implicit put option, som består i at sælge aktivernes værdi til virksomhedens kreditorer. Den implicitte put option vil have strikekurs svarende til gældens pålydende værdi. Med andre ord har aktionærerne mulighed for at overlade aktiverne til kreditorerne, i det tilfælde hvor gældens værdi overstiger aktiverne. I dette tilfælde vil kreditorerne være efterladt med aktiver som er mindre værd end gælden og kan dermed risikere at tabe dele af obligationsrestgælden. Aktionærernes downside risiko er dermed begrænset til den indskudte aktiekapital. Upside er derimod uendelig, i det tilfælde hvor aktivernes værdi stiger, da aktionærerne altid ejer en del af virksomhedens egenkapital. Upside mulighederne for obligationsejerne er derimod begrænset til obligationshovedstolen. Derfor ejer aktionærerne det underliggende aktiv og har samtidig en put option på virksomhedens aktiver. Tilsammen kan dette betragtes som en erhvervet call option som illustreret i nedenstående figur. Figur 7: Kilde: Risk Management lektion 4 Århus universitet 15

20 Som det fremgår af figuren vil optionen være "in the money" så længe aktivernes værdi er større end gælden. 3.1 Merton DD model: Merton DD modellen genererer konkurssandsynligheden for virksomheden på et givent fremtidigt tidspunkt. For at beregne denne sandsynlighed tager modellen udgangspunkt i forskellen på nutidsværdien af virksomhedens gæld og den estimerede markedsværdi af virksomheden. Derefter opdeles denne forskel via et estimat på volatiliteten på virksomheden, hvor volatiliteten er skaleret således at horisonten stemmer overens med tidshorisonten på forecastet. Merton DD modellen estimerer markedsværdien af gælden ud fra Mertons (1974) model til værdiansættelse af obligationer. Merton modellen bygger på to vigtige forudsætninger. Den første er at virksomhedens samlede værdi følger en Brownsk bevægelse. Formel 1: Kilde: Bessis 2010 Hvor V = Virksomhedens samlede værdi µ = Volatiliteten på virksomhedens værdi dw = standard wiener process Den anden forudsætning er at virksomheden udelukkende har udstedt en nukuponobligation med udløbstidspunkt T. Under disse forudsætninger kan egenkapitalen som tidligere nævnt anses som en call option på det underliggende aktiv. Samtidig kan Black Scholes Mertons optionsteori anvendes til at beskrive egenkapitalen som en funktion af virksomhedens samlede værdi. Fra putt-call pariteten, kan værdien af virksomhedens gæld beskrives som værdien af en risikofri nulkuponobligation fratrukket værdien af en put option, hvor strikekursen er nutidsværdien af virksomhedens gæld og udløbstidspunkt T. Dette er beskrevet i følgende formel. 16

21 Formel 2: Værdi af egenkapitalen Kilde: Bessis 2010 Hvor E = markedsværdien af virksomhedens egenkapital A = markedsværdien af aktiverne D = Nutidsværdien af virksomhedens gæld r = Risikofri rente T = Tidshorisonten N (d2) = Standard normalfordelingen Som det fremgår af formlen er markedsværdien af virksomhedens egenkapital givet ved, aktivernes værdi givet en normalfordelt sandsynlighed, fratrukket nutidsværdien af gælden givet en normalfordelt sandsynlighed. Desuden er d (1) og d (2) givet ud fra følgende ligninger σ = standardafvigelsen på aktiverne 17

22 3.2 Fastsættelse af modellens parametre Virksomhedens gæld Til fastsættelsen af virksomhedens gæld, foreslår Crosbie at der tages udgangspunkt i virksomhedens regnskab og dermed i den nominelle/bogførte værdi af gælden. Ulempen ved denne fremgangsmåde er at den forudsætter en meget simpel kapitalstruktur i virksomheden. Dermed medregnes den langfristede gæld også i beregninger på kortere løbetider. Ved f.eks. en løbetid på 1 år forudsættes det at al gæld er tilbagebetalt om 1 år og dette vil naturligvis medføre en undervurdering af kreditrisikoen. Denne problemstilling forsøges løst ved implementering af Moodys KMV model som behandles senere i denne afhandling. I denne model er forudsætningen at en virksomhed går konkurs, når markedsværdierne af aktiverne falder til et niveau der befinder sig mellem de kortfristede og de langfristede forpligtigelser. Desuden er der i KMV indarbejdet et mere nuanceret billede af virksomhedens passiver, således at disse kan omfatte bla. kortfristede, langfristede, konvertible og obligationsgæld. Nutidsværdien af virksomhedens gæld beregnes via nedenstående formel, eksponentialfunktionen benyttes da der forudsættes kontinuert rentetilskrivning. Formel 3: Nutidsværdi af gæld Kilde: Bessis 2010 Hvor Dt = nominelle værdi af gælden opgjort til markedsværdi r = risikofri rente T = tidshorisonten Med udgangspunkt i formel 3 er nutidsværdien af gælden for McDonalds beregnet herunder. D 0 = 12,5 x D 0 = 12,44 18

23 Af McDonalds 2012 regnskab fremgår det at den samlede gæld udgør 12,5 mia $. Desuden fremgår det at den langfristede gæld udgør 12,133 mia $. Denne kapitalstruktur er et udtryk for måden virksomheden er opbygget vi franchise. Til sammenligning har Carlsberg jvnf. deres 2012 regnskab en samlet gæld på 62,887 mia. kr. Heraf udgør den langfristede gæld 37,907 mia. kr. og udgør dermed lidt over halvdelen af den samlede gæld. Dette gør at denne beregning er forbundet ved en del usikkerhed da formlen antager at denne gæld er tilbagebetalt om 1 år. Koblingen mellem de regnskabsmæssige værdier og markedsværdien af gælden er i praksis problematisk. I virkeligheden kan der være stor forskel på disse værdier, især hvis gældens sammensætning er mere kompleks. Eksempelvis kan der ved finansiering via udstedelser af obligationer, være stor forskel på den regnskabsmæssige værdi af gælden og gælden opgjort til markedsværdi. Især for virksomheder med lavere rating kan der være stor forskel. Et event som f.eks. en nedgradering af virksomhedens rating, kan påvirke gældens markedsværdi væsentligt. En direkte opgørelse af virksomhedens gæld til markedsværdi vil være meget omfattende og desuden vil det være en værdi i konstant udvikling. Desuden vil dette kræve indsigt i virksomhedens gældsstruktur, som ikke er offentlig tilgængelig Virksomhedens aktiver Værdien af virksomhedens aktiver skal opgøres til markedsværdi. Det er ikke muligt at aflæse markedsværdien af virksomhedens aktiver direkte. Den eneste værdi der er tilgængelig i markedsværdier er virksomhedens gæld og virksomhedens egenkapital. Derfor foreslår litteraturen overordnet to tilgange til bestemmelse af virksomhedens aktiver. Crosbie 2003 antager at virksomhedens aktiver, ikke kan aflæses og derfor skal beregnes med udgangspunkt i optionsteorien. Men da virksomhedens egenkapital approksimativt er givet ved virksomhedens aktiekurs multipliceret med antal udestående aktier, er det muligt at beregne virksomhedens aktiver med udgangspunkt i Black-Scholes sammenhæng mellem virksomhedens egenkapital, aktiver og gæld i formel 2. Eksemplificeret ved McDonalds kan værdien af egenkapitalen opgøres til 102,43 Mia $ jvnf. aktiekurs og antal udestående aktier i 2012 regnskabet. I seneste afsnit blev nutidsværdien af virksomhedens gæld beregnet til 12,44 Mia $. Med udgangspunkt i de kendte parametre er det nu muligt at beregne virksomhedens aktiver via formel 2. Denne beregning kompliceres ved, at der under forudsætning af at værdien af virksomhedens aktiver er ukendt, er tale om en formel med to ubekendte. De to ubekendte er virksomhedens aktiver og volatiliteten på denne. 19

24 Dermed er det nødvendigt at inddrage en formel yderligere, som beskriver sammenhængen mellem volatiliteten på virksomhedens egenkapital og volatiliteten på virksomhedens aktiver. Udgangspunktet er ifølge Crosbie 2003 at volatiliteten på virksomhedens egenkapital, er givet ved volatiliteten på virksomhedens aktie. Denne volatilitet er beregnet med udgangspunkt i udviklingen i aktiekursen over det seneste år, beregningen fremgår af bilag 37 og volatiliteten er beregnet til 13,75%. Formlen er opstillet og yderligere beskrevet i følgende afsnit Beregningerne på to ligninger med to ubekendte er foretaget via problemløseren i excel via formel 2 og formel 5 og resultaterne fremgår af nedenstående tabel. Tabel 1: Aktivernes værdi Kilde: Egen tilvirkning Andre teoretikere herunder bl.a. Bharath 2008 antager at virksomhedens aktiver kan opgøres til markedsværdien af gælden tillagt markedsværdien af egenkapitalen. Eksemplificeret ved McDonalds vil værdien af egenkapitalen som tidligere nævnt være 102,43 Mia $ og markedsværdien af gælden er 12,5 Mia $. Dermed vil virksomhedens aktiver under disse forudsætninger være 114,93 Mia $ og resultatet er en smule højere sammenlignet med resultatet fra optionsteorien på 114,82 Mia $. Ved Carlsberg fremkommer der ligeledes en forskel mellem disse værdier, hvor værdien af virksomhedens egenkapital og gæld er 175,74 Mia kr. Forskellen i disse resultater skyldes en forskel i volatiliteten på aktiverne. Dermed kan det drages at optionsteorien virker hensigtsmæssigt i forhold til de regnskabsmæssige værdier, men dog undervuderes aktivernes værdi en smule Volatiliteten på egenkapitalen/aktiverne En vigtig del af implementeringen af Mertons DD er at estimere volatiliteten på virksomhedens egenkapital og virksomhedens aktiver. Systematikken i modellen er illustreret i nedenstående figur. 20

25 Figur 8: Volatilitet på egenkapitalen og aktiverne Kilde: Crosbie & Bohn Modelling Default risk 2003 Som det fremgår af figuren tager modellen udgangspunkt i den historiske volatilitet på egenkapitalen. Med udgangspunkt i en normalfordelings antagelse benyttes den historiske volatilitet til at beregne en forventet fremtidig volatilitet på virksomhedens aktiver. Under forudsætning af at virksomheden går konkurs når gælden overstiger aktivernes værdi, vil aktivernes volatilitet være afgørende for konkurssandsynligheden. Omsættes denne opstilling til en optionsverden vil volatiliteten være afgørende for om optionen er "in- eller out of the money". Intuitionen er således at jo højere volatiliteten er des højere vil kreditrisikoen og dermed også konkurssandsynligheden være. Litteraturen på området anbefaler at tage udgangspunkt i de parametre som kan beregnes ud fra markedsværdier. Ifølge Crosbie (2003) bør der tages udgangspunkt i volatiliteten på virksomhedens aktie, som estimat for volatiliteten på egenkapitalen, da denne netop angiver markedsværdien af egenkapitalen. Problematikken ved dette er naturligvis at der skal være tale om en børsnoteret virksomhed. Desuden vil beregningen være statisk, da det antages at volatiliteten er konstant på et fremtidigt 21

26 tidspunkt, hvilket typisk ikke vil være tilfældet. Valget af horisonten for beregningen af den historiske volatilitet, kan også være en fejlkilde. Ifølge Bessis 2010 er sammenhængen mellem volatiliteten på egenkapitalen og aktiverne, bla. påvirket af virksomhedens gearing. En gearet virksomhed vil således have en lavere volatilitet på aktiverne, sammenlignet med volatiliteten på egenkapitalen. I beregning af virksomhedernes aktiver vil værdien således blive påvirket af volatiliteten via N(d1). Ved en højere volatilitet vil N(d1) mindskes, hvor N(d1) som tidligere omtalt er sandsynligheden for aktivernes værdi på et fremtidigt tidspunkt. Alternativt kan der ifølge bl.a. Bharath 2008 antages at volatiliteten på virksomhedens aktiver er lig med volatiliteten på virksomhedens egenkapital. I eksemplet ved McDonalds og Calrsberg vil dette dog have en stor betydning for den endelige beregning. Dette skyldes at aktivernes volatilitet i begge beregninger, ligger noget under den beregnede volatilitet på egenkapitalen. I Carlsbergs tilfælde er forskellen mellem disse værdier større og dette hænger sammen med en højere gældsandel. Intuitivt vil problemet med denne antagelse således forøges i takt med virksomhedens gældsgearing. Der findes ud fra Black-Scholes følgende sammenhæng mellem volatiliteten på egenkapitalen og volatiliteten på aktiverne. Formel 4: Volatilitet på egenkapitalen Kilde: Bessis 2010 Dermed kan volatiliteten på aktiverne udledes. Formel 5: Volatilitet på aktiver Kilde: Bessis 2010 Formel 5 herover kan dermed indsættes i formel 2 fra tidligere og de to ligninger med to ubekendte kan løses via problemløseren i excel. Som det tidligere er opstillet fremkommer der en volatilitet på aktiverne for henholdvis McDonalds og Carlsberg, på 13,75 % og 25,07%. 22

27 3.3 Moodys KMV model For at nuancere beregningerne under de strukturerede modeller, inddrages i dette afsnit Moodys KMV model. Denne model bygger på optionsteorien, men er på nogle punkter udvidet for at give et mere retvisende billede af virkeligheden. Der henvises til figur 8 i tidligere afsnit for overblik over systematikken i denne model. De vigtigste faktorer til bestemmelse af kreditrisikoen er Default point, distance to default og Expected default frequency. Disse vil blive gennemgået og beregnet i følgende afsnit Default point Ud fra optionsteorien beskrevet tidligere, går en virksomhed konkurs når aktiverne ikke længere overstiger virksomhedens gæld. Optionsteorien anskuer gælden på en forsimplet måde, således at der kun findes en type gæld som forfalder på tidspunkt t. Ved implementering af Moodys KMV forsøges denne forsimplede anskuelse løst ved at definere det såkaldte default point ud fra en historisk anskuelse. Historisk set er virksomheder gået konkurs på det tidspunkt, hvor aktivernes værdi falder til et niveau mellem den lang- og kortfristede gæld 2. Dermed kan DP approksimativt beregnes via nedenstående formel. Formel 6: Default point Kilde: Leland 2004 Hvor D ST = kortfristede gæld D LT = langfristet gæld Som det fremgår af formlen medtages den samlede kortfristede gæld, samt halvdelen af den langfristede gæld, som forsøg på at definere det punkt mellem den lang- og kortfristede gæld hvor virksomheden går konkurs. Den kortfristede gæld er defineret som, den gæld der bliver tilbagebetalt indenfor perioden t, som i denne afhandling er fastsat til 1 år. 2 Leland, Hayne (2004) : Predictions of default probabilities in structural models of debt 23

28 Crosbie 2003 argumenterer for at der på længere sigt bør anvendes denne formel. Dette skyldes at gælden på længere sigt vil blive omlagt. I dette scenarie vil virksomhedens DP stige i takt med omlægningen af gælden. Dette under forudsætning af at langfristet gæld typisk vil blive refinansieret kortfristet. Men i virkeligheden kan virksomhedens gæld også indfries, som vil reducere virksomhedens aktiver. Derfor vil nettoeffekten, af omlægning af gælden og evt. afvikling af denne, være den samme på DP 3. For at illustrere beregningen af DP er denne beregnet for McDonalds herunder. DP = 0,367 + (0,5 * 12,133) = 6,4335 Mia $ Beregningen er foretaget på samme måde for Carlsberg og resultaterne fremgår af nedenstående tabel. Tabel 2: Default point og nettoværdi Kilde: Egen tilvirkning Som det fremgår er DP markant højere for Carlsberg, det hænger som tidligere nævnt sammen med at McDonalds gæld stort set består af langfristet gæld. Ud fra DP på virksomhederne er det muligt at beregne en nettoværdi, som beskriver hvor langt virksomheden er fra konkurs. Dette gøres ved at fratrække DP fra markedsværdien af virksomhedernes aktiver. De beregnede nettoværdier fremgår ligeledes af tabel 2 herover Distance to default Efter at have defineret det punkt hvor virksomheden går konkurs, vil der nu blive beregnet hvor langt virksomheden er fra netop dette punkt. Denne afstand beregnes i antal standardafvigelser fra DP og beregnes via nedenstående formel. Formel 7: Distance to default DD = Kilde: Leland Crosbie & Bohn 2003: Modelling default risk 24

29 Hvor Nettoværdi = beregnet tidligere A = Markedsværdi af aktiverne σ = volatiliteten på aktiverne Ifølge optionsteorien er DD beregnet via d(2) jvnf. tidligere afsnit. DD er beregnet via ovenstående formel og via optionsteorien, resultaterne fremgår af nedenstående tabel. Tabel 3: Distance to default Kilde: egen tilvirkning Som det fremgår af ovenstående tabel, er der stor forskel på de to antagelser om DD. Optionsteorien fremkommer således i begge eksempler med en højere DD. Dette hænger naturligvis sammen med de to forskellige tilgange til DP. Ved Moodys fremgangsmåde er defaultpoint som tidligere behandlet markant lavere. Desuden bemærkes det at der er markant større forskel mellem de beregnede værdier for DD og d(2) på de to virksomheder. Denne forskel hænger sammen med sammensætningen af gælden, hvor McDonalds har en meget lav andel af kortfristet gæld. På denne måde påvirkes DP væsentligt og dermed også DD. Fordelen ved Moodys fremgangsmåde er, at denne på en mere nuanceret måde tager højde for virksomhedens kapitalstruktur, da der skelnes mellem langfristet og kortfristet gæld Konkurssandsynlighed Et af de punkter hvor Moodys KMV adskiller sig væsentligt fra optionsteorien, er ved beregningen af konkurssandsynligheden. Efter beregning af DD bliver virksomheden sammenlignet med andre virksomheder i Moodys store database. På denne måde sammenlignes virksomheder med samme DD og hvor mange af disse der historisk set er gået konkurs. Da det ikke har været muligt at få adgang til denne database baseres beregningerne i dette afsnit således på optionsteorien. Fra optionsteorien kan EDF beregnes via nedenstående formel. 25

30 Formel 8: Expected Default Frequency Kilde: Leland 2004 Ved at beregne normalfordelingen på DD, beregnes således en konkurssandsynlighed. Beregningerne er foretaget på begge virksomheder og fremgår af nedenstående tabel. Tabel 4: EDF værdier Kilde: Egen tilvirkning Som det fremgår af tabel 4 herover, fremkommer der for begge virksomheder en konkurssandsynlighed som er tæt på 0. Dette hænger sammen med de meget høje værdier for d(2), som beskriver at begge virksomheder er meget langt fra default. Som forventet ligger konkurssandsynligheden for McDonalds lavere end Carlsberg. Grundet de meget lave værdier er det dog meget svært at fortolke på resultatet, hvilket gør at modellen kan være svær at benytte i praksis. Desuden tyder resultaterne på at problematikken især gælder for højt ratede virksomheder, som har en kapitalstruktur, præget af stor egenkapital, høje aktiver og lav gældsgearing. De høje værdier for d(2) er et resultat af forholdsvis lave volatiliteter på såvel egenkapitalen som aktiverne. Desuden er aktivernes værdi høj i forhold til gældens størrelse for begge virksomheder. Påvirkningen af volatiliteterne og kapitalstrukturen på den endelige beregning ses tydeligt i forskellen mellem værdierne på d(2). Grundet den højere volatilitet på både aktiver og egenkapital er værdien af d(2) væsentligt lavere for Carlsberg. Desuden bidrager den højere gearing for Carlsberg ligeledes til en lavere d(2). Ifølge emperiske undersøgelser foretaget af Lyden og Saranti (2000), hvor performance for Mertons (1974) og Longstaff / Schwartz (1995) modeller sammenlignes, viser resultaterne at begge modeller underestimerer credit spreadet. Beregningerne viser at Mertons model i gennemsnit underestimerer credit spreadet med bp. Dette kan være med til at understøtte de lave værdier i denne afhandlings beregninger og kan dermed antyde at modellen har en tendens til også at undervurdere DD. 26

31 3.4 Følsomhedsanalyse For at analysere hvorledes ændringer i de enkelte parametre påvirker den endelige beregning af konkurssandsynligheden opstilles der i følgende afsnit forskellige scenarier, med ændring af modellens inputs. Dermed analyseres det hvorledes sammenhængen mellem modellens parametre påvirker beregningen af konkurssandsynligheden Ændring i volatiliteten Volatiliteten er en af de parametre som har den største indflydelse på den endelige beregnede konkurssandsynlighed. Intuitionen er at en højere volatilitet på såvel virksomhedens egenkapitalen og aktiver, vil medføre en højere konkurssandsynlighed. For at belyse volatilitetens indflydelse på konkurssandsynligheden opstilles følgende scenarier. Scenarie 1: Volatiliteten på aktiverne = volatiliteten på egenkapitalen Scenarie 2: De beregnede værdier for aktivernes og egenkapitalens volatilitet forøges med 5% Scenarie 3: De beregnede værdier for aktivernes og egenkapitalens volatilitet forøges med 10 % Tabel 5: Ændring i volatiliteten på virksomhedernes egenkapital og aktiver Kilde: Egen tilvirkning Tabellen viser at værdierne for DD og d(2) stiger i takt med forøgelse af volatiliteten på aktiverne og egenkapitalen. Dette var forventet, da en højere volatilitet naturligvis giver større usikkerhed omkring de fremtidige værdi af egenkapitalen og aktiverne. Grundet de større udsving i disse værdier vil DD være lavere, men grundet uændret DP, vil ændringerne i volatiliteterne have en forholdsvis lille effekt på konkurssandsynligheden. 27

32 Slutteligt er det diskutabelt at tage udgangspunkt i at volatiliteten på aktiverne og egenkapitalen er ens. Volatiliteten på egenkapitalen bør altid være højere grundet gearingseffekten Ændring i egenkapitalen Egenkapitalens værdi har en stor betydning for beregningen af konkurssandsynligheden via de strukturerede modeller. Da egenkapitalens størrelse er estimeret ud fra aktiekursen, er denne parameter som tidligere beskrevet behæftet med nogen usikkerhed. Sidste afsnit belyser en ændring i volatiliteten på egenkapitalen og den deraf afledte ændring i volatiliteten på aktiverne. Ved en ændring i volatiliteten på egenkapitalen kan der argumenteres for at denne usikkerhed også vil afspejle sig i egenkapitalens størrelse. Problematikken opstår da der tages udgangspunkt i et statisk estimat for viksomhedens egenkapital ud fra virksomhedens regnskab. I en ustatisk verden vil egenkapitalens størrelse ændre sig dagligt i takt med aktiekursen og antal udestående aktier. Derfor vil der i dette afsnit tages udgangspunkt i en forhøjet volatilitet på såvel egenkapital og aktiver. Desuden antages der at virksomhedens aktie falder i værdi og dermed vil egenkapitalens størrelse ligeledes falde. Desuden vil et fald i virksomhedens egenkapital også medføre et fald i aktivernes værdi, grundet modellens sammenkobling af disse værdier. Denne analyse tager udgangspunkt i de tre nedenstående scenarier og resultaterne fremgår af tabel 6 nederst. Scenarie 1: De beregnede værdier for aktivernes og egenkapitalens volatilitet forøges med 5% + Egenkapitalen falder med 10% Scenarie 2: De beregnede værdier for aktivernes og egenkapitalens volatilitet forøges med 10% + Egenkapitalen falder med 20% Scenarie 3: De beregnede værdier for aktivernes og egenkapitalens volatilitet forøges med 15 % + Egenkapitalen falder med 30% Tabel 6 : Ændring i volatiliteten på egenkapital og aktiver, samt reduktion af egenkapital Kilde: Egen tilvirkning 28

33 En reduktion af virksomhedens egenkapital vil medføre en lavere beregnet værdi af aktiverne. Dette medfører en reduktion af nettoværdien og dermed en lavere værdi for DD og d(2) og dermed stiger konkurssandsynligheden. Det er bemærkelsesværdigt at til trods for de radikale ændringer i to af modellens parametre, fremkommer der stadig meget lave konkurssandsynligheder. Dette er til dels et resultat af at virksomhedernes gældsandel fortsat er lav. Desuden skyldes dette også at modellen bygger på en brownsk bevægelse og dermed er løbetiden en afgørende faktor for konkurssandsynligheden. Den brownske bevægelse giver sig til udtryk ved at volatiliteterne for egenkapitalen og aktiverne bliver multipliceret med kvadratroden af tiden. De strukturerede modeller er en tilgang til kvantificering af kreditrisiko, hvor det primære omdrejningspunkt er virksomhedens kapitalstruktur. Som tidligere nævnt findes der desuden en anden tilgang til kvantificering af kreditrisiko. Disse modeller tager i højere grad udgangspunkt i rentestrukturen, til kvantificering af kreditrisikoen. De reducerede modeller vil blive belyst og analyseret i følgende afsnit. 29

34 4. Reducerede modeller De reducerede modeller bygger vurderingen af kreditrisikoen ud fra statistiske betragtninger. Der tages dermed udgangspunkt i historiske data for konkurssandsynligheder, konkursdividende og sandsynlighed for migrering. De historiske tal udgives af de store ratingbureauer. I de følgende afsnit vil brugen af reducerede modeller blive analyseret med udgangspunkt i tre udvalgte modeller. 4.1 Proxy for den risikofri rente: Grundlæggende baseres de reducerede modeller på en vurdering af virksomhedsobligationernes merrente i forhold til det risikofrie alternativ. I finansieringsteorien vil der ofte tages udgangspunkt i statsobligationer som et proxy for den risikofri rente. Typisk vil der tages udgangspunkt i en statsobligation fra et land som vurderes til at have kreditrisiko så tæt på 0 som muligt. Nedenstående figur belyser problemstillingen der kan opstå ved udvælgelse af proxy for den risikofri rente. Figur 9: Sammenligning af rente på udvalgte statsobligationer og Euro Swap renten Kilde: Bloomberg Som det fremgår af ovenstående figur er der stor forskel på renterne på de forskellige statsobligationer. En tysk statsobligation anses som værende stort set risikofri og handles derfor til meget lave renter. I takt med at risikoen forøges stiger også rentekurven, i grafen eksemplificeret ved renterne på de franske og spanske statsobligationsrenter. Dermed er udvælgelsen af proxy for 30

35 den risikofri rente vigtig for den endelige kvantificering af kreditrisikoen på virksomhedsobligationer. Med baggrund i ovenstående problemstilling, er det valgt i denne afhandling at tage udgangspunkt i swap renten som proxy for den risikofri rente. Udvælgelsen er yderligere begrundet i følgende afsnit. 4.2 Bestemmelse af kreditrisiko ud fra rentestrukturen Typisk vil virksomhedsobligationer blive prisfastsat i forhold til swap rentekurven. Swap renterne er udtryk for de renter hvortil prime banker låner hinanden penge til afhængig af løbetiden. Sammenlignes Swap renterne med investering i et risikofrit alternativ (her bruges ofte statsobligationer som proxy), vil rentespreadet mellem disse på forskellige løbetider, være et udtryk for kreditrisikoen på prime bankerne. Da der er indbygget et risikotillæg i swap renterne, er det derfor muligt at beregne kreditrisikoen på en virksomhedsobligation ved at sammenholde rentestrukturen for denne med Swap rentestrukturen. Dette gøres med baggrund i antagelse af rentespreadet mellem Swaprenten og renten på virksomhedsobligationen er udtryk for den forøgede kreditrisiko, som investor løber ved investering i en virksomhedsobligation. Dermed vil et højere rentespread i forhold til Swap renten indikere en højere kreditrisiko. Det antages ifølge Christensen 2009 at investor som minimum vil kræve det samme afkast på en given virksomhedsobligation som den tilsvarende Swap rente. Dermed kan følgende formel opstilles. Formel 9: Kilde: Michael Christensen Obligationsinvestering I formlen angiver qn den marginale konkurssandsynlighed for virksomhedsobligationen på tidspunkt n. Formlen antager netop synspunktet omkring, at investor som minimum vil kræve det samme afkast på obligationen som den tilsvarende Swaprente. Dette er opstillet ved at sandsynligheden for overlevelse multipliceres med 1 + forwardrente i det første led af ligningen. Denne værdi skal være lig med eller større end 1 + forwardrenten på den risikofri rente. 31

36 Ud fra ovenstående formel, kan der nu udledes en formel for beregning af konkurssandsynligheden for de enkelte perioder. Dette gøres ved at isolere qn og fremgår af nedenstående formel Formel 10 Kilde: Michael Christensen Obligationsinvestering Ved hjælp af konkurssandsynlighederne er det nu muligt at bestemme den kumulative konkurssandsynlighed og dermed sandsynligheden for at virksomheden går konkurs indenfor den valgte tidshorisont. Dette er opstillet i følgende formel Formel 11 Kilde: Michael Christensen Obligationsinvestering Udledning af rentestruktur Da modellen tager udgangspunkt i forwardrenter på såvel virksomhedsobligationen og den risikofri rente, er det nødvendigt at udlede nulkuponrenterne for disse. Dette kan i praksis skabe en del problemstillinger. Der handles meget få nulkuponobligationer i markedet og derfor kan data ikke hentes direkte derfra. Litteraturen på området herunder Hull & White foreslår derfor, at der tages udgangspunkt i de handlede obligationer på virksomheden. Jvnf. David Lando giver dette også problemer i den praktiske anvendelse, da de enkelte virksomheder sjældent har udstedelser nok, til at udlede rentestrukturen for alle løbetider. I denne afhandling er det forsøgt med baggrund i handlede obligationer at udlede nulkuponrenter for løbetiderne indtil udløb, ud fra obligationspriser i markedet. Dette viser sig besværligt, da begge virksomheder i casen ikke har udstedelser for alle løbetiderne. Hull & White foreslår desuden, at der for de manglende løbetider tages udgangspunkt i handlede obligationer udstedt af en anden virksomhed med samme rating, samme sektor og valuta. 32

37 De supplerende obligationer i denne afhandling er fundet ud fra et datasæt som danner grundlag for benchmark beregninger i Sydbank. I dette datasæt fremgår en lang række obligationer fordelt på løbetider og brancher. Ud fra disse er der valgt to obligationer for at kunne udregne nulkupon rentestrukturen for henholdvis Carlsberg og McDonalds. I Carlsbergs eksempel medtages en obligation med samme rating og samme branche. Obligationen der er valgt er Heineken 7,25% For McDonalds medtages obligationen Wall Mart 2,25% Wall Mart har samme rating som McDonalds og sektoren er angivet til at være cyklisk forbrug. Dermed er der tale om en sektor der er præget af konjunkturfølsomhed, hvilket også er tilfældet for McDonalds. For at supplere en sådan argumentation, kan der i praksis udføres yderligere analyser af den enkelte virksomhed. Dette for at underbygge denne udvælgelse, således at der fremfindes en obligation, hvor virksomhedernes karakteristika så vidt muligt er ens. Herunder kan indragges yderligere sektor niveauer således at der også inddrages om der er tale om en produktionsvirksomhed eller servicevirksomhed. Desuden vil en analyse af virksomhedernes regnskabstal og kapitalstruktur være nyttige inputs for at bestemme et godt benchmark. Dette kan med fordel gøres jvnf. tidligere afsnit om mertons DD model Nulkupon/Forward renter Som tidligere omtalt findes der kun meget få handlede nulkuponobligationer, og derfor er det nødvendigt at udlede nulkuponrenterne ud fra handlede obligationer med kupon. Dette gøres ved at opdele kuponbetalingerne i et antal nulkuponobligationer afhængig af løbetiden. Dette gøres ved bootstrapping. I nedenstående tabel fremgår de beregnede nulkupon og forwardrenter beregnet på Swaprenten. Beregningerne vil blive forklaret i følgende afsnit. Tabel 7: Nulkuponrenter og forwardrenter på swaprenten 33

38 Kilde: Egen tilvirkning Nulkuponrenterne er fundet vha. bootstrapping og får n 1 og n 2 ser beregninger ud som følgende Formel 12: n 1 : K+v = Y (1+ n 1 ) = 101,8 (1+ n 1 ) -1 n 1 =0,41% Formel 13: n 2 : K+v = Y (1+ n 1 ) -1 + Y (1+ n 2 ) = 0,49 (1 + 0,41%) ,49 (1+ n 2 ) -2 n 2 = 0,49% Der er i beregningerne taget udgangspunkt i Swaprenterne, da værdien af en swap kontrakt ved indgåelse er 0, er K + v angivet til pari. Nulkuponrenterne er beregnet ved brug af målsøger funktionen i excel og beregningerne fremgår af bilag 9. Ud fra nulkuponrentestrukturen er det muligt at beregne forwardrenterne. Forwardrenterne er defineret som den rente der er mellem de enkelte betalinger. Forholdet mellem nulkuponrenter og forward renter bygger på antagelsen om at der ikke er arbitrage muligheder i markedet. Forwardrenterne er beregnet ud fra den generelle formel for forwardrenter som er opstillet herunder. Desuden fremgår beregningen af forward renten mellem tidspunkt 1 og 2 ud fra eksemplet. Formel 14: Beregning af forwardrente 34

39 Kilde: Michael Christensen obligationsinvestering (1+ f 1,2 ) = f 1,2 = 0,57% På samme måde er forwardrenterne beregnet for alle løbetider, beregningerne fremgår af bilag Lineær interpolation Da obligationerne i denne afhandlings case her "skæve løbetider", opstår der problematik ved at aflæse swaprenter som stemmer overens med terminerne. Denne problematik forsøges i denne afhandling løst via lineær interpolation. Lineær interpolation bygger på antagelsen om, at der er lineær sammenhæng mellem to punkter. Dermed er det muligt at konstruere punkter imellem to kendte renter via nedenstående formel. Formel 14: Lineær interpolation Kilde: Gyldendals leksikon Denne fremgangsmåde kan være en fejlkilde i sig selv, men da afstanden imellem de enkelte punkter er forholdsvis lille, vurderes dette ikke som en væsentlig fejlkilde. Problemstillingen havde været større, hvis der eksempelvis blev beregnet renter imellem observeret rente på 1 og 5 år for at fastslå renterne med løbetider på 2, 3 og 4 år. 4.3 Emperisk undersøgelse af kreditrisikoen ud fra rentestrukturen Jvnf. ovenstående gennemgang er konkurssandsynligheden beregnet for McDonalds og Carlsberg. Resultaterne fremgår af tabel 8. Tabel 8: Beregning af qn Kilde: Egen tilvirkning 35

40 Som det fremgår opstår der en problemstilling ved beregningen af konkurssandsynligheden for de to virksomhedsobligationer. Denne problemstilling opstår da der beregnes negative forwardrenter for enkelte af betalingsterminerne. Dette skyldes at der tages udgangspunkt i benchmark obligationer og forskellen i kreditrisikoen giver udslag i den beregnede rentestruktur. Modellen er i sin udformning simpel, men grundet denne problemstilling svær at anvende i praksis. Dog skal det bemærkes at konkurssandsynligheden som ventet er højere for Carlsberg grundet den lavere rating og højere effektive renter på de handlede obligationer. De beregnede effektive renter fremgår af bilag 1 til 8. En alternativ tilgang til disse beregninger er at tage udgangspunkt i det spread hvortil virksomhedesobligationer med en given rating handles til i forhold til Swap renten. Denne afhandling tager udgangspunkt i det spread som Sydbank markets oplyser for de enkelte rating kategorier. Dette spread er angivet til 101 bp for en A rated virksomhed og 224 bp for en BBB rated virksomhed. I den følgende beregning vil det blive forudsat at nulkuponrenterne for virksomhederne i den givne rating, har en nulkupon rentestruktur med det samme spread. Beregningerne fremgår af nedenstående tabel. Tabel 9: Beregning af qn Kilde: Egen tilvirkning Dette er en mere forsimplet fremgangsmåde og problemstillingen er at renterne der tages udgangspunkt i, ikke stemmer overens med de observerede obligationskurser i markedet. Problemstillingen belyses yderligere i følgende afsnit omkring modellen CreditMetrics. Beregningen er i første omgang tiltænkt at belyse at modellen er nem at bruge, under forudsætning af at den korrekte forwardrentestruktur er kendt for den enkelte virksomheder. De tidligere beregninger viser dog, at disse renter kan være problematiske at beregne og dermed er modellen svær at anvende i praksis. Følgende afsnit gennemgår og analyserer brugen af endnu en reduceret model, hvor brugen af rentestrukturen udvides og der desuden inddrages migreringsrisiko og konkursdividende. 36

41 5. CeditMetrics CreditMetrics er en reduceret model som er udviklet af finanshuset J.P Morgan. Grundstenen i creditmetrics er ligeledes rentestrukturen, som benyttes til beregning af kreditrisiko. Desuden er modellen udvidet til også at medregne konkursdividenden og transition mellem ratingklasserne. Outputtet af denne model er en standardafvigelse på obligationskursen og et deraf følgende VAR mål. Modellens fremgangsmåde er opstillet i nedenstående figur og de enkelte områder er yderligere belyst i følgende afsnit. Figur 10: Kilde: J.P Morgan Technical document 1997 En problemstilling ved at modellere risiko i en portefølje betragtning er den fundamentale forskel mellem kredit risiko og markedsafkast. Ifølge J.P Morgan (1997) skyldes denne problemstilling to faktorer som uddybes i afsnittet herunder. Den første problemstilling beror på forskellen på markedsafkast og kreditafkast. Problemstillingen er opstillet i nedenstående figur. 37

42 Figur 11: Kilde: J. P. Morgan Technical document 1997 Mens markedsafkastet tilnærmelsesvist er normalfordelt og dermed relativt symmetrisk omkring det gennemsnitlige afkast, er fordelingen på kreditafkastet fordelt på en anden måde. For kreditafkast er der tale om en venstreskæv fordeling, med en lang tyk nedre hale. Den lange tykke hale på "downside" siden af kreditafkastet skyldes konkurs. Investor har risiko for at miste store dele af investeringen ved tilfælde af konkurs, dog begrænset i for af konkursdividenden, som varierer mellem forskellige virksomheder. Der er dermed stor sandsynlighed for at skabe en relativt mindre profit, samtidig med en lille sandsynlighed for at tabe hele investeringen. Dermed kræver kreditafkastet mere end standardafvigelsen for at kunne beskrive den fremtidige udvikling, som det er tilfældet for markedsafkastet. Den anden problemstilling er korrelationer, herunder indsamling af data for at kunne beregne disse. For aktier er det forholdsvis simpelt at beregne korrelationer direkte, når der er tale om likvide aktier. For kreditkvalitet gør manglen på data at det er svært at beregne korrelationerne direkte fra historiske data. 5.1 Standalone risiko beregning CreditMetrics benytter tre punkter til at beregne VAR for en enkelt virksomhedsobligation. Disse tre punkter er illustreret i figuren herunder og de enkelte punkter vil blive belyst i følgende afsnit. 38

43 Figur 12: Kilde: J. P. Morgan Technical document Rating / transition CreditMetrics antager et nuanceret billede af risiko. Risiko består ikke kun af konkursrisiko, men også af ændringer i værdien som følge af op/nedgradering af udstederens rating. Kreditratingen for udstederen af virksomhedsobligationen, er bestemmende for konkurssandsynligheden og sandsynligheden for at udstederen migrerer til en af de andre mulige kreditratings indenfor den valgte horisont. I teorien er det muligt for udstederen af migrere til alle andre mulige kreditratings indenfor den valgte horisont, der er dog forskellige sandsynligheder for at dette sker og hvor radikale ændringerne vil være. For McDonalds som er valgt som den virskomhedsobligation der benyttes i gennemgang af de forskellige modeller, er de mulig udfald opstillet i figuren herunder. Figur 13: Mulige ratings efter 1 år Kilde: J. P. Morgan Technical document 1997 Figuren viser de mulige ratings for McDonalds om et år. Hvert scenarie er vedhæftet en sandsynlighed, som fremgår af transitionsmatricen som tidligere er gennemgået. Det er vigtigt at disse sandsynligheder summer til 100%, for at modellen indeholder alle mulige udfald. Der opstår 39

44 imidlertid en problemstilling ved dette, da der i transitionsmatricen er indeholdt kategorien WR. WR beskriver de virksomheder som ikke længere har været tildel en rating. Dette kan bla. skyldes at virksomhederne har valgt at ophøre sammenarbejdet med ratingbureauet. I McDonalds tilfælde udgør WR kategorien 4,72% og dermed en forholdsvis stor del af sandsynligheden. J.P Morgan foreslår at denne sandsynlighed fordeles forholdsvis på de andre scenarier og dermed opnås en samlet sandsynlighed på 100%. Sandsynlighederne fremgår af beregningerne i bilag 20. Problemstillinger ved brugen af transitionsmatrice Som det fremgår af bilag 20 er sandsynligheden for at en udstedelse der idag er rated A, om et år vil opnå den laveste rating CCC 0,02%. Denne meget store ændring i ratingen er meget usandsynlig og da matricen bygger på historiske data, vil der kun være meget få eksempler på en sådan opgradering. Derfor er det historiske data for de mere radikale ændringer i rating meget begrænset og dermed er der vedhæftet en vis usikkerhed ved beregningerne. Der er i denne afhandling valgt at tage udgangspunkt i transitionsmatricen for samtlige virksomheder. Dermed tages der ikke højde for hvilken branche den enkelte virksomhed befinder sig i. Ratingbureauerne udgiver også transitionsmatricer fordelt på brancher og dette virker intuitivt fornuftigt, da der vil være stor forskel på bl.a. balancerne på de enkelte virksomheder, efter hvilken branche de opererer i. Som eksempel kan nævnes forskellen mellem en produktionsvirksomhed og en servicevirksomhed. Her vil der være stor forskel på virksomhedernes balance, da en produktionsvirksomhed typisk vil have bundet meget kapital i produktionsapparatet, hvorimod en servicevirksomhed i højere grad vil have aktiver i form a f.eks. goodwill. Derfor vil det være fordelagtigt at understøtte beregningerne i denne model, med beregningerne fra Mertons model. Dette da Mertons model netop belyser virksomhedens kapitalstruktur, og vil derfor kunne nuancere beregninger Værdiansættelse Under værdiansættelse benytter CreditMetrics rentestrukturen til at værdiansætte virksomhedsobligationen. Dette gøres med baggrund i to scenarier, værdiansættelse i tilfælde af konkurs og værdiansættelse af tilfælde af migrering til en anden rating. For at kunne værdiansætte virksomhedsobligationen, er det derfor nødvendigt at udlede nulkupon rentestrukturen, som gennemgås i følgende afsnit Udledning af rentestruktur Som det tidligere nævnt bygger de reducerede modeller og herunder CreditMetrics på rentestrukturen for de enkelte ratingklasser. Som det tidligere er argumenteret af Lando, gøres 40

45 dette da den enkelte virksomhed, ofte ikke vil have så mange udstedelser med forskellige løbetider, at det er muligt at udlede rentestrukturen ud fra disse. Derfor vil rentestrukturen blive udledt af udstedelser på tværs af virksomheder og brancher. Ved at "mappe" udstedelserne ud fra rating, forsøges det via en gennemsnitsbetragtning at udlede retvisende rentestrukturer fordelt på rating. Det er klart at denne metode til udledning af rentestrukturen har nogle problemstillinger. Da der er tale om et gennemsnit fordelt på ratingklasser, vil der for visse brancher kunne opstå en forskel på de udledte rentestrukturer og de faktiske rentestrukturer som ville være baseret udelukkende på udstedelser fra de enkelte virksomheder. I foregående afsnit er denne problemstilling forsøgt løst ved inddragelse af benchmark obligationer, men denne fremgangsmåde skaber også problemer. Dog vil det være fordelagtigt at tage udgangspunkt i de rentepunkter der kan beregnes via virksomhedens egne udstedelser. Problematikken bliver i CreditMetrics større da der skal udledes rentestrukturer på tværs af samtlige rating kategorier og dette vil ikke mindst gøre opgaven meget omfattende, men også behæfte beregningerne med stor usikkerhed. Grundet ovenstående problemstillinger er det valgt at tage udgangspunkt i en mere simpel beregning af rentestrukturen på de enkelte ratings. Dette gøres med baggrund i OAS spreads oplyst af Sydbank Markets på de enkelte rating kategorier som fremgår af nedenstående tabel. Tabel 10: OAS spread i bp fordelt på rating Kilde: Sydbank markets Ovenstående tabel angiver de spreads hvortil virksomhedsobligationer med en given rating, handles til i forhold til Swap renten. Ud fra disse udledes rentestrukturen på ratingklasserne ved at tillægge dette spread til swap renten på de enkelte løbetider. Rentestrukturen fremgår af bilag 20. Denne fremgangsmåde er noget forsimplet og danner en mere flad rentekurve end det er tilfældet i virkeligheden. Der kan argumenteres for at rentekurven bør være mere stejl i takt med løbetiden. Desuden gør fremgangsmåden at der ikke nødvendigvis er sammenhæng mellem renterne i modellen og observerede markedskurser på obligationerne, som det var tilfældet i afsnittet om bestemmelse af kreditrisiko ud fra rentestrukturen i tidligere afsnit. Da rentestrukturen fordelt på rating nu er udledt, vil følgende afsnit nærmere betragte selve værdiansættelsen ud fra rentestrukturen i de to føromtalte scenarier. 41

46 5.1.4 Værdiansættelse i tilfælde af konkurs I tilfælde af konkurs vil værdiansættelsen bero på konkursdividenden, som tidligere er behandlet i denne afhandling. Konkursdividenden er afhængig af konkursordenen og da de valgte obligationer til beregning i denne afhandling er senior unsecured, tages der udgangspunkt i en konkursdividende på 49,2% jvnf. tidligere afsnit. Problemstillingen ved anvendelse af den historiske konkursdividende er tidligere gennemgået. CreditMetrics forsøger dog at modellere denne usikkerhed ved at inddrage standardafvigelsen på konkursdividenden. Dette aspekt uddybes yderligere i afsnit Værdiansættelse i tilfælde af migrering For at kunne værdiansætte i tilfælde af migrering, tages der udgangspunkt i den relevante rentestruktur. Rentestrukturen benyttes til at beregne nutidsværdien af virksomhedsobligationens cashflow i forhold til horisonten, for hver enkelt ratingkategori. Med udgangspunkt i rentestrukturen som fremgår af bilg 20, vil beregningen af nutidsværdien for obligationen i tilfælde af en opgradering til rating AA, blive foretaget ud fra nedenstående formel. Formel 15: Beregning af nutidsværdi Kilde: J. P. Morgan Technical document 1997 Diskonteringsrenterne som benyttes i formlen fremgår af rentestrukturen for en AA rated udstedelse, som fremgår af bilag 20. For at beregne værdierne i de andre migreringscenarier udskiftes diskonteringsrenterne til den passende rating, samtlige beregninger fremgår ligeledes af bilag Estimering af kreditrisiko Alle inputs til estimering af kreditrisikoen er nu fastlagt. Vi kender sandsynligheden for de forskellige scenarier, både for op/nedgraderinger og for default. Desuden kendes værdien af virksomhedsobligationen i de forskellige scenarier. CreditMetrics anlægger en porteføljebetragtning på de forskellige scenarier, dermed er det nu muligt at beregne middelværdien og standardafvigelsen for denne "portefølje". Disse udregninger foretages med udgangspunkt i nedenstående formler. 42

47 Formel 16: Middel værdi: Formel 17: Standardafvigelse Hvor p i = Sandsynligheden for scenarie i = Værdien i scenariet I nedenstående figur fremgår beregningen af standardafvigelsen og 5% VAR for McDonalds. Figur 14: Beregning af standardafvigelse og VAR Kile: Egen tilvirkning 43

48 Standardafvigelsen for McDonalds er beregnet til 6,29 og denne standardafvigelse er angivet i forhold til kursen på obligationen. 5% VAR er via standardafvigelsen beregnet til 10,35 og skal fortolkes således, at der er 95% sandsynlighed for at det maksimale fald i obligationskursen vil være 10,35 kurspoint, i løbet af det næste år. Beregningen er ligeledes foretaget for Carlsberg og disse fremgår af bilag 20. Carlsbergs standardafvigelse beregnes til 7,7 og 5% VAR til 12,66. Det var forventet at værdierne for Carlsberg ville være højere grundet den lavere rating og den højere tilbagediskonteringsrente for det scenarier der vægter mest i beregning. Dette scenarie er bibeholdelse af rating og vægter meget i forhold til den samlede sandsynlighed. I beregningen for standardafvigelsen tager beregningen udgangspunkt i konkursdividende på 49,2 som er konkursdividenden for en senior unsecured udstedelse. Med baggrund i tidligere afsnit omkring usikkerheden vedrørende konkursdividenden, kan beregningen af standardafvigelsen udvides således at denne tager højde for standardafvigelsen på konkursdividenden. Dette gøres med udgangspunkt i nedenstående formel. Den eneste forskel fra formlen fra tidligere er at der medtages i som er udtryk for usikkerheden omkring konkursdividenden i scenariet default. Med udgangspunkt i en standardafvigelse på konkursdividenden på 25, er forskellen mellem den tidligere beregnede standardafvigelse, og standardafvigelsen med korrektion for usikkerheden, beregnet til 0,68%. Altså forøges standardafvigelsen grundet denne usikkerhed. Desuden vil ligningen kunne udvide beregningen til også at medtage usikkerheden omkring transitionsmatricen. I den tilgængelige litteratur argumenterer J.P Morgang for at denne usikkerhed sættes til 0, da det har været usikkert hvor stor en del af denne usikkerhed der er systematisk og usystematisk. Som det tidligere er omtalt, kan kreditafkast ikke beskrives ud fra en antagelse om normalfordeling, der er derimod tale om en mere venstreskæv fordeling. For at imødekomme denne problemstilling medtager CreditMetrics brug af fraktiler. Fraktiler er en mere simpel antagelse end normalfordelingen. Fraktilen beskriver den laveste værdi porteføljen kan have med en given sandsynlighed. F.eks. beskriver 5% fraktilen at sandsynligheden for at porteføljens værdi er lavere end denne værdi er 5%. Dermed opnås et mere nuanceret billede af kreditrisikoen og det er muligt for investor at vælge en fraktil som svarer til den ønskede risiko for porteføljen. 44

49 Fremgangsmåden til at bestemme fraktilen er, at bestemme den kumulative sandsynlighed der er lig med eller større end det ønskede fraktil niveau. Ud fra den ønskede fraktil aflæses hvilken rating virksomheden vil have om 1 år ud fra forudsætningerne. Den forventede værdi ved den givne rating aflæses og fratrækkes den gennemsnitlige kurs, hvorved det nye VAR mål fremkommer. Med udgangspunkt i eksemplet gennemgås metodikken til at bestemme 5% fraktilen. Med udgangspunkt i figur 14 bevæger analysen sig fra default scenariet op mod den højere rating. Sandsynligheden for default er 0,08% og sandsynligheden for CCC er 0,02%, dermed er den kumulative sandsynlighed 0,1% og under den ønskede fraktil på 5%. Ved rating Ba er den kumulative sandsynlighed 6,37% og dermed højere end eller lig med det ønskede fraktil niveau. Den forventede værdi ved dette scenarie er 4,79 lavere end den gennemsnitlige kurs. Ud fra disse tal kan der konkluderes at McDonalds med 95% sandsynlighed ikke vil opnå en rating lavere end BBB og VAR beregnes til 4,79. På samme måde kan fraktilen for Carlsberg beregnes. Ved rating BB er den kumulative sandsynlighed 5,26% og den forventede værdi 7,78 lavere end den gennemsnitlige kurs. Carlsberg vil dermed med 95% sandsynlighed ikke opnå en rating lavere end BB og VAR beregnes til 7, Risiko for en portefølje af virksomhedsobligationer Efter at have beregnet standalone risiko for en virksomhedsobligation, benyttes næste fase i CreditMetrics til at bestemme risikoen for en portefølje af virksomhedsobligationer. For at kunne beregne risikoen for en portefølje af virksomhedsobligationer inddrager CredtiMetrics korrelationer, mellem aktiverne i porteføljen. Dette gøres for at estimere bidraget til den samlede risiko fra kredit kvalitets korrelationerne. Ifølge porteføljeteorien vil inddragelse af korrelationer, gøre det muligt at medregne diversifikationseffekten, ved inddragelse af flere virksomhedsobligationer i porteføljen. Dermed forventes det at analysen vil vise at diversifikationseffekten vil medføre en lavere standardafvigelse og dermed også et lavere VAR mål. I det følgende afsnit vil beregningerne tage udgangspunkt i en portefølje bestående af to virksomhedsobligationer. Der vil blive taget udgangspunkt i McDonalds som var det forklarende eksempel i afsnittet om standalone risiko og desuden vil Carlsberg blive inddraget i porteføljen. Det er valgt at tage udgangspunkt i en portefølje udelukkende bestående af to virksomhedsobligationer, da beregningerne i tilfælde af flere aktiver vil være meget omfattende. Der skal her også nævnes, at CreditMetrics desuden kan udvides til at vurdere risikoen for porteføljer, hvor der inddrages flere forskellige aktivtyper. 45

50 5.2.1 Fælles migrerings sandsynligheder Som det fremgik af afsnittet om beregning af standalone risiko, var der 8 forskellige scenarier for udsteders kreditvurdering om et år beregnet ud fra transitionsmatricen. For at kunne vurdere porteføljens risiko, er det nødvendigt at inddrage alle mulige kombinationer af scenarier for de to udstedere. Ved en portefølje bestående af 2 virksomhedsobligationer udgør antallet af scenarier således 8 2 = 64. CreditMetrics foreslår en simpel tilgang til beregning af de fælles sandsynligheder, ud fra tilgangen at den fælles sandsynlighed, er et produkt at sandsynligheder for den enkelte udstedelse. For eks. fremgår beregningen af sandsynligheden for at begge udstedelsers kreditvurdering er den samme om et år af nedenstående formel. Formel 18: Kilde: J. P. Morgan Technical document 1997 Ved at udføre denne type beregning for alle 64 scenarier fremkommer de fælles migrerings sandsynligheder som fremgår af figuren herunder. Figur 15 : Fælles migrerings sandsynligheder for McDonalds og Carlsberg Kilde : Egen tilvirkning Det er vigtigt at pointere at ovenstående migrerings risiko er beregnet uden inddragelse af korrelationer. 46

51 5.2.2 Kreditrisikoen for porteføljen uden korrelationer Som det er omtalt i afsnittet omkring standalone, risiko har vi brug for to input for at kunne beregne volatiliteten på værdien, som følge af ændringer i kreditrisikoen. Ved beregning af kreditrisikoen for en portefølje er disse to input den fælles migreringsrisiko og nutidsværdierne af virksomhedernes cashflow, for de 64 scenarier som er opstillet i sidste afsnit. Med udgangspunkt i rentestrukturen og cashflow på obligationerne er det muligt at beregne nutidsværdierne i de forskellige scenarier for de to obligationer hver for sig. Disse værdier bruges til at opstille de mulige værdier for porteføljen om et år. Værdierne for de enkelte scenarier er blot de mulige værdier for de enkelte obligationer sammenlagt. De beregnede mulige værdier i afhandlingens eksempel fremgår af nedenstående figur. Figur16 : Kilde: Egen tilvirkning Efter at have udregnet de mulige værdier for porteføljen om et år, er det nu muligt at udregne den sandsynlighedsvægtede værdi af portefølje. Dette gøres på samme måde som for standalone beregningen men i dette tilfælde med baggrund i de fælles migrerings sandsynligheder fra figur 15. Dermed fremgår de sandsynlighedsvægtede værdier af porteføljen om et år af figuren herunder. 47